27.2.7 相似三角形应用举例-2025-2026学年九年级下册数学同步辅导（人教版2012）

△ADEAACB.把-B. 即302= 30 40,解得x=120 71 如答图，过点C作CP⊥AB,垂足为点P, CP交DG于点Q. :Sx=号AC·BC-=号AB·CP, ÷.CP=AC:BC=30X40=24(cm). AB 50 .DG∥AB, ∴.∠CDG=∠A,∠CGD=∠B, △cD△(MG9 设DG=ym则品-解得y-器 120 9即 .题图①的加工方法符合要求. 第7课时相似三角形应用举例 【基础巩固】 1.A 2.D点拨：先连接AC并延长交BD的延长 线于E,可求出DE=1米，再利用△ECDp △EAB,可求得AB=8米. 3.5.6 4.解：如答图，.CD∥AB, 答图 ∴.△PCD∽△PAB, 膘-溜 又PE=80厘米=0.8米，PF=40米， CD=16厘米=0.16米， 8-站AB=8米 点拨：要学会从实际问题中抽象出数学 模型 5.解：假设垂直于课本和垂直于黑板上字的 视角相等， 则有△AOB∽△A'OB'. 所以OC:OC=AB:A'B', 即AB=OC·A'B OC' 因为O℃=5m=500cm,OC=30cm, 课本上字的高度为0.4cm,所以黑板上字 的高度为500X0.4≈7(cm, 30 课本上字的宽度为0.35cm,所以黑板上字 的宽度为500X0.35≈6(cm. 30 因此，老师在黑板上写的字大小应约为 7 cmx6 cm. 点拨：可设人眼为点O,把书上的字和黑板 上的字的边缘相连，则得一组相似三角形. 根据相似三角形的对应边的比相等，可求 出相应的黑板上的字的高和宽. 【能力提升】 1.C2.B 3.C点拨：设屏幕上小树的高度为xcm,那 么-器=0 4.A 5.906.5 7.解：(1)由题意知△BQMo△BAN. BQ-MQ=1.61 AB AN 9.6 6 12千2x=6,解得x=3. 故两路灯之间的距离为12+2×3=18(m). (2)当王华走到路灯B处时，设其影长为lm. 则1878解得1=36 故此时影长为3.6m. 8.解：(1)设DE=xcm,则AD=(8-x)cm, 根据题意，得2(8一x+8)×3×3=3X3X6, 解得x=4,.∴.DE=4cm (2).'∠E=90°，DE=4cm,CE=3cm, .根据勾股定理得 CD=√DE+CE2=/42+32=5(cm), 由题意得∠BCE=∠DCF=90°， ∴.∠DCE+∠DCB=∠BCF+∠DCB, .∠DCE=∠BCF 由题意得∠DEC=∠BFC=90°， △CDEn△CBP,÷器-器 CF=24 cm. 5 故水面高度CF是cm 精彩一题 (1)180cm 解：(2)设横向影子A'B的长度为xcm, 根据超意得即。18的s。0。 解得x=6, .横向影子A'B,D'C的长度和为12cm. (3).AD∥AD', ∴.∠PAD=∠PA'D',∠PDA=∠PD'A'. .△PAD∽△PA'D' 根据相似三角形对应高的比等于相似比， 可得品别 设灯泡离地面距离为ycm,由题意， 得PM=ycm, PN=(y-a)cm,AD=na cm, A'D'=(na+b)cm, 6n+a. 27.3位似 第8课时位似（一） 【基础巩固】 1.C点拨：位似中心是位似图形的对应点连 线的交点，而这个交点可在位似图形之间、 外部、内部及某一个图形上 2.B3.B4.D 5.解：点O为位似中心，四边形A'B'C'D'与 四边形ABCD的相似比为2. 【能力提升】 1.A2.B3.B4.C 5. 7 6.4 cm210cm7.0.72π 8.解：图(1)(3)是位似图形，其位似中心分别 为答图27一8-1中的O、P两点. 答图27-8-1 点拨：判断位似图形，要通过连接相似图形 对应点的连线来确定是否存在位似中心， 只靠直觉观察有时不容易准确判断 9.解：(1)取矩形ABCD的对角线的交点O 为位似中心， ①作射线OA,OB,OC,OD; ②分别在射线OA,OB,OC,OD上取点E, 5.G,H,位得股8那8瓷8器-3 ③连接EF,FG,GH,HE,则四边形EFGH 即为所求作的图形，如答图27一8一2①所 示.（答案不唯一） 0第7课时相似三角形应用举例 基础巩固 1.“今有井径五尺，不知其深，立五尺 用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD= 木于井上，从木末望水岸，入径四 1.6米，则树AB的高度为 米 寸(1尺=10寸)，问井深几何？”这 0.4 4.如图27-7一4，小明站在距离旗杆约40米的 是我国古代数学著作《九章算术》 B 5C 地方，把握有直尺的手臂水平伸直，小明把尺 中的“井深几何”问题，它的题意可图27一7-1 子竖直后看旗杆，此时，直尺恰好把旗杆遮住. 以由如图27-7-1所示的示意图获得，设井 已知他的臂长约80厘米，直尺长为16厘米， 深AB为x尺，所列方程正确的是( 试求旗杆的高度. 写平=0 B.5-0.4 x 5 C千 5 D.5=5-0.4 0.4 2.如图27一7一2，一电线 A 图27-7一4 杆AB的影子分别落在 了地上和墙上.某一时 刻，小明竖起1米高的 直杆，量得其影长为 5.如图27一7-5，同学们用的数学课本上的文 0.5米，此时，他又量得1* 字的大小为0.4cm×0.35cm(高×宽)，我们 电线杆AB落在地上的 0.5米 看起来比较舒服.