23 数学活动(4) 节约用水消除水龙头上的浪费&重点强化专题(3) 一次函数的应用-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版·新教材）

数学活动（四）节约用水 【背景材料】 我国是一个水资源短缺的国家，日常生活中有 很多水龙头由于漏水造成大量的浪费，某校园 内有一个漏水的水龙头，八年级数学活动小组 探究其漏水造成的浪费情况。 ←y/mL 3 25 2 15 0 5 O1234567t/min 【提出问题】 小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面接 水，探究量筒中的总水量y(单位：mL)是否为时 间t(单位：min)的函数？ 【分析问题】 小明每隔1min记录量筒中的总水量，但因操 作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得 到如下表的一组数据： 时间t 2 3 (min) 总水量y 0 15 20 25 30 (mL) (1)请在上图的平面直角坐标系内描出上表中 数据对应的点； (2)根据上表中的数据和所描的点，判断y= 和y=kt十b(k≠0，且k,b为常数)哪一个能 正确反映量筒中的总水量y与时间t的函 数关系？求出这个关系式； (3)小明继续实验，当量筒中的水刚好有60mL 时，所需时间为多少分钟？ (4)按此漏水速度，半小时会浪费多少毫升 的水？ 消除水龙头上的浪费 5)若一个人一天大约饮用1500mL水，请你 估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水 量可供一个人饮用多少天. 助学助教优质高数96 重点强化专题（三） 类型一纯文字类型 1.(2025·黑龙江龙东地区改编)2024年8月6 日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气 象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮 相.第一中学为鼓励学生积极参加体育活动， 准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现 优秀的学生.已知购买3个“蜀宝”和1个“锦 仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个 “锦仔”共需380元. (1)购买一个“蜀宝”需要 元，购买一个 “锦仔”需要 元； (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个， 投入资金不少于2160元又不多于2200 元，有哪几种购买方案？ (3)设学校投入资金W元，在(2)的条件下， 哪种购买方案需要的资金最少？最少资 金是多少元？ 2.某中学计划暑假期间安排2名老师带领部分 学生参加红色旅游.甲、乙两家旅行社的服务 质量相同，且报价都是每人1000元.经协商， 甲旅行社的优惠条件：老师、学生都按八折收 费；乙旅行社的优惠条件：两位老师全额收 97八年级数学·下册 一次函数的应用 费，学生都按七五折收费. (1)设参加这次红色旅游的老师、学生共有x 名，y甲，yz（元)分别表示选择甲、乙两家 旅行社所需的费用，求y甲，y乙关于x的 函数解析式； (2)该校选择哪家旅行社支付的旅游费用 较少？ 类型二表格类型 3.【教材P142复习题T10变式】某建材公司从 甲、乙两个水泥厂采购某型号水泥共700吨， 其中从甲厂的采购量比从乙厂采购量的2倍 少200吨.公司计划将这批水泥运往A地 360吨、B地340吨，运费如表（单位：元/吨）： 工刀 A B 分 20 25 乙 15 24 (1)该公司从甲、乙两厂各采购了多少吨 水泥？ (2)设从甲厂运往A地的水泥为x吨，这批 水泥运往A,B两地的总运费为y元，求y 与x之间的函数关系式及x的取值范围； 公司应该怎么调运可使总运费最少？总 运费最少是多少？ 类型三图象类型 4.【新中考·跨物理学科】(2025·吉林)【知识 链接】 实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯 中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完 全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别 悬挂在弹簧测力计A,B的下方，从离桌面 20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体 中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮 力大小的变化.（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟 它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有 关.物体浸在液体中的体积越大、液体的密度 越大，浮力就越大。 总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉力 G重力；当小铝块浸入液面后，F拉力=G重力 F浮力 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组 发现：弹簧测力计A,B各自的示数F拉力（单 位：N)与小铝块各自下降的高度x(单位： cm)之间的关系如图②所示. 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测 力计A和弹簧测力计B的示数； (2)当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数 F拉力关于x的函数解析式； (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm 时，甲液体中的小铝块受到的浮力为 (单位：N),若使乙液体中的小铝块所受 的浮力也为m(单位：N),则乙液体中小 铝块浸入的深度为n(单位：cm),直接写 出m,n的值. B 20cml20cm非力 甲 图① ↑F拉N 弹簧测力计A的示数 弹簧测力B的示数 610 20x/cm 图② 助学助教优质高数98系式为y=kx十b(k,b为常数，且k≠0).将x=2,y=30和x=6,y=50代入y=k.x+ 6,得26士-30解得-0·乙队在2<≤6的时段内，y与x之间的函数关系 16k+b=50. 1b=20. 式为y=5x+20..∴.5.x十20=80，解得x=12..当河渠长度为80m时，乙需要12h 可以完工.12一8=4(h).答：如果两段河渠长度都为80m,甲比乙早4h完工. 第2课时选择方案(1) 基础练综合练素养练 1.>102.解：(1)甲厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的函数解析式为y甲=2 十1000，乙厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的函数解析式为yz=2x; (2)若 找甲厂印制，则3000=x十1000.解得x=2000.若找乙厂印制，则3000=2x解得x =1500.2000>1500,∴.找甲厂印制的宣传材料更多.3.解：(1)ym=20xy =10x十100(2)当y甲<yz,即20x<10x十100时，解得x<10,.当入园次数小于 10次时，选择甲种卡消费比较省钱；当ym=yz,即20x=10x+100时，解得x=10. ..当入园次数等于10次时，选择两种卡消费-样：当ym>yz,即20x>10x+100时 解得x>10,∴.当入园次数大于10次时，选择乙种卡消费比较省钱.4.解：(1)7 x(0<x300), (2)由题意，得y甲= 10.8x+60(x>300); (3)由题意，得yz=0.7x十150(x>500) 0.8x+60=0.7x+150,解得x=900;0.8x十60>0.7x+150,解得x>900;0.8x+60 <0.7x+150,解得x<900..当800<x900时，到甲商店更合算；当x=900时，两 商店一样；当x>900时，到乙商店合算 第3课时选择方案(2) 基础练综合练素养练 1.解：(1)y=-150x+2700(2)由题意，得x<6-x,解得x<3.由(1)知y=-150x 十2700.-150<0，y随x的增大而减小.x为正整数，∴.当x=2时，y有最小 值，最小值为一150×2+2700=2400.答：租用乙种客车2辆时，租车总费用最少，最 少为2400元.2.解：(1)12个10个(2)设该店第二次购进A款苗绣蜡染装饰 品a个，根据题意，得a<35。,解得a<12.又：a≥0,0<a≤12，设销售完这批苗 绣蜡染装饰品的利润为y元.根据题意，得y=(80一70)a十(75-68)(36一a)=3a+ 252.,3>0,y随a的增大而增大..当a=12时，y取最大值，最大值为288. 30x(0<x50), 3.(1)y= 124x+300(x>50) (2)解：，购进甲种水果为xkg,.购进乙种水果 (100-x)kg.由题意，得40x60.当40≤x≤50时，=30x+25(100-x)=5x十 2500.,5>0,.e随x的增大而增大.∴.当x=40时，心有最小值，最小值为5×40 +2500=2700;当50<x60时，w=24x+300+25(100-x)=-x+2800.,-1 <0,.心随x的增大而减小.∴.当x=60时，有最小值，最小值为一60十2800=2 740.,2740>2700,∴.当x=40时，有最小值，最小值为2700，此时100一x=60. 答：购进甲种水果40kg,乙种水果60kg,才能使经销商付款总金额最少 数学活动（四）节约用水一消除水龙头上的浪费 解：(1)图略(2)根据表中的数据和所描的点，y=kt十b(k≠0，且k,b为常数)能正确 反陕量筒中的总水量y与时间1的函数关系：一站。9：.解得3：“y=51十 5.当t=3时，y=20;当t=4时，y=25;当1=5时，y=30;∴.y=kx十b能正确反映量 筒中的总水量y与时间t的函数关系，这个关系式为y=5t十5；(3)当y=60时，则 5t十5=60.解得t=11.,∴.当量筒中的水刚好有60mL时，所需时间为11min;(4) 由解析式可知，水龙头每分钟漏水5L,当t=30时，y=5×30=150.按此漏水速度， 半小时会浪费150mL水；(5)30天=(30×24×60)min=43200min,可供一人饮 水天数为43200X5=140天.答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人 1500 饮用144天. 重点强化专题（三）一次函数的应用 1.解：(1)8868(2)设购买“蜀宝”x个，则购买“锦仔”(30一x)个.根据题意，得 8830)之68解得6<G8z为非负整数-678共有三种 购买方案，分别是：方案1购买“蜀宝”6个、“锦仔”24个，方案2购买“蜀宝”7个、“锦 仔”23个，方案3购买“蜀宝”8个、“锦仔”22个；(3)W=88x十68(30一x)=20x+ 2040.20>0,.W随x的增大而增大.x=6,7,8,∴.当x=6时W值最小，W小 =20×6十2040=2160.答：购买方案1需要的资金最少，最少资金是2160元. 2.解：(1)y厘=0.8×1000x=800x,yz=2×1000+0.75×1000(x-2)=750x十 500.(2)①当y甲<y2时，则800x<750x+500.解得x<10;②当y甲=y2时，则 800x=750x+500.解得x=10;③当y甲>yz时，则800x>750x+500.解得x>10 答：当老师、学生人数超过10人时，选择乙旅行社支付的旅游费用较少；当老师、学生 人数为10人时，两旅行社支付的旅游费用相同；当老师、学生人数少于10人时，选择 甲旅行社支付的旅游费用较少.3.解：(1)设该公司从甲厂采购了a吨水泥，从乙厂 采胸了6吨水泥，由题盛，得6。公0解得名答：该公司从甲厂采购了 400吨水泥，从乙厂采购了300吨水泥；(2).从甲厂运往A地的水泥为x吨，∴.从 甲厂运往B地的水泥为(400一x)吨，·从乙厂运往A地的水泥为(360一x)吨；∴.从 乙厂运往B地的水泥为340-(400一x)=(x一60)吨..y=20x+15(360一x)十 25(400-x)+24(z-60)=4x+13960.:/360060≤x≤360.：4>0，y x-60≥0. 随x的增大而增大.∴.当x=60时，y取最小值，此时y=4×60十13960=14200.· 400一x=340,360一x=300,x一60=0..∴.从甲厂采购400吨水泥运往A地60吨，运 往B地340吨；从乙厂采购的300吨水泥全部运往A地时，总运费最少，最少总运费 为14200元.4.解：(1)当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为2.8N,弹 簧测力计B的示数为2.5N;(2)当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉方关于 x的函数解析式为F拉力=kx+b(k、b为常数，且k≠0)，将坐标(6,4)和(10,2.8)分别 代人P。-:十6：得。8解得合83”当6区0时，鄂资测力计 A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力=一0.3x十5.8(6≤x≤10)；(3)根据图 象，圆柱体小铝块所受重力为4N,当x=8时，F拉=一0.3×8十5.8=3.4,4一3.4 0.6(N)..m=0.6,当6x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析 式为F拉方=k1x十b(k1,b1为常数，且k1≠0)，将坐标(6,4)和(10,2.5)分别代入为 F力=，x十b,得/6k十b,=4, 06,十=2,5解得-一0.36当6≤x≤0时弹簧测力 b1=6.25 计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F数方=-0.375x+6.25(6≤x≤10).当 -0.375x+6.25=3.4时，解得x=7.6,7.6-6=1.6(cm).∴.n=1.6. 第二十二、二十三章大单元整合与素养提升 典例导航 【例1】(1)C(2)y=-0.08.x十560≤x≤700【例2】解：(1)：点C在直线11：y= 2x一2上，∴.2=2m-2.解得m=2.:点C(2,2),B(3,1)在直线12上， 仔二改十解得会1， m的值是2，k的值是一1，b的值是4；(2)>(3)存在点 1b=4. M,使△ADM的面积是△ADC面积的2倍，理由如下：设点M的坐标为(x,y).根据 题意，得点C(2,2),A(4,0).D(1,0).AD=4-1=3.·Sc=2X3×2=3. △ADM的面积是△ADC面积的2倍，∴S△aw=6.∴.之X3X|y=6.解得y=士4， 当-x十4=4时，解得x=0,此时点M坐标为(0,4)；当-x十4=一4时，解得x=8, 此时点M坐标为(8，一4)，综上，点M的坐标为(0,4)或(8，一4).(4)2x<3【例 3】解：(1)设篮球的单价为x元，足球的单价为y元.答案不唯一，如选择条件①②：根 据题意，得30140解得二60答：篮球的单价为60元，足球的单价为50 v=50. 元；(2)设该学校购买篮球m个，则购买足球(10一m)个.根据题意，得10-m≤2m. 解得m≥9又：m≤109<m≤10.设学校要购买篮球、足球的总费用为0元。 根据题意，得w=60m+50(10一m)=10m十500..10>0，∴.随m的增大而增大 :号≤m≤10，且m为正整数，，当m=4时，心最小，最小值为540，答：购买4个篮 球时花费最少，最少费用是540元 考点过关 1.x12.-33.A4.C5.A6.D7.1(答案不唯一)8.(3,0)9.y=x+1 10.y=3x+1或y=-3x+111.A12.{（613.0.814.解：(D=0.8× 100x+1500=80x+1500,.y1=80x+1500.当0x100时，y2=100x;当x>100 时，，=100×100+0.7×100(x-100)=70x+3000.小y={70x+3000(x100) 100x(0x100) (2)当x=180时，y1=80×180+1500=15900,y2=70×180+3000=15600.,y1> y2,∴.学校选择B公司的服装花费更少.15.C16.解：(1)(8,0)(2)设AM=x, 则BM=AB-AM=6-x..OA=10,B'O=8,∴.B'A=2.△CBM沿CM翻折，. B'M=BM=6-x.在Rt△AB'M中，B'A+AMP=B'M,∴.2+x2=(6-x)2.解得 8 x 3M0,令，设CM所在直线的解析式为y=k+b,将C0.6.M08代 人，解得=一3.：CM所在直线的解析式为y=一 3x+6.(3)存在.：B(8, b=6 0).∴.0B=8.①当P点在x轴上时：△BCP的面积为12.∴2B'p·OC=12,即 2×6BP=12.解得B'P=4.B'(8,0),.P(12,0)或P(4,0);②当P点在y轴上 时，同理求得P(0,9)或P(0,3).综上所述：点P的坐标为(12,0)或(4,0)或(0,9)或 (0,3). 第二十四章数据的分析 24.1数据的集中趋势 24.1.1平均数 第1课时加权平均数 知识储备 1(无十x十十x)平均水平21心十心十十x方 1+2+…十n