精品解析：内蒙古呼和浩特市实验中学鼓楼校区2021-2022学年九年级上学期段测数学试卷（10月份）

内蒙古呼和浩特实验中学鼓楼校区2021-2022学年九年级上学期段测数学试卷（10月份）解析版 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 已知m是方程的一个根，则代数的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入，得，整理得，即可作答． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴把代入， 得， 则， ∴则代数的值等于， 故选：C． 2. 已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是( ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式，由根与系数的关系和题目中的关系可知和，但根据可知，m只能等于3． 【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 又∵，， ∴， ∴ 即 解得：或， ∵， ∴， 故选：A． 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式的应用，解题的关键是同时满足一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别式大于0的条件． 先根据一元二次方程的定义确定二次项系数；再由方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式计算的取值范围，最后结合两者得到的最终范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴； ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得； 综上，且． 故选：D． 4. 已知矩形的周长为36m，矩形绕着它的一条边旋转形成一个圆柱，设矩形的一条边长为，圆柱的侧面积为 ， 则y与x的函数关系式为（　　） A.            B.       C.        D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的周长可计算出矩形的另一边长为，再根据矩形的面积计算方法进行列式计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意，矩形的一条边长为，则另一边长为：， 则圆柱体的侧面积， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解题意列出函数关系式是解决本题的关键． 5. 如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，P为此抛物线对称轴l上任意一点，则△APC的周长的最小值是（　　） A. 2 B. 3 C. 5 D. + 【答案】B 【解析】 【分析】作点C关于直线l的对称点C′，连接AC′交直线l于P，连接PC，则△APC的周长的最小，根据抛物线的对称性、二次函数与一元二次方程的关系计算即可． 【详解】作点C关于直线l的对称点C′，连接AC′交直线l于P，连接PC，则△APC的周长的最小， 由抛物线的对称性可知，点C′在抛物线上， 当x=0时，y=2， ∴点C的坐标为（0，2）， ∴点C′的纵坐标为2， 2=﹣x2+x+2， 解得，x1=0，x2=3， 则点C′的横坐标为3， ﹣x2+x+2=0， x1=-1，x2=4， 则点A的坐标为（-1，0）， ∴AC′==2，AC==， ∴△APC的周长的最小值是3， 故选B． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系、正确利用轴对称作出点P是解题的关键． 6. 已知二次函数，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程的两根之积为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得二次函数图像的对称轴为y轴，从而求出a值，再利用根与系数的关系得出结果. 【详解】解：∵二次函数， 当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等， 可知二次函数图像的对称轴为直线x=0，即y轴， 则， 解得：a=-2， 则关于x的一元二次方程为， 则两根之积为， 故选D. 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是得出二次函数图像的对称轴为y轴. 7. 在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】x=0，求出两个函数图像在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图像经过第一、三象限，从而得解． 【详解】x=0时，两个函数的函数值y=b， 所以，两个函数图像与y轴相交于同一点，故B、D选项错误； 由A、C选项可知，抛物线开口方向向上， 所以，a＞0， 所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限， 所以，A选项错误，C选项正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像，一次函数的图像，熟练掌握一次函数和二次函数图像特征和系数的关系是解题的关键． 8. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 2或4 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案． 【详解】解：x2－6x+8=0 （x－4）（x－2）=0 解得：x=4或x=2， 当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形； 当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形， 所以三角形的底边长为2， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键． 9. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有一个正根，一个负根 C. 有两个正根，且都小于3 D. 有两个正根，且有一根大于3 【答案】D 【解析】 【详解】分析：直接整理原方程，进而解方程得出x的值． 详解：（x+1）（x﹣3）=2x﹣5 整理得：x2﹣2x﹣3=2x﹣5，则x2﹣4x+2=0，（x﹣2）2=2，解得：x1=2+＞3，x2=2﹣，故有两个正根，且有一根大于3． 故选D． 点睛：本题主要考查了一元二次方程的解法，正确解方程是解题的关键． 10. 、、是的三边长，且关于的方程有两个相等的实数根，这个三角形是（ ） A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式解题即可. 【详解】根据题意得△=（-2c）2-4（a2+b2）=0， 即a2+b2=c2， 所以原三角形为直角三角形． 故选C． 【点睛】一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若是二次函数，则的值是 ________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义求解即可． 【详解】由题意，得 m2﹣2=2，且m+2≠0， 解得m=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键． 12. 校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是__米． 【答案】2 【解析】 【分析】设道路的宽为xm，将4块草地平移为一个长方形，长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m．根据长方形面积公式即可求出道路的宽． 【详解】解：设道路的宽为xm，依题意有 （32﹣x）（20﹣x）＝540， 整理，得x2﹣52x＋100＝0， ∴（x﹣50）（x﹣2）＝0， ∴x1＝2，x2＝50（不合题意，舍去）， 答：小道的宽应是2m． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，应熟记长方形的面积公式．另外求出4块试验田平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键． 13. 已知为实数，且满足，则的值为______ 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，把看作一个整体，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 解得：或， 当时，即，，此方程无实数根，不符合题意，舍去； 当时，即，，符合题意； 故答案为：1． 14. 关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据根与系数的关系结合已知条件可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的不等式，解之即可得出k的取值范围，从而可确定k的值，进而可得答案． 【详解】解：∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2， ∴x1+x2=2k，x1•x2=k2﹣k， ∵x12+x22=4， ∴（x1+x2）2-2x1x2=4， （2k）2﹣2（k2﹣k）=4， 2k2+2k﹣4=0， k2+k﹣2=0， k=﹣2或1， ∵△=（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0， k≥0， ∴k=1， ∴x1•x2=k2﹣k=0， ∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4， 故答案为4． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△≥0”是解题的关键． 15. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的概念以及二次函数图象与坐标轴交点情况得判别式的范围；解题的关键是掌握二次函数与轴有交点得判别式大于等于0．根据二次函数定义二次项系数非0，与轴有交点，分别求解不等式取公共部分即可． 【详解】依题意得：， 解得，， 解得， 故答案为：且． 16. 已知抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如图，则以下结论：①；②当时，随增大而减小；③；④若方程没有实数根，则；⑤，其中正确结论是______填序号 【答案】②③④ 【解析】 【分析】利用图像信息，以及二次函数的性质即可一一判断． 【详解】解：∵二次函数与x轴有两个交点， ∴b24ac＞0，故①错误， 观察图像可知：当x＞1时，y随x增大而减小，故②正确， ∵A在（-3，0），（-2，0）之间，顶点D（-1，2）， ∵抛物线与x轴的另一个交点为在（0，0）和（1，0）之间， ∴x=1时，y=a+b+c＜0，故③正确， ∵当m＞2时，抛物线与直线y=m没有交点， ∴方程ax2+bx+cm=0没有实数根，故④正确， ∵对称轴， ∴b=2a， ∵a+b+c＜0， ∴3a+c＜0，故⑤错误， 故答案为：②③④ 【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，根的判别式、抛物线与X轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题（共72分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据因式分解法，可得答案； （2）根据公式法，可得答案． 【小问1详解】 解： ∴或 ∴； 【小问2详解】 解： ∵， ∴， ∴， ∴，． 18. 关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 【答案】（1）；（2）的值为． 【解析】 【分析】（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）利用（1）中的结论得到的最大整数为2，解方程解得，把和分别代入一元二次方程求出对应的，同时满足． 【详解】解：（1）根据题意得， 解得； （2）的最大整数为2， 方程变形为，解得， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， ∴当时，，解得； 当时，，解得， 而， ∴的值为． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 19. 如图，已知抛物线的顶点为，矩形的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，交y轴于点，且矩形面积为8． （1）求此抛物线的解析式； （2）求当时，y的取值范围； （3）直接写出当时，x的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）时，或 【解析】 【分析】（1），由矩形面积及长度，求出点F坐标，根据顶点设抛物线顶点式，然后将点F坐标代入解析式求解； （2），抛物线开口向上，对称轴为直线，离对称轴越远的点，y值越大； （3），先求出时一元二次方程的解，然后根据抛物线开口方向求解． 【小问1详解】 解：∵为抛物线顶点， ∴抛物线对称轴为y轴. ∵点C，F在抛物线上， ∴. ∵矩形面积为， ∴， ∴， ∴点F坐标为. 设抛物线解析式为， 把代入解析式得， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线开口向上，对称轴为y轴， ∴当时，y取最小值为1. ∵， ∴时y取最大值. 把代入， 得． ∴； 【小问3详解】 解：把代入， 得， 解得或， ∴时，或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数关系式，矩形的性质，二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程，灵活选择二次函数的关系式是解题的关键． 20. 某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克． （1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？ （2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元? （3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？ 【答案】（1）450千克；（2）当月销售利润为元时，每千克水果售价为元或元；（3）当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大 【解析】 【分析】（1）根据销售量的规律：500减去减少的数量即可求出答案； （2）设每千克水果售价为元，根据题意列方程解答即可； （3）设月销售利润为元，每千克水果售价为元，根据题意列函数关系式，再根据顶点式函数关系式的性质解答即可． 【详解】解：当售价为元/千克时，每月销售量为千克． 设每千克水果售价为元，由题意，得 即 整理，得 配方，得 解得 当月销售利润为元时，每千克水果售价为元或元； 设月销售利润为元，每千克水果售价为元， 由题意，得 即 配方，得 ， 当时，有最大值， 当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大． 【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，顶点式二次函数的性质，正确理解题意，根据题意对应的列方程或是函数关系式进行解答，并正确计算． 21. 已知关于的一元二次方程有实数根. （1）求实数m的取值范围； （2）当m=2时，方程的根为，求代数式的值. 【答案】（1）；（2）1. 【解析】 【分析】（1）根据△≥0，解不等式即可； （2）将m=2代入原方程可得：x2+3x+1=0，计算两根和与两根积，化简所求式子，可得结论． 【详解】（1）△= ∵原方程有实根，∴△= 解得 （2）当m=2时，方程为x2+3x+1=0， ∴x1+x2=-3，x1x2=1， ∵方程的根为x1，x2， ∴x12+3x1+1=0，x22+3x2+1=0， ∴（x12+2x1）（x22+4x2+2） =（x12+2x1+x1-x1）（x22+3x2+x2+2） =（-1-x1）（-1+x2+2） =（-1-x1）（x2+1） =-x2-x1x2-1-x1 =-x2-x1-2 =3-2 =1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 22. 已知抛物线经过点和点． （1）求此抛物线的解析式及顶点坐标； （2）当自变量x满足时，求y的取值范围； （3）将此抛物线沿x轴平移m个单位后，当自变量x满足时，y的最小值为5，求m的值． 【答案】（1）解析式为：；顶点坐标为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象及性质，平移性质等． （1）将点和点代入中求出的值，即可计算出本题答案； （2）利用二次函数顶点式可得当时取得最小值，再求出和时对应的函数值即可得到本题答案； （3）根据题意分别设抛物线左右平移解析式，利用函数性质得到最值情况，即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：将点和点代入中得， ，解得：， ∴， ∵， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴二次函数对称轴为：， ∵， ∴此时函数有最小值， ∵自变量x满足时， 当时，， 当时，， ∴自变量x满足时，y的取值范围为：； 【小问3详解】 解：∵将此抛物线沿x轴平移m个单位后， ∴设此抛物线沿x轴向右平移m个单位后解析式为， ∵当自变量满足时，的最小值为5， ∴，即， 此时时，，即，解得：（舍去）， 设此抛物线沿x轴向左平移m个单位后解析式为， ∵当自变量满足时，的最小值为5， ∴，即， 此时时，，即，解得：（舍去）， 综上所述：的值为：或． 23. 如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）在x轴上找一点E，使△EDC的周长最小，求符合条件的E点坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出PB2的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点E（，0）；（3）PB2的值为16+8． 【解析】 【分析】(1)求出点B、C的坐标分别为(3，0)、(0，3)，将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解； (2)如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，则此时EC+ED为最小，△EDC的周长最小，即可求解； (3)分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，由勾股定理可求解． 【详解】(1)直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点， 令x=0，则y=3，令y=0，则x=3， ∴点B、C的坐标分别为(3，0)、(0，3)， 将点B、C的坐标代入二次函数表达式得： ，解得：， 故函数的表达式为：y=﹣x2+2x+3； (2)如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，此时EC+ED为最小，则△EDC的周长最小， 令x=0，则﹣x2+2x+3=0， 解得：， ∴点A的坐标为(-1，0)， ∵y=﹣x2+2x+3， ∴抛物线的顶点D的坐标为(1，4)，则点C′的坐标为(0，﹣3)， 设直线C′D的表达式为， 将C′、D的坐标代入得， 解得：， ∴直线C′D的表达式为：y=7x﹣3， 当y=0时，x=， 故点E的坐标为(，0)； (3)①当点P在x轴上方时，如图2， ∵点B、C的坐标分别为(3，0)、(0，3)， ∴OB=OC=3，则∠OCB=45°=∠APB， 过点B作BH⊥AP于点H，设PH=BH=a， 则PB=PA=a， 由勾股定理得：AB2=AH2+BH2， ∴16=a2+(a﹣a)2，解得：a2=8+4， 则PB2=2a2=16+8； ②当点P在x轴下方时， 同理可得． 综合以上可得，PB2的值为16+8． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，勾股定理，等腰三角形的性质，点的对称性等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古呼和浩特实验中学鼓楼校区2021-2022学年九年级上学期段测数学试卷（10月份）解析版 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 已知m是方程的一个根，则代数的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是( ) A. B. C. 或 D. 或 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 4. 已知矩形的周长为36m，矩形绕着它的一条边旋转形成一个圆柱，设矩形的一条边长为，圆柱的侧面积为 ， 则y与x的函数关系式为（　　） A.            B.       C.        D. 5. 如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，P为此抛物线对称轴l上任意一点，则△APC的周长的最小值是（　　） A. 2 B. 3 C. 5 D. + 6. 已知二次函数，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程的两根之积为（ ） A. 0 B. C. D. 7. 在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是 A. B. C. D. 8. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 2或4 9. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有一个正根，一个负根 C. 有两个正根，且都小于3 D. 有两个正根，且有一根大于3 10. 、、是的三边长，且关于的方程有两个相等的实数根，这个三角形是（ ） A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若是二次函数，则的值是 ________. 12. 校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是__米． 13. 已知为实数，且满足，则的值为______ 14. 关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是_____． 15. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 16. 已知抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如图，则以下结论：①；②当时，随增大而减小；③；④若方程没有实数根，则；⑤，其中正确结论是______填序号 三、解答题（共72分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2）． 18. 关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 19. 如图，已知抛物线的顶点为，矩形的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，交y轴于点，且矩形面积为8． （1）求此抛物线的解析式； （2）求当时，y的取值范围； （3）直接写出当时，x的取值范围． 20. 某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克． （1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？ （2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元? （3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？ 21. 已知关于的一元二次方程有实数根. （1）求实数m的取值范围； （2）当m=2时，方程的根为，求代数式的值. 22. 已知抛物线经过点和点． （1）求此抛物线的解析式及顶点坐标； （2）当自变量x满足时，求y的取值范围； （3）将此抛物线沿x轴平移m个单位后，当自变量x满足时，y的最小值为5，求m的值． 23. 如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）在x轴上找一点E，使△EDC的周长最小，求符合条件的E点坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出PB2的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $