上海市宝山区2026年中考数学二模自编模拟试卷

上海市宝山区2026年中考数学二模模拟试卷 九年级数学 （满分150分，完卷时间100分钟） 一、单选题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数， 【详解】解：A、不是无理数，不符合题意； B、是无理数，符合题意； C、不是无理数，不符合题意； D、不是无理数，不符合题意； 故选：B． 2．下列运算，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方和幂的乘方分别运算即可判断求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类项，不能合并，该选项错误； 、，该选项错误； 、，该选项正确； 、，该选项错误； 故选：． 3．在同一平面内，任意画一个三角形，其内角和是．这一事件是（   ）． A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上都不是 【答案】A 【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下一定会发生的事件是必然事件．利用三角形内角和定理结合必然事件的定义进行求解即可． 【详解】解：“在同一平面内，任意画一个三角形，其内角和是”这是一定会发生的，是必然事件， 故选：A． 4．如图，正五边形内接于，连接，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形内角和公式、正多边形的中心角，根据多边形的内角和可以求得的度数，根据周角等于，可以求得的度数，然后即可计算出的度数即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ，， ， 故选：D． 5．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设清酒斗，根据清酒、醑酒分别消耗的谷子总量等于持有的30斗谷子来列方程． 【详解】∵设清酒斗，共换得5斗酒， ∴醑酒的数量为斗， ∵一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，持粟30斗， ∴斗清酒花费斗谷子，斗醑酒花费斗谷子， ∴可列方程为， 故选：A． 6．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切，那么的半径长的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，勾股定理求得，进而根据平行线分线段成比例得出，根据题意，画出相应的图形，即可求解． 【详解】解：如图所示，当圆O与相切时，过点作， ∵矩形中，对角线与相交于点，，． ∴，，，， ∴ ∴， 则；    当圆O与相切时，过点作于点，如图所示，    则 则 ∴与直线相交、与直线相离，且与内切时，， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，根据题意画出图形是解题的关键． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．的相反数是______． 【答案】2 【分析】该题考查了相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】解：的相反数是2， 故答案为：2． 8．计算: ___________ 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 9．分解因式：12m2n2﹣12m2n+3m2＝_____． 【答案】3m2（2n﹣1）2 【分析】首先提取公因式3m2，再利用完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】12m2n2﹣12m2n+3m2 ＝3m2（4n2﹣4n+1） ＝3m2（2n﹣1）2． 故答案为：3m2（2n﹣1）2． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 10．方程的解为________． 【答案】 【分析】将分式方程转化为整式方程，进行计算求解并检验即可得到答案. 【详解】解：去分母得， ， 解得：， ∵当时， ∴方程的解为， 故答案为：； 【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是要检验根的情况． 11．已知是方程的一个根，则代数式的值为______________． 【答案】1987 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及代数式的变形求值．利用方程的根的定义，将根代入方程得到关于的等式，再对代数式进行变形求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴． ∴ ， 故答案为：1987． 12．将分别标有数字2，3，4的三张卡片洗匀后，背面有上放在桌上.随机抽取一张作为十位上的数字，放回后再抽取一张作为个位上的数字，恰好是3的整数倍的概率是_________. 【答案】 【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，用列表法求概率． 【详解】解：列表如下： 共有种等可能结果，其中恰好是3的整数倍的，有3种， ∴恰好是3的整数倍的概率是． 故答案为：． 13．已知正比例函数，若随的增大而减小，则m的取值范围是____________________． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键．根据正比例函数的增减性可得，由此即可得． 【详解】解：∵在正比例函数中，随的增大而减小， ∴， ∴， 故答案为：． 14．某学习小组想了解本校学生课外阅读时间的情况，在全校随机调查了部分学生，对他们一周的课外阅读时长进行统计、整理，并绘制成两幅不完整的统计图表． 编码 课外阅读时长（分钟） 人数 10 25 如果该校有1200名学生，那么该校一周课外阅读时长超过240分钟的学生大约有__人． 【答案】360 【分析】此题考查了扇形统计图和统计表．先求出样本容量，得到的值，再利用样本估计总体即可求出答案． 【详解】解：由题意得，样本容量为：， 故， （人， 即该校一周课外阅读时长超过240分钟的学生大约有360人． 故答案为：360 15．如图，点是的重心，连接并延长交边于点．如果，那么___________（用含向量的式子表示）    【答案】 【分析】本题主要考查了重心的性质，向量的线性运算，根据重心的定义和性质得到，求出，则可求出，进而求出，据此可得答案． 【详解】解：∵点是的重心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，与交于点，且．若，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．证明，根据相似三角形的性质得出相似比为，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为， 即， 故答案为：． 17．如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则线段的长等于______    【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，图形的折叠，解直角三角形等内容，解题的关键添加适当的辅助线构造直角三角形解决问题． 由四边形是菱形和折叠可求，过点作于点，解直角三角形，进而解决问题． 【详解】解：过点作于点， 四边形是菱形， ，， ， 由折叠可知：， ， 在中，， ， 在中，， ，， ， ， 故答案为：． 18．如图，在和中，，，，点在上，与交于点，连接，则________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．先证明，得出，由，可得，进而证明，根据对应边成比例即可解答． 【详解】解：， ， ，， ，， ， ， ，即， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的性质，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，先根据实数的性质，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值化简，再算加减． 【详解】解：原式 ． 20．（本题满分10分）解方程组：． 【答案】或 【分析】本题考查了解方程组，先将因式分解为或，再分别联立，解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 由②得， ∴或， 联立得， 解得， 联立得， 解得． 21．（本题满分10分）如图．在平面直角坐标系中，反比例函数图象经过四边形的顶点．对角线轴，交轴于点，，且 ．    (1)求反比例函数的解析式． (2)求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查利用反比例函数图象上的点与坐标轴构成的三角形面积等于，即可求解． （2）本题考查相似三角形的性质和判定，设，利用和，得出、、，再结合题干的条件证明，利用相似比得出，即可解题． 【详解】（1）解：，平行于x轴，交y轴于点D， ， 反比例函数图象在第二象限， ，则， ． （2）解：对角线轴，交轴于点，， ， ， 设，则，故，解得，（舍去）， ，， ， ， ，即，解得，故， ． 22．（本题满分10分）如图，在中，直径，，是的切线，点为切点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，线段交于点，连结，若，求的长； 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）由是的直径，且，可知是的切线．根据切线长定理可得． （2）连结， 根据可得，则，又由及可得，进而可得，根据锐角三角比可求出，进而可得． 【详解】（1）证明：∵是的直径，， ∴是的切线． 又∵是的切线， ∴． （2）解：如图，连结， ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，锐角三角比．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 23．（本题满分12分）已知：如图，在四边形中，，点E是对角线上一点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)延长分别交线段的延长线于点，如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由得, 则，所以，则四边形是平行四边形， 由且得, 所以则, 即可证明四边形D是菱形； （2）由菱形的性质得, 而, 所以, 可证明, 得 则再证明, 得 所以, 再证明, 得则 即可证明 【详解】（1）)证明: ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴四边形是平行四边形， ∵, ∴, ∴， ∵, ∴, ∴, ∴, ∴四边形是菱形； （2）证明：根据题意作图如下， ∵四边形是菱形, ∴， ∵, ∴, ∵, ∴, ， ， ∵, ∴, ， ∴, ∴, 且, ∴, ∵, ∴, ∴, ， ． 【点睛】此题重点考查平行线的性质、菱形的判定性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出是解题的关键． 24．（本题满分12分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴交于点，二次函数的图像经过点、点，且与轴交于点． (1)求一次函数和二次函数的表达式； (2)如图，点为直线上一点（不与点、重合），若，求点的横坐标； (3)如图3，点在位于第二象限的抛物线上，过点分别作，是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）一次函数用待定系数法，代入、坐标求、；二次函数设交点式，代入点求． （2）先算、度数，得，分在第四、第二象限，用三角函数或中心对称列方程求横坐标． （3）延长交于，设横坐标为，用含式子表示、，合并后用二次函数性质求最值． 【详解】（1）解：把、代入，得 ， 解得， ∴． 设， 把代入，得，即， ∴． ∴． （2）解：由题意得： 在中，， ∴； 在中，， ∴． ∵， ， 当点在第四象限时， ， 设， ∴，即：， ∴， 当点在第二象限时， ∵，， ∴， ∴轴， ∴，即：， ∴， 综上，点的横坐标为或； （3）解：延长交直线于点，设点的横坐标为， 中，， ， ， ， 的最大值为． 【点睛】本题主要考查一次函数、二次函数表达式求解，三角形角度与坐标关系，以及二次函数最值应用．熟练掌握待定系数法求函数表达式、利用角度关系列方程、用二次函数性质求最值是解题关键． 25．（本题满分14分）问题探究 （1）在中，，，为边上的中线，则的长为_____； （2）如图①，在中，为边上一点，，垂足分别为，连接，求的最小值； 问题解决 （3）如图②，四边形是一个游乐场的平面示意图，出入口在点处．已知，．为了进一步提升游乐场的服务功能，管理部门规划修建由四条直步道连接而成的观景环道及服务中心，其中，点在边上，点在边上，点在边上，点为的中点． 按照设计要求，的长为的长为，在点与点之间距离最短的情况下，使所修建的观景环道最短．请你帮助管理部门计算，当最小时的最小值及此时的长．（步道宽度及出入口，服务中心的大小均忽略不计） 【答案】（1）4；（2）；（3）的最小值为，此时的长为 【分析】（1）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边长的一半解答即可； （2）根据矩形的判定和性质，结合垂线段最短解答即可； （3）根据矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形三边关系定理应用，解答即可． 本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，垂线段最短原理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：（1）∵，，为边上的中线， ∴, 故答案为：4； （2）如解图①， 四边形为矩形， 连接，则， 过点作于点， ． 在中，， 故， 根据三角形面积性质，得， 的最小值为； （3）如解图②，连接，则， ，当三点共线时最小， 在上顺次截取， 作，则四边形为矩形， 则， ， 解得，． 如解图③，作点关于的对称点，作， 连接， 与的交点即为所确定的位置． 作交于点，得矩形． 在中， ， ， ， 由， ， ，， 当最小时，的最小值为，此时的长为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市宝山区2026年中考数学二模模拟试卷 九年级数学 （满分150分，完卷时间100分钟） 一、单选题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列运算，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．在同一平面内，任意画一个三角形，其内角和是．这一事件是（   ）． A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上都不是 4．如图，正五边形内接于，连接，，则（    ） A． B． C． D． 5．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切，那么的半径长的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．的相反数是______． 8．计算: ___________ 9．分解因式：12m2n2﹣12m2n+3m2＝_____． 10．方程的解为________． 11．已知是方程的一个根，则代数式的值为______________． 12．将分别标有数字2，3，4的三张卡片洗匀后，背面有上放在桌上.随机抽取一张作为十位上的数字，放回后再抽取一张作为个位上的数字，恰好是3的整数倍的概率是_________. 13．已知正比例函数，若随的增大而减小，则m的取值范围是____________________． 14．某学习小组想了解本校学生课外阅读时间的情况，在全校随机调查了部分学生，对他们一周的课外阅读时长进行统计、整理，并绘制成两幅不完整的统计图表． 编码 课外阅读时长（分钟） 人数 10 25 如果该校有1200名学生，那么该校一周课外阅读时长超过240分钟的学生大约有__人． 15．如图，点是的重心，连接并延长交边于点．如果，那么___________（用含向量的式子表示）    16．如图，与交于点，且．若，则___________． 17．如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则线段的长等于______    18．如图，在和中，，，，点在上，与交于点，连接，则________． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：． 20． （本题满分10分）解方程组：． 21．（本题满分10分）如图．在平面直角坐标系中，反比例函数图象经过四边形的顶点．对角线轴，交轴于点，，且 ．    (1)求反比例函数的解析式． (2)求点的坐标． 22．（本题满分10分）如图，在中，直径，，是的切线，点为切点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，线段交于点，连结，若，求的长； 23．（本题满分12分）已知：如图，在四边形中，，点E是对角线上一点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)延长分别交线段的延长线于点，如果，求证：． 24．（本题满分12分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴交于点，二次函数的图像经过点、点，且与轴交于点． (1)求一次函数和二次函数的表达式； (2)如图，点为直线上一点（不与点、重合），若，求点的横坐标； (3)如图3，点在位于第二象限的抛物线上，过点分别作，是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 25．（本题满分14分）问题探究 （1）在中，，，为边上的中线，则的长为_____； （2）如图①，在中，为边上一点，，垂足分别为，连接，求的最小值； 问题解决 （3）如图②，四边形是一个游乐场的平面示意图，出入口在点处．已知，．为了进一步提升游乐场的服务功能，管理部门规划修建由四条直步道连接而成的观景环道及服务中心，其中，点在边上，点在边上，点在边上，点为的中点． 按照设计要求，的长为的长为，在点与点之间距离最短的情况下，使所修建的观景环道最短．请你帮助管理部门计算，当最小时的最小值及此时的长．（步道宽度及出入口，服务中心的大小均忽略不计） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $