精品解析：重庆市南开中学校2025-2026学年九年级下学期3月阶段自测数学试卷

数学（七） （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】解：由可得，则选项中最小的数是． 2. 下列人工智能大模型图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，根据定义求解即可． 【详解】解：A 、B、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形． C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 3. 下列调查中最适合采用全面调查的是（ ） A. 调查某地水稻的生长情况 B. 调查某品牌无人机的抗风能力 C. 调查某市垃圾分类的情况 D. 调查全班立定跳远的成绩 【答案】D 【解析】 【分析】由全面调查适合范围小、易操作、无破坏性的调查；抽样调查适合范围大或具有破坏性的调查判断． 【详解】解：A、调查某地水稻的生长情况，调查范围比较大，适合抽样调查； B、调查某品牌无人机的抗风能力，调查具有破坏性，适合抽样调查； C、调查某市垃圾分类的情况，调查范围比较大，适合抽样调查； D、调查全班立定跳远的成绩，调查范围小、易操作、无破坏性，适合全面调查． 4. 如图，点在上，，的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图：在圆上取一点D，连接，由圆周角定理可得，再根据圆的内接四边形对角互补即可解答． 【详解】解：如图：在圆上取一点D，连接， ∵点在上，， ∴， ∴． 5. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ 反比例函数解析式为， ∴ 函数图象上的点满足， ， 反比例函数的图象一定经过的点是． 6. 小南用若干个小马按如图所示的规律摆出图形，其中第①个图形有5匹小马，第②个图形有12匹小马，第③个图形有22匹小马，．．．，按照这一规律，则第⑥个图形中小马的数量为（ ） A. 91 B. 70 C. 65 D. 51 【答案】B 【解析】 【分析】找出图形中小马个数的变化规律，得到规律第n个图形有小马匹，据此即可求解． 【详解】解：第①个图形有5匹小马，， 第②个图形有12匹小马，， 第③个图形有22匹小马，， ……， 第n个图形有匹小马． 按照这一规律，则第⑥个图形中小马的数量为． 故选：B． 7. 下列四个数中，最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】比较科学记数法表示的数的大小，先比较的指数，指数越大，原数越大；指数相同时，比较乘号前的系数，系数越大，原数越大，按此规则比较即可得到结果． 【详解】解：∵四个选项中，A选项和B选项中，的指数都为；C选项和D选项中，的指数都为，， ∴A选项和B选项的数都小于C选项和D选项的数； ∵C选项为，D选项为，且， ∴． 综上，四个数中最大的是D选项的数． 8. 渝你相约，欢喜过年！重庆某特色民宿有三人间和两人间两种客房，三人间每人每天35元，两人间每人每天45元．一个50人的旅游团入住，租住的客房全部住满，一天共付住宿费2010元．设三人间租了间，两人间租了间，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据总入住人数为50人，总住宿费为2010元，结合所设未知数推导方程组即可． 【详解】解：设三人间租了间，两人间租了间， ∵每间三人间住3人，每间两人间住2人，总人数为50人且客房全部住满， ∴可得第一个方程：， ∵三人间每人每天35元，两人间每人每天45元， ∴1间三人间一天的费用为元， 1间两人间一天的费用为元， 又∵一天总住宿费为2010元， ∴可得第二个方程：， 因此方程组为． 9. 如图，正方形中，点是对角线上一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得到，落在正方形内部，交于点，延长交于点，连接，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题可通过正方形性质、翻折变换的性质，结合角度推导与三角形相似来求解．先利用正方形对角线性质证明 及相关角相等，再通过角度计算得到角的等量关系，最后证明三角形相似，结合边长比例求出 的值． 【详解】解：连接、， ∵ 四边形 是正方形， ∴ ，， 垂直平分 ，， ∴ ，， ∴， ∵, ∴, ∴． ∵ 沿 翻折得到 ， ∴ ，，． 设 , 则 ， ∴， ∴, ∴, 又 ， ∴， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵， ∴ ， ∴ ． 10. 已知整式，其中为正整数，均为绝对值小于2的整数，规定中各项次数和为，且．下列说法： ①当时，满足条件的整式共有4种； ②当时，满足条件的所有整式中，能被5整除的有5个； ③若方程有解，则所有满足条件的整式共有18个． 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】对说法①，代表各项次数和为，满足条件的整式包括仅含一次项的单项式和含一次项与常数项的多项式，共种；对说法②，当时，将代入整式得，需其为的倍数：分和两类求解不定方程，各对应种符合条件的整式，总计种；对说法③，按、、分类统计方程有解的整式：时所有一次整式方程必有解，共种；时二次单项式及含常数项的二次整式方程有解，共种；时列举所有次数和为的整式并验证有解情况，共种，总计种． 【详解】解：∵均为绝对值小于2的整数， ∴可取，0或1，可取或 对于①，已知，是一次整式： 当是单项式时，仅含一次项，整式为，，共2种； 当是多项式时，含一次项和常数项，整式为，，，，共4种； 因此满足条件的整式共种，故说法①错误． 对于②，当时，， ∴，需能被5整除： 当时，， 要为5的倍数，只有， 此时或，对应整式为，，共2种； 当时，， 要为5的倍数，只有， 此时或，对应整式为，，共2种； 因此满足条件的整式共个，故说法②错误． 对于③，当时，整式有6种：，，， 对应的方程均有解，共6个； 当时，使方程有解的整式为，，，共4个； 当时，使方程有解的整式为，，，，，，，共个； 总共有个，故说法③错误． 综上，三个说法均错误，正确个数为0． 故选：A． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 巴渝春早，马跃青山！现有五张质地、大小完全相同的卡片，分别写有“歇马镇”、“石马河”、“马蹄街”、“马王场”、“走马镇”五个地名．从中随机抽取一张，则抽到的卡片上含有“镇”字的概率为___________ 【答案】 【解析】 【分析】先确定所有等可能结果总数，再确定符合条件的结果数，代入概率公式，求解即可． 【详解】解：由题意得，随机抽取一张卡片，所有等可能的结果共有种，其中抽到卡片上含有“镇”字的结果有种， ． 12. 若正多边形的每一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______． 【答案】9 【解析】 【分析】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数． 【详解】∵正多边形的一个内角是140°， ∴它的一个外角是：180°-140°=40°， ∵多边形的外角和为360°， ∴这个正多边形的边数是：360°÷40°=9． 故答案为：9． 13. 若为正整数，且满足，则___________． 【答案】5 【解析】 【分析】先估算出的取值范围，再利用不等式性质推导得到的取值范围，即可求出的值. 【详解】解：，， ， 根据不等式的性质，不等式两边同乘，得， 不等式两边同时加，得， ，且为正整数， ． 14. 若实数，同时满足，，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知得，，即可得出、的取值范围，将化简得，进一步可得关于的方程，进而可解得，，最后代入表达式计算即可． 【详解】解：实数，同时满足，， ，， 解得，，， ，即， 故将代入得，， 即． 当时，，故舍去； 当时，，解得，， 将代入得，， ． 15. 如图，是的切线，为切点，点在上，过点B作交于点，作交于点，点为上一点，连接交于点，若，，则线段的长度为___________，的周长为___________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了圆与相似三角形、解三角形的综合，解题关键是利用平行和圆中角的关系转化线段比例，利用相似三角形的性质解题． 根据切线性质可得，再由，可得，，由此即可，由已知可得四边形是平行四边形，证明，根据相似三角形的对应边成比例即可求出，进而得出，再解，求出，利用，利用等腰三角形三线合一的性质求出，最后利用，列比例方程即可求出的边长． 【详解】解：∵是的切线， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∴，． ∴， 连接，， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ， ∴，， ∴，即， ∴， ∴ ∵， ∴， 又∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 过点作，， ∵在中，， ∴ ， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ， ∴的周长=． 16. 若一个四位自然数的各个数位数字互不相等且均不为零，满足百位数字大于个位数字，且百位数字与个位数字的差为偶数，则称这个四位数为“偶运数”．按照这个规定，最小的“偶运数”是___________，对于“偶运数”，记，若为完全平方数，能被9整除，则所有满足条件的的和为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，准确理解题意以及得出各数位之间的关系是解题的关键． ①要使“偶运数”最小，先确定的值，再根据、之间关系，确定、的值，最后得出的值，即可得出答案； ②由，结合为偶数，且、不相等，故最大为，最小为，故的值可能为、、，再根据能被9整除，即是的倍数，可得出、的关系，再通过列举法进行分析，即可得出可能地值，最后求和即可． 【详解】解：①要使“偶运数”最小， 则确定， 由于，且为偶数，且要使尽可能小， 则，， ， 故最小的“偶运数”是； ②∵， ∴，， ∵为完全平方数， 故， ∵为偶数，且、不相等，故最大为，最小为， ∴的值可能为、、， 若，则，， ∴，， ∵， 故， ∴， ∵能被9整除，即是的倍数， 故， ∴应为的倍数， 则， 若，则，，， 并非为9的倍数，故排除； 若，则，，， 此时，不满足题意要求； 若，则，，， 是9的倍数； 此时为； 若，则，， ∴，， ∵， 故， ∴， ∵能被9整除，即是的倍数， 故， ∴应为的倍数， 则， 若，则，，， 并非为9的倍数，故排除； 若，则，，， 并非为9的倍数，故排除； 若，则，，（舍）， 此时不满足题意要求； 若，则，， ∴，， ∵， 故，， ∴， ∵能被9整除，即是的倍数，且， 故， ∴应为的倍数， 则或， 若，则，（舍去）或，（舍）， 此时不满足题意要求； 若，则，或（舍去），， 是9的倍数； 此时为； 综上，的可能取值为、， 求和结果为， 故答案为：；． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】，0，1 【解析】 【分析】先分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，最后找出解集范围内的所有整数即可． 【详解】解：， 解①，得， 解②，得， ∴， ∴， 所有整数解为，0，1． 18. 在学习了三角形和四边形的相关知识后，小南继续进行深入研究：如图，在矩形中，是对角线，请根据他的思路完成以下作图和推理填空： （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点，分别交边，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求证：． 证明：四边形是矩形， ，_____①_____， ． 垂直平分， ，____②_____， ， ， ___③___， ， ． 在中，， ____④__， ． 【答案】（1）见解析 （2），，， 【解析】 【分析】（1）根据尺规作线段垂直平分线的作图步骤画图即可； （2）根据题干证明思路，结合直角三角形的性质等相关知识解答即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 证明：四边形是矩形， ，， ． 垂直平分， ，， ， ， ， ， ． 在中，， ， ． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 中考体考临近，为掌握本校九年级学生的体育训练情况，小开从甲、乙两班各随机抽取20名学生，对其本月体测成绩进行了整理、描述和分析（成绩用表示，满分50，共分为四组：，，下面给出了部分信息： 甲班20名学生的体测成绩在分数段的数据为：47，48，48，49，49，49，49，49． 乙班20名学生的体测成绩为：40，44，45，45，46，47，47，48，48，48，49，49，49，49，49，49，50，50，50，50． 甲、乙两班抽取的学生体测成绩统计表 甲班 乙班 平均数 47.6 47.6 众数 50 中位数 48.5 方差 18.24 6.14 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述表中，___________，___________，请补全条形统计图； （2）根据上述数据，你认为甲、乙两班中哪个班级的学生体测成绩更好？请说明理由（写出一条即可）； （3）该校九年级共有1200名学生参加本月体测，根据以上信息，试估计此次体测成绩获得满分的学生人数是多少？ 【答案】（1）49，49，见解析 （2）甲班成绩较好，理由见解析 （3）390人 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合条形统计图可得甲班学生成绩处在中间位置的两个数是分数段的最后两个数：49，49，即可计算中位数；观察乙班数据，找出出现次数最多的数据即为众数；根据甲班得50分的学生人数，补全统计图即可得； （2）根据表格得出甲班的平均数与乙班一样、但中位数，众数均大于乙班，即可得出哪个班成绩较好； （3）两个班级中，甲班满分的有：（人），乙班满分4人，满分所占抽查学生成绩的比例为，总人数乘以满分人数即可估计出结果． 【小问1详解】 解：由题意及条形统计图可得：甲班得50分的学生人数为： 人， 甲班学生成绩处在中间位置的两个数是分数段的最后两个数：49，49， 故中位数：， ∵乙班20名学生的体测成绩49出现了6次，出现次数最多， ∴． 故答案为：49，49； 补全条形统计图如图所示： 【小问2详解】 解：甲班成绩较好，理由： 甲班的平均数与乙班一样、但中位数，众数均大于乙班； 【小问3详解】 解：两个班级中，甲班满分的有：（人），乙班满分4人． ∴估计这次体测成绩为满分的学生人数是：（人）． 答：估计这次体测成绩为满分的学生人数是390人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先把小括号内的分式通分化简，再根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的运算法则去小括号，接着把除法变成乘法后约分化简，进一步通分化简，最后求出x的值，并代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 21. 列方程解下列问题： 骐骥驰骋，智造未来！某工厂使用两种型号的机器人检测零件．已知A型每小时比B型多检测50个零件，且A型3小时检测的零件数比B型4小时检测的零件数少250个． （1）求A，B两种型号的机器人每小时各检测多少个零件？ （2）对机器人进行升级后，A型每小时检测的零件数是B型的倍．若升级后的A，B型机器人各检测8100个零件，且B型比A型多用3小时，求B型机器人较升级前每小时多检测多少个零件？ 【答案】（1）A型机器人每小时检测450个零件，B型机器人每小时检测400个零件． （2）B型机器人较升级前每小时多检测50个零件． 【解析】 【分析】（1）设B型机器人每小时检测x个零件，则A型每小时检测个零件，再根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设升级后B型机器人每小时检测y个零件，则升级后A型每小时检测个零件，再根据题意列分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设B型机器人每小时检测x个零件，则A型每小时检测个零件， 根据题意列方程：，解得：， 则A型每小时检测个． 答：A型每小时检测450个零件，B型每小时检测400个零件． 【小问2详解】 解：设升级后B型机器人每小时检测y个零件，则升级后A型每小时检测个零件， 根据题意列方程： ， 整理解得：， 经检验是原方程的解，符合题意． 升级前B型每小时检测400个，因此增量为：个． 答：B型机器人较升级前每小时多检测50个零件． 【点睛】找到等量关系、正确列出方程是解题的关键． 22. 如图，在菱形中，点为对角线上一点（点不与，重合），连接．过点作的垂线，分别交菱形的边于点．若，用表示线段的长度，点与点的距离为，菱形的面积为的面积为． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）当时，，当时，， （2）作图见解析，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小 （3）或 【解析】 【分析】连接，证明，根据已知条件得出，，即可得解； 根据函数作图法画出函数图象即可； 先求出，再判断时的取值范围即可 【小问1详解】 解：连接，交于点， 四边形是菱形， ， ， ， 在中，， ， ， 菱形的面积， 当时， ， ， ， ， ， ， 当时，， 当时， ， ， ， ，， ， ， ， 当时，， 的面积， ； 【小问2详解】 由（1）可得当时，，当时，，， 函数图象如图所示： 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而减小； 【小问3详解】 当时， 当时，，解得：或（舍去）； 当时，，解得或（舍去）， 当时，或． 23. 如图，某海警巡逻舰在处发现正东方向60海里的处有一艘可疑渔船，渔船正以海里/小时的速度沿方向逃窜．已知位于小岛的南偏东方向，小岛位于的西北方向50海里处，且位于的正北方向．（参考数据：） （1）求两点之间的距离（结果保留根号）； （2）发现渔船时，巡逻舰立即从处沿某一方向以海里/小时的速度直线拦截，求渔船被拦截时，该船距离小岛还有多少海里（结果保留小数点后一位）？ 【答案】（1）海里 （2）海里 【解析】 【分析】（1）过C作，根据求出，再求出，再根据含30度的直角三角形的性质求出即可得解； （2）设在G处渔船被拦截，如图，连接，过G作，根据时间相同，路程比等于速度比可求，设，分别求出，，，根据列方程，求出x，即可求出，进而求出． 【小问1详解】 解：过C作， 由题意知，海里，海里，， 在中，海里， 海里， ， ， 海里， 两点之间的距离海里； 【小问2详解】 解：设在G处渔船被拦截，如图，连接，过G作， 渔船正以海里/小时的速度沿方向逃窜，巡逻舰从处沿某一方向以海里/小时的速度直线拦截， ， 设海里，海里， ， ， ， ， 海里， 海里，海里， ， ， 解得（负值舍去）， 海里， 海里， 答：该船距离小岛还有海里． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点是线段上方抛物线上的一动点，连接，点分别是轴上，直线上一动点，连接．当取得最大值时，求周长的最小值； （3）在（2）问周长取得最小值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求解函数解析式即可； （2）过点作轴的平行线交于点，直线于点，可求直线，直线设，则，，由于，，则，那么当时，取得最大值，此时，同理可求直线，过点分别作轴和直线的对称点为点，则，连接，与直线交于点，求出，则，由对称可得，，则，故当点共线时，的周长取得最小值即为； （3）先求出抛物线连接交于点，过点作轴于点，然后证明出，则，求出直线，则联立直线和抛物线表达式得，解得或（舍），故；作点关于的对称点，射线交于点，则，此时射线与抛物线的交点也是符合题意的点，可得，设，则，解得，那么，可求直线，与抛物线联立可得，解得或（舍），故． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴ 解得 ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：过点作轴的平行线交于点，直线于点， 对于，当时，， ∴， 设直线， 则， 解得 ∴直线， 同理可求：直线 设，则， ∴, ∴， ∴ ∵， ∴当时，取得最大值，此时， 同理可求直线， 过点分别作轴和直线的对称点为点， 则， 连接，与直线交于点， 设，由对称可得 ∴，即， 由对称可得， ∴， 解得或（舍）， ∴， ∴ 由对称可得，， ∴ ∴当点共线时，的周长取得最小值即为． 【小问3详解】 解：∵， ∴ ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， ∴抛物线向右平移2个单位，向上平移3个单位即可得到抛物线， 而 ∴抛物线 连接交于点，过点作轴于点， 由对称可得，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴同上可求直线， 当时， 解得， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵直线， ∴设直线， 代入点得，， 解得 ∴直线 ∴联立直线和抛物线表达式得， 解得或（舍）， ∴ 作点关于的对称点，射线交于点， 则 ∵， ∴， ∴此时射线与抛物线的交点也是符合题意的点 ∵， ∴， ∴， 设 ∴ 解得 ∴， 同理可求直线， 与抛物线联立可得， 解得或（舍） ∴ 综上：符合条件的点的坐标为或． 25. 在中，，．将射线绕点C逆时针旋转交的延长线于点F． （1）如图1，若，求的值； （2）如图2，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接并延长交于点E．求证：； （3）如图3，在（1）的条件下，将线段绕点B旋转得，连接并延长至点L，连接，使得．当取得最小值时，在直线上取一点M，连接，将沿所在直线翻折到所在平面内，得，连接，，当取得最大值时，求的面积． 【答案】（1） （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）过点B作于点D，根据已知条件得出的值，，，进而得到的值，再证得是等腰直角三角形，求得的值以及的值，最后利用正切的定义即可求得结果； （2）将绕点B顺时针旋转至，连接、，先证得是等腰直角三角形，得到，利用直角三角形两锐角互余和角度和差得出，证得，再证得得到，设，通过角度关系证得，继而得出，证明，利用全等三角形的性质及线段和差关系即可得出结果； （3）先证明，利用相似三角形对应边成比例关系得出线段的定积，由可得定角，通过线段定积定角，利用反演模型中的圆生线得到点L的轨迹是直线，根据题意进一步确定出点K的运动轨迹是以B为圆心，为半径的圆，通过构造辅助线证明，得出点L的轨迹是直线，由垂线段最短可得出的最小值，通过翻折的性质可得到点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，从而得到的最大值，利用正切的定义和勾股定理求出的值，再利用相似三角形的判定与性质证得，最终利用三角形面积公式求得结果． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于点D， ∴， 由题意得，，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴，， 在中，， 即． 【小问2详解】 证明：如图，将绕点B顺时针旋转至，连接、， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴由定积定角可知，点L的轨迹是直线， ∵， ∴点K的运动轨迹是以B为圆心，为半径的圆， 如图，设交于，则，，在上取， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴点L的轨迹是直线， 作，则，连接交于点，当点K在点处时，最小，此时点L在点处， ∵点M是直线上一点，沿所在直线翻折得， ∴， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆上， 连接并延长交于点，当点在点处时，最大， 即， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， 解得， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 即当取得最大值时，的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（七） （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 下列人工智能大模型图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中最适合采用全面调查的是（ ） A. 调查某地水稻的生长情况 B. 调查某品牌无人机的抗风能力 C. 调查某市垃圾分类的情况 D. 调查全班立定跳远的成绩 4. 如图，点在上，，的度数是（ ）． A. B. C. D. 5. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 6. 小南用若干个小马按如图所示的规律摆出图形，其中第①个图形有5匹小马，第②个图形有12匹小马，第③个图形有22匹小马，．．．，按照这一规律，则第⑥个图形中小马的数量为（ ） A. 91 B. 70 C. 65 D. 51 7. 下列四个数中，最大的是（ ） A. B. C. D. 8. 渝你相约，欢喜过年！重庆某特色民宿有三人间和两人间两种客房，三人间每人每天35元，两人间每人每天45元．一个50人的旅游团入住，租住的客房全部住满，一天共付住宿费2010元．设三人间租了间，两人间租了间，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形中，点是对角线上一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得到，落在正方形内部，交于点，延长交于点，连接，若，则为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中为正整数，均为绝对值小于2的整数，规定中各项次数和为，且．下列说法： ①当时，满足条件的整式共有4种； ②当时，满足条件的所有整式中，能被5整除的有5个； ③若方程有解，则所有满足条件的整式共有18个． 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 巴渝春早，马跃青山！现有五张质地、大小完全相同的卡片，分别写有“歇马镇”、“石马河”、“马蹄街”、“马王场”、“走马镇”五个地名．从中随机抽取一张，则抽到的卡片上含有“镇”字的概率为___________ 12. 若正多边形的每一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______． 13. 若为正整数，且满足，则___________． 14. 若实数，同时满足，，则的值为___________． 15. 如图，是的切线，为切点，点在上，过点B作交于点，作交于点，点为上一点，连接交于点，若，，则线段的长度为___________，的周长为___________ 16. 若一个四位自然数的各个数位数字互不相等且均不为零，满足百位数字大于个位数字，且百位数字与个位数字的差为偶数，则称这个四位数为“偶运数”．按照这个规定，最小的“偶运数”是___________，对于“偶运数”，记，若为完全平方数，能被9整除，则所有满足条件的的和为___________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 18. 在学习了三角形和四边形的相关知识后，小南继续进行深入研究：如图，在矩形中，是对角线，请根据他的思路完成以下作图和推理填空： （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点，分别交边，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求证：． 证明：四边形是矩形， ，_____①_____， ． 垂直平分， ，____②_____， ， ， ___③___， ， ． 在中，， ____④__， ． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 中考体考临近，为掌握本校九年级学生的体育训练情况，小开从甲、乙两班各随机抽取20名学生，对其本月体测成绩进行了整理、描述和分析（成绩用表示，满分50，共分为四组：，，下面给出了部分信息： 甲班20名学生的体测成绩在分数段的数据为：47，48，48，49，49，49，49，49． 乙班20名学生的体测成绩为：40，44，45，45，46，47，47，48，48，48，49，49，49，49，49，49，50，50，50，50． 甲、乙两班抽取的学生体测成绩统计表 甲班 乙班 平均数 47.6 47.6 众数 50 中位数 48.5 方差 18.24 6.14 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述表中，___________，___________，请补全条形统计图； （2）根据上述数据，你认为甲、乙两班中哪个班级的学生体测成绩更好？请说明理由（写出一条即可）； （3）该校九年级共有1200名学生参加本月体测，根据以上信息，试估计此次体测成绩获得满分的学生人数是多少？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程解下列问题： 骐骥驰骋，智造未来！某工厂使用两种型号的机器人检测零件．已知A型每小时比B型多检测50个零件，且A型3小时检测的零件数比B型4小时检测的零件数少250个． （1）求A，B两种型号的机器人每小时各检测多少个零件？ （2）对机器人进行升级后，A型每小时检测的零件数是B型的倍．若升级后的A，B型机器人各检测8100个零件，且B型比A型多用3小时，求B型机器人较升级前每小时多检测多少个零件？ 22. 如图，在菱形中，点为对角线上一点（点不与，重合），连接．过点作的垂线，分别交菱形的边于点．若，用表示线段的长度，点与点的距离为，菱形的面积为的面积为． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 如图，某海警巡逻舰在处发现正东方向60海里的处有一艘可疑渔船，渔船正以海里/小时的速度沿方向逃窜．已知位于小岛的南偏东方向，小岛位于的西北方向50海里处，且位于的正北方向．（参考数据：） （1）求两点之间的距离（结果保留根号）； （2）发现渔船时，巡逻舰立即从处沿某一方向以海里/小时的速度直线拦截，求渔船被拦截时，该船距离小岛还有多少海里（结果保留小数点后一位）？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点是线段上方抛物线上的一动点，连接，点分别是轴上，直线上一动点，连接．当取得最大值时，求周长的最小值； （3）在（2）问周长取得最小值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 在中，，．将射线绕点C逆时针旋转交的延长线于点F． （1）如图1，若，求的值； （2）如图2，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接并延长交于点E．求证：； （3）如图3，在（1）的条件下，将线段绕点B旋转得，连接并延长至点L，连接，使得．当取得最小值时，在直线上取一点M，连接，将沿所在直线翻折到所在平面内，得，连接，，当取得最大值时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $