第28章 锐角三角函数 聚焦中考-2025-2026学年九年级下册数学同步辅导（人教版2012）

聚焦 1.（长春)如图28一12，已知某山峰的海拔为 m米，一位登山者到达海拔为n米的点A处， 测得山峰顶端B的仰角为α，则A,B两点之 间的距离为( A.(m-n)sina米 B.m二”米 sina C.(m-n)cosa米 海平面 D.m二”米 图28-12 cosa 2.(杭州)如图28一13，已知△ABC内接于半径 为1的⊙O,∠BAC=0(0是锐角)，则△ABC 的面积的最大值为() A.cos0(1+cos0) B.cos0(1+sine) C.sin0(1++sing) D.sin(1cos) 6 图28-13 图28一14 3.(咸宁)如图28-14，在矩形ABCD中，AB= 2,BC=2√5，点E是BC的中点，将△ABE 沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF, 则cos∠ECF的值为() A号 B.0 4 C⑤ D.2⑤ 5 4.（重庆)如图28-15，在 建筑物AB左侧距楼底 B点水平距离150米的 C处有一山坡，斜坡CD 图28-15 的坡度（或坡比）为i=1:2.4,坡顶D到BC 的垂直距离DE=50米（点A,B,C,D,E在同 一平面内)，在点D处测得建筑物顶点A的仰 角为50°，则建筑物AB的高度约为（参考数 据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈ 中考 1.19)( A.69.2米 B.73.1米 C.80.0米 D.85.7米 (武汉)黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享 有“天下江山第一楼”的美誉.在一次综合实 践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼 AB的高度.具体过程如下：如图28一16②， 将无人机竖直上升至距水平地面102m的 C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端 B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是 m.(参考数据：tan63°≈2) 63 102 m 地面 ② 图28-16 (福建)无动力帆船 /航行方向 是借助风力前行的： P 帆 如图28一17是帆船 风向 借助风力航行的平面 、F2 示意图，已知帆船航 行方向与风向所在直 B 线的夹角∠PDA为 图28-17 70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风 对帆的作用力F为400N.根据物理知识，F 可以分解为两个力F,与F2,其中与帆平行的 力F,不起作用，与帆垂直的力F2又可以分解 为两个力f与f2,f与航行方向垂直，被舵 的阻力抵消；f2与航行方向一致，是真正推 动帆船前行的动力.在物理学上常用线段的 长度表示力的大小，据此，建立数学模型： F=AD=400,则f2=CD= .（单 位：N)(参考数据：sin40°=0.64，cos40°= 0.77) 7.(广东)中国新能源汽车为全球应对气候变化 和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新 能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站， 如图28一18是矩形PQMN充电站的平面示 意图，矩形ABCD是其中一个停车位.经测 量，∠ABQ=60°，AB=5.4m,CE=1.6m, GH⊥CD,GH是另一个车位的宽，所有车位 的长宽相同，按图示并列划定， B 图28-18 根据以上信息回答下列问题：（结果精确到 0.1m,参考数据√3≈1.73) (1)求PQ的长； (2)该充电站有20个停车位，求PN的长. 8.(天津)综合与实践活动中，要用测角仪测量 天津海河上一座桥的桥塔AB的高度（如图 28-19①). 某学习小组设计了一个方案：如图28一19②， 点C,D,E依次在同一条水平直线上，DE= 36m,EC⊥AB,垂足为C.在D处测得桥塔 顶部B的仰角（∠CDB)为45°，测得桥塔底 部A的俯角（∠CDA)为6°，又在E处测得桥 塔顶部B的仰角（∠CEB)为31°. (1)求线段CD的长（结果取整数）； (2)求桥塔AB的高度（结果取整数）. 参考数据：tan31°≈0.6，tan6°≈0.1. ② 图28-19 9.（甘肃)位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第 一墩，是明代万里长城最西端的一座墩台，始 建于明嘉靖十八年(1539年).随着岁月的变迁 和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降 低.为了解长城第一墩的现存高度，某校同学 们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践 活动.如图28一20是他们测量长城第一墩高 度AB的示意图，点A为最高点，点B,F,D是 地面同一直线上的三个点（点D,F都在保护栅 栏外)，在D,F处分别用测角仪测得∠ACG= 16.7°，∠AEG=22°，其中CD=EF=GB=1.7m. (测角仪的高度)，D=CE=5.5m,求长城第 墩的高度AB(结果精确到0.1m).（参考数据： sin22≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40， sinl6.7°≈0.29，cos16.7°≈0.96，tan16.7°≈ 0.30) 图28-20AM-BN=DP=1.5 m, 在△ABC中，∠CBD=∠ACB+∠CAB, .∠ACB=60°-30°=30°， ∴.∠ACB=∠CAB, .∴.BC=AB=20m. 在Rt△CBD中，BC=20m, ∠CBD=60,sin∠CBD=CD BC' sin60°=CD 20, ÷.CD=20sin60°=20×5=105(m), ∴.CP=CD+DP=10√3+1.5≈19(m). 故这座塔的高度约为19m. N甲P 答图28-2 答图28-3 11.解：如答图28一3所示，过点B分别作 BH⊥DE于点H,BP⊥FC于点P. .EDI CF,.四边形BPDH是矩形， ∴.BH=DP,BP=HD. AB -24 cm,BE AB -8 cm, ∠EBH=a=10°， ∴.在Rt△BEH中，HE=BE·sin∠EBH= 8·sin10°≈1.36(cm), BH=BE·cos∠EBH=8·cosl0°≈ 7.84(cm), ∴.DP=BH=7.84cm, HD=DE-HE=27.36-1.36=26(cm), ∴.BP=HD=26cm. .∠PBF=145°-90°-10°=45°， ∴.∠PFB=180°-∠BPF-∠PBF=45°， .'PF=BP=26 cm, .DF=DP+PF=7.84+26=33.84(cm). 故DF的长度约为33.84cm. 【聚焦中考】 1.B点拨：由题意知，BD=m,AE=n,四边形 ACDE是矩形，∴.CD=AE=n,∠ACB= 180°-∠ACD=90°.∴.BC=BD-CD= mm在Rt△ABC中，sin/BAC三BGy BC =n一”米.故选B. ·AB=sn乙BAc-sina 2.D点拨：本题考查垂径定 理、锐角三角函数的应用、 三角形的面积公式.如答图 28-4,过点A作AD⊥BC 于点D.当△ABC的高AD经答图28-4 过⊙O的圆心时，△ABC的面积最大 .AD⊥BC,∴.BC=2BD,∠BAD= ∠CAD,连接OB,可知∠BOD=∠BAC= 0,在Rt△BOD中，sin0= BD_BD FOB T,cos6 .BD-sin.OD-o0..c 2BD=2sin0,AD=AO+OD=1+cos0, ÷SAANC=2BC·AD=7X2sin0(1+ cos0)=sin0(1+cos0),故选D. 3.C点拨：由折叠可得AF=AB=2.BE= EF,∠AEB=∠AEF.点E是BC的中点， BC=25,∴.BE=CE=EF=5,.∠EFC= ∠ECF,AE=V22+(/5)2=3..∠BEF= ∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF, ∴.∠ECF=∠AEB,∴.cOS∠ECF=coS∠AEB= 能-成选C 4.D点拨：因为坡比i=1:2.4,所以DE: CE=5:12.又DE=50米，所以CE= 120米.因为BC=150米，所以BE=30米， 所以AB=tan50°×30+50≈85.7（米），故 选D, 5.51点拨：如答图28-5，CV=102m,过点 A作AM⊥CN于点M,则四边形ABNM是 矩形，'.AB=MN,AM=BN.在Rt△BCN 中，∠CBN=63°（提示：两直线平行，内错角 相等)，BN=,CN≈102=51(m), tan63o≈ 2 .AM=BN≈51m,在Rt△ACM中， ∠CAM=45°（提示：两直线平行，内错角相 等)，.CM=AM=51m.