第一次学情自测模拟试卷（考试范围：第16、17章）-2025-2026学年沪科版数学八年级下学期.

2025-2026学年八年级下学期数学月考模拟试卷 （考试范围：第16～17章.二次根式、一元二次方程及其应用） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列各式中是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式． 根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是二次根式，故本选项符合题意； B．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意； C．当时，不是二次根式，故本选项不符合题意； D．的被开方数不是二次根式，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．计算（   ） A． B． C．5 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了复合二次根式的混合运算，先利用完全平方公式化简二次根式，再加减即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：D． 3．已知，，则a与b的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化，先对a进行分母有理化化简，再结合b的表达式分析a与b的数量关系，进而选择正确选项即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，即． 故选：A． 4．已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入已知等式建立关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， 又∵， ∴， 解得． 5．如果用配方法解一元二次方程，那么方程可变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边整理为完全平方式即可得到结果． 【详解】解： ∵原方程为， ∴移项得， ∴， ∴整理得 ． 6．已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是（） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】将已知根代入原方程，即可解出参数a的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个实数根， ∴将代入原方程，得， 计算得， 整理得， 解得． 7．观察分析下列各数：，，，，，，根据其中的规律，则第个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原数列各项统一改写为二次根式形式，找出被开方数的规律，再计算第个数即可． 【详解】解：把原数列各数改写为二次根式可得：，，，，，，…， ∴第个数为，为正整数， ∴第个数为． 8．若方程中，满足和，则方程的根是（　　） A．1，2 B．1 C．1 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴把代入方程得：， ∴方程的一个根， 把代入方程得：， ∴是方程的一个根； ∴方程的根是，， 故选：B． 9．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 10．某体育馆需要购进100个足球，经调查，某品牌足球2024年单价为200元，2026年单价为162元，2024年到2026年该品牌足球单价平均每年降低的百分率是（　　） A．10% B．19% C．20% D．30% 【答案】A 【分析】设出未知量，根据两年前后的单价列方程求解，再舍去不合题意的解即可解答． 【详解】解：设该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x， ∵2024年单价为200元，2024年到2026年共经过2年，2026年单价为162元， ∴列方程得， 两边同除以200得， 开平方得 ， ∵降低率x满足， ∴只取，解得， ∴该品牌足球单价平均每年降低的百分率是． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．一元二次方程的根的判别式的值为______． 【答案】1 【分析】本题考查了根的判别式，熟记一元二次方程的根的判别式的公式为．根据根的判别式等于，代入求值即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 12．若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查非负性，化简二次根式，利用绝对值和平方的非负性，求出 m 和 n 的值，再化简二次根式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 13．若三角形的一边长为，面积为，则这条边上的高为____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，解题的关键是熟悉三角形的面积公式． 利用三角形面积公式，将已知面积和边长代入，求解高. 【详解】解：设这条边上的高为 ，根据三角形面积公式 ，代入已知值得 ． 两边同乘以得 ， 再两边同除以得 ． 故答案为：． 14．若是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的特征．把代入方程得到，将原式转化为，然后代入求值即可． 【详解】解：是方程的一个根， ∴， ， ， 故答案为：． 15．若最简二次根式与可以合并，则___________． 【答案】2 【分析】本题考查同类二次根式，最简二次根式，根据同类二次根式，最简二次根式的定义可得和，求出m，n的值即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴，， 解得：；， ∴． 故答案为：2． 16．[传统文化]《千里江山图》是中国十大传世名画之一．如图是某画家临摹的部分内容，已知画的长为，宽为，若要装裱这幅画，装裱后的长和宽两端均增加了，则装裱后的长为___________，宽为___________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的应用，判断出矩形的长，宽可得结论． 【详解】解：由题意矩形的长为， 宽为， 故答案为：；． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和性质是解答本题的关键． （1）利用二次根式的乘法法则，先将系数与被开方数分别相乘，再化简结果； （2）将除法转化为乘法，结合二次根式的性质化简，再进行约分计算； （3）按照从左到右的顺序，依次运用二次根式乘除运算法则，结合幂的运算性质化简，最终得到结果． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 18．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 19．先化简，再求值：，其中， 【答案】，． 【分析】本题主要考查了整式的化简与求值，以及平方差公式、完全平方公式的应用．熟练掌握平方差公式、完全平方公式以及合并同类项的技巧是解题的关键． 利用平方差公式、完全平方公式以及合并同类项进行化简．化简完成后，再将给定的和的值代入化简后的式子中，求出最终的结果． 【详解】解： ， 当时，原式． 20．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为米的正方形雕像． (1)求绿化的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果要化简） (2)求出当，时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题考查了整式的混合运算以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）由长方形面积减去正方形面积表示出绿化的面积即可； （2）将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：根据题意得： 平方米； （2）解：当，时，原式平方米． 21．已知是方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，求代数式的值，先根据方程根的定义推出，然后将进行化简，再把代入化简后的代数式中计算即可．解题的关键是掌握一元二次方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴ ， ∴代数式的值为． 22．已知与最简二次根式可以加减合并，b是27的立方根． (1)求a，b的值； (2)求的平方根； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)6 【分析】本题考查最简二次根式，平方根和立方根，化简求值： （1）根据题意，得到和是同类二次根式，求出的值，立方根的定义求出的值即可； （2）先求出代数式的值，再根据平方根的定义进行求解即可； （3）求出的值，将转化为，再代值计算即可． 【详解】（1）解：，由题意，得：， ∴， ∵b是27的立方根， ∴； （2）解：当，时， ， ∴的平方根； （3）， ∴ ． 23．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若该方程只有一个根小于2，求的取值范围． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)或 【分析】本题考查一元二次方程的判别式和根的性质，准确计算是解题的关键． （1）根据根的判别式判断即可； （2）先利用因式分解解方程，再进行求解即可； 【详解】（1）证明：由题可得：，，， ， 方程总有两个实数根； （2）方程可因式分解为， 或， 或， 恒成立， 当方程有两个相等的实数根时，满足条件，即，； 当方程有两个不相等的实数根时，方程只有一个根小于时，需另一个解， ． 的取值范围为或． 24．如图，利用一面墙（墙最长可利用），围成一个矩形花园，与墙平行的一边上要预留宽的入口（如图中所示，不用砌墙），现有砌长的墙的材料． (1)当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为； (2)能否围成面积为的矩形花园，为什么？ 【答案】(1)米； (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设矩形与墙平行的边的长度为米，根据总砌墙长度表示出垂直于墙的边的长度，再根据矩形面积公式列出一元二次方程，求解后结合墙的最长利用长度筛选出符合条件的解； （2）同样根据面积公式列出方程，求解后判断所得的长度是否符合墙的限制条件，若超出则不能围成． 【详解】（1）解：设的长度为米()，则垂直于墙的边的长度为米， 根据题意，得， 整理为：， 因式分解得：， 解得：，(舍去)， 答：当矩形的长为米时，矩形花园的面积为． （2）解：假设能围成面积为的矩形花园，设的长度为米()，同理可得垂直于墙的边的长度为米， 根据面积列方程：， 整理为：， 解得：，， ∵墙最长可利用，，，均不符合题意， ∴不能围成面积为的矩形花园． 答：不能围成面积为的矩形花园． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期数学月考模拟试卷 （考试范围：第16～17章.二次根式、一元二次方程及其应用） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列各式中是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．计算（   ） A． B． C．5 D．1 3．已知，，则a与b的关系是（   ） A． B． C． D． 4．已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值是（   ） A． B． C．2 D．3 5．如果用配方法解一元二次方程，那么方程可变形为（　　） A． B． C． D． 6．已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是（） A． B． C．1 D．2 7．观察分析下列各数：，，，，，，根据其中的规律，则第个数是（    ） A． B． C． D． 8．若方程中，满足和，则方程的根是（　　） A．1，2 B．1 C．1 D．无法确定 9．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 10．某体育馆需要购进100个足球，经调查，某品牌足球2024年单价为200元，2026年单价为162元，2024年到2026年该品牌足球单价平均每年降低的百分率是（　　） A．10% B．19% C．20% D．30% 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．一元二次方程的根的判别式的值为______． 12．若，则__________． 13．若三角形的一边长为，面积为，则这条边上的高为____________． 14．若是方程的一个根，则代数式的值为______． 15．若最简二次根式与可以合并，则___________． 16．[传统文化]《千里江山图》是中国十大传世名画之一．如图是某画家临摹的部分内容，已知画的长为，宽为，若要装裱这幅画，装裱后的长和宽两端均增加了，则装裱后的长为___________，宽为___________． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．计算： (1)； (2)； (3)． 18．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 19．先化简，再求值：，其中， 20．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为米的正方形雕像． (1)求绿化的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果要化简） (2)求出当，时的绿化面积． 21．已知是方程的根，求代数式的值． 22．已知与最简二次根式可以加减合并，b是27的立方根． (1)求a，b的值； (2)求的平方根； (3)若，求的值． 23．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若该方程只有一个根小于2，求的取值范围． 24．如图，利用一面墙（墙最长可利用），围成一个矩形花园，与墙平行的一边上要预留宽的入口（如图中所示，不用砌墙），现有砌长的墙的材料． (1)当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为； (2)能否围成面积为的矩形花园，为什么？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $