第23章 数学活动-2025-2026学年八年级下册数学同步辅导（人教版）

数学 活动1水龙头的滴水量 1.水是生命之源，节约用水是每个公民应尽的 义务.水龙头关闭不严会造成滴水，小辉同学 为了调查漏水量与漏水时间的关系，进行了 以下的试验与研究 在一个滴水的水龙头下放置一个能显示水量的 容器，设水量为w(mL),滴水时间为t(min), 得到下表的数据： 时间t/min 0 5 10 15 20 水量e/mL 5 20 35 50 65 (1)请根据表中信息，在图1的平面直角坐标 系中描点、连线，画出w关于t的函数图 象；根据图象发现，与t符合学习过的 函数关系（填“正比例”或“一 次”). (2)根据以上判断，求心关于t的函数解析式. (3)假设有10个这样的水龙头，一个成年人 一天大约饮用1600mL水，请你估算这10 个水龙头一天(24h)的漏水量可供一个成 年人饮用多少天 ↑hnL 80 70 50 30 0 051015202530t/mim 图1 活动 活动2纸杯的高度 2.图2①是1个纸杯和4个叠放在一起的纸杯 的示意图，借此探究叠在一起的纸杯的总高 度H(cm)与纸杯数量x(个)之间的关系.设 纸杯底部到纸杯杯沿下方的高为hcm,杯沿 高为acm. (1)纸杯底部到纸杯杯沿下方的高h(cm)是 (填“常量”或“变量”). (2)写出纸杯的总高度H(cm)关于纸杯数量 x(个)的函数解析式： (用含a,h的式子表示). (3)琳琳同学经过实践探究，列出下列表格： 纸杯数量x/个 3 6 纸杯总高度H/cm 9.5 14 ①根据表格中数据求出h和a的值. ②该型号纸杯有15个装、20个装、25个 装共三种包装，均把纸杯叠放成一摞进 行包装，图2②是某品牌饮水机的示意 图，储藏柜的高度是40cm.则该储藏柜 能放得下（杯口向上）这三种包装中哪 些包装的纸杯？ ② 图2 复习课 典例精析 【例1】已知y+5与3x+4成正比例，且 2m-1>0, 当x=1时，y=2. (1)根据题意，得{m2一3=1，解得m=2. (1)求y与x之间的函数关系式： m>0, (2)求当x=一1时的函数值； (2)当m=2时，y=(2m-1)xm-3+m= (3)如果y的取值范围为0≤y≤5，那么x 3x+2. 的取值范围是多少？ 令x=0,则y=2,即点B的坐标为(0,2)， 思路分析：本题考查正比例函数定义及已知 所以OB=2; 函数的取值范围，如何求自变量x的取值范围.。 令y=0,则x= 3,即点 解：(1)设y十5=k(3x十4)(k是常数，k≠0). 当x=1时，y=2, A的坐标为(-号0)， 所以2+5=k(3×1+4),解得k=1, 所以y与x的函数关系式为y+5=3x+ 所以oA=号引 31 图23-1 4,即y=3.x-1. 如图23-1所示 (2)当x=-1时，y=3×(-1)-1=-4. 所以S△ABO= ·0M·0B=×号× 1 (3)当0≤y≤5时，即0≤3x-1≤5，所以 合←2 2≈2 【例3】甲、乙两人相约登山，他们同时从 【例2】已知y=(2m-1)xm-3+m是x的 入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行 一次函数，且y随x的增大而减小，求m的值. 15min到缆车站，再乘坐缆车直达山顶.甲、乙 (1)一变：若y=(2m-1)xm-3+m是x的 距山脚的竖直高度y(单位：m)与甲登山的时间 一次函数，且函数图象经过第一、二、三象限，求 x(单位：min)之间的函数图象如图23一2所示. n的值； (1)当15≤x≤40时， (2)二变：若一变中的一次函数图象与x轴、 300 求乙距山脚的竖直高度y y轴交于A、B两点，求△ABO的面积. 关于x的函数解析式 16(0 思路分析：(1)根据一次函数的定义及其性 (2)求乙乘坐缆车上 质求出m的值；(2)令x=0或y=0求出相对 15254060a/mim 升过程中，和甲处于同一高 应的y或x的值，得到A、B的坐标，然后求 图23-2 度时距山脚的竖直高度， △ABO的面积. 解：(1)设乙距山脚的竖直高度y关于x的 2m-1<0, 解：根据题意，得 解得m=一2. 函数解析式为y=kx十b. m2-3=1, .直线过(15,0)和(40,300)，解得m=260(符合题意). 故m的值为260， (2)当0<n<100时， 方案一需付n元， 方案二需付0.8n元，0.8<n,不符合题意. 当100≤n<200时，令n-(100-70)<0.8n, 解得n<150,∴.100≤n<150. 当200≤n<300时， 方案一优惠的价格为(100一70)×2=60（元）， 方案二优惠的价格小于300×(1一0.8)= 60(元)，符合题意. 当300≤n<400时， 方案一优惠的价格为(100一70)×3=90（元）， 方案二优惠的价格不超过400×(1一0.8)= 80(元)，符合题意. 综上，n的取值范围为100≤n<150或200≤ n<400. 数学活动 1.解：(1)如图所示.一次 (2)设关于t的函数解析式为w=kt十b.将 (0,5)和(5,20)的坐标分别代入=kt十b, b=5, k=3, 得 解得 5k+b=20, b=5. ∴.关于t的函数解析式为=3t+5. Au:/mT. 80叶-TT 70 60 50 40-+ 十十- 30 20-* +-+-+-+- 10/+--+-+-+- O51015202530t/mir (3)24×60=1440(min), 当t=1440时，w=3×1440+5=4325. 一个水龙头一天的漏水量为4325-5 4320(mL),4320×10÷1600=27(天). 故大约可供一个成年人饮用27天. 2.解：(1)常量 (2)H=h十ax(x≥1，且x为整数) (3)①由题意，得 3a+h=9.5, a=1.5, 6a+h=14, 解得 h=5. ∴.h的值为5，a的值为1.5. ②根据题意，得 1.5x+5<40,解得<9 x≥1，且x为整数，∴.x的最大值为23. ∴.该储藏柜能放得下（杯口向上）这三种包 装中15个装、20个装的纸杯. 复习课 【复习训练】 1.B2.C3.C4.B5.C6.A7.B 8.>9.25010.4 11.y=x-3或y=-x+3 12.解：(1).点C(m,4)在正比例函数y= 专女的图象上4=等m, .m=3,.点C的坐标为(3,4). ·一次函数y=kx十b的图象经过点 A(-3,0),点C(3,4), /0=-3k+6, 2 k= 解得 3 ”4=3k+b, b=2. ·一次函数的解析式为y= 3x+2. (2).点P是y轴上一点， 点C的坐标为(3,4)， .△BPC的边BP上的高是3. 又.△BPC的面积为6，.BP=4, 对于y=号x十2，令=0，则y=2, .点B的坐标为(0,2)， ∴.点P的坐标为(0,6)或(0，-2). 13.解：(1)12080 (2)设线段MN所对应的函数解析式为 y=kx+b(1.5≤x≤6)， 将(1.5,360)，(3,240)的坐标分别代入 y=kx十b中， 得，56+6=360， 解得 k=一80， 3k+b=240, b=480, .线段MN所对应的函数解析式为y= -80x+480(1.5≤x≤6). (3)由题意可得，当y=0时，x=6,