2.1一元二次方程和它的解 同步自主达标测试题 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

2025-2026学年浙教版八年级数学下册《2.1一元二次方程和它的解》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．是关于x的一元二次方程的条件是（       ） A．a，b，c为任意实数 B．a，b不同时为0 C．a不为0 D．b，c不同时为0 2．下列方程中是关于的一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 3．将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．一元二次方程化成一般形式后，它的二次项系数和常数项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．若2是方程的一个根，则m的值为（    ） A．3 B． C．0或3 D．0 6．已知是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B．5 C．2 D． 7．已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 8．根据下列表格的对应值： 可以判断方程（，a，b，c为常数）的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 二、填空题（满分24分） 9．若方程的二次项系数是1，则一次项系数是 ． 10．关于的一元二次方程有一个解为0，则 ． 11．若方程是一元二次方程，则m的值为 ． 12．已知a是方程的一个根，则 ． 13．请写出一个二次项系数为，且有一个根为的一元二次方程： ． 14．已知方程有一个根是，则代数的值为 ． 15．关于x的二次三项式，满足下表中的对应关系：则一元二次方程的两个整数根是 ． x … 0 1 2 4 5 … … 16 7 7 16 … 16．在一个物理实验中，有一个电路的电阻变化规律可以用方程来描述，其中表示电阻值（单位：欧姆）．若是该方程的一个根，现在要计算一个与该电阻相关的电学量的值（该电学量的单位是焦耳），求这个值是 ． 三、解答题（满分72分） 17．已知是方程的根，求代数式的值． 18．先化简，再求值：，其中m 为方程的解 ． 19．若关于的方程，，均为常数，的解是，，求方程的解． 20．已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 21．已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 22．如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 23．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 参考答案 1．解：是关于x的一元二次方程的条件是a不为0． 故选：C． 2．D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程）为解题的关键．根据一元二次方程定义对给出的方程进行辨别即可求解． 【详解】解： 一元二次方程需满足：① 整式方程；② 只含一个未知数；③ 未知数的最高次数为． 对于A：含分式，不是整式方程，不符合①，故不符合题意； 对于B：中可能为，当时不是二次方程，故不符合题意； 对于C：含两个未知数和，不符合②，故不符合题意； 对于D：可化为 ，满足①②③，是一元二次方程，故符合题意． 故选：D． 3．A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握这个知识点是解题的关键． 一元二次方程的一般形式为，将给定方程通过展开和移项化为该形式即可． 【详解】∵ ， 展开得 ， 移项得 ， ∴ 一般形式为 ． 故选：A． 4．B 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 【详解】将一元二次方程变形为一般形式，可知二次项系数为，常数项为． 故答案为：B 5．A 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解的定义是解答本题的关键． 将代入方程，然后解关于m的一元一次方程即可求解． 【详解】解：∵2是方程的根， ∴代入得：，即， ∴， ∴， ∴． 故选A． 6．B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由方程根的定义，将代入方程即可得代数式的值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴代数式的值为5． 故选：B． 7．D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键．根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵一元二次方程，，，满足，， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：D． 8．B 【分析】本题考查利用函数值的连续性估算方程近似解，需关注函数值跨过目标值的区间． 通过比较表格中的值与1的大小关系，确定函数值从小于1到大于1的区间，从而得到方程解的范围． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴方程的一个解的范围是， 故选：B． 9．2 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，项与系数，掌握知识点是解题的关键． 将方程化为一般形式后，根据一元二次方程的标准形式确定一次项系数即可． 【详解】解：原方程为 化为， 合并同类项得 ． 故一次项系数为：2． 10．2 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和方程的解，将代入方程，得到关于m的方程，结合一元二次方程的定义，二次项系数不为零，求解m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个解为0， ∴将代入方程，得， 解得或， 又∵该方程为一元二次方程， ∴二次项系数，即， ∴． 故答案为． 11． 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，二次项系数不为零且未知数的最高次数为2，列方程求解． 【详解】解：由一元二次方程的定义，得且， 解得：且， 故． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查的是一元二次方程根的意义，利用方程根的定义，将代入方程得到关系式，并代入所求表达式进行化简． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即 ． 则 ． 故答案为： 13． （答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，根据一元二次方程的定义，设所求一元二次方程为，再代入已知根求解系数关系，从而构造方程，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设所求一元二次方程为， ∵方程有一个根为，   ∴，即，   ∴， 取，则，   故方程为，   故答案为：．（答案不唯一） 14．2025 【分析】本题考查了一元二次方程的根，根据一元二次方程根的定义得到，则有，再对所求代数式进行变形并整体代入计算即可． 【详解】解：∵方程有一个根是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2025． 15．3； 【分析】本题考查的是一元二次方程的特殊解法，根据表格中的数据可知当时，，当时，，因此方程在和之间有一个整数根 ．同理，当时，，当时，．方程在和之间有一个整数根，根据两根互为相反数，这两个整数根分别为和 ． 【详解】解：由表格数据可知， 当和时，； 当和时，； 当和时，； 当和时，． ∴方程的两个根互为相反数 ． ∵当时，；当时，， ∴在范围内存在的一个根 ． ∵根为整数， ∴该根为 ． 同理，当时，；当时，， 故在范围内存在的一个根，且为整数 ． 综上，一元二次方程的两个整数根为3和 ． 故答案为3和． 16．2024 【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意易得：，从而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：2024． 17． 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，求代数式的值，先根据方程根的定义推出，然后将进行化简，再把代入化简后的代数式中计算即可．解题的关键是掌握一元二次方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴ ， ∴代数式的值为． 18．， 【分析】本题考查分式的化简求值，一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 根据分式的加减法和乘除法可以化简题目中的式子，然后根据 的值为方程 的解，可以求得的值，然后代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ， ∵m为方程的解， ， ， 原式． 19．， 【分析】本题考查了方程的解，解含参数的一元二次方程，利用直接开平方法得方程的解，则，，再解方程得，即可求解．理解方程的解，能熟练解含参数的一元二次方程是解题的关键． 【详解】解： ， ， 解得：， 关于的方程的解是，， ，， 方程的解为， ， ，． 20． 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，由方程的解可得，可得，，再代入计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， ． ∴，． ． 21．(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解，理解题中所给美妙方程的定义及熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． （1）根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据美妙方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于，的方程组即可解决问题． 【详解】（1）解：是美妙方程，理由如下： ∵中，，，， ∴， 故该方程是美妙方程； （2）解：∵美妙方程的一个根是， ∴， 解得：， ∴这个美妙方程是． 22．(1)是“凤凰方程”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． （1）根据凤凰方程的意义进行计算即可； （2）根据凤凰方程的意义得到关于的方程计算即可． 【详解】（1）解：是“凤凰方程”，理由如下： ，，， ， 是“凤凰方程”； （2）是关于的“凤凰方程”，，，， ， 解得：． 23．(1) (2) (3)2025 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $