精品解析：四川绵阳市安州区东辰国际学校2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷

四川省绵阳市安州区东辰国际学校2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷 一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案中只有一个答案符合题目要求） 1. 下列食品标识图中，依次表示绿色饮品、绿色食品、有机食品和速冻食品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查识别轴对称图形与中心对称图形．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意． 故选D． 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是6 B. 13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月 C. 射击运动员射击一次，命中靶心 D. 打开电视，正在播放《大国工匠》 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下，一定会发生的事件是必然事件，进行判断即可． 【详解】解：A、是随机事件，不符合题意； B、是必然事件，符合题意； C、是随机事件，不符合题意； D、是随机事件，不符合题意； 故选B． 3. 在平面直角坐标系中，以为圆心，1为半径的圆与坐标轴的位置关系( ) A. 与x轴相切 B. 与x轴相离 C. 与y轴相切 D. 与y轴相交 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形的性质等知识，熟练掌握点到直线的距离与半径的大小关系是判断直线与圆位置关系的关键．根据，可判断直线与圆的位置关系． 【详解】解： 点到 轴的距离为 ， ， 点为圆心， 为半径的圆与 轴相切， 故选：A． 4. 如图， 是 内接三角形， 是中点，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 连接，根据圆周角定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵ 是中点，， ∴， ∴， ∴． 故选：C 5. 若点与点关于原点对称，则（ ） A. 8 B. C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的性质，负整数指数幂；正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．直接利用关于原点对称点的性质得出 ， 的值，进而代入代数式求值，即可求解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴ ∴ 故选：D． 6. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作 轴，垂足为C．点B为y轴上的一点，连接．若 的面积为8，则k的值是（　　） A. 8 B. C. 16 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接 ，先利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：如图，连接 ， ∵ 轴， ∴， ∴， 而， ∴， ∵ ， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，向坐标轴作垂线，这一点、垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 7. 如图，在 中， 且 于 ， 垂直平分 ，与 交于 ，与 交于 ，若 ，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接 ，根据线段垂直平分线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得，设，则，在 中，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，连接 ， ∵ 垂直平分 ， ∴， ∵ 且 ，， ∴， ∵ ， ∴， 设，则， 在 中，， ∴， 解得：， 即． 8. 等边三角形 的三边分别为 ， ， ，且满足方程，则方程的两根为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程解，等边三角形的性质的定义，根据已知条件可知，原方程化为，解方程，即可求解． 【详解】解：∵等边三角形 的三边分别为 ， ， ， ∴， ∴原方程可化为， 解得：， 故选：B． 9. 2025年2月份，我国自主研发的软件一经发布，便占据各大应用市场下载榜首．据统计，该软件首日在某平台的下载量为40万次，第二天、第三天连续增长，这三天累计下载量达到了200万次．设这三天的日平均增长率为 ．根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据日平均增长率x，分别计算三天的下载量：首日40万次，第二天万次，第三天万次，三天总和等于 万次，进行作答． 【详解】解：∵首日下载量：40万次， ∴第二天下载量：万次， ∴第三天下载量：万次， ∴三天累计下载量：万次， 故选：C 10. 已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为3，则a的值为（ ） A. 1或0 B. 1或 C. 或 D. 0或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据二次函数，可以得到该函数的对称轴，再根据当时，函数的最大值与最小值的差为3和二次函数的性质，分类讨论列出方程，然后求解即可． 【详解】解：二次函数， ∴该函数的对称轴为直线，函数的最小值为， ∵函数的最大值与最小值的差为3， ∴函数的最大值为2， ∵当时，函数的最大值与最小值的差为3， ∴当，即时，时，， ， 解得，（舍去）， 当，即时， 时，， ， 解得（舍去），， 故选：C． 11. 函数的图像与x轴交于点，顶点坐标为，其中．以下结论正确的是（　　）． ①； ②（t为任意实数）； ③函数在 和x＝﹣2处的函数值相等； ④函数的图像与的函数图像总有两个不同交点； ⑤函数在内既有最大值又有最小值． A. ①②⑤ B. ①②③ C. ①③⑤ D. ②③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点坐标得到抛物线对称轴，结合与x轴交点判断出a，b，c的符号，再利用二次函数的图像与性质逐一判断各结论即可解答． 【详解】解：∵顶点坐标为，，抛物线与 轴交于点， ∴抛物线开口向下，即，对称轴为直线， ∵对称轴公式为， ∴， ， ， 把代入得，将代入得， ∴， ， ； ①，，，，即①正确； ②∵抛物线开口向下，顶点是最高点，即对任意实数 ，都有 ， 两边减 得，即，即②正确． ③∵对称轴为， 到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，距离不相等， ∴两处函数值不相等，即③错误； ④联立，整理得， 判别式，代入得 ， 当时，没有两个交点，因此不是总有两个不同交点， ∴函数的图像与的函数图像不总有两个不同交点，即④错误； ⑤∵对称轴在区间内，抛物线开口向下， ∴时函数取得最大值， 又∵到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴当时取得最小值， ∴在区间内既有最大值又有最小值，即⑤正确． 综上，正确结论为①②⑤，即选项A符合题意． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应横线．） 12. 已知关于 的一元二次方程有两个实根，则 的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个实数根，即可得．同时考查了一元二次方程的定义． 由关于 的一元二次方程有两个实数根及一元二次方程的定义，即可得判别式且，继而可求得 的取值范围． 【详解】∵关于 的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：， ∵方程是一元二次方程， ∴ 的取值范围是且． 故答案为：且． 13. 的半径为，是 的两条弦， ，，．则 和 之间的距离是_____________ ． 【答案】或 【解析】 【分析】分圆心 在弦 和 的同侧和之间两种情况，分别根据垂径定理和勾股定理求得、，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解： 当圆心 在弦 和 的同侧，如图：连接 、 ，过 作于 ，且直线 交 于 ， ， ， ，， ，， ， 同理， ∴，， ； 如图：圆心 在弦 和弦 之间， 同理可得、， ∴， 所以弦 和 之间的距离是或． 14. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长是_______________．(结果保留π) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆的知识，理解弧三角形的概念、掌握正多边形的中心角的求法是解题的关键．根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可． 【详解】解：如图： ∵ 是正三角形，边长为， ∴，， ∴的长为： ， ∴“莱洛三角形”的周长． 故答案为：． 15. 如图，以正方形的 边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交 边于点E，若 的周长为18，则直角梯形的周长为_______ ． 【答案】21 【解析】 【分析】根据切线长定理得到，根据三角形周长公式求出正方形的边长，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设，正方形的边长为a， ∵ 与半圆O切于点F， ∴，， ∵ 的周长为18， ∴， ∴， ∴， 在中，， 而，，， ∴， 解得：， ∴， ∴直角梯形的周长为：． 16. 如图， 为半圆 的直径，点 为半圆上的一点，，垂足为点 ，延长 与半圆 交于点 ．若，，则图中阴影部分的面积为 _________ ． 【答案】 【解析】 【分析】连接 ，由等腰三角形的性质得到，即可求出，由含30度角的直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，由垂径定理得到，求出的面积，扇形的面积，然后根据阴影的面积求解即可． 【详解】解：连接 ，如图所示： ∵ ， ， ， ∵， ， ∵，， ， ， ∵， ， 的面积， ∵， 阴影的面积． 17. 阅读与思考 下面是小宇收集的一篇数学笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 利用“解析法”解几何问题 笛卡尔是法国数学家、科学家和哲学家，他的哲学与数学思想对历史的影响深远．1637年，笛卡尔发表了《几何学》，创立了直角坐标系．其中核心思想是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的．这种解决问题的方法，我们称之为“解析法”．下面是解析法应用的一个例子： 例题：如图1，在中，， 是 的角平分线，，，用你所学的知识求线段 的长． 解：如图2，以O为坐标原点， 所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． ∵， 是 的角平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ，． ∴，． 设直线 的函数表达式为 ． ∴． 解得， ∴． 当 时， ． ∴线段 的长为3． 通过这个问题的解答，我们发现用“解析法”解决几何问题，关键是根据图形特点，建立适当的平面直角坐标系． 任务：请用“解析法”解答问题：如图3，在边长为4的正方形中，点E，F分别在上，且，，垂足为G，O是对角线 的中点，连接 ，则 的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】依据题意，以B为原点， 所在直线为x轴， 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，根据已知求出A、E、F、D的坐标，从而得解析式，联立解析式可求G坐标，然后利用两点间的距离公式即可得到 的长度． 【详解】解：以B为原点， 所在直线为x轴， 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图3所示： ∵四边形是正方形，边长为4， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设直线 解析式为，则， 解得， ∴直线 解析式为， 设直线 解析式为，则， 解得， ∴直线 解析式为， 由得，， ∴， ∵O为 中点， ∴， ∴． 故 的长为：． 三、解答题：（本大题共7个小题，计90分．解答应写出文字说明、证明过程或推理步骤）. 18. 按要求完成下列各题： （1）解方程； （2）如图，网格中最小的正方形的边长为1个单位长度，网格中有一个 ，顶点A，B，C均在格点上． ①若 和关于原点成中心对称图形，请直接写出顶点，，的坐标． ②将 以A点为中心，顺时针旋转 ，请作出旋转后的图形，并求出线段 在旋转过程中扫过的图形的面积． 【答案】（1）， （2）①，，；②图见解析， 【解析】 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）①利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； ②利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，再利用扇形面积公式求解． 【小问1详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 ①如图，即为所求，，，； ②如图，即为所求． ∵， ∴线段 在旋转过程中扫过的图形的面积． 19. “强国必须强语，强语助力强国”为全面落实国家语言文字方针政策，弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织学生参加了“推广普通话，奋进新征程”为主题的朗诵比赛，该校随机抽取部分学生比赛成绩进行统计，将成绩分为：A、B、C、D四个等级，并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题： （1）样本容量为________；“C”等所在扇形的圆心角的度数为________度； （2）请将条形统计图补充完整（要求在条形图上方表明人数）； （3）学校要从答题成绩为 等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生做“推广普通话宣传员”，请用列表或画树状图法，求抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率． 【答案】（1）50， （2） 补全条形统计图，如图所示： （3） 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联、树状图或列表法求概率等知识，根据题意正确计算是解题的关键． （1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可样本的容量；用成绩为C等级的人数所占百分比乘以即可求出 等级所在扇形圆心角的度数； （2）用抽取总人数乘以 等级的人数所占百分比，求出成绩为 等级的人数，进而求得 等级的人数，即可补全条形统计图； （3）根据题意画出树状图，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， ∴样本容量为 “ ”等所在扇形的圆心角的度数为 故答案为：50，； 【小问2详解】 解： 等级的人数为：（人），则 等级的人数为（人） 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中抽出的两名学生恰好是甲和乙的结果数有2种， ∴抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率为． 20. 已知关于 方程，其中 是实数． （1）求证：不论 取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程有两个实数根为，求代数式的最小值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0恒成立； （2）将将代入原方程得到，再根据方程得到，，代入代数式，配方可得m的最小值． 【详解】解：（1）△= = = = ∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）∵为方程的实数根， ∴将代入原方程得： ，， ∴， ==， ∵，， 原式= = = 故原代数式的最小值为． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系和根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于N、E两点，直线NE与坐标轴交于A、B两点，过点B作x轴的平行线 ， 交反比例函数图象于点M，已知点A坐标为，． （1）求a的值和反比例函数的解析式． （2）若，直接写出自变量x的取值范围． （3）若点D在x轴正半轴上，且，连接 ， ，双曲线上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）x的取值范围是或 （3）存在，P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3），设点的坐标为，则，即可求解． 【小问1详解】 （1）将点A的坐标代入得：， 解得， 故一次函数的表达式为①， 令 ，则，故点； 在中，，，则， 而，则， 则点M的坐标为，则点C的纵坐标为3， 将点M的坐标代入并解得， 故反比例函数表达式为② 【小问2详解】 联立①②得：，解得 或 ， 故点N、E的横坐标分别为2， ， 从函数图象看，，自变量x的取值范围是或； 【小问3详解】 ∵，则， 则， 设点P的坐标为， 则， 解得， 故点P的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查的是反比例函数与一次函数的性质、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中． 22. 为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第 天（且 为整数）的售价 （元/千克）与 的函数关系式，销量（千克）与 的函数关系式为，已知第5天售价为80元/千克，第10天售价为70元/千克． （1）试确定m，n的值； （2）假设该农产品的成本为10元/千克，每天直播需支付给平台和人工费用共140元，第x天的销售利润为W元，求第x天的销售利润W元与x之间的函数关系式，并求出第几天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？ （3）在试销售的30天中，销售利润不低于1180元的共有多少天？ 【答案】（1）， （2），第14天的销售利润最大，最大日销售利润是1212元 （3）日销售利润不低于1180元的共有9天 【解析】 【分析】（1）用待定系数法可得 ， 的值； （2）根据销售利润=（售价-成本）乘以销量减去直播需支付给平台和人工费用，列出函数解析式，再根据函数性质求解即可； （3）把代入（2）中所求函数解析式，得到一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入得：， 解得，； 【小问2详解】 解：； ， ， 抛物线开口向下，又， 当时， 的值最大，最大值为1212元， 即第14天的销售利润最大，最大日销售利润是1212元． 【小问3详解】 解：当时，，整理得， ，， 是整数， 可取10，11，12，13，14，15，16，17，18， 日销售利润不低于1180元的共有9天． 【点睛】本题考查一次函数，二次函数的应用、一元二次方程、不等式问题，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式，根据函数的性质求解． 23. 如图，在 中，AB是直径，点C在 上．在 的延长线上取一点D，连接 ，使． （1）求证：直线 是 的切线； （2）若，求 的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）连接得到，圆周角定理得到 ，进而得到，再说明，根据切线的判定即可证得结论； （2）根据等腰三角形的性质和三角形外角定理证明，推出是等边三角形，得到，根据含30度直角三角形的性质求出 ，即可求出 ． 【小问1详解】 证明：连接 ，则： ， ∴． ∵ 是直径， ∴ ， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∵ 是 半径， ∴直线 是 的切线； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∵ ， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵ ， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，已知二次函数的图像与x轴交于点两点，与y轴交于点C，其中点C可由点B绕原点逆时针旋转 得到． （1）求抛物线的解析式； （2）点G为抛物线上一动点，连接 ，当点C到直线 的距离最大时，求的面积为多少； （3）当点P在对称轴左侧的抛物线上时，对称轴上是否存在一点D，使得是以 为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）8 （3）存在，点D坐标为或或 【解析】 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）由题易得时，点C到 的距离最大，据此求解即可； （3）设出点D的坐标，构造三垂直全等，表示出点P坐标，进而代入抛物线解析式即可解答． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为：， 由题意得：点C的坐标为， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：设点C到 的距离为h，则， ∵点C到直线 的距离最大， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设直线 的解析式为： ， ，解得：， ∴直线 的解析式为：， 联立，解得：或， ∴点G的坐标为， ∴， ∵点C的坐标为， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵抛物线的解析式为：． ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设点D的坐标为，， ①点D为直角顶点， Ⅰ、，作对称轴于点M，则， ∴， ∴点P为， ∴，解得：（不合题意，舍去）， ∴点D的坐标为， Ⅱ．，如图2，点， ∴，则， ∴（取负值）， ∴点D的坐标为， ②A为直角顶点，过点A作y轴的平行线，作轴的平行线于点M，轴的平行线于点N，则， ∴， ∴点P为， ∴，解得， ∵点P在对称轴左侧， ∴， ∴点D坐标为； 综上，点D坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省绵阳市安州区东辰国际学校2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷 一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案中只有一个答案符合题目要求） 1. 下列食品标识图中，依次表示绿色饮品、绿色食品、有机食品和速冻食品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是6 B. 13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月 C. 射击运动员射击一次，命中靶心 D. 打开电视，正在播放《大国工匠》 3. 在平面直角坐标系中，以为圆心，1为半径的圆与坐标轴的位置关系( ) A. 与x轴相切 B. 与x轴相离 C. 与y轴相切 D. 与y轴相交 4. 如图， 是 内接三角形， 是中点，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若点与点关于原点对称，则（ ） A. 8 B. C. 9 D. 6. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作 轴，垂足为C．点B为y轴上的一点，连接．若 的面积为8，则k的值是（　　） A. 8 B. C. 16 D. 7. 如图，在 中， 且 于 ， 垂直平分 ，与 交于 ，与 交于 ，若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 8. 等边三角形 的三边分别为 ， ， ，且满足方程，则方程的两根为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 2025年2月份，我国自主研发的软件一经发布，便占据各大应用市场下载榜首．据统计，该软件首日在某平台的下载量为40万次，第二天、第三天连续增长，这三天累计下载量达到了200万次．设这三天的日平均增长率为 ．根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为3，则a的值为（ ） A. 1或0 B. 1或 C. 或 D. 0或 11. 函数的图像与x轴交于点，顶点坐标为，其中．以下结论正确的是（　　）． ①； ②（t为任意实数）； ③函数在 和x＝﹣2处的函数值相等； ④函数的图像与的函数图像总有两个不同交点； ⑤函数在内既有最大值又有最小值． A. ①②⑤ B. ①②③ C. ①③⑤ D. ②③④⑤ 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应横线．） 12. 已知关于 的一元二次方程有两个实根，则 的取值范围是______． 13. 的半径为，是 的两条弦， ，，．则 和 之间的距离是_____________ ． 14. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长是_______________．(结果保留π) 15. 如图，以正方形 的 边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交 边于点E，若 的周长为18，则直角梯形的周长为_______ ． 16. 如图， 为半圆 的直径，点 为半圆上的一点，，垂足为点 ，延长 与半圆 交于点 ．若，，则图中阴影部分的面积为 _________ ． 17. 阅读与思考 下面是小宇收集的一篇数学笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 利用“解析法”解几何问题 笛卡尔是法国数学家、科学家和哲学家，他的哲学与数学思想对历史的影响深远．1637年，笛卡尔发表了《几何学》，创立了直角坐标系．其中核心思想是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的．这种解决问题的方法，我们称之为“解析法”．下面是解析法应用的一个例子： 例题：如图1，在中，， 是 的角平分线，，，用你所学的知识求线段 的长． 解：如图2，以O为坐标原点， 所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． ∵， 是 的角平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ，． ∴，． 设直线 的函数表达式为 ． ∴． 解得， ∴． 当 时， ． ∴线段 的长为3． 通过这个问题的解答，我们发现用“解析法”解决几何问题，关键是根据图形特点，建立适当的平面直角坐标系． 任务：请用“解析法”解答问题：如图3，在边长为4的正方形 中，点E，F分别在上，且，，垂足为G，O是对角线 的中点，连接 ，则 的长为__________． 三、解答题：（本大题共7个小题，计90分．解答应写出文字说明、证明过程或推理步骤）. 18. 按要求完成下列各题： （1）解方程； （2）如图，网格中最小的正方形的边长为1个单位长度，网格中有一个 ，顶点A，B，C均在格点上． ①若 和关于原点成中心对称图形，请直接写出顶点，，的坐标． ②将 以A点为中心，顺时针旋转 ，请作出旋转后的图形，并求出线段 在旋转过程中扫过的图形的面积． 19. “强国必须强语，强语助力强国”为全面落实国家语言文字方针政策，弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织学生参加了“推广普通话，奋进新征程”为主题的朗诵比赛，该校随机抽取部分学生比赛成绩进行统计，将成绩分为：A、B、C、D四个等级，并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题： （1）样本容量为________；“C”等所在扇形的圆心角的度数为________度； （2）请将条形统计图补充完整（要求在条形图上方表明人数）； （3）学校要从答题成绩为 等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生做“推广普通话宣传员”，请用列表或画树状图法，求抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率． 20. 已知关于 方程，其中 是实数． （1）求证：不论 取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程有两个实数根为，求代数式的最小值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于N、E两点，直线NE与坐标轴交于A、B两点，过点B作x轴的平行线 ， 交反比例函数图象于点M，已知点A坐标为，． （1）求a的值和反比例函数的解析式． （2）若，直接写出自变量x的取值范围． （3）若点D在x轴正半轴上，且，连接 ， ，双曲线上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第 天（且 为整数）的售价 （元/千克）与 的函数关系式，销量（千克）与 的函数关系式为，已知第5天售价为80元/千克，第10天售价为70元/千克． （1）试确定m，n的值； （2）假设该农产品的成本为10元/千克，每天直播需支付给平台和人工费用共140元，第x天的销售利润为W元，求第x天的销售利润W元与x之间的函数关系式，并求出第几天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？ （3）在试销售的30天中，销售利润不低于1180元的共有多少天？ 23. 如图，在 中，AB是直径，点C在 上．在 的延长线上取一点D，连接 ，使． （1）求证：直线 是 的切线； （2）若，求 的长． 24. 如图，已知二次函数的图像与x轴交于点两点，与y轴交于点C，其中点C可由点B绕原点逆时针旋转 得到． （1）求抛物线的解析式； （2）点G为抛物线上一动点，连接 ，当点C到直线 的距离最大时，求的面积为多少； （3）当点P在对称轴左侧的抛物线上时，对称轴上是否存在一点D，使得是以 为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $