精品解析：吉林通化市梅河口市第五中学2026届高三下学期一模数学试题

高三数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点，若（i为虚数单位），向量绕原点逆时针方向旋转，且模伸长为原来的2倍后与向量重合，则（ ） A. 的虚部为 B. 对应的点在第二象限 C. D. 4. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A B. C. D. 6. 已知等差数列的前项和为，且，则使得的的最小值为（ ） A 4049 B. 4050 C. 4051 D. 4052 7. 定义在上的奇函数满足：，当时，，则函数的零点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知函数，将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限 D. 若，则点集合所构成的图形的面积为 10. 已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 除以6所得的余数为5 11. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，，M为与的交点.若为线段上一动点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 取值范围为 D. 以为球心，以为半径的球与四边形的交线长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前项和为，若，则_____． 13. 写出一个同时具有下列性质①②函数_____． ①；②当时，． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作直线分别交两条渐近线于点，交轴于点为坐标原点．若的面积是的面积的3倍，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）经过点且斜率为1的直线交于，两点，求． 16. 已知函数，且曲线在点处的切线斜率为． （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最大值与最小值． 17. 某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了300名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并计算这300名市民评分的平均数； （2）用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用表示抽到的评分在90分以上的人数，求的分布列及数学期望. 18. 已知抛物线的焦点是椭圆的一个顶点． （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线与交于M，N两点，且点为线段MN的中点，求的面积． （3）若直线过点，且与交于A，B两点与轴交于点，满足，试探究与的关系. 19. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为和是上除顶点外的两个动点． （1）若直线的斜率成等差数列，证明：直线过定点； （2）若直线的斜率成等比数列，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解出分式不等式后，由补集定义与交集定义计算即可得. 【详解】由，可得，解得， 故，则或， 又，则. 故选：C. 2. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求两直线平行时的取值，再判断和时两直线是否平行，从而确定条件类型. 【详解】直线，平行或重合的充要条件是，所以或． 将代入直线，的方程，得，，易知； 将代入直线，的方程，得，，直线，重合，故舍去． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：． 3. 已知复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点，若（i为虚数单位），向量绕原点逆时针方向旋转，且模伸长为原来的2倍后与向量重合，则（ ） A. 的虚部为 B. 对应的点在第二象限 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的概念，几何意义，模长公式，除法运算一一判定选项即可. 【详解】由可知，则逆时针旋转后相应点为， 所以，即，其虚部为，故A错误； ，其对应的点在第三象限，故B错误； ，故C正确； ， 则，故D错误. 故选：C 4. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数判断单调性即可得解. 【详解】令函数，求导得， 因此函数在上单调递增，则，， 所以. 故选：C 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】 ， ，，，解得， ，. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出. 6. 已知等差数列的前项和为，且，则使得的的最小值为（ ） A. 4049 B. 4050 C. 4051 D. 4052 【答案】C 【解析】 【分析】先由已知不等式结合等差数列的性质得到，再利用等差数列的求和公式和下标的性质判断可得. 【详解】由得，因为，所以，所以 由和得， 所以， ， 故使得的的最小值为4051. 故选：C 7. 定义在上的奇函数满足：，当时，，则函数的零点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】构造研究其奇偶性、区间单调性，问题转化为求与的交点个数，数形结合判断交点个数，即可得. 【详解】令且定义域为R，则， 所以为偶函数，在上， 所以在上单调递减，结合偶函数的对称性知，其在上单调递增， 由，则，且，则， 由于函数 由的零点个数等价于与的交点个数，函数大致图象如下， 函数关于对称，且时，， 在、上分别单调递减、单调递增， 显然时， 在上单调递增，则时恒成立， 在上单调递减，且时,， 所以使， 综上，与的交点横坐标有，即有3个零点. 故选：D 8. 已知函数，将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数图象平移及伸缩变换得到，由，结合函数图象即可求解. 【详解】将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度， 可得：， 当，可得， 则， 因为存在唯一实数，使得， 即是的子集，且唯一， 由图像可知， ， 所以实数取值范围为， 故选：B 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数模的运算即可判断AB，利用复数的几何意义即可判断CD. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为当时，满足，故B错误； 对于C，因点的坐标为，则，，则对应的点在第三象限，故C正确； 对于D，由，可知点的集合所构成的图形为圆环,其面积为，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 除以6所得的余数为5 【答案】BCD 【解析】 【分析】先由二项式系数和为解出，再利用二项式定理逐项验证即可求解. 【详解】由题意有：，所以，令， 所以， 令，所以，令， 所以①， 所以，故A错误； 由，令， 所以，故B正确； 令，所以②， 由①②解得，， 所以，故C正确； 由 ， 所以除以6所得的余数为5，故D正确； 故选：BCD. 11. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，，M为与的交点.若为线段上一动点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 的取值范围为 D. 以为球心，以为半径的球与四边形的交线长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据题意利用余弦定理先求，再根据勾股定理可求；对于B，可证平面，即可得到三棱锥的体积为定值；对于C，可把的余弦值表示出来得到范围即可判断C；对于D，球与四边形的交线为圆弧，求出半径及圆心角即可求长度. 【详解】对于A，在直四棱柱中，，，，所以， 又平面，平面，， 则，故A正确； 对于B，连接交于，连接， 分别为的中点，，且， 则四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以直线上的点到平面的距离相等， 即点到平面的距离为定值， ，的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C，连接， 根据题意平面，平面，则， ，，， ，， 所以点到的距离即， ，即， 由对称性知， ∴， ，故最大值应大于，故C错误； 对于D，设中点为，连接， 根据题意易得平面，即点到平面的距离为， 则球与四边形的交线以为圆心，半径的圆弧， 与分别交于点， 又，所以，同理， 故交线的圆心角为，半径为2，则长为，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前项和为，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的求和公式和下标的性质计算可得. 【详解】因为等差数列的前项和为，若， 所以. 故答案为：32. 13. 写出一个同时具有下列性质①②的函数_____． ①；②当时，． 【答案】（答案不唯一，均满足） 【解析】 【分析】设，验证函数满足性质①，从而确定函数为指数函数.求导数，分和两种情况讨论，验证是否满足②，当时，再利用函数的单调性求出的取值范围即可得解. 【详解】设. 因，， 且，故满足①. 因为，要使恒成立，即恒成立. 若，则，当时，， ，不满足性质②； 若，，当时，，所以可能成立. 当时，函数在上单调递增， 故函数在上也单调递增， 所以其函数值大于， 所以要使恒成立，只需满足，解得. 故当时，满足性质②， 所以（答案不唯一，均满足）. 故答案为：（答案不唯一，均满足） 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作直线分别交两条渐近线于点，交轴于点为坐标原点．若的面积是的面积的3倍，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件求出双曲线渐近线方程、焦点坐标、点的坐标，然后利用面积比列出等式，最后根据两点距离公式列出的表达式，进行化简即可求得结果. 【详解】因为双曲线的左、右焦点分别为， 所以，渐近线方程为. 因为过点的直线与轴有交点，所以该直线的斜率存在， 设该直线方程为，则，该直线与渐近线方程联立得 ，解得. ，解得. 所以，. 由题意知，，所以， 化简得，所以有. ， 所以，又，. 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）经过点且斜率为1直线交于，两点，求． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）先设点的坐标为，再根据题意列式化简即可； （2）先求出直线的方程，再利用距离公式即可求出. 【小问1详解】 设点坐标为，依题意得， 化简得，所以的方程为． 【小问2详解】 直线过点且斜率为1， 直线为，即 ， 设， 联立，化简得： ，则， 又，把代入， 得, ， ． 16. 已知函数，且曲线在点处的切线斜率为． （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为1． 【解析】 【分析】（1）由题可得，据此可得答案； （2）由（1）利用导数可判断在上的单调性，据此可得答案. 【小问1详解】 ，依题意，，解之得：； 【小问2详解】 令，解之得：， 令，则，所以在上单调递减， 记， 则单调递增，单调递减， 所以在处取极大值， 又因为， 所以， 又， 比较可得：函数在区间上的最大值为，最小值为1． 17. 某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了300名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并计算这300名市民评分的平均数； （2）用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用表示抽到的评分在90分以上的人数，求的分布列及数学期望. 【答案】（1）；这300名市民评分的平均数为. （2）的分布列如下表所示： 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为，即可求得实数的值；再由平均数的公式求出这300名市民评分的平均数； （2）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可求得的值. 【小问1详解】 解在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为， 则，解得. 这300名市民评分的平均数为： . 所以这300名市民评分的平均数为：. 【小问2详解】 解因为评分在分以上的市民所占的频率为， 由题意可知，， 所以，，， ，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，. 18. 已知抛物线的焦点是椭圆的一个顶点． （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线与交于M，N两点，且点为线段MN的中点，求的面积． （3）若直线过点，且与交于A，B两点与轴交于点，满足，试探究与的关系. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出椭圆的顶点即可得出抛物线的焦点，求出即得抛物线方程； （2）设，由中点弦公式计算可得，直线的方程为，直线与抛物线联立方程，利用弦长公式及三角形面积公式列式计算即可求解； （3）设直线的方程为，，，由平面共线向量的坐标表示可得、，列出方程化简即得解. 【小问1详解】 由题知，椭圆右顶点坐标，抛物线开口向右， 所以，故，即， 所以抛物线的方程为； 【小问2详解】 如图，由题意，设， 代入抛物线方程，可得， 两式相减可得，即， 由可得，故， 又由点为线段的中点且点在抛物线内， 所以直线的方程为，即. 联立，得，其中， 故， 所以， 又因为到直线的距离， 所以的面积. 【小问3详解】 由（1）得，直线过点，且与交于A，B两点与轴交于点， 则直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为，，， 则，因为，所以，， 因为点在上，所以，即，所以． 由，可得，， 因为点在上，所以，即，所以． 由，得， 因为，，所以，即． 19. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为和是上除顶点外的两个动点． （1）若直线的斜率成等差数列，证明：直线过定点； （2）若直线的斜率成等比数列，求面积的最大值． 【答案】（1） 由题意得，所以． 若直线的斜率成等差数列，则． 设． 当直线的斜率存在时，设，由题意可知． 由 得， 则．（*） 所以 将（*）代入，得，化简得，当时，满足． 所以，可知该直线恒过点． 当直线的斜率不存在时，， 所以，得，不符合条件． 综上，直线过定点； （2）1 【解析】 【分析】（1）根据直线的斜率成等差数列得，当直线的斜率存在时，设，与椭圆方程联立，由韦达定理代入可得答案；当直线的斜率不存在时，由得不符合条件； （2）若直线的斜率成等比数列得．记，由直线方程与椭圆方程联立，求出坐标，求出的面积．可以看作关于的函数，法一：利用基本不等式可得答案；法二：利用导数求最值可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若直线的斜率成等比数列，则． 记，由可得． 用替换，可得，因此关于轴对称． 因此的面积为． 可以看作关于的函数，故只需考虑的情况． 法一：①当时，． 考虑， 再令，则， 于是， 当且仅当时，等号成立，此时，解得，符合题意． ②当时，，此时，只需令，计算过程与前面相同． 综上，面积的最大值为1． 法二：对求导，得 , 当，，单调递增， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，取极小值为， 当时，取极大值为， 而当时，，而， 则的最大值为1，即面积的最大值为1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $