精品解析：2026年河南信阳市罗山县山店乡中学九年级中考模拟考试（一）数学试题

2026年河南省普通高中招生考试模拟试卷 数学（一） 注意： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分． 2．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（下面各题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的序号填涂在答题卡相应位置．每小题3分，共30分） 1. 在，0，2，5这四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 2. 某博物院收藏的一件“镇馆之宝”-云纹青铜大铙，如图1，云纹青铜大铙是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌．图2为其示意图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024-2026年）》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算中，计算错误的是（） A. 2 B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 7. 如图，在平行四边形中，，对角线 交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接 ，则 的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动将分三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成，则参与者小刚和小利被分配到同一组的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边 上．将 沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法错误的是（ ） A. 与的关系式为 B. 当时， C. 当时，可能为6.5 D. 当时， 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 某校八年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择______． 12. 不等式组的整数解的和为___________． 13. 在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是___________． 14. 生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，，则第18个图案需要用矩形的个数为___________． 15. 如图， 是等边三角形，点在 上，，，是射线上的一个动点，连接．以为边，在的左侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，的长为________． 三、解答题（本大题8个小题，共75分） 16. 计算及化简： （1）； （2）． 17. 某班级拟开展科技主题班会活动，现从“科技安全”，“科技畅想”，“科技生活”，“科技前沿”，“科技故事”中挑选一个主题．全班同学通过投票选出最受欢迎的主题，投票结果的条形统计图与扇形统计图如下： 请根据以上信息，完成下列问题： （1）本次投票共__________人参与，其中科技安全所占百分比为__________，并补全条形统计图． （2）为确定班会科技主题，从该班选择7名学生代表为“科技畅想”和“科技故事”打分，分数列表如下： 科技畅想 10 9 9 3 6 9 10 科技故事 9 10 7 8 6 8 8 平均数 中位数 众数 科技畅想 9 科技故事 8 8 c 求表中的数据：________， ________，________． （3）结合上述信息，应该选择哪个科技主题，并说明理由． 18. 如图，矩形中， ． （1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，与，，交于点，，； （2）点在上，点在上， ，连接 ，，求证：四边形 是正方形； （3）若， ，直接写出四边形 的周长． 19. 如图，已知菱形，点在轴上，反比例函数的图象经过菱形的顶点，连接，与反比例函数图象交于点． （1）求反比例函数解析式； （2）求直线的解析式和点的坐标． 20. 某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下． 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 1．站在与教学楼底部同一水平地面的处，由于大树 的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部处（此时三点在同一条直线上）； 2．测量两点和两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛处看校徽顶部处的仰角； 4．向后退至点处时，视线恰能看到校徽底部处（此时三点在同一条直线上），测量两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛处看校徽底部处的仰角． 实验图示 测量数据 1．AD 2． 3． 4．． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直． 参考数据：，cos，． 请你根据以上实验过程和测量的数据，完成： （1） ______________________； （2）计算校徽的高度．（结果保留整数） 21. 为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平．某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．已知购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等，购买2个篮球和5个排球共需800元． （1）求每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ （2）该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍．请给出最节省费用的购买方案，并求出最少的费用． 22. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，点，是该抛物线上的两点，横坐标分别为，已知点，作点关于点的对称点． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； （3）设拋物线在两点之间的部分（含两点）为图象，当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的值． 23. 如图，在菱形中，，点为线段 上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段 的中点重合，则 度，线段与线段 的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段 的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南省普通高中招生考试模拟试卷 数学（一） 注意： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分． 2．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（下面各题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的序号填涂在答题卡相应位置．每小题3分，共30分） 1. 在，0，2，5这四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】解题思路为：依据有理数大小比较规则，即负数小于 ， 小于正数，来比较这四个数的大小，找出最小数 ．本题主要考查了有理数的大小比较，熟练掌握“负数小于 ， 小于正数”的大小比较规则是解题的关键． 【详解】解：有理数大小比较规则：负数正数． 对于、 、、这四个数， 是负数， 是零，、是正数， ， 即最小的数是． 故选： ． 2. 某博物院收藏的一件“镇馆之宝”-云纹青铜大铙，如图1，云纹青铜大铙是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌．图2为其示意图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图是从上面往下看得到的图形即可得出结果． 【详解】解：由图形可得，该图形的俯视图为． 3. 依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024-2026年）》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：3000亿． 故选：D． 4. 如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线的性质得到，进而可求得，再结合物理知识求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由反射角等于入射角得， ∴． 5. 下列运算中，计算错误的是（） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据合并同类项法则，积的乘方法则，同底数幂的乘法法则，完全平方公式计算各选项，找出计算错误的选项即可． 【详解】解：A、，本选项计算正确； B、，本选项计算正确； C、，本选项计算正确； D、，本选项计算错误． 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式 ，根据该性质列方程即可求解． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 判别式， 解得． 7. 如图，在平行四边形中，，对角线 交于点 ，点是的中点，连接，点是的中点，连接 ，则 的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形性质可得 ，即 为中点，又是的中点，所以 是 中位线，然后根据中位线定理即可求解，掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ，即 为中点， ∵是的中点， ∴ 是 中位线， ∴， ∵，点P是的中点， ∴，即． 8. 在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动将分三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成，则参与者小刚和小利被分配到同一组的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先列出所有等可能的分配结果，再找出两人分到同一组的结果数，根据概率公式计算即可得到答案． 【详解】解：列表如下： 小利\小刚 A B C A B C 由表格可得，一共有9种等可能性的结果，其中小刚和小利被分配到同一组的结果有3种． ∴参与者小刚和小利被分配到同一组的概率是． 9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将 沿 折叠，点落在点处．若点的坐标为，则 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设 ，可得，在 中，利用勾股定理可求出 ，根据翻折的性质得出 ，， ，设，在 中利用勾股定理可求出a值，即可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设与y轴交于点G， ， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点B坐标为， ∴， ∵将 沿 折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为， ∴ ，， ， 在 中，由勾股定理得：， ∴， 解得： ， ∴， 设，则，， 在 中，由勾股定理得：， ∴， 解得：，则． 10. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，（单位：A）与电阻（单位： ）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法错误的是（ ） A. 与的关系式为 B. 当时， C. 当时，可能为6.5 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】根据待定系数法求出函数解析式，然后根据反比例函数的性质，数形结合逐项判断即可． 【详解】解：设， 把代入，得， 解得， ∴，故选项A正确，但不符合题意； 当时，，故选项B正确，但不符合题意； 当时，，解得， 观察图象，当时，， ∴不可能为6.5，故选项C错误，符合题意； 当时，， 观察图象，当时，，故选项D正确，但不符合题意． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 某校八年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择______． 【答案】乙同学 【解析】 【分析】本题考查的是运用方差和平均数作决策，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．根据平均环数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度． 结合表中数据，先找出平均数最大的同学；再根据方差的意义，找出方差最小的同学即可． 【详解】解：从平均数的角度分析， ∴乙和丁同学平均成绩最高， 从方差角度分析， ∴乙和甲方差最小，最稳定， ∴选择乙同学参加比赛， 故答案为：乙同学 12. 不等式组的整数解的和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求两个不等式的解集，进而求得整数解，再求和，即可求解． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： ∴整数解为，， ，， ，，，，，，，，， 整数解的和为． 13. 在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的内切圆、外接圆、勾股定理等知识点．如图：连接相交于O，由正方形的内切圆的半径是2，，，再运用勾股定理可得，则，最后根据圆的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接相交于O， ∵正方形的内切圆的半径是2， ∴，， ∴，， ∴图中阴影部分的面积是． 故答案为：． 14. 生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，，则第18个图案需要用矩形的个数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据规律得出第个图案中矩形的个数：，算出第18个图案中矩形的个数即可． 【详解】解：∵第1个图案中矩形的个数：； 第2个图案中矩形的个数：； 第3个图案中矩形的个数：； … 第个图案中矩形的个数：， ∴第18个图案中矩形的个数为：． 15. 如图，是等边三角形，点在上，，，是射线 上的一个动点，连接 ．以 为边，在 的左侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．过点作交于点，分类讨论，逐个分析，即可解答． 【详解】解：①当时，如图，过点作，交于点． 是等边三角形，是等边三角形，， ，， ∴ 是等边三角形， ， ，即， ， ， 是 的中点， ， ； ②当时，由①，得，则，与矛盾， 此种情况不成立； ③当时， 如图，过点作，交于点． 、是等边三角形，， ，， ∴ 是等边三角形， ， ，即， ， ， ， ， ， ． 综上所述，的长为或． 三、解答题（本大题8个小题，共75分） 16. 计算及化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算乘方，零次幂，负整数指数幂，绝对值，再合并即可； （2）先计算括号内的加法，再利用分式的乘法法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 某班级拟开展科技主题班会活动，现从“科技安全”，“科技畅想”，“科技生活”，“科技前沿”，“科技故事”中挑选一个主题．全班同学通过投票选出最受欢迎的主题，投票结果的条形统计图与扇形统计图如下： 请根据以上信息，完成下列问题： （1）本次投票共__________人参与，其中科技安全所占百分比为__________，并补全条形统计图． （2）为确定班会科技主题，从该班选择7名学生代表为“科技畅想”和“科技故事”打分，分数列表如下： 科技畅想 10 9 9 3 6 9 10 科技故事 9 10 7 8 6 8 8 平均数 中位数 众数 科技畅想 9 科技故事 8 8 c 求表中的数据：________， ________，________． （3）结合上述信息，应该选择哪个科技主题，并说明理由． 【答案】（1）， 补全条形统计图为： （2）8，9，8 （3） 应该选择“科技畅想”，因为给“科技畅想”活动的打高分的人数最多，表示其更受欢迎（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，求中位数、众数、平均数等知识点，正确理解统计图是解题的关键． （1）由科技生活的人数除以占比得到投票人数，用总人数减去其余的人数求出科技安全的人数，再除以总人数，即可求出占比，以及补全条形统计图； （2）根据平均数，中位数，众数的定义即可求解； （3）可以根据中位数和众数分别进行分析即可． 【小问1详解】 解：本次投票人数为： （人）， 科技安全人数为：（人）， ∴占比为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 将“科技畅想”的打分排列为：3，6，9，9，9，10，10， 则中位数 ； 在“科技故事”打分中，8分出现次数最多， ∴ ， 故答案为：8，9，8； 【小问3详解】 略 18. 如图，矩形中， ． （1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，与，， 交于点， ，； （2）点在上，点在 上， ，连接 ，，求证：四边形 是正方形； （3）若 ， ，直接写出四边形 的周长． 【答案】（1） 解：如图所示， 即为所求； （2） 解：如图所示，连接 ，， ∵ 垂直平分 ∴ ， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ ∴四边形 是矩形 ∵ ∴四边形 是正方形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的作法作图； （2）连接 ，，证明出，得到，然后证明出四边形 是矩形，然后结合 即可证明四边形 是正方形； （3）首先利用勾股定理求出，然后解直角三角形求出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形 的周长． 19. 如图，已知菱形，点在轴上，反比例函数的图象经过菱形的顶点，连接，与反比例函数图象交于点． （1）求反比例函数解析式； （2）求直线的解析式和点的坐标． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）由得，又四边形是菱形，则，得到，从而求出直线的解析式为，然后联立，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， ∴ ∴直线的解析式为， ∵点是反比例函数与正比例函数的交点， ∴联立解析式， 解得或， ∵， ∴． 20. 某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下． 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 1．站在与教学楼底部同一水平地面的处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部处（此时三点在同一条直线上）； 2．测量两点和两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛处看校徽顶部处的仰角； 4．向后退至点处时，视线恰能看到校徽底部处（此时三点在同一条直线上），测量两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛处看校徽底部处的仰角． 实验图示 测量数据 1．AD 2． 3． 4．． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直． 参考数据：，cos，． 请你根据以上实验过程和测量的数据，完成： （1） ______________________； （2）计算校徽的高度．（结果保留整数） 【答案】（1）14；27.5 （2）2.02 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得出答案； （2）先根据，求出 ，同理求出 ，然后根据得出答案． 【小问1详解】 解：由题意，得四边形，四边形为矩形， ∴， ． 【小问2详解】 在 中，， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， 所以校徽的高度为． 21. 为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平．某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．已知购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等，购买2个篮球和5个排球共需800元． （1）求每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ （2）该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍．请给出最节省费用的购买方案，并求出最少的费用． 【答案】（1） 每个篮球的价格是150元，每个排球的价格是100元． （2） 最节省费用的购买方案是购买篮球20个，排球40个，最少费用为7000元． 【解析】 【分析】（1）根据题干给出的两个等量关系，列出二元一次方程组求解即可得到两种球的单价； （2）设购买篮球的个数，得到总费用关于篮球个数的一次函数，再根据题干给出的不等关系求出自变量的取值范围，利用一次函数的增减性即可求出最小费用和对应的购买方案． 【小问1详解】 解：设每个篮球的价格为x元，每个排球的价格为y元，根据题意可得  ， 解得：， 答：每个篮球的价格是150元，每个排球的价格是100元． 【小问2详解】 解：设购买篮球m个，总费用为W元，则购买排球个，其中m为正整数， ∴ ，，， ∴ ，m为正整数， ∴总费用 ， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当m取最小值20时，W取得最小值，此时（元），个， 答：最节省费用的购买方案是购买篮球20个，购买排球40个，最少费用是7000元． 22. 在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，抛物线经过点，点，是该抛物线上的两点，横坐标分别为，已知点，作点关于点的对称点． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； （3）设拋物线在两点之间的部分（含两点）为图象，当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将代入，即可求解； （2）根据抛物线的对称轴为直线，得出，进而求得，根据点是点关于点的对称点，进而利用中点坐标公式，即可求解； （3）根据解析式得出顶点坐标，根据，可得图象的最小值为，进而比较的大小，分情况讨论，结合题意列出关于的方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得 ， 解得：， ∴该抛物线所对应的函数解析式． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵两点关于该抛物线的对称轴对称，点，是该抛物线上的两点，横坐标分别为， ∴， 解得：， ∴点横坐标为， ∴，即． ∵点是点关于点的对称点， 设， ∴， ∴，， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， 即当时，最小值为，， ∵点，是该抛物线上的两点，横坐标分别为，， ∴，，图象的最小值为， ∴， 当时，即时，， ∴当时，最大值为， 同理可得，当时，最大值为， 依题意，当时，， 解得：（舍去）或， 当时，， 解得： 或（舍去）， 综上所述，或． 23. 如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点 重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段 的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到 ，射线 交射线 于点，若，求的长． 【答案】（1）， ； （2），理由： 如图，把绕顺时针旋转 得到 ， ∴ ，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点在线段上，且， ∴ ，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）的长为或. 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； （2）如图，把绕顺时针旋转 得到 ，证明为等边三角形，可得，，求解，，，可得，进一步可得结论； （3）如图，当在线段上，记与交于点，证明，可得，设 ，则，可得，证明，再进一步解答即可；如图，当在线段上时，延长交于，同理可得： ，设，而，则，可得，证明，再进一步可得答案. 【详解】解：（1）∵在菱形中， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵点与线段的中点 重合， ∴， ； （2）略 （3）如图，当在线段上，记与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设 ，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 如图，当在线段上时，延长交于， 同理可得：，， ∴， 设，而，则， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上：的长为或. 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $