专题5 构造等腰三角形的常用方法&专题6 角平分线构造辅助线的方法（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

∠A=∠B=45°，.OC=OA=OB, ∠EOF=90°，CO⊥AB, ∴.∠COE+∠COF=∠COF+∠BOF=90°， .∠COE=∠BOF,.△COE≌△BOF(ASA), ∴.OE=OF 2证明：如图，过点A作AE⊥BC于点E 则∠AEB=90°，∠BAE+∠B=90°. CD⊥AB,.∠DCB+∠B=90°， .∠DCB=∠BAE. 1 AB=AC,.∠BAE= ∠BAC, .∠BAC=2∠DCB 3.(1)略(2)35° 4.AE的长是7或9 专题4与线段的垂直平分线 和角平分线有关的尺规作图 1解：如图，点P即为所求 另一种解题思路1：可作∠ABP=∠A,交AC于点P. 另一种解题思路2：可作BP平分∠ABC,交AC于点P 2.解：解法1：如图1，△ABC即为所求.（答案不唯一） 图1 图2 解法2：如图2，△ABC即为所求作的三角形.（答案不唯一） 3.解：如图，点P即为所求. 01 B 另一种解题思路：先作OD平分∠AOB,再作∠ACP= ∠AOB,交OD于点P 4.略 5.解：如图，点P即为所求。 .答 6.解：如图，△ABC即为所求 专题5构造等腰三角形的常用方法 1.证明：如图，作EG∥AB,交BC于点G, 则∠CGE=∠ABC,∠GEF=∠D, ∠DBF=∠EGF. AB=AC,∠ABC=∠C, .∠C=∠EGC,∴.CE=EG. CE=BD,∴.BD=GE, ∴.△DBF≌△EGF(ASA),∴.DF=EF 2.AD=CE.证明略 3.证明：如图，过点C作CD平分∠ACB,交AB于点D,过点 D作DE⊥BC于点E,则∠ACD=∠BCD,∠DEC=9O°. :∠ACB=2∠B, ∴.∠B=∠BCD=∠ACD, △DBC是等腰三角形. 又DE I BC,∴.BC=2EC. 又，BC=2AC,∴.AC=EC 在△ACD和△ECD中， :AC=EC,∠ACD=∠ECD,CD=CD, ∴.△ACD≌△ECD(SAS),∴∠A=∠DEC=90°. 4.证明：如图，在边AC上截取 AP=AB,连接DP ,'AD是△ABC的角平分线 ∴.∠BAD=∠PAD 又.AD=AD,∴.△ABD≌△APD(SAS), .∠B=∠APD,PD=BD. :∠B=2∠C,∠APD=∠PDC+∠C, .∠PDC=∠C, .PD=PC,∴.BD=PC,.AB十BD=AP+PC=AC. 5.证明：证法1（截长法）：如图1，在BC上取点E,使BE= BA,连接DE. BD平分∠ABC,∠ABD=∠EBD. 在△ABD和△EBD中， .'AB=EB,∠ABD=∠EBD,BD=BD, ∴.△ABD≌△EBD(SAS), ∴.∠BAC=∠BED=108°，.∠CED=72 .AB=AC,∠BAC=108°，∴.∠C=∠ABC=36° ∴∠CDE=72°，.∠CDE=∠CED=72°， ∴.CD=CE,∴BC=BE+EC=AB+CD. 图1 图2 证法2（补短法）：如图2，延长BA至点E,使BE=BC,连 接DE. AB=AC,∠BAC=108°，.∠C=36. 案21· :BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠EBD. 在△EBD和△CBD中， BE=BC,∠EBD=∠CBD,BD=BD, ∴.△EBD≌△CBD(SAS), .DE=DC,∠E=∠C=36° :∠BAC=108°，∴∠EAD=72°， ∴∠EDA=72=∠EAD,∴DE=AE, ..CD=DE=AE,..BC=BE=AB+AE=AB+CD 专题6角平分线构造辅助线的方法 【例】解：(I)证明：如图，过点C作CF⊥OM于点F,CE ON于点E M :C为∠MON的平分线OP上一点， CF⊥OM,CE⊥ON,.CF=CE 在Rt△AFC和Rt△BEC中， EB (CA=CB, CF=CE, ∴.Rt△AFC≌Rt△BEC(HL),∴.∠FAC=∠EBC. .∠FAC+∠OAC=180°，∴.∠OAC+∠EBC=180°. ,四边形AOBC的内角和为360°， ∴.∠AOB+∠ACB=360°-（∠OAC+∠EBC)=180°. (225°(3)35412 5 5 第二章不等式与不等式组 专题7一元一次不等式的应用 1.最多可购买这种型号的水基灭火器12个 2.(1)该班的学生人数为45 (2)至少购买了甲种树苗80棵 3.(1)每卷彩绳的价格是7元，每盒陶泥块的价格是4元 (2)共有3种购买方案： 方案1：购买26卷定制款彩绳，34盒陶泥块； 方案2：购买27卷定制款彩绳，33盒陶泥块； 方案3：购买28卷定制款彩绳，32盒陶泥块 方案1即购买26卷定制款彩绳，34盒陶泥块更省钱 (0(0≤x<0.5), 4.(1)y= x-0.5(x≥0.5) (2)当0<x<2时，李老师选择手机支付比较合算；当x=2 时，两种支付方式的一样合算；当x>2时，李老师选择会 员卡支付比较合算 5.(1)每个A种纪念娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的 进价是8元 (2)当购进50个A种纪念娃娃，150个B种纪念娃娃时， 商家获利最大，最大利润是550元 专题8一元一次不等式（组）的解法 1.解：x≥-1x<4 -5-4-3-2-1012345 -1≤x<4 2.-1,0,1 3.解：解不等式①，得x≤1. 解不等式②，得x>一1. 所以原不等式组的解集为一1<x≤1. ·答乳 将其解集在数轴上表示出来如图所示， 43210234 -1≤x<9(2)-2≤≤ 5.(1)不等式的基本性质2(2)五不等式两边除以同一 个负数，不等号的方向没有改变(3)解集为x≤1.非负数 整数解为0,1 专题9求一元一次不等式（组） 中参数的取值范围 1.B2.m≥-13.C4.a≥1 5.B【变式1】14≤m<17【变式2】-3<k≤-2 6-1<m<47c8m≥-号 第三章图形的平移与旋转 专题10利用旋转构造特殊三角形 1.C2.B3.D4.①②④5.A【变式】7.5 6.c7.438.①③④ 专题11旋转中的半角模型及 对角互补模型 1.解：(1)EF=BE十DF.理由如下： 由旋转的性质可得，GB=DF,AF=AG,∠BAG=∠DAF 四边形ABCD为正方形，.∠BAD=90 ,'∠EAF=45°，.∠BAE+∠DAF=45°， ∴.∠BAE+∠BAG=45°，∴.∠GAE=∠EAF. (AG=AF, 在△AGE和△AFE中，∠GAE=∠FAE, AE-AE, ∴.△AGE≌△AFE(SAS),.GE=EF .'GE=BE+GB=BE+DF,.EF=BE+DF. (2)EF2=BE2十DF2,理由略 (3)40 2.解：(1)解法1：如图，将△PDO绕点P逆时针旋转90°得 到△PCM,则△PDO≌△PCM. ∠AOB=∠CPD=90°， .∠PDO+∠PC0=180° M ,∠PDO=∠PCM, .∠PCM+∠PCO=180°， 点O,C,M在同一条直线上 PO=PM=4,∠DPO=∠CPM,， .∠OPM=∠OPC+∠CPM=∠OPC+∠DPO=90°， .在Rt△OPM中，OM=√4+4=4√2， ..OD+OC=CM+OC=OM=42. 解法2：如图，将∠CPD顺时针旋转至∠C'PD'的位置，使 PC'⊥OB,则∠C'PD'=∠CPD=90°，∠PC'O=90°， ∠DPD'=∠CPC'. ∠AOB=∠C'PD'=90°， .∠PD'O+∠PC'O=180°， .∠PD'O=∠PC'O=90°. .PD=PC, 22.专题⑤构造等腰三角形的常用方法 方法1利用平行线构造等腰三角形 方法3利用倍角关系构造等腰三角形 1.如图，在△ABC中，AB=AC,在AC上取一 4.如图，已知AD是△ABC的角平分线， 点E,在AB的延长线上取一点D,使BD= ∠B=2∠C.求证：AB+BD=AC. EC,连接DE交BC于点F.求证：DF=EF. 2.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上， 点E在BC的延长线上，且BD=DE.试判 断AD与CE的数量关系，并证明你的结论. 方法4截长补短构造等腰三角形 5.【一题多解】如图，在△ABC中，∠BAC= 108°，AB=AC,BD平分∠ABC,交AC于 点D.求证：BC=AB十CD.(分别用截长法 和补短法证明) 方法2利用角平分线构造等腰三角形 3.如图，在△ABC中，∠C=2∠B,BC=2AC. 求证：∠A=90°. 第一章三角形的证明及其应用7 专题⑥角平分线构造辅助线的方法 ·方法指导 基本图形 构造方式1 构造方式2 构造方式3 已知：G为∠ABC的 方法：过点G向角的 方法：过，点G作EF⊥ 方法：在BA,BC上截取BE=BF 平分线上一点 两边作垂线 BD E一A 结论：△BEG≌△BFG 结论：△BEG≌ 结论：△BEG≌ △BFG △BFG 例【一题多问】角是一种常见的轴对称图形，当 (2)如图5，连接AB,若∠OBC=115°， 几何图形中出现角平分线时，我们常通过轴 ∠ABO=50°，则∠ACO的度数为 对称变换来解决问题.例如，若Q为∠EGF M 的平分线GR上一点，则通常有以下三种方 法构造轴对称图形 方法一：如图1，过点Q分别作QH⊥GE于 点H,QK⊥GF于点K,可得△GQH≌ B N △GQK. 图5 E E (3)如图6，当点C在线段AB上时，在射线 R H OA上取点D,连接CD,使OC=CD.若AOL Q K 个 AB,OB=3,AD=2,则BC的长为 图1 图2 图3 方法二：如图2，过点Q作QH⊥GR,交GE 于点H,延长HQ交GF于点K,可得 △GQH≌△GQK. 方法三：如图3，H为边GE上一点，则在另 N 图6 一边GF上截取GK=GH,可得△GQH≌ △GQK. (4)[拓展提升]如图7，当点C在线段AB上 请根据上述方法解决下列问题： 时，在线段OA上取一动点F,在线段OC上 已知C为∠MON的平分线OP上一点，点 取一动点E.若OA=3,AB=4,OB=5,则 A,B分别在边OM,ON上，连接AC,BC. EA十EF的最小值为 (1)如图4，若AC=BC,求证：∠AOB+ M ∠ACB=180°. 图7 图4 8 数学8车级下册BS版