第8章整式乘法 单元自主达标测试题 2025-2026学年苏科版七年级数学下册

2025-2026学年苏科版七年级数学下册《第8章整式乘法》单元自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．计算：（    ）. A． B． C． D． 2．若，则的值为（   ） A．5 B． C． D．3 3．若展开后不含的一次项，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．利用平方差公式计算的结果是（   ） A． B．1 C． D．2 5．一个长方体的长、宽、高分别是和，则它的体积等于（   ） A． B． C． D． 6．我们定义一种新运算“※”：对于任意实数a，b，都有，例如：．已知关于x的运算，则x的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 7．如图，小明以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案．若四个正方形的周长之和为56，面积之和为54，则长方形的面积为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 8．有10张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内．大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为，右下角的面积为．的长变化时，的值与的长无关，与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．__________． 10．计算的结果为_______． 11．已知，求代数式的值为______． 12．已知，，则___________． 13．已知，．则___________． 14．已知．若，则的值是_____． 15．观察下列各式的规律，①；②；③；，请按以上规律用含有字母的式子表示第（为正整数）个算式为_____． 16．课本第42页“阅读材料”中介绍了宋代数学家发现的贾宪三角，贾宪三角可以看作是对两数和平方公式的推广，也告诉我们二项式乘方展开式的系数规律： 根据上述规律，展开式的系数的和是____． 三、解答题（满分24分） 17．计算： (1) (2) 18．先化简，再求值：，其中， 19．① ② ③…… (1)按照上面的规律，迅速写出答案． ________； ________； ________； ________． (2)用公式证明上面所发现的规律． 20．如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，物业规划了一块长方形花园(图中阴影部分)，花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路(图中空白部分)． (1)在花园北面和东、西两面的小路上都铺上地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积，并化简； (2)若，，预计每平方米铺设地砖的价格是元，那么购买所需地砖需要多少元? 21．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料；阅读材料：若，求m、n的值． 解：，， ，，，，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，则______，______； (2)已知，求a，b的值； (3)若，，试比较A与B的大小关系，并说明理由． 22．观察下列各式． (1)根据以上规律，则 _______； (2)你能否由此归纳出一般规律_______； (3)根据以上规律求： 的结果． 23．【探究】（1）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用含a，b的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为______； ②计算：． 【拓展】（3）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果，根据上面用到的数学公式，进行计算： ． 24．数学活动 【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和；图2是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式：图1：_____；图2：_____； 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你直接写出阴影部分的面积所揭示的这三个代数式之间的等量关系_____ 【解决问题】 （3）如图4，长方形周长为，，求长方形的面积． 【知识迁移】 （4）若，求 参考答案 1．D 【分析】先进行乘方运算，再计算单项式乘单项式即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 2．B 【分析】本题考查多项式乘法及系数比较法，解决本题的关键是通过展开和比较系数求解参数． 通过展开右侧多项式，比较系数，建立方程求解和，进而计算即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 代入中得，， ∴． 故选B． 3．B 【分析】本题考查的是多项式的乘法中不含某项的含义，理解题意，利用方程思想解题是关键．先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，再根据一次项的系数为建立方程求解即可． 【详解】解： ， 又该多项式展开后不含的一次项， ， 解得， 故选：B． 4．B 【分析】本题考查平方差公式计算，熟记平方差公式是解决问题的关键． 先将化为的形式，再利用平方差公式计算，然后去括号，再由有理数加减运算求解即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 5．D 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的应用，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．根据长方体的体积等于长宽高，进而计算单项式乘以多项式即可求解． 【详解】解：依题意，长方体的体积为 ． 故项：D． 6．B 【分析】本题考查了新运算的定义及一元一次方程求解，单项式乘以多项式，根据新运算的定义，将方程转化为关于x的一元一次方程求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 7．C 【分析】本题考查了完全平方公式在长方形面积计算中的应用，解题的关键是利用正方形的周长和面积关系得出长方形长与宽的和及平方和，再通过完全平方公式求解面积． 设长方形的长为，宽为，根据四个正方形的周长之和与面积之和列出关于、的方程，得出和的值，再利用完全平方公式求出（即长方形面积）． 【详解】解：设，，由四个正方形的周长之和为，面积之和为可得， ，， 即①，②， 由①得，③， ③ - ②得， 所以， 即长方形的面积为， 故选C． 8．B 【分析】本题考查了整式的混合运算，设大长方形的长为x，左上角空白部分的面积，右下角空白部分的面积，计算，根据的值与的长无关可知即含x的项系数必须为0，据此求出m、n的关系． 【详解】解：设大长方形的长为x，面积为的长方形的长为，宽为， 因此， 面积为的长方形的长为，宽为m， 因此， 因为的值与的长无关， 即含x的项系数必须为0， 因此， 可得， 综上，m与n的数量关系为， 故选：B． 9．16 【分析】本题考查完全平方公式，将等式右边用完全平方公式展开，即可得出结果． 【详解】解：； 故答案为：16 10．/ 【分析】本题考查单项式乘以单项式，运用单项式乘以单项式法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了完全平方公式，求代数式的值． 由得：，代入所求的代数式，然后进行化简即可求解． 【详解】解：由得：， 则． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查已知式子的值，求代数式的值，运用完全平方公式进行运算． 利用完全平方公式将 展开，代入已知条件，即可得的值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，准确利用完全平方公式化简计算是解题的关键． 利用已知条件求出和的值，然后将所求表达式转化为的形式，代入计算。 【详解】由，得； 由，得， 将两式相加，得，所以； 将两式相减，得，所以， 所求表达式为， 将其分组为， 代入已知值： ， 将，代入， 得． 故答案是：． 14．3 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的应用是解题关键． 根据题意将用含的式子表示，代入，利用完全平方公式建立等式求解即可． 【详解】，，， ，， ， ， ， ， ． 15． 【分析】本题主要考查整式的混合运算，涉及多项式乘多项式和完全平方公式，观察给定算式的规律，每个算式中第一个因数为序号n，第二个因数为，减去的数为的平方，结果均为． 【详解】解：根据规律，第n个算式可表示为 ， ， 则第n个算式为 ． 故答案为：． 16．32 【分析】本题主要考查了求代数式的值，完全平方公式的应用， 根据阅读材料得出系数变化规律，再相加即可． 【详解】解：根据题意，得 展开式系数和为； 展开式系数和为； ∴， 故答案为：32． 17．(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． （）先分别计算单项式乘单项式、积的乘方，再合并同类项得到最终结果； （）先运用平方差公式计算前半部分，再用多项式乘多项式法则展开后半部分，去括号后合并同类项求解． 【详解】（）解：原式． （）原式 ． 18．，1 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 先利用乘法公式和单项式乘以多项式法则计算化简，再代入，结合幂的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式 ． 19．(1)7209；5621；2025；4224 (2)见解析 【分析】本题考查了多项式乘法的规律性问题，理解题意，找出题中的规律是解题的关键． （1）根据一系列等式，归纳总结规律，利用得出的规律快速计算即可得到结果； （2）设这两个两位数分别为，，其中，再利用题干的公式证明即可． 【详解】（1）解：； ； ； ； 故答案为：7209；5621；2025；4224； （2）证明：设这两个两位数分别为，，其中， 左边 ， 右边 ， ∴左边右边， ∴． 20．(1) (2)8550元 【分析】本题主要考查了利用整式解决实际问题，整式的混合运算，代数求值等，解题的关键是掌握整式的各运算法则． （1）根据题意列出代数式，利用多项式乘多项式进行化简即可； （2）代数求值即可． 【详解】（1）解：地砖面积为空地面积减去花园面积， 即 故地砖面积为． （2）解：当，， ， 元， 故购买所需地砖需要元． 21．(1)， (2)， (3)，详见解析 【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是合理配凑完全平方公式． （1）将多项式拆分为完全平方展开式的形式，最后配凑为完全平方，再根据平方的性质求解． （2）先配凑完全平方公式求出a，b值即可． （3）利用作差法比较大小，配凑完全平方公式并根据平方的性质判断． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． （2）解：∵， ∴ ∴， ∴，， 解得，； （3）解：，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 22．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键． （1）仿照已知等式写出答案即可； （2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可； （3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可． 【详解】（1）解：观察题中已有等式规律，可得出： ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）解：通过观察总结可知：当前面的多项式最高次数为n时，得数的x次数应该为n+1， ． 故答案为：． （3）解： 根据（2）的结论，有， 因此，原式． 23．（1）；（2）①4，②1；（3） 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是运用平方差公式计算． （1）通过观察图①和图②阴影部分面积，利用正方形和长方形面积公式得出乘法公式． （2）①，将已知等式变形为平方差公式形式，再代入已知值求解．②把式子变形为平方差公式形式进行简便计算． （3）利用平方差公式将每个括号内式子展开，然后约分得出结果． 【详解】解：（1）图①中阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即； 图②中长方形的长为，宽为，面积为． ∴得到乘法公式：． （2）①∵， ∴， 即， ∵， ∴， 则． ② ； （3） ． 24．（1），（2），验证见详解（3）（4） 【分析】本题主要考查了完全平方公式和图形相结合，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，并掌握数形结合的数学思想． （1）结合图形的面积即可得出乘法公式； （2）结合图形的面积即可得出，之间的等量关系，然后利用完全平方公式进行验证即可； （3）设大正方形的边长为，小正方形的边长为，得出，，依据进行求解即可； （4）先得出，再利用完全平方公式进行整理计算即可． 【详解】解：（1）根据图形1得，， 根据图形2得，； 故答案为：，； （2）根据图形3得，，验证如下： ， ， ∴； 故答案为：． （3）设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据题意得， ，， ∴， ∴， ∴长方形的面积为； （4）∵，， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $