3.3 第2课时 一次函数的图象和性质 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

3.3 一次函数的图象 第3章 一次函数 第2课时 一次函数的图象和性质 ÷ 八年级下册数学（湘教版） 　 (1) 什么叫一次函数？从表达式上看，一次函数与正比例函数有什么关系？ (2) 正比例函数的图象是什么？是怎样得到的？ (3) 正比例函数有哪些性质？是怎样得到这些性 质的？ 复习导入 正比例函数 表达式 y = kx（k≠0） 性质：k＞0，y 随 x 的增大而增大；k＜0，y 随 x 的增大而减小． 一次函数 表达式 y = kx+b（k≠0） 针对函数 y = kx + b，要研究什么？怎样研究？ 图象：经过原点和点 （1，k）的一条直线 x y O k＞0 k＜0 x y O 图象： ？ 性质： ？ 一次函数的图象的画法 在上一课的学习中，我们学会了正比例函数图象的画法，分为三个步骤． ①列表 ②描点 ③连线 那么你能用同样的方法画出一次函数的图象吗？ 1 探究新知 探究 在平面直角坐标系中，先画出函数 y = 2x 的图象，然后探索 y = 2x + 3 的图象是什么样的图形，并由此猜测 y = 2x + 3 的图象与 y = 2x 的图象之间有什么关系. x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y= 2x ··· -6 -4 -2 0 2 4 6 ··· y= 2x+3 ··· -3 -1 1 3 5 7 9 ··· 先取自变量的一些值，算出 y = 2x ，y = 2x + 3 对应的函数值，所列表格如下： x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y= 2x ··· -6 -4 -2 0 2 4 6 ··· y= 2x+3 ··· -3 -1 1 3 5 7 9 ··· 从上表可以看出，横坐标相同，y = 2x + 3 的点的纵坐标比 y = 2x 的点的纵坐标大 3，于是将 y = 2x 的图象向上平移 3 个单位，就得到 y = 2x + 3 的图象，如图所示. y = 2x y=2x+3 比较上面两个函数的图象回答下列问题： (2) 函数 y = 2x 的图象经过 ， 函数 y = 2x + 3 的图像与 y 轴交于点( )，即它可以看作由直线 y = 2x向 平移 个单位长度而得到. (1) 这两个函数的图象形状都 是 ，并且倾斜程度 . 原点 0 ，3 上 3 一条直线 3. 比较三个函数的表达式， 相同，它们的图象的位置关系是 . 自变量系数 k 平行 相同 y = 2x y=2x+3 要点总结 一次函数 y = kx + b(k≠0) 的图象经过点 (0，b)，可以由正比例函数 y = kx 的图象平移 个单位长度 (当 b＞0时，向 平移；当 b＜0 时，向 平移)而得到. 下 上 | b | 一次函数 y = kx + b 的图象是一条直线，它与正比例函数 y = kx 的图象平行 (当 b≠0 时)或重合 (当 b = 0 时). 一般过 (0，b) 和 ( ，0) 或 (1，k＋b). (0，b) ( ，0) 一次函数 y = kx + b 的图象 也称为 直线 y = kx + b. 由于“两点确定一条直线”，因此画一次函数图象时，只要确定两个点，再过这两点画直线就可以了. 归纳总结 与 y 轴的交点 与 x 轴的交点 横坐标是 1 的点 例1 画出一次函数 y = -2x - 3 的图象. 解：当 x = 0 时，y = -3； 当 x = 1 时，y = -5. 在平面直角坐标系中描出两点 A(0，-3)，B(1，-5)，过这两点作直线，则这条直线是一次函数 y = -2x - 3 的图象，如图所示. 典例精析 O y = -2x-1 y = 0.5x+1 1. 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象： （1）y = - 2x - 1；（2）y = 0.5x + 1. x 0 1 y = -2x -1 y = 0.5x +1 -1 -3 1 1.5 也可以先画直线 y = -2x 与 y = 0.5x，再分别平移它们，也能得到直线 y = -2x - 1 与 y = 0.5x + 1. 练一练 2. (1) 将直线 y ＝ 2x 向上平移 2 个单位后所得图象对应的函数表达式为(　　) A．y＝2x－1 B．y＝2x－2 C．y＝2x＋1 D．y＝2x＋2 (2) 将正比例函数 y＝－6x 的图象向上平移，则平移后所得图象对应的函数表达式可能是 _____________ (写出一个即可)． D y＝－6x＋3 （1） （2） （3） -3 O -2 2 3 1 2 3 -1 -1 -2 x y 1 思考：k，b 的值跟图象有什么关系？ 一次函数的性质 画一画1：在同一坐标系中作出下列函数的图象. 2 画一画2： 在同一坐标系中作出下列函数的图象. （1） （2） （3） -3 o -2 2 3 1 2 3 -1 -1 -2 x y 1 思考：k，b 的值跟图象有什么关系？ -3 O -2 2 3 1 2 3 -1 -2 x y 1 -1 在一次函数 y = kx + b (k， b 为常数， k ≠ 0) 中， 当 k＞0 时，函数值 y 随着 x 值的增大而增大； 当 k＜0 时，函数值 y 的值随着 x 值的增大而减小. 由此得到一次函数的性质： 归纳总结 例2 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 是一次函数 y = -0.5x + 3 图象 上的两点，下列判断中，正确的是 ( ) A. y1＞y2 B. 当 x1＜x2 时，y1＜y2 C. y1＜y2 D. 当 x1＜x2 时，y1＞y2 D 解析：根据一次函数的性质，当 k＜0 时，y 随 x 的增大而减小，所以 D 为正确答案． k 0，b 0 k 0，b 0 k 0，b 0 k 0，b 0 k 0，b 0 k 0，b 0 思考：根据一次函数的图象判断 k，b 的正负，并说出直线经过的象限： ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ = ＞ ＜ ＜ ＜ ＜ = 【总结】一次函数 y = kx＋b 中，k，b 的正负对函数图象及性质有什么影响？ 当 k＞0 时，直线 y = kx＋b 从左到右逐渐上升，y 随 x 的增大而增大. 当 k＜0 时，直线 y = kx＋b 从左到右逐渐下降，y 随 x 的增大而减小. ① b＞0 时，直线经过第一、二、四象限； ② b＜0 时，直线经过第二、三、四象限. ① b＞0 时，直线经过第一、二、三象限； ② b＜0 时，直线经过第一、三、四象限. 3. 两个一次函数 y1 ＝ ax＋b 与 y2 ＝ bx＋a，它们在同一坐标系中的图象可能是(　　) C 练一练 例3 已知一次函数 y = (1 - 2m)x + m - 1，求满足下列条件的 m 的值： （1）函数值 y 随 x 的增大而增大； （2）函数图象与 y 轴的负半轴相交； （3）函数的图象过第二、三、四象限. 解：(1) 由题意得 1 - 2m＞0，解得 (2) 由题意得 1 - 2m≠0 且 m - 1 < 0，即 (3) 由题意得 1 - 2m < 0 且 m - 1 < 0，解得 例4 右图描述了某一天小华从家骑车去中国红色书店购书，然后又骑车回家的情况. 说出小华在路上的情形吗？ 分析：小华骑车离家的距离 y 是时间 x 的函数，这个函数图象由 3 条线段组成，每一条线段代表一个阶段的活动. 解：第一段是从原点出发的线段OA. 从横坐标看出，小华路上花了 30 min，当横坐标从 0 变化到30 时，纵坐标均匀增加，这说明小华从家出发匀速前进 30 min，到达书店. 第二段是一条与 x 轴平行的线段 AB. 当横坐标从 30 变化到 60 时，纵坐标没有变化，这说明小华在书店购书停留了 30 min. 第三段是与 x 轴有交点的线段BC. 从横坐标看出，小华路上花了 40 min. 当横坐标从 60 变化到 100 时，纵坐标均匀减少，这说明小华从书店出发匀速前进 40 min，直到返回家中. 实际上，比较第一段与第三段线段，可以发现第一段更“陡”，这说明去书店的速度更快，而回家的速度要慢一些. 一次函数的图象和性质 当 k > 0 时，y 的值随 x 值的增大而增大； 当 k < 0 时，y 的值随 x 值的增大而减小 与 y 轴的交点是（0，b）， 与 x 轴的交点是（ ，0）； 当 k > 0， b > 0 时，经过一、二、三象限； 当 k > 0 ，b < 0 时，经过一、三、四象限； 当 k < 0 ，b > 0 时，经过一、二、四象限； 当 k < 0 ，b < 0 时，经过二、三、四象限 图象 性质 课堂小结 1. 一次函数y = x - 2 的大致图象为（ ） C A B C D 2.下列函数中，y 的值随 x 值的增大而增大的函数是 ( ) A. y = -2x B. y = -2x + 1 C. y = x - 2 D. y = -x - 2 C 课堂练习 3. 直线 y = 3x - 2 可由直线 y = 3x 向 平移 个单位得到. 4. 直线 y = x + 2 可由直线 y = x - 1向 平移 个单位得到. 下 2 上 3 5. 点 A(-1，y1)，B(3，y2) 是直线 y = kx + b(k < 0)上的两点，则 y1 - y2 0 (填“>”或“<”). ＞ 6. 已知一次函数 y＝(3m - 8)x＋1 - m 图象与 y 轴交点在 x 轴下方，且 y 随 x 的增大而减小，其中 m 为整数，求 m 的值. 解: 由题意得 解得 又∵ m 为整数， ∴ m = 2. $