2026年 九年级数学中考一轮复习 图形的相似 综合达标测试题

2026年春九年级数学中考一轮复习《图形的相似》综合达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．已知（a，b，c，d均不为0），则下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，那么下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，与是位似图形，且位似中心为，，若线段，则线段为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．如图，在中，点为上一点，连接、交于点，若，则为（   ） A．31 B．21 C．25 D．14 5．如图，在一处舞台灯光设计中，等边的三个顶点被用作灯光投射定位点．灯光射线与交于点，且，，若米，则的长度是（   ） A．2米 B．4米 C．5米 D．3米 6．《九章算术》是我国古代数学的重要专著，其记载：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？其意为：今有，其勾（）长为5步，股（）长为12步，若中能容纳的正方形的边长为，如图，则满足的关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，黄金矩形中，，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形．依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形，依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长是（    ）． A． B． C． D． 8．小孔成像的原理是基于光在同种均匀介质中沿直线传播的特性．当光线通过一个小孔时，物体上部的光线会穿过小孔投射到屏幕下部，而下部的光线则投射到屏幕上部，同时左侧光线投向右侧，右侧光线投向左侧，导致像的上下和左右颠倒，形成一个倒立的实像．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．若，则的值为______． 10．在平面直角坐标系中，与是位似图形，以原点O为位似中心，若，点B的坐标为，则点B的对应点D的坐标为__________． 11．如图所示，，两条直线与这三条平行线分别交于点，，和，，，已知，，则的值为_____． 12．如图，小明家的客厅有一张高0.75米的圆桌，直径为1米，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为D、E，依据题意建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为，则点E的坐标是 ____________． 13．如图，小明在时测得某树的影长为6米，时又测得该树的影长为2米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为___________米． 14．如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个矩形的最大面积是______． 15．如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．若蜡烛的像为，测量得到，蜡烛的高为，则像的长为_____． 16．如图已知平面直角坐标系中，的直角顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象交于点，交于点，连接，若，的面积是8，则的值为_____． 三、解答题（满分72分） 17．如图，在中，是边上的两点，连接，且满足，平分． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 18．如图，E是菱形的边上的一点，点F在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．中，以为直径的交于点E，平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．将点的横坐标、纵坐标都乘，得到点． (1)请写出点的坐标，并在所给的坐标系中画出； (2)与位似吗？如果位似，直接写出位似中心的坐标和相似比；否则，说明理由． 21．如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点，为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接与反比例函数 图象相交于点，且． (1)求，的值； (2)求点的坐标； (3)若时，求四边形的面积． 22．如图，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点． (1)求证：； (2)求证：； (3)过A作于P点，连接，求的值． 23．已知中，为射线边上一点，动点在射线上运动，将直线绕点逆时针旋转(旋转角为)交射线于点，． 【初步感知】 （1）如图1，为等腰直角三角形，且为线段中点，猜想与的数量关系并说明理由； 【迁移探究】 （2）如图2，若，，点在线段上，点在线段上，且，猜想与的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，锐角中，，，，若，，求的长．(用含的代数式表示) 24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求此二次函数的解析式； (2)动点D从点C出发，以每秒个单位的速度在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交二次函数图像于点E，交x轴于点F，连接和，若与的面积相等，求t的值． (3)点D在直线上运动，过点D作x轴的垂线，交二次函数图像于点E，交x轴于点F，是否存在点D，使得以B、E、F为顶点的三角形与相似？ 若存在，求出D的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．D 【分析】本题考查比例的基本性质与合比性质，通过交叉相乘或比例性质验证选项是否与已知条件等价即可判断 【详解】解：A、交叉相乘得，与已知一致，故A成立； B、交叉相乘得，与已知一致，故B成立； C、交叉相乘得，展开得，两边减得，与已知一致，故C成立； D、交叉相乘得，展开得，∵，∴化简得，故D不成立． 故选：D． 2．A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， 故选项B，C，D错误， 故选：A． 3．B 【分析】本题考查位似图形的性质，位似图形是特殊的相似图形，对应边的比值等于位似中心到对应顶点的距离之比．先根据位似图形的性质确定两个三角形相似及相似比，再利用相似三角形对应边成比例的关系计算的长度． 【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为，且， ∴，相似比为， ∴， 又∵， ∴，解得； 故选：B． 4．A 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出，再根据即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出，设，则，，据此计算即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∵ ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴． ∴为 故选：A． 5．B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，是解题的关键．根据为等边三角形，得出，设米，则米，根据，得出，求出，列出方程，求出x的值，即可得出答案． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴设米，则米， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵米， ∴， 解得：， ∴米， 故选：B． 6．A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质等知识点，证明是解题的关键． 先证明，再根据正方形的性质以及相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7．B 【分析】本题主要考查了黄金矩形的定义，及弧长公式．先根据黄金矩形中，且，求出，进而求出，，再根据弧长公式即可求出“黄金螺线”的长．根据黄金矩形的定义求出的长，以及熟练掌握弧长的公式是解题的关键． 【详解】解: ∵黄金矩形中，且， ∴， ∵四边形是正方形， ， ， ∵四边形是正方形，， ， ，四边形是黄金矩形 ， ∵四边形是正方形， ， ∴“黄金螺线”的长为， ． 故选：B． 8．C 【分析】本题主要考查了相似三角形性质的应用，过作于点，延长交于点，由题意得，，，证明，则，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点，延长交于点， 由题意得，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9． 【分析】设，则，，，据此代入所求式子求值即可． 【详解】解：设，则，，． 将，，代入中，得： ∵， ∴分子分母可约去，结果为． 又∵， ∴． 10．或 【分析】本题考查了位似变换的性质，根据位似变换的性质，以原点为位似中心，位似比为k，则对应点坐标的比等于k或．由得位似比为3或，从而求解． 【详解】解：∵， ∴与的位似比为 3或， ∵点B的坐标为， ∴点D的坐标为或，即或． 故答案为： 或． 11． 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，关键是准确运用定理得到对应线段的比例式．根据三条平行线截两条直线的比例关系，先由已知比例和的长度求出的长度，再通过线段和计算的长度． 【详解】解：， ， 解得， ； 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 先作轴，再说明，可得，然后说明，可得，再结合,可得，最后根据得出答案． 【详解】解：如图所示，过点B作轴，于点F ∵， ∴， ∴, ∴， 即， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． ∵, ∴， ∴， 所以点E的坐标是． 故答案为：． 13． 【分析】本题是在平行投影下考查了相似三角形的知识在实际中的应用，证明相似三角形并根据“相似三角形的对应边成比例”确定树高与两个影长的数量关系是解题的关键. 根据题意，画出示意图，证明，进而可得，即，代入数据可得答案. 【详解】解：根据题意，作， 树高为，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 代入数据可得， （负值舍去）． 故答案为：． 14．2400 【分析】本题考查了相似三角形的应用，二次函数的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．由矩形的性质可得，，进而由得到，，设，则，证明得到，得到，即可得，最后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时，矩形的面积最大，最大面积是． 故答案为：2400． 15． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．通过证明三角形与三角形相似，利用相似三角形的性质，结合已知的线段比例和蜡烛高度，求出像的长度． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴， 已知，， ∴， ∴， 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数比例系数的几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键．过点C作轴于点E，连接，利用反比例函数k的几何意义得到，根据以及可得，，可得结论． 【详解】解：过点C作轴于点E，连接，则，    ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∵的面积是8， ∴， ∵反比例函数的图象交于点，交于点， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（）通过等腰三角形得到，结合角平分线平分得到，通过角的差运算推出，再结合公共角，利用“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （）先根据相似三角形的性质得到对应边的比例关系，求出和关于的表达式，再计算出的长度；在中利用勾股定理建立与的等式，进而求解出的长度． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．(1)见解析 (2)10 【分析】对于本题，重点掌握相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本图形---“共边相似”． （1）证明即可； （2）证明即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．(1)证明见解析 (2)的长为 【分析】本题主要考查了切线的判定，角平分线的定义，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用上述性质是解题的关键． （1）连接，利用角平分线的性质和等边对等角，可证明，即可解答； （2）设，则，，由可得，可求出，，，利用勾股定理可求得，，即可得，再利用即可求得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∴，即， 设，则，， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵， 在中，， 在中，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 20．(1)；图见解析 (2)位似；位似中心的坐标为原点；相似比为 【分析】本题主要考查的知识点是平面直角坐标系中图形的位似变换(包括坐标变换、位似中心与位似比的确定)． （）先根据“横坐标、纵坐标都乘”的规则，分别计算出点的坐标，再在坐标系中描出这三个点并依次连线，即可得到； （）根据位似的定义：两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行(或在同一直线上)，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比；判断与是相似，再观察对应顶点连线的交点确定位似中心，最后通过坐标的比例关系求出位似比，从而得出结论． 【详解】（1）解：∵点， ∴点的横坐标、纵坐标都乘，得 的坐标，即； 的坐标，即； 的坐标，即； 在坐标系中画出，再依次连接这三个点， 即可得到 如图，即为所求． （2）解：位似；位似中心的坐标为原点；相似比为。 如图：连接与、与、与，三条连线都经过原点， 各对应顶点的横、纵坐标的绝对值的比都是，所以相似比(位似比)为， 因此，与位似，位似中心的坐标为，位似比为． 21．(1)， (2) (3)四边形的面积为 【分析】（1）把点代入，得出，把点代入，即可求得； （2）过点作轴，交轴于点，与交于点，证明，进而得出点的纵坐标为，代入反比例函数解析式，即可求解； （3）根据题意得出点坐标为＋，由（2）可知，根据，得出得到值，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上， ， 点在反比例函数 的图象上， ， （2）解：过点作轴，交轴于点，与交于点， ， 点是由点沿轴正方向平移得到， 轴， ，， ， ， ， ，即，， 点的纵坐标为． 将代入中， ， 点的坐标为 （3）解：， 点坐标为， ， 由（2）可知， ， ， ， ， ，整理得：， ． ．当时，，， ，，不符合题意，应舍去 ．当时，，， ，， ． 四边形的面积为． 22．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，证明即可； （2）取的中点Q，连接，证明即可； （3）过点B作于点B，交于点G，证明，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：取的中点Q，连接， ∴， ∵M、N分别为、的中点， ∴是的中位线，， ∴，， ∴， ∵正方形，， ∴， 根据（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：过点B作于点B，交于点G， ∴． ∵，， ∴． ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 根据勾股定理，得 ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形相似的判定和性质，三角形中位线，正切函数的应用，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点并正确做出辅助线． 23．（1），理由见解析； （2），理由见解析； （3） 【分析】（1）为等腰直角三角形，为中点，连接，利用等腰直角三角形中线的性质得到、，再由推出，进而得到，通过证明，从而证得； （2）以为圆心、为半径画弧交于，构造等腰，得到，结合推出，再由及补角性质得到，证明，利用与的比例关系得到； （3）分两种情况，点D在线段上，点D在线段的延长线上，先作于，利用直角三角形的性质和勾股定理求出，再作于，通过得到的表达式，结合和的长度求出，最后在等腰直角中利用勾股定理求出的长度． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接， ∵为等腰直角三角形，且， ∴． ∵是的中点， ∴，，， ∴，． ∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 以为圆心，为半径画弧，交于点，则． ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴． ∵，且， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：分两种情况： 当点D在线段上时，过点作于点，过点作于点，则． 在中，， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴，即． ∵，，， ∴， ∴． 在中，， ∴，即为等腰直角三角形， ∴． 由勾股定理得：． 当点D在线段的延长线上时，过点作于点，过点作于点，则． 同理可得，． ∵，， ∴， ∴，即． ∵，，， ∴， ∴． 同理可得，为等腰直角三角形，， 由勾股定理得：． 【点睛】通过构造辅助线将旋转角的条件转化为角的等量关系，进而利用全等或相似三角形的性质推导线段关系． 24．(1) (2) (3)或或或 【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C坐标，进而求出直线解析式，设点D的坐标为，则，；由与的面积相等，推出，则，解得，则，利用勾股定理求出，则； （3）先证明，得到，进而推出，则当点D与点C重合时，此时点E与点C重合，点F与点O重合，则；如图3-1所示，当点F在之间时，可得，则此时和不可能相似；如图3-2所示，当点F在点A左侧，设，则，，，当时，，证明，推出，则，解得或（舍去），则；当点F在点A左侧，且当时，可得，则，解得或（舍去），则；如图3-3所示，如图所示，当点F在之间时，只有当时，与才能相似，此时，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可；如图3-4所示，当点F在点B右侧，只有当时，与才能相似，此时，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴； 设直线解析式为，则， ∴， ∴直线解析式为， 设点D的坐标为， ∵轴， ∴， ∴； ∵与的面积相等， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 当点D与点C重合时，此时点E与点C重合，点F与点O重合，则， ∴， ∴此时点D的坐标为； 如图3-1所示，当点F在之间时， ∵， ∴，即， ∵， ∴此时和不可能相似； 如图3-2所示，当点F在点A左侧，设，则，， ∴， 当时， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当点F在点A左侧，且当时，可得， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴； 如图3-3所示，如图所示，当点F在之间时， ∵， ∴只有当时，与才能相似， ∴此时， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 如图3-4所示，当点F在点B右侧， ∵， ∴只有当时，与才能相似， ∴此时， ∴， 设，则，， ∴， ∴ 解得（舍去）或（舍去），即此种情况不存在； 综上所述，点D的坐标为或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $