28.2.6 应用举例-2025-2026学年九年级下册数学同步辅导（人教版2012）

第6课时卜应用举例（一） 基础巩固 1.一架飞机以30°角俯冲400m,则飞机的高度 5.在地面上一点测得一电视塔塔尖的仰角为 变化情况是() 45°，沿水平方向再向塔底前进am,又测得塔 A.升高400m B.下降400m 尖的仰角为60°，那么电视塔高为 m. C.下降200m D.下降200√3m 6.如图28一6一4，在观测点E测得小山上铁塔 2.如图28一6一1，某飞机于空中A处探测到地 顶端A的仰角为60°，铁塔底部B的仰角为 平面上目标B,此时从飞机上看目标B的俯 45°，已知塔高AB=20m,观测点E到地面的 角a=30°，飞行高度AC=1200m,则此时飞 距离EF=35m,求小山BD的高（精确到 机到目标B的距离AB为( 0.1m).(参考数据：√3≈1.732) A.1200m B.2400m C.400√/3m D.1200√5m B 图28-6-4 图28-6-1 图28-6-2 3.如图28-6-2，从山顶A望地面C、D两点， 测得它们的俯角分别是45°和30°，已知CD= 100m,点C位于BD上，则山高AB等 于() A.100m B.50m C.50m D.50(3+1)m 4.如图28一6-3，线段AB、CD分 别表示甲、乙两幢楼的高，AB⊥ 甲 BD、CD⊥BD,从甲楼顶部A处 测得乙楼顶部C的仰角α=30°， 测得乙楼底部D的俯角3=60°， 图28-6-3 已知甲楼高AB=24m,则乙楼 高CD= m. 能力提升 1.如图28一6-5，为测量一幢大楼的高度，在地 面上距离楼底O点20m的点A处，测得楼 顶B点的仰角∠OAB=65°，则这幢大楼的高 309 人60° 56 度约为（结果保留小数点后一位）( ) 图28-6-8 图28-6-9 图28-6-10 A.22.1m B.47.3m C.42.9m D.9.3m 5.如图28一6-9，在塔AB前的平地上选择一 30A 点C,测出塔顶的仰角为30°，从C点向塔底 走100米到达D点，测出塔顶的仰角为60°， 则塔AB的高为( …309 745 65 A.150√3米 B.2005米 0 3 图28-6-5 图28-6-6 图28-6-7 C.75√3米 D.50√/3米 2.如图28一6-6，从热气球C处测得地面A、B 6.如图28一6一10，为测量旗杆AB的高度，在 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球 C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一 与B距离为8米的C处测得旗杆顶端A的 直线上，则A、B两点的距离是( 仰角为56°，那么旗杆的高度约是 米 A.200米 B.200√3米 (结果保留整数).（参考数据：sin56°≈0.829， C.220√5米 D.100(√3+1)米 cos56°≈0.559，tan56°≈1.483) 3.如图28一6-7，王师傅在楼顶上的点A处测 7.如图28一6一11，某同学在楼房的A处测得 得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为30°，又 荷塘的一端B处的俯角为30°，荷塘另一端D 知水平距离BD=10m,楼高AB=24m,则 与点C、B在同一直线上，已知AC=32米， 树高CD为( ) CD=16米，则荷塘宽BD为 米（结 A.(24-10√3)m 24103 m 果保留整数).（参考数据：√3取1.73） 3 C.(24-5√3)m D.9 m 义309 609 4.如图28一6一8，氢气球升在广场上空，已知氢 气球的直径为4m,在地面A点测得氢气球中 心O的仰角∠OAD=60°，测得氢气球的视角 图28-6-11 图28-6-12 ∠BAC=2°(AB、AC为⊙O的切线，B、C为切 8.如图28一6一12，从山顶A处看到地面C点的 点).则氢气球中心O离地面的高度OD为（精 俯角为60°，看到地面D点的俯角为45°，测得 确到1m)(参考数据：sin1°≈0.0175，√3≈ 1.732)( CD=150√3米，则山高AB为 米（精 A.94mB.95mC.99m D.105m 确到1米).（参考数据：√≈1.732） 9.如图28一6一13，小强在教学楼的点P处观察 精彩-题 对面的办公大楼.为了测量点P到对面办公 如图28一6一15是小红家晒衣架的侧面示意 大楼上部AD的距离，小强测得办公大楼顶 图，立杆AB、CD相交于点O,B、D两点立于地 部点A的仰角为45°，测得办公大楼底部点B 面，经测量：AB=CD=136cm,OA=OC= 的俯角为60°，已知办公大楼高46米，CD= 51cm,OE=OF=34cm,现将晒衣架完全稳固 10米.求点P到AD的距离（用含根号的式 张开，扣链EF成一条直线，且EF=32cm. 子表示). (1)求证：AC∥BD; (2)求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度 数（精确到0.1）； (3)小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度达到 122cm,垂挂在晒衣架上是否会拖落到地 面？请通过计算说明理由 图28-6-13 (参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471， tan61.9°≈1.873；可使用科学计算器) 10.如图28-6一14，某校教学楼AB的后面有 一建筑物CD,当光线与地面的夹角是22 时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影 图28-6-15 子CE;而当光线与地面夹角是45°时，教学楼 顶A在地面上的影子的一个端点F与墙脚C 有13米的距离(B、F、C在一条直线上). (1)求教学楼AB的高度； (2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求 出A、E之间的距离（结果保留整数） 参考数据：sin22° 8,00s22°≈15 a22≈号 四 45 图28-6-14.BC=BD+DC=4x,AB=AE+BE= 7+√3x. 在Rt△ABC中，∠B=30°， ∴cosB=3_BC4x 2AB7+5.x 解得x=75,即DE的长为2g 【能力提升】 1.A2.D 3.B点拨：.在△ABC中，∠C=90°， cosB.BC-AB.cosB-10cos50 4.C 5D点接：∠C=901mA==3 .AC=6,∴.BC=2. 6.4√38√330°24√3 7.345°45°8.4厄 9.解：由勾股定理，得 c=√a2+=√62+(2√3)2=4√3. tanA-4=,65=B.∠A=60, .∠B=90°-60°=30°. 点拨：已知两条直角边，解直角三角形通常 用勾股定理求出斜边，利用两条直角边的 比得到正切值，求出一个锐角，利用两锐角 的互余关系求出另一个锐角. 10.解：如答图所示， .∠A=60°， .∠B=30°. 'sinA=C C' 答图 ..AC= CD √3 sinA sin60=2. tandc.cos ∴.BC=AC·tanA=2X√3=2√3， AB=AC 2 cosA cos60=4. 点拨：解直角三角形选择三角函数关系式 时，应遵循：“有弦用弦，无弦用切，宁乘勿 除，取原（原始数据）避中（中间求出的数 据)”的原则： 精彩一题 解：.∠C=90°，∠BDC=45°， ∴.∠CBD=∠BDC=45°， ..BC=DC=8. 又：sinA-S=iB旨 BC82 ∴.AB=20,∠A≈23.58°. .AC=√202-82=4√/2I, ∠B=90°-∠A≈90°-23.58°=66.42°. 第6课时应用举例（一） 【基础巩固】 1.C2.B 3.D点拨：由题意可知∠ABC=90°，∠ACB= 45°，∠ADB=30°，设AB=hm,则BC= hm,tan∠ADB=tan30°=AB=_AB BD CD+BC 100+h:解得h=50(3+1). h 4.325.3+3 6.解：过点E作EG⊥AD于点G, 由已知，得∠AEG=60°，∠BEG=45°. 在Rt△BEG中，BG=EG. 在Rt△AEG中，AG=EG·tan∠AEG= √3EG=√5BG. 又.'AG=AB+BG=20+BG, ∴.√3BG=20+BG, .BG=10(√3+1)m. '.BD=BG+GD,GD=EF=35 m, ∴.BD=10(/3+1)+35≈62.3(m). 【能力提升】 1.C2.D3.B 4.C点拨：连接OC.在Rt△OAC中，OC= 2m,∠OAC=1°，.AO≈114.3m.在 Rt△OAD中，OD=OA×sin60°≈99m. 5.D6.127.39 8.615点拔：由题意知AB=BD,BC3AB .'CD=BD-BC,CD=150√/3， 1- AB=150√5，.AB≈615米. 9.解：如答图28一6一1，连接PA、PB, 过点P作PM⊥AD于点M, 延长BC,交PM于点N. 则∠APM=45°，∠BPM=60°，NM=10米. 设PM=x米，在Rt△PMA中， AM=PM·tan∠APM=xtan45°=x(米). 在Rt△PNB中， BN=PN·tan∠BPM=(x-l0)tan60°= √3(x-10)(米)， 由AM+BN=46米， 得x+√3(x-10)=46, 解得x=18√3-8. .点P到AD的距离为(18√3-8)米. 00 答图28-6-1 答图28-6一2 10.解：(1)如答图28-6一2，过点E作EM1 AB,垂足为M.设AB为x米， 在Rt△ABF中，∠AFB=45°， ∴.BF=AB=x米， ∴.BC=BF+FC=(x+13)米， 在Rt△AEM中，∠AEM=22°， AM=AB-BM=AB-CE=(x-2)米， tam2-0则品≈号解得12 即教学楼的高度为12m. (2)由(1)可得ME=BC=x+13≈12+ 13=25(米). 在Rt△AME中，cos22°= ME AE ∴AE= ME C0s22 25≈27（米）， 15 16 即A、E之间的距离约为27米. 精彩一题 如答图28一6-3. (1)证明：AB、CD相交于 点O, ∴.∠AOC=∠BOD. .OA=OC, 答图28一6一3 ∴∠0AC=∠0CA=2180°-∠0D. 同理可证：∠OBD=∠0DB=)(180° ∠BOD), .∠OAC=∠OBD,∴.AC∥BD. (2)解：在△OEF中，OE=OF=34cm, EF=32 cm, 作OM⊥EF于点M,则EM=16cm. ∴.cos∠OEF=EM_16=8 0E=34=17: ∴.∠OEF≈61.9°. (3)解：小红的连衣裙会拖落到地面.理由 如下： 在Rt△OEM中， OM=√/OE-Er=√/342-162=30(cm). 过点A作AH⊥BD于点H. 同(1)可证：EF∥BD, ∴.∠ABH=∠OEM, 则Rt△OEM∽Rt△ABH, 器-0 AH=OM:AB_30X136=120(cm. OE 34 小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度 122cm>晒衣架的高度120cm, .会拖落到地面 第7课时应用举例（二） 【基础巩固】 1.B2.A 3.1.84.30°20√3m 5.解：如答图28-7-1，北 货轮从点B向点D航 行，岛在A处， 作AD⊥BC于点D, D ·东 根据题意可知∠ABD= 答图28一7-1 30°，∠ACD=60°， ∠BAC=30°，则AC=BC=403海里) 故AD=AC·sin∠ACD=AC·sin60°= 20海里， .AD=20>19, ∴.船无触礁的危险. 点拨：解决此类题的关键是从题目中提取 出有用的边角关系，然后解直角三角形. 【能力提升】 1.D2.B3.A 4.1:25.30 6,解：在直角三角形ABC中，ana 3 4 .BC=4AB 在直角三角形ADB中，tam26.6≈0,50 .∴.BD≈2AB .BD-BC=CD=200米， ∴2AB-专AB=200米， 解得AB=300米. 故小山岗的高度为300米。 7.解：如答图28一7一2，过点P作PE⊥OB 于点E,PF⊥CO于点F. .在Rt△AO℃中，AO=100米，∠CAO=60°， .CO=AO·tan60°=100√3米， 设PE=x米， tan∠PAB=PE 1 山城 2’ 4 .AE=2x米. A水平地面E 在Rt△PCF中， 答图28-7-2 .∠CPF=45°，CF=(100√3-x)米， PF=OA+AE=(100+2x)米， 又.PF=CF, .100+2x=100√3-x, 解得x=100(3-1) 3 故电视塔OC的高为100√3米，点P的垂 直高度为100(5-1D米. 3 8.解：(1)如答图28-7-3，过点D作DF垂 直坡底的水平线BC于点F. .斜坡的坡度i=1:√3， tan∠DBC=E」 3 ∴.坡角∠DBC=30°. 在Rt△DFB中， 答图28-7-3 DF=2DB=25米， 即小山高为25米. (2)设铁架的高AE=x米.由(1)得DF= 25米，则BF=25√3米。 在Rt△AED中，∠ADE=60°， 于是DE-停米 在Rt△ACB中，∠ABC=45°， ∴.AC=AE+EC=AE+DF=(x+25)米.