在教室中，坐在后面的同学 影子BD的长为3米， 图27-7-2 经常说某老师写的字太小而看不清，假设教 落在墙上的影子CD的长为2米，小明用这 室内离黑板最远的同学与黑板的距离是5m, 些数据很快算出了电线杆AB的高，请你计 老师在黑板上究竟要写多大的字，才能使最 算，电线杆AB的高为() 后边的同学看时，与看相距30cm的课本上 A.5米B.6米 C.7米 D.8米 的字的感觉相同（结果精确到1cm)? 3.(学科间知识交叉题)为了 测量校园水平地面上一棵 本字0 黑板宁 树的高度，学校数学兴趣小 图27-7-5 组做了如下的探索：根据 图27-7-3 《物理》中光的反射定律，利用一面镜子和一 根皮尺，设计如图27一7一3所示的测量方 案：把一面很小的镜子放在离树底B处 8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到 点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再 能力提升 1.如图27一7一6①是装了液体的高脚杯示意图， CD=12m,塔影长DE=18m,小明和小华的 用去一部分液体后如图27一7-6②所示（相 身高都是1.6m,同一时刻，小明站在点E 关数据图中已标注)，此时液面直径AB的长 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也 度为( 在平地上，两人的影长分别为2m和1m,那 A.1cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 么塔高AB为( o cm A.24m B.22m C.20mD.18m 水平线 ② 图27-7-6 图27-7-7 2.如图27一7一7是小明设计的用手电测量某古 C 城墙高度的实验示意图，点P处放一水平的平 图27-7-9 图27-7-10 面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好 5.如图27一7一10，要测量河两岸相对的两点 射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD, A、B间的距离，先从B处出发沿与AB成 CD⊥BD,且测得AB=1.2米，BP=1.8米， 90°角的方向，向前走50m到C处立一根标 PD=12米，那么该古城墙的高度是() A.6米B.8米C.18米D.24米 杆，然后方向不变，继续朝前走10m到D 3.小华同学自制了一个简易的幻灯机，其工作 处，在D处转90°，沿DE方向再走18m到达 情况如图27一7一8所示，幻灯片与屏幕平 E处，使A(目标物)、C(标杆)与E在同一直线 行，光源到幻灯片的距离是30cm,幻灯片到 上，那么可测得A、B间的距离是 m. 屏幕的距离是1.5m,幻灯片上小树的高度 6.凸透镜成像的原理如图27一7一11所示， 是10cm,则屏幕上小树的高度是( AD∥l∥BC.若物体AH到焦点F,的距离 与焦点F1到凸透镜的中心线DB的距离之 比为5：4，则物体像CG的高度被缩小到原 光源 幻灯片 来的 屏幕 人30cm 1.5m 缩小的实像 图27-7-8 物体 焦点P 焦点F A.50 cm B.500 cm C.60 cm D.600 cm 图27-7-11 4.如图27一7一9，在斜坡的顶部有一铁塔AB, 7.如图27一7-一12，王华在晚上由路灯A走向路 B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照 灯B,当他走到P点时，发现身后的影子的顶 射下，塔影DE留在坡面上.已知铁塔底座宽 部刚好接触到路灯A的底部，当他再向前走 12m到达Q点时，发现身前的影子刚好接触 精彩一题 到路灯B的底部，已知王华身高为1.6m,两 小明和几位同学做手影游戏时，发现对于同一 个路灯的高度都是9.6m,且AP=QB=xm. ● 物体，影子的大小与光源到物体的距离有关.因 (1)求两个路灯之间的距离； 此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光 (2)当王华走到路灯B处时，他在路灯A下 源到物体的距离.于是，他们做了以下尝试， 的影长是多少？ (1)如图27一7一14①，垂直于地面放置的正方形 框架ABCD,边长为30cm,在其正上方有 灯泡（用点P代表），在灯泡的照射下，正方形 框架的横向影子AB,D'C的长度和为6cm. 图27一7-12 那么灯泡离地面的高度为 ； (2)不改变图27一7一14①中灯泡的高度，将两 个边长为30cm的正方形框架按图27-7 14②摆放，请计算此时横向影子A'B,D'C 的长度和为多少？ (3)有n个边长为a的正方形按图27-7-14③ 摆放，测得横向影子A'B,DC的长度和为 8.如图27-7-13①，长、宽均为3cm,高为 b,求灯泡离地面的距离（写出解题过程，结 8cm的长方体容器，放置在水平桌面上，里 果用含a,b,n的代数式表示). 面盛有水，水面高为6cm,绕底面一棱进行 旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，图 27一7一13②是此时的示意图 (1)求DE的长； (2)求水面高度CF. 容器西边缘 M M ① © 图27-7-13 ③ 图27-7-14