∴.MN=CN CM=102-51=51(m),.AB=51m,即 测得黄鹤楼的高度是51m. 45 63N -dM 102 m N地面 答图28-5 6.128点拨：.∠PDA=70°，∠PDQ=30°， ∴.∠QDA=40°.DQ∥AB,.∠A= ∠QDA=40°.在Rt△ABD中，AD=400, ∴.BD=AD·sin40°=400×0.64=256. 又在Rt△BCD中，∠BDC=180°-30° 90=60CD=BDc0s60=256X号 128,即f2=CD=128. 7.解：(1).四边形PQMN是矩形， ∴.∠Q=∠P=90°、 在Rt△ABQ中，AB=5.4m,∠ABQ=60°， AQ=Asin60°=-205m.∠BAQ-=30 .四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，AD= BC. .∠CBE=90°-∠ABQ=30°. 在Rt△BCE中，CE=1.6m, ..BC= CE 1.6=83(m). tan∠CBE tan30 ÷AD=BC=号E(m). .∠PAD+∠BAQ=90°， ∴.∠PAD=90°-∠BAQ=60°. ∴.PA=AD·cos∠PAD=AD·cos60°= 吉m. PQ=PA+AQ=5+85=名5≈ 3.5×1.73≈6.1(m). 故PQ的长约为6.1m. (2)在Rt△ABQ中，AB=5.4m,∠ABQ= 60°，∴.BQ=2.7m. 由(1)可知，BE=2CE=3.2m. ∴.QM=BQ+20BE=2.7+20X3.2= 66.7(m). .四边形PQMN是矩形， ∴.PN=QM=66.7(m). 故该充电站PN长为66.7m. 8.解：(1)设CD=x,由DE=36, 得CE=CD+DE=x+36. .EC⊥AB,垂足为C, ∴.∠BCE=∠ACD=90°. 在Rt△BCD中，tan∠CDB=BC, CD'∠CDB= 45°， ∴.BC=CD·tan∠CDB=x·tan45°=x. 在R△BE中，am∠CEB-签，∠CB= 31°， ∴.BC=CE·tan∠CEB=(x+36)·tan31°. .x=(x十36)·tan31°. 有=的00-5 1-0.6 故线段CD的长约为54m. (2)在R△ACD中，am∠CDA=S ∠CDA=6°， ∴.AC=CD·tan∠CDA≈54Xtan6°≈ 54×0.1=5.4. ∴.AB=AC+BC≈5.4+54≈59. 故桥塔AB的高度约为59m. 9.解：设AG长为xm,由题意得， 在Rt△AGE中，GE= AG AG tan∠AEG tan22 0.40 在Rt△AGC中，GC=AG AG tan∠ACc=tanl6.7≈ 0.30 .'GC-GE=EC=5.5 m. 0.300.40 =5.5. .解得x=6.6,即AG=6.6m. 由已知得GB=CD=EF=1.7m, ∴.AB=AG+GB=6.6+1.7=8.3(m) 答：长城第一墩的高度AB约为8.3m. 第二十九章 投影与视图 29.1投影 第1课时投影 【基础巩固】 1.D点拔：可以将点D看作点光源，由中心 投影可知AB的投影是BE,因此看不 见△ABE. 2.C点拨：由于太阳光是平行光，由平行投 影知，AM∥BN,故∠M=∠BNC=30°，在 Rt△BNC中，NC=√3米.由AM∥BN,得 瓷-放AB=2米 3.5.64.5.2 5.解：如答图29一1一1，线段PH为标杆GH 在路灯O下的投影. 0 D B C E 答图29-1-1 点拨：连接FD、CA并延长，交点O即为路 灯的位置，然后连接OG并延长交地面于 点P,则PH即为标杆GH在路灯O下的 投影， 【能力提升】 1.C2.A3.C 4.C点拨：延长AG交BE于点N,则四边 形GNEF是平行四边形，故NE=GF= 号HF=2米，BN=5+4+4-2=1(米). 由太阳光为平行光线，AB⊥BE,DF⊥BE, 易得△NAB△EFD,-AB= DF.BN_CH·BN=8.25(米). DE DE 5.点光源6.①③④ 7.解：(1)(2)如答图29-1-2. 小华小军 小丽 答图29-1-2 8.解：(1)由阳光与影子的性质可知DE∥AC, .∠BDE=∠BAC,∠BED=∠BCA. △BDEn△BAC器S 4C=V302+40=50(m),BD=2号m 3m,AB=40m, DE=号m (2)BE=√/DE2-BD=2m, 王刚到达E点所用时间为40十2=14(s), 3 张华到达D点所用时间为14一4=10(s). 张华追赶王刚的速度为(40一2号)÷10≈ 3.7(m/s).