第一章《三角形的证明及其应用》单元自主检测（A卷）2025-2026学年北师大版数学八年级下册

2025~2026北师大版八下数学科目第一章《三角形的证明及其应用》单元自主检测（A卷）解析版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）在中，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形的内角和定理及三角形的分类．根据三角形内角和为，求出的度数，再根据角的大小判断三角形形状． 【详解】解：在中，三角形内角和为，已知，， 则， 所以是钝角三角形． 故选：B． 2．（本题3分）如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、两直线平行内错角相等 【分析】先根据外角的性质计算出，再根据两直线平行，内错角相等求解即可． 【详解】解：，， ， ， ． 3．（本题3分）任意作一个三角形，下列事件中，是不可能事件的是（    ） A．这个三角形有两个内角相等 B．这个三角形是直角三角形 C．这个三角形三个内角的和是 D．这个三角形两条边的和小于第三条边 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】事件的分类、构成三角形的条件、三角形内角和定理的应用 【分析】根据不可能事件的定义，结合三角形三边关系、内角和性质判断各选项即可． 【详解】等腰三角形存在两个内角相等，该事件可能发生，故A是随机事件，不符合要求； 直角三角形是存在的，该事件可能发生，B是随机事件，不符合要求； 任意三角形的内角和都为180°，该事件一定发生，C是必然事件，不符合要求； 三角形任意两边之和一定大于第三边，两边和小于第三边的事件一定不会发生， 故D是不可能事件，符合要求． 4．（本题3分）如图，已知，，要使，下列条件添加不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、用SAS证明三角形全等（SAS）、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】通过、、、判定三角形全等的判定方法逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵ ，， ∴， 即， 选项： ， ∵，，， 满足判定定理，可证； 选项：， ∵， 满足判定定理，可证； 选项：， ∵， 满足判定定理，可证； 选项：， 即对顶角相等，无法直接得出，符合题意． 故选：． 5．（本题3分）如图，在中，是边的垂直平分线，连接，平分交于点F，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形外角的性质，由线段垂直平分线的性质可得，由三角形外角性质得，由角平分线定义得，由三角形外角性质得． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵平分交于点F， ， ∴， ∴． 故选：B． 6．（本题3分）如图，，，下列根据“”定理，添加一个条件可以使得成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用HL证全等（HL）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了直角三角形的判定定理，根据判定定理“”即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在和中，斜边， ∴要利用“”判定，则应添加条件直角边或， 故选：． 7．（本题3分）如图，在长方形中，点E是的中点，且，连接，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、化为最简二次根式 【分析】长方形的对边相等，邻边垂直，结合线段中点的定义可得的长，利用勾股定理求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵长方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ， ． 8．（本题3分）如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质．根据三角形的外角的性质得出，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 9．（本题3分）在中，，，D为中点，连接，过点C作于点E，交于点M．过点B作交的延长线于点F，则下列结论正确的有（    ）个． ①； ②； ③连接，则有是等边三角形； ④连接，则有垂直平分． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.45 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定、等边三角形的判定 【分析】①根据证明即可； ②证明，得出，即可证明； ③根据，得出，根据，得出，证明不可能是等边三角形； ④根据，得出，，说明点M、B在线段的垂直平分线上，证明垂直平分． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∵在中， ∴， ∴不可能是等边三角形，故③错误；    ④∵， ∴，， ∴点M、B在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分，故④正确；    综上分析可知，正确的有3个． 10. 在中，，，D为中点，连接，过点C作于点E，交于点M．过点B作交的延长线于点F，则下列结论正确的有（       ）个． ①； ②； ③连接，则有是等边三角形； ④连接，则有垂直平分． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）已知中，，，则__________． 【答案】/29度 【难度】0.95 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形内角和等于直接解答即可． 【详解】解：在中，，， ． 12．（本题3分）在中，，，则的度数为________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】三角形内角和定理的应用 【详解】解：三角形内角和为，即 13．（本题3分）如图，点D是延长线上一点，若，，则________． 【答案】103 【难度】0.94 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】此题重点考查三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． 由点D是延长线上一点，，，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，求得，即可得出的度数． 【详解】解：∵在中，点D是延长线上一点， ， ，， ， 故答案为：103． 14．（本题3分）如图，中，为的角平分线，过点D作的垂线，垂足为点E，则的长为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、与三角形的高有关的计算问题 【分析】作于交延长线于G，由平分，得到，由等腰三角形的性质得到，由勾股定理求出，得到的面积，由的面积的面积的面积，得到，因此，即可求出． 【详解】解：作于交延长线于G， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴． 15．（本题3分）如图，在中，，，，点D，E在，边上，且，连接，则的最小值是 ________________ ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、两点之间线段最短、含30度角的直角三角形 【分析】如图作，使得．作交的延长线于，连接．首先证明，可得，推出的最小值为的长． 【详解】解：如图作，使得．作交的延长线于，连接． ∴， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， 在中， ，， ，， ∴， 在中，， 故的最小值是． 三、解答题（共75分） 16．（本题7分）已知：如图，在和中，，．求证：． 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握定理是解答的关键． 证明，利用全等三角形的对应角相等可得答案． 【详解】证明：， 在和中， ， ， ． 17．（本题7分）如图，已知，点E是上一点． (1)尺规作图：在上找一点F，使得．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接．若，，且平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】三角形内角和定理的应用、尺规作一个角等于已知角、角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了尺规作图---作一个角等于已知角，平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理的应用． （1）根据作一个角等于已知角的方法即可作图； （2）先由三角形内角和定理求出的度数，证明，然后根据平行线的性质以及角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：如图，点F即为所求； （2）解：如图， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）知， ∴， ∴ 18．（本题7分）如图，在中，于点平分交于点E． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形、角平分线的性质定理 【分析】（1）由于点D，得，则，由，得，推导出，而，则，即可证明为等腰三角形； （2）由，推导出，则，因为，所以，则，由，得，则，求得． 【详解】（1）证明：∵于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为3． 19．（本题7分）如图，在中，，点D在边上（点D不与点B、点C重合），作，交边于点E． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.84 【知识点】三角形的外角的定义及性质、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据三角形的外角的性质和角的和差关系即可证明结论； （2）利用即可证明． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴； （2）证明：由（1）得， 又∵，， ∴． 20．（本题10分）如图，是的平分线，点在上，，，垂足分别为，．点，分别在上，，连接．求证：． 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的定理． 由角平分线的性质，可得，可证得，根据三角形全等的性质，即可证得结论． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∴， ∵是的平分线，点在上，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 21．（本题10分）已知：如图，在中，，是过点A的直线，于点D，于点E，且． (1)若在的同侧（如图①）求证：． (2)若在的两侧（如图②），问与仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【难度】0.61 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）根据直角三角形全等的判定方法HL易证得，可得，再根据三角形内角和定理即可证得结论； （2）与（1）同理结论仍成立，即根据直角三角形全等的判定方法HL易证得，可得，再根据三角形内角和定理即可证得结论． 【详解】（1）证明：于D，于E， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 即； （2）解：， 于D，于E， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 即． 22．（本题13分）在中，，．点D、E分别在的边、上，连接，将沿折叠，交边于点F，且点与点C在直线的异侧． (1)如图①，则 ． (2)如图②，则 ． (3)如图③，设图②中的，．求的度数； (4)当的某条边与或垂直时，直接写出的度数． 【答案】(1)48 (2)222 (3) (4)或或 【难度】0.41 【知识点】折叠问题、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、多边形内角和问题 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得的度数； （2）根据四边形内角和定理可得的度数； （3）由（2）的结论可得，由折叠可得，由三角形内角和定理可得，两式相减，可得答案； （4）分六种情况：或或或或或，分别求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：由（2）知， ∴①， 由折叠知， ∵， ∴② ， ∴得：； （4）解：如图，当时， ∵， ∴， ∴， 由（3）知， ∴， 由折叠知， ∴ ； 如图，当时， 则； 如图，当时，不合题意； 如图，当时， ∵，，， ∴ ， ∴ ； 如图，当时， ∵，， ∴ ， 又∵，， ∴ ， ∴ ； 如图，当时，不合题意； 综上可知，的度数为或或． 【点睛】本题以直角三角形折叠为背景，核心依托三角形、四边形内角和定理与折叠的性质，通过角度转化求解角度差，小问4融入分类讨论思想，全面考查了几何角度计算的基本方法与逻辑推理能力，体现了“化归”与“分类”的几何解题思路． 23．（本题14分）如图，在中，，，，若动点从点出发，按的路径运动，且速度为，设出发的时间为，连接、． (1)出发后，求的长； (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点出发，按的路径运动，且速度为，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动，连接．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【答案】(1) (2)或或或 (3)或 【难度】0.39 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）先利用勾股定理求出，再求出发后的长，再次利用勾股定理求解即可； （2）分情况讨论：当点P在上时，，及过点C作于点D，求出此时的值；当点P在上时，及的情况下，此时的值； （3）设点P运动的路程为，点Q运动的路程为，分两种情况讨论：当P、Q相遇前和P、Q相遇后，此时和的长，再根据直线把的周长分成相等的两部分列方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，由勾股定理得：， 动点从点出发，按的路径运动，且速度为， 出发后，， 如图①： 在中，，由勾股定理得：； （2）解：分情况讨论： 如图②，当点P在上时，，此时， 当时，为等腰三角形； 如图③，当点P在上时，，， 点P运动的路程为, ， 当时，为等腰三角形； 如图④，当时，过点C作于点D， 的面积为：， 即， 解得， 在中，由勾股定理得：， ， 点P运动的路程为, ， 当时，为等腰三角形； 如图⑤，时，， 、， ， ， ， 点P运动的路程为, ， 当时，为等腰三角形； 综上所述，当为或或或时，为等腰三角形； （3）解：设点P运动的路程为，点Q运动的路程为， 如图⑥，当P、Q相遇前， ， 直线把的周长分成相等的两部分， ， 解得； 如图⑦，当P、Q相遇后，当点P在上，点Q在上时，，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， 解得，此时点Q已到达终点C； 综上所述，当为或时，直线把的周长分成相等的两部分． 【点睛】注意数形结合、分类讨论的思想方法的运用． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $20252026北师大版八下数学科目第一章《三角形的证明及其应 用》单元自主检测(A卷)原卷版 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题（共30分） 1.(本题3分)在ABC中，∠A=30°，∠B=50°，则ABC的形状是() A.等腰三角形B.钝角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 2.(本题3分)如图，己知AC|DE,∠B=50°，∠C=22°，则∠E的度数是() A.50° B.52 C.72° D.80° 3.(本题3分)任意作一个三角形，下列事件中，是不可能事件的是() A.这个三角形有两个内角相等 B.这个三角形是直角三角形 C.这个三角形三个内角的和是180 D.这个三角形两条边的和小于第三条边 4.(本题3分)如图，已知AB=AD,∠BAE=∠DAC,要使△ABC≌△ADE,下列条件 添加不正确的是()· D A.AC=AE B.∠B=∠D C.ZE=ZC D.∠1=∠2 5.(本题3分)如图，在ABC中，DE是边AC的垂直平分线，连接CD,BF平分 ∠ABC交CD于点F,己知∠A=30°，∠ABC=100°，则∠BFC的度数为() B D E A.100° B.110° C.120° D.130° 试卷第1页，共3页 6.(本题3分)如图，AB上BC,AD⊥DC,下列根据“HL”定理，添加一个条件可以使 得RtA ABC≌RtAADC成立的是() B C D A.AB=AC B.AB=AD C.∠BAC=∠DAC D.AC=AC 7.(本题3分)如图，在长方形ABCD中，点E是BC的中点，且AE=AD,连接AC, 若BE=2,则AC的长是() D A.47 B.35 C.27 D.42 8.(本题3分)如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意 图，己知直线EF与BD相交于点P,AB∥CD,∠P=15°，∠CFP=100°，则∠ABP的大小 为() D 图1 图2 A.100° B.95 C.90° D.85 9.(本题3分)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D为BC中点，连接AD,过点 C作CE⊥AD于点E,交AB于点M.过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F,则下列结 论正确的有（）个. ①△ACD≌△CBF; ②∠BDM=LADC; ③连接AF,则有△ACF是等边三角形； 试卷第1页，共3页 ④连接DF,则有AB垂直平分DF. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D为BC中点，连接AD,过点C作 CE⊥AD于点E,交AB于点M.过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F,则下列结论正 确的有()个. ①△ACD≌△CBF: ②∠BDM=∠ADC: ③连接AF,则有△ACF是等边三角形： ④连接DF,则有AB垂直平分DF. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（共15分） 11.(本题3分)已知△ABC中，∠A=64°，∠B=87°，则∠C= 12.(本题3分)在ABC中，∠A=20°，∠B=110°，则∠C的度数为 13.(本题3分)如图，点D是BA延长线上一点，若∠B=43°，∠C=60°，则∠DAC= 0 D 14.(本题3分)如图，ABC中，AC=BC=5,AB=8,AD为ABC的角平分线，过点 D作AB的垂线，垂足为点E,则DE的长为 试卷第1页，共3页 B D 15.(本题3分)如图，在ABC中，∠ABC=60°，BC=2,AC=3,点D,E在AB, AC边上，且AD=CE,连接CD,则CD+BE的最小值是 E D 三、解答题（共75分） 16.(本题7分)已知：如图，在Rt△ABC和RtABAD中，∠ACB=LBDA=90°， AD=BC.求证：∠ABC=∠BAD. C 0 B 17.(本题7分)如图，己知ABC,点E是AB上一点. 试卷第1页，共3页 B E A C (I)尺规作图：在BC上找一点F,使得∠BEF=∠A,(不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，连接CE.若∠A=40°，LB=80°，且CE平分∠ACB,求∠FEC的 度数. 18.(本题7分)如图，在ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,CE平分∠DCB交 AB于点E. E (I)求证：△ACE为等腰三角形； (2)若∠AEC=2LB,AD=1,求BD的长. 试卷第1页，共3页 19.(本题7分)如图，在ABC中，∠C=LB,点D在边BC上（点D不与点B、点C 重合)，作∠ADE=∠B,DE交边AC于点E. B D (I)求证：∠BAD=∠CDE; (②)若DC=AB,求证：△ABD≌△DCE. 20.(本题10分)如图，0C是∠AOB的平分线，点P在0C上，PD⊥0A,PE⊥OB, 垂足分别为D,E.点F,G分别在OA,OB上，DF=EG,连接PF,PG.求证： ∠PF0=∠PG0. D G B 试卷第1页，共3页 21.(本题10分)已知：如图，在△ABC中，AB=AC,DE是过点A的直线，BD⊥DE 于点D,CE⊥DE于点E,且AD=CE. 图① 图② (I)若BC在DE的同侧（如图①）求证：BA⊥AC. (2)若BC在DE的两侧（如图②），问AB与AC仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理 由. 22.(本题13分)在ABC中，∠C=90°，∠A=42°.点D、E分别在ABC的边AC、 AB上，连接DE,将ABC沿DE折叠，AD交边AB于点F,且点A与点C在直线AB的 试卷第1页，共3页 异侧. B Ch 图① 图② 图③ (1)如图①，则∠B=_°. (2)如图②，则LBED+∠CDE=_°. (3)如图③，设图②中的∠CDF=∠1，∠AEF=∠2.求∠1-∠2的度数； (4)当△A'DE的某条边与AB或AC垂直时，直接写出∠ADE的度数， 23.(本题14分)如图，在ABC中，∠C=90°，AB=10cm,BC=6cm,若动点P从点 C出发，按C→A→B→C的路径运动，且速度为lcm/s,设出发的时间为s,连接PA、 PB. C 备用图 (1)出发2s后，求BP的长； (2)当t为何值时，△BCP为等腰三角形？ (③)另有一点Q,从点C出发，按C→B→A→C的路径运动，且速度为2cm/s,若P、Q 试卷第1页，共3页 两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动，连接P?.当t为何值时， 直线PQ把ABC的周长分成相等的两部分？ 试卷第1页，共3页