《第2章一元二次方程》单元测试题 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

2025-2026学年浙教版八年级数学下册《第2章一元二次方程》 单元自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．将方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．2，3 B． C．2，7 D． 3．已知关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 4．将一元二次方程配成的形式，则m的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 5．若a是方程的一个根，则的值为（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 6．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（　　） A．33 B．34 C．35 D．36 7．已知小明用一根长为的铁丝围成一个直角三角形，使斜边长为，则该三角形的面积等于（    ） A． B． C． D． 8．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与支干数目相同的小分支，主干、支干和小分支的总数是，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出x个小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．当_______________时，关于的方程是一元二次方程． 10．已知为实数，且，则的值是___________． 11．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是和，则的值等于________． 12．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____． 13．设，是方程的两个根，则________． 14．一个三角形的两边长分别为3和4，第三边长是方程的根，则三角形的周长为__________． 15．如图，在一块长为25米、宽为20米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为米，则根据题意可列出方程为_____． 16．将两张全等的等腰三角形纸片按照图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，这四个直角三角形可以拼成图②或图③所示的正方形．已知等腰三角形纸片的底边长为2，底边上的高为，并且．如果四边形的面积等于四边形面积的，那么的值是__________． 三、解答题（满分72分） 17．解方程： (1)； (2)． 18．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)设，求m的值． 19．已知关于的一元二次方程． (1)讨论该一元二次方程实数根的情况； (2)若等腰三角形的两条边是方程的两根，边是方程的一个根，求的值． 20．阅读材料： 解方程：． 我们可以将视为一个整体，然后设， 则，原方程化为，解得：，． 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 原方程的解为，，，． 根据上面的解答过程，解决下面的问题： 解方程：． 21．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根． (2)若的一条边的长为，另两边的长是一元二次方程的两个实数根． ①当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ ②当为何值时，是等腰三角形？并求出的周长． 22．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．若商场只要求保证每天的盈利为元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？ 23．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 24．如图，在中，，，，若点从点沿边向点以的速度移动，点从点沿边向点以的速度移动，两点同时出发． (1)问几秒后，的面积为． (2)出发几秒后，线段的长为？ (3)的面积能否为？若能，求出时间；若不能，请说明理由． 参考答案 1．解：选项A未知数最高次数为1，不符合一元二次方程的定义； 选项B含有分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义； 选项C满足上述三个条件，符合一元二次方程的定义； 选项D未知数最高次数为3，不符合一元二次方程的定义； 故选：C． 2．解： 二次项系数为2，一次项系数为，此选项B符合题意． 故选：B． 3．解：∵关于x的方程是一元二次方程，且有两个相等的实数根， ∴， 即， 展开得， 合并同类项得， 解得． 故选：D． 4．解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵将一元二次方程配成的形式， ∴． 故选：A． 5．解：∵a是方程的一个根， ∴， 整理得：， ∴ ． 故选：C． 6．解：∵关于的一元二次方程有一根为 ∴ 将方程变形为： 令 解得 ∴一元二次方程必有一根为35， 故选：C 7．A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 设一条直角边为未知数，利用周长表示出另一条直角边，根据勾股定理列方程求出直角边长，再代入直角三角形面积公式计算面积即可． 【详解】解：设该直角三角形的一条直角边为， ∵铁丝总长为，斜边长为， ∴另一条直角边的长度为， ∵直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方， ∴， 展开得， 整理得， 两边同时除以2得， 因式分解得， 解得， 当时，另一条直角边为，该三角形的面积为； 当时，另一条直角边为，该三角形的面积为； ∴该三角形的面积为． 故选：A． 8．A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，准确地理解题意找到等量关系是解题的关键．根据主干、支干、小分支的数量关系，结合总数为列方程即可． 【详解】解：∵主干的数量为1个，每个支干长出个小分支， ∴支干的数量为个，小分支的数量为个， 又∵主干、支干和小分支的总数是121， ∴可列方程为， 故选：A． 9． 【分析】考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数最高次数为2次的整式方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 根据一元二次方程的定义得到，求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 10．4 【分析】本题考查了换元法，解一元二次方程，注意解的取值范围是解题关键． 设，则原方程化为，解二次方程并根据确定值． 【详解】解：设，则， 原方程化为， 即， ， ， 解得或， 由于，故， 即． 故答案为：4． 11．16 【分析】先将方程整理为标准形式，利用直接开平方法得出根的特征（互为相反数），再根据根的和为求出的值，进而得到方程的两个根，最后代入原方程求出的值． 【详解】解：方程化为一般形式为 ，设两根分别为 ，， 则由根与系数的关系，有 ，即 ， 解得 ． 又 ，即 ， 代入 得 ， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程和根的性质，解题关键是发现方程的两个根互为相反数，从而利用两根之和为求出的值，再代入求解． 12．且 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得到二次项系数不为零；根据根的判别式得到判别式大于零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得且， 故答案为：且． 13．10 【分析】利用方程根的定义，将根代入方程得到关于和的等式，再对所求代数式进行整体代换，最后结合韦达定理完成计算． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 因此． 同理，也是方程的根， ∴． 因此． 于是，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义和整体代入思想，解题关键是利用根的定义对代数式进行降次与代换，避免直接求解方程根的复杂计算． 14．10 【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长． 本题主要考查了解一元二次方程以及三角形三边之间的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：解方程 ， 得 ，． ∵三角形两边长分别为3和4， ∴第三边需满足第三边， 因此 符合条件， 不符合， ∴三角形的周长为 ． 故答案为：10． 15． 【分析】本题考查了一元二次方程与图形面积的计算，理解图示面积的计算是关键，根据题意，草坪的长为米，宽为米，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，草坪的长为米，宽为米， ∴， 故答案为： ． 16． 【分析】本题考查图形的拼剪，正方形的性质，一元二次方程的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．根据四边形的面积等于四边形面积的2倍，构建方程求解． 【详解】解：由题意得， 解得：（舍去）． 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法是解题关键． （1）根据配方法解方程即可； （2）根据因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得； （2）解：， ， ，即， 或， 解得． 18．(1)见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系及解一元二次方程，准确计算是解题的关键． （1）根据题意证明即可； （2）根据，，由整体代入建立关于m的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得，，， ， ，即， 解得或． 19．(1)当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根 (2)m的值为5或9 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义； （1）求出根的判别式，通过判别式与0的大小关系分类讨论方程实数根的情况； （2）先解方程求出c的值，再分等腰三角形的两腰为方程相等的根、腰长为5两种情况，结合三角形三边关系确定m的取值． 【详解】（1）解：对于一元二次方程，其中，，， 计算判别式， 当，即时，方程有两个不相等的实数根； 当，即时，方程有两个相等的实数根； 当，即时，方程没有实数根； （2）解方程得：， 因为是三角形的边长， 所以， 情况一：若，则方程有两个相等的实数根， 所以， 解得， 将代入方程得， 解得：， 因为，满足三角形三边关系， 所以此情况成立； 情况二：若或，即是方程的根， 将代入方程得， 解得， 将代入方程得， 解得：，， 因为，满足三角形三边关系， 所以此情况成立； 综上，m的值为5或9． 20．， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，平方根的性质，掌握换元法是解题关键． 通过换元法将四次方程转化为一元二次方程，求解后代回，根据平方根性质进行取舍即可得到原方程的实数解． 【详解】解：令，则原方程化为：， 解得，， 当时，，则该方程无实数解； 当时，，解得，． 综上，该方程的解为：，． 21．(1)见解析 (2)①6；②当的值为5或7时，是等腰三角形，对应周长分别为11，13 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、勾股定理以及一元二次方程的求解： （1）计算一元二次方程根的判别式，证明其非负性即可； （2）①利用韦达定理表示两根之和和两根之积，再根据勾股定理建立关于的方程求解； ②分情况讨论，当为腰时，直接代入方程求解，再算出其余边长，最后相加即可；当为底边时，那么另外两个就是腰，则方程有2个相等的实数根，即根的判别式为0，求解腰长，最后算周长． 【详解】（1）证明：， ， ， ∴无论为何值，方程总有两个实数根． （2）解：①的长是一元二次方程的两个实数根， ，， 是以为斜边的直角三角形，， ， ， 解得或， 由题意，， 则且， 即， 解得：， 故不合题意，舍去， ． ②分情况讨论：当为腰时，方程有一个根为， 将代入方程，得， ， ∴方程为， 解得，， ∴等腰三角形的三边长为5，5，3， ， 满足三角形三边关系，故符合题意； 的周长为； 当为底边时，方程有2个相等的实数根， ， ， ∴方程为， 解得， ∴等腰三角形的三边长为3，3，5， ， 满足三角形三边关系，故符合题意； 的周长为； 综上，当的值为5或7时，是等腰三角形，对应周长分别为11，13． 22．若要使顾客得到实惠，则应涨价元 【分析】根据“每千克盈利×日销售量=总盈利”列方程，求解后选择较小的涨价值即可． 【详解】解：设每千克涨价元， 根据题意可得，， 则， 解得，， 若要使顾客得到实惠，则应涨价元． 23．(1)当羊圈的长和宽分别为，时，能围成一个面积为的羊圈 (2)羊圈的面积不能达到，理由见解析 【分析】（1）设当羊圈的宽为，则羊圈的长为，根据“围成一个面积为的羊圈”列方程求解即可； （2）令，判断方程是否有解即可． 【详解】（1）解：设当羊圈的宽为，则羊圈的长为， 根据题意，得， 化简，得， 解得或20， 当时，，不合题意，舍去； 当时，； 答：当羊圈的长和宽分别为，时，能围成一个面积为的羊圈； （2）解：羊圈的面积不能达到．理由如下： 令， 化简，得， ， 方程没有实数根， 羊圈的面积不能达到． 24．(1)出发秒或秒后，的面积为 (2)出发秒或秒后，线段的长为 (3)的面积不能为，见解析 【分析】本题考查了直角三角形的面积，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握性质和应用是解题的关键． （1）设运动时间为秒时，则，．根据的面积为，列方程解答即可． （2）设运动时间为秒时，则，．根据勾股定理，列方程解答即可． （3）根据三角形的面积，构造一元二次方程，利用根的判别式判断方程是否有实数根；若有，则可能；若没有，则不能． 【详解】（1）解：设运动时间为秒时，则，． 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 答：出发秒或秒后，的面积为． （2）解：根据题意得：， 整理，得：， 解得：，． 答：出发秒或秒后，线段的长为． （3）解：假设能，根据题意得：， 整理，得：， ， 该方程无解， 假设不成立，即的面积不能为． 学科网（北京）股份有限公司 $