一元二次方程定义、方程根的情况求参数等知识点同步练2025-2026学年浙教版八年级数学下册

**基本信息** 本同步练按“基础概念→性质应用→解法掌握→综合拓展”分层设计，通过选择、填空、解答题梯度递进，强化从单一知识点到跨情境应用的巩固路径，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|一元二次方程定义、因式分解法|选择/填空考查系数识别、方程求解，如常数项、一次项系数判断| |进阶层|根的情况求参数|选择/填空涉及判别式应用，如参数取值范围、根的个数判断| |综合层|综合运用|解答题结合几何（三角形边长）、函数（直线象限）情境，如等腰三角形周长计算|

一元二次方程定义、方程根的情况求参数等知识点同步练 知识点一：一元二次方程的定义 例题： （选择题）一元二次方程的常数项是（    ）。 A． B．5 C． D．1 同步练： （选择题）1.一元二次方程的一次项系数是（    ）。 A．2 B． C．3 D．6 （选择题）2.若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围为（    ）。 A． B． C． D． （填空题）3.若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是 。 （填空题）4.一元二次方程中，一次项系数是 。 （填空题）5.若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是________。 知识点二：根据一元二次方程根的情况求参数 例题： （选择题）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )。 同步练： （选择题）1.方程2－5＋＝0没有实数根，则的取值范围是（   ）。 A．＞ B．＜ C．≤ D．≥ （选择题）2.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ）。 A． B．且 C． D．且 （选择题）3.已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ）。 A． B． C．且 D．且 （填空题）4.关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 。 （填空题）5.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为______。 （填空题）6.若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )。 （填空题）7.若关于的方程有两个不相等的实数根，则满足条件的实数的值可以是 。 知识点三：因式分解法解一元二次方程 一、选择题 例题： （选择题）关于的方程是一元二次方程，则的值为（    ）。 A． B． C．或 D． 同步练： （选择题）1.我们解一元二次方程时，可以运用因式分解法，将此方程化为，从而得到两个一元一次方程：或，进而得到原方程的解为，。这种解法体现的数学思想是（   ）。 A．数形结合思想 B．转化思想 C．整体思想 D．公理化思想 （选择题）2.方程的解是（    ）。 A． B． C．或 D．或 （填空题）3.方程的解是 。 （填空题）4.方程的解是 。 （解答题）5.解方程：。 知识点四：一元二次方程的综合运用 例题： （选择题）若是关于的方程的一个根，则的值是（   ）。 A．2026 B．2025 C．2023 D．2022 同步练： （选择题）1.已知三角形的两边长分别是3和5，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（   ）。 A．6或10 B．10 C．6 D．12或10 （选择题）2.直线y=+a不经过第四象限，则关于的方程a-2-1=0的实数解的个数是（ ）。 A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 （填空题）3.一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是 。 （填空题）4.已知三角形的两边长分别是3和4，第三边长是的根，则该三角形的面积为 。 （解答题）5.解方程和不等式组。 （1）； （2）。 （解答题）6.已知关于x的一元二次方程。 （1）没有实数根，求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根相等请直接写出m的值，并解这个方程。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元二次方程定义、方程根的情况求参数等知识点同步练 知识点一：一元二次方程的定义 例题： （选择题）一元二次方程的常数项是（    ）。 A． B．5 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件。这是在做题过程中容易忽视的知识点。在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项。其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项。 【详解】解：一元二次方程的常数项是1， 故选：D。 同步练： （选择题）1.一元二次方程的一次项系数是（    ）。 A．2 B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，准确找出一次项是解题的关键。先找出一次项，再写出其系数即可。 【详解】解：一元二次方程的一次项是，其系数是， 故选：B。 （选择题）2.若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出，求出即可，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键。 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：。 （填空题）3.若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是 。 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，即得到关于的不等式，解之即可。 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：。 （填空题）4.一元二次方程中，一次项系数是 。 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的一般形式为，其中为二次项系数、为一次项系数、为常数项，即可解答，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键。 【详解】解：一元二次方程中，一次项系数是， 故答案为：。 （填空题）5.若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是________。 【答案】且 【分析】依据一元二次方程的定义即形如求解即可。 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且， 解得：且。 故答案为：且。 知识点二：根据一元二次方程根的情况求参数 例题： （选择题）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )。 【答案】 【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围。 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是， 故答案为：。 同步练： （选择题）1.方程2－5＋＝0没有实数根，则的取值范围是（   ）。 A．＞ B．＜ C．≤ D．≥ 【答案】A 【分析】利用判别式的意义得到△＝（-5）2﹣4×2m<0，然后解关于m的不等式即可。 【详解】解：∵方程2－5＋＝0没有实数根， ∴△＝（-5）2﹣4×2m<0， 解得m>。 故选：A。 （选择题）2.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ）。 A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，由题意可得且，据此即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键。 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得且， 故选：。 （选择题）3.已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ）。 A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及定义，由一元二次方程根的判别式及定义可得且，解不等式即可求解，掌握以上知识点是解题的关键。 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：。 （填空题）4.关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 。 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解，正确理解一元二次方程解的意义是解题关键。 直接利用一元二次方程的解的意义将代入求出答案即可。 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根是1， ， 解得：； 故答案为：。 （填空题）5.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为______。 【答案】16 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根。先根据根的判别式的意义得到，然后解一次方程即可。 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：16。 （填空题）6.若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )。 【答案】 【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围。 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是， 故答案为：。 （填空题）7.若关于的方程有两个不相等的实数根，则满足条件的实数的值可以是 。 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了根的判别式，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．关于的方程有两个不相等的实数根，即判别式。即可得到关于的不等式，从而求得的范围。 【详解】解：由于，，， 所以， 解得：。 所以的值可以是。 故答案为：（答案不唯一）。 知识点三：因式分解法解一元二次方程 一、选择题 例题： （选择题）关于的方程是一元二次方程，则的值为（    ）。 A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程定义解答即可。 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故选：D。 同步练： （选择题）1.我们解一元二次方程时，可以运用因式分解法，将此方程化为，从而得到两个一元一次方程：或，进而得到原方程的解为，。这种解法体现的数学思想是（   ）。 A．数形结合思想 B．转化思想 C．整体思想 D．公理化思想 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键。 根据解一元二次方程—因式分解法即可解答。 【详解】解：解一元二次方程时，可以运用因式分解法将此方程化为．从而得到两个一元一次方程或， 进而得到原方程的解为，，这种解法体现的数学思想是转化思想， 故选：B。 （选择题）2.方程的解是（    ）。 A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键。 先移项，然后再运用因式分解法解一元二次方程即可。 【详解】解：， ， ， ， ， 所以该方程的解为：或， 故选C。 （填空题）3.方程的解是 。 【答案】， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法解一元二次方程的一般步骤。 根据两式乘积为，则至少有一个式子的值为，得到或，即可求出方程的解。 【详解】解：∵ ∴或， 解得， 故答案为： 。 （填空题）4.方程的解是 。 【答案】，， 【分析】本题考查了利用因式分解法解高次方程，把高次方程转化为次数较低的方程求解即可，掌握相关知识是解题的关键。 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴或或， 解得：，，， 故答案为：，，。 （解答题）5.解方程：。 【答案】， 【分析】利用因式分解法解答即可。 【详解，可得：， 于是得：或， ∴，。 知识点四：一元二次方程的综合运用 例题： （选择题）若是关于的方程的一个根，则的值是（   ）。 A．2026 B．2025 C．2023 D．2022 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，由题意可得，再代入到代数式计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键。 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴， ∴， 故选：B。 同步练： （选择题）1.已知三角形的两边长分别是3和5，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（   ）。 A．6或10 B．10 C．6 D．12或10 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解法、勾股定理的逆定理。先解一元二次方程求出该方程的实数根，再根据三角形的三边关系定理得出第三边，然后得出这个三角形是直角三角形，最后利用三角形的面积公式即可得。 【详解】解：， 因式分解得， 解得或， ∵， ∴不符合题意， 第三边长度为4。 ∵， ∴该直角三角形是直角三角形， 分两种情况： 这个三角形的面积为， 故选C。 （选择题）2.直线y=+a不经过第四象限，则关于的方程a-2-1=0的实数解的个数是（ ）。 A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】D 【分析】根据直线y=+a不经过第四象限，可得，然后分两种情况：当时，关于的方程a-2-1=0为一元二次方程，利用根与系数的关系，可得一元二次方程有两个不相等实数根；当时，关于的方程a-2-1=0为一元一次方程，有1个实数解，即可求解。 【详解】解：根据题意得直线y=+a一定经过第一、三象限， ∵直线y=+a不经过第四象限， ∴， 当时，关于的方程a-2-1=0为一元二次方程， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等实数根， 当时，关于的方程a-2-1=0为一元一次方程， 有1个实数解， 综上所述，关于的方程a-2-1=0的实数解的个数是1个或2个， 故选：D。 （填空题）3.一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是 。 【答案】 【分析】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根，然后根据三角形三边的关系，确定三角形的周长．用因式分解法求出方程的两个根分别是2和6，有三角形的三边关系，2为底，6为腰，可以求出三角形的周长。 【详解】解：∵， ∴， ∴。 当腰长是2时，不能构成三角形，舍去； ∴腰长是6，底边是2， 周长为：， 故答案为：。 （填空题）4.已知三角形的两边长分别是3和4，第三边长是的根，则该三角形的面积为 。 【答案】6 【分析】本题考查一元二次方程的解法、勾股定理的逆定理，正确求解方程，从而得出三角形的第三边长是解题关键。先解一元二次方程求出该方程的实数根，然后根据勾股定理的逆定理得出这个三角形是直角三角形，最后利用三角形的面积公式求解，即可解题。 【详解】解： 解得， 第三边长是， ， 该三角形为直角三角形， 该三角形的面积为， 故答案为：6。 （解答题）5.解方程和不等式组。 （1）； （2）。 【答案】（1）， （2） 【分析】此题考查的是解一元二次方程和解一元一次不等式组，掌握利用公式法解一元二次方程、不等式的解法和公共解集的取法是解决此题的关键。 （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）分别求出两个不等式的解集，然后取公共解集即可。 【详解】（1）解：， ，； （2）解：由得：， 由得：， 原不等式组的解集为：。 （解答题）6.已知关于x的一元二次方程。 （1）没有实数根，求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根相等请直接写出m的值，并解这个方程。 【答案】（1） （2）， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，由方程根的情况得到根的判别式的符号是解题的关键。 （1）根据一元二次方程根的情况得，即可求出m的取值范围； （2）根据，即可得到，然后利用因式分解法解方程即可。 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程没有实数根， ， 解得：； （2）该方程的两个实数根相等， ， 解得：， 这时方程为， 即， ∴方程的解为。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $