第27章 相似 聚焦中考-2025-2026学年九年级下册数学同步辅导（人教版2012）

聚焦中考 1.（云南)如图27-13，在△ABC中，已知D,E 5.(扬州)物理课上学过小孔成像的原理，它是 分别是AB,AC边上的点，且DE∥BC.若 一种利用光的直线传播特性实现图像投影的 品则既 BC≈( 方法.如图27一17，燃烧的蜡烛（竖直放置） AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像 A.2 B.3 C.4 D. 5 A'B'.设AB=36cm,A'B′=24cm,小孔O 到AB的距离为30cm,则小孔O到A'B'的 距离为 cm. 123 图27-13 图27-14 2.(绥化)如图27一14，矩形OABC各顶点的坐 30 cmT?cm 标分别为O(0,0),A(3,0),B(3,2),C(0,2), 图27-17 图27-18 以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比 6.(甘肃)“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢.” 号缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标 风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制 是() 作技艺已被列入国家级非物质文化遗产名 录.为丰富校园生活，某校开展风筝制作活 A.(9,4)B.(4,9) c.(1,）D.(1,号） 动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相 3.(山东)如图27-15，E为□ABCD的对角线 同的风筝，风筝的形状如图27一18所示，其 AC上一点，AC=5,CE=1,连接DE并延长 中对角线AC⊥BD.已知大、小两个风筝的对 至点F,使得EF=DE,连接BF,则BF的长 应边之比为3：1，如果小风筝两条对角线的 为() 长分别为30cm和35cm,那么大风筝两条对 A号 7 B.3 C.2 D.4 角线长的和为 cm 7.(成都)如图27-19，△ABC和△DEF是以点 O为位似中心的位似图形.若OA:AD=2：3, 则△ABC与△DEF的周长比是 图27-15 图27-16 4.(重庆)如图27一16，在平面直角坐标系中，将 △OAB以原点O为位似中心放大后得到 图27-19 图27-20 △OCD,若B(0,1),D(0,3),则△OAB与 △OCD的相似比是() 8.(河北)如图27-20，△ABC的面积为2，AD 为BC边上的中线，A,C1,C2,C3是线段CC A.2 B司 C.3 D.} 的五等分点，A,D1,D2是线段DD3的四等分 点，A是线段BB1的中点. 12.(杭州)如图27-24，在边长为1的正方形 (1)△AC1D,的面积为 ABCD中，点E在边AD上（不与点A,D重 (2)△B1C4D3的面积为 合)，射线BE与射线CD交于点F. 9.(湖北)如图27一21，由三个 (I)若ED=号，求DF的长： 全等的三角形（△ABE △BCF,△CAD)与中间的小 (2)求证：AE·CF=1: 等边三角形DEF拼成一个 (3)以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线 大等边三角形ABC.连接 段BE于点G.若EG=ED,求ED的长. 图27-21 BD并延长交AC于点G,若AE=ED=2,则 (1)∠FDB的度数是 ;(2)DG的长 是 10.(无锡)如图27-22，在△ABC中，AC=2, AB=3,直线CM∥AB,E是BC上的动点 (端点除外)，射线AE交CM于点D.在射 图27-24 线AE上取一点P,使得AP=2ED,作 PQ∥AB,交射线AC于点Q.设AQ=x, PQ=y.当x=y时，CD= ;在点E 运动的过程中，y关于x的函数表达式为 图27-22 11.(江西)如图27一23，四边形ABCD为菱形， 点E在AC的延长线上，∠ACD=∠ABE. (1)求证：△ABC∽△AEB; (2)当AB=6,AC=4时，求AE的长， 13.(无锡)如图27-25，四边形ABCD是边长 为4的菱形，∠A=60°，点Q为CD的中点， P为线段AB上的动点，现将四边形PBCQ 图27-23 沿PQ翻折，得到四边形PB'C'Q,连接 CC',BB'. (1)当∠QPB=45°时，求四边形BB'C'C的 面积； (2)当点P在线段AB上移动时，设BP=15.(连云港)一块直角三角形木板，它的一条直 x,四边形BB'C'C的面积为S,求S关 角边BC长为2m,面积为1.5m. 于x的函数表达式 (1)甲、乙两人分别按图27-27①、图27 27②所示的方式，用它设计一个正方形 桌面.请说明哪个正方形的面积较大， (2)丙、丁两人分别按图27一27③、图27一 27④所示的方式，用它设计一个长方形 桌面.请分别求出图27-27③、图27一 图27-25 27④中长方形的面积y(m)与DE的长 x(m)之间的函数表达式并分别求出两 个长方形的面积的最大值 ② 14.(南充)如图27一26，正方形ABCD中，点M 在边BC上，点E是AM的中点，连接ED,EC (1)求证：ED=EC; (2)将BE绕点E按逆时针方向旋转，使点 B的对应点B落在AC上，连接MB.当 ④ 点M在边BC上运动时（点M不与B,C 图27一27 重合)，判断△CMB的形状，并说明理由； (3)在(2)的条件下，已知AB=1,当∠DEB= 45时，求BM的长. 图27-26AD平分∠BAC-写品 即g品 BD=号BC=多 ∴.AD=√BD+AB 2 ∴.△ABD的周长为BD+AB+AD= 多+3+3y5-9+ 2 2 11.解：(1)令x=0,则y=6,∴.B(0,6), 令y=0,则x=8,.A(8,0), ∴.AB=√OA2+OB=√/82+62=10. (2)由折叠的性质可知，OC=CD,OB= BD, .OB=6,∴.BD=6,.AB=10,∴.AD=4. 在Rt△ACD中，AC=CD2+AD, .(8-OC)2=C0+4,∴.CO=3, .C(3,0), 设直线BC的函数表达式为y=kx十b, 。3k十b=0,k=-2, b=6, 解得b二6· .y=-2x+6. (3)存在.理由如下： 设M(t,-2t+6)(t>0),P(x,y), 当以AB为矩形的一边时，BM为矩形的 「t一x=8, 对角线， y-(-2t+6)=6, 如答图27一2，过点M作EF∥x轴，过点 A作AF⊥EF于点F,过点P作PE⊥EF 于点E. .∠AMP=90°， ∴.∠PME+∠AMF=90°. .'∠MAF+∠AMF=90°， .∠MAF=∠PME, ∴.△AMFp△MPE, “品 B .AF=2t-6, P、 MF=8-t,PE=y十 2t-6,EM=t-x, 246=8-4 答图27-2 t-xy+2t-61 2.6-8-t 8 6 解得t=5,∴.x=-3,y=2,.P(-3,2). 【聚焦中考】 1.A2.D 3.B解法一：如答图27一3，延长DF和AB 交于点G,四边形ABCD是平行四边形， .DC∥AB,DC=AB,即DC∥AG, △aAGE是-器：Ac 5,CE=1,∴.AE=AC-CE=5-1=4, 器-器--EF=DE 既-器- DC=AB,g品e-圣 =4: 又∠G=∠G,∴.△BGF∽△AGE,.F 熙-是AE=45F=3,成這B 答图27-3 解法二：如答图27一4，连接BD交AC于点 O,.四边形ABCD是平行四边形，.OD= OB,OA=OC.又.EF=DE,.OE是 △Bp的中位线，货C BF 司BF=3,敢选B 答图27-4 4.D点拨：因为B(0,1),D(0,3),所以OB 1,OD=3.因为△OAB以原点O为位似中 心放大后得到△OCD,所以△OAB与 △OCD的相似比为3，故选D. 5.20点拨：由题知，AB∥A'B',∴.△AOB △A'OB',如答图27-5，过点O作CC'1 AB于点C,交A'B'于点C',则OC⊥ ,g-0C即器-S0x= 20,即小孔O到A'B'的距离为20cm. 30 cm?em 答图27-5 6.195点拨：因为大、小两个风筝的形状相 同，所以两个风筝相似，且大、小两个风筝对 应边的相似比为3：1.又小风筝两条对角线 的长分别为30cm和35cm,所以大风筝的 两条对角线的长分别为90cm和105cm. 所以大风筝两条对角线长的和为195cm. 7.2:5点拨：本题考查位似图形的性质。 :△ABC与△DEF位似.0 OA OD' 器号器-号能-号即 △ABC与△DEF的相似比为号，∴△ABC 与△DEF的周长比是2：5. 8.(1)1(2)7点拨：(1).△ABC的面积 为2，AD为BC边上的中线，S△ACD= 2Sx=2×2=1.:A,C.C,G是线 段CC4的五等分点，.AC=AC. :A,D1,D2是线段DD3的四等分点， .AD=AD1.又.∠DAC=∠D1AC, .△AC1D1≌△ACD(SAS), .S△AC,D,=S△ACD=1. (2)如答图27-6，连接B1D1,C3D3, 同理△AB1C1≌△ABC(SAS),△AB1D1≌ △ABD(SAS), S△AB,C=S△ABC=2,S△AB,D,=S△ABD=1, .S△AB,C,=8,S△AB,D,=3, 在△AC3D3和△ACD中， e=8=0∠CAn,=∠CAD, ∴.△C3AD3∽△CAD, S△CAD AC3)2 S△cAD AC)=32=9, .S△CAD,=9S△CAD=9, ac-5ccn9= ∴.S△aC,D,=9+3=12. S△B,CD,=S△AC,D+SAB,D-SAAB,C= 12+3-8=7, .△B1C4D3的面积为7. B: 答图27-6 9.1)30°(2)4点拔：1)r△DEF是 等边三角形，.DE=DF,∠DFE=60° △ABE≌△BCF,∴AE=BF..AE= DE,∴DF=BF,∴∠FBD=∠FDB.又 ,∠DFE=∠FBD+∠FDB=60°， ∴.∠FDB=30°.(2).∠EDF=60°， ∠FDB=30°，∴.∠ADB=∠EDF+ ∠FDB=90°.如答图27一7，过点A作 AM⊥BE,交BE的延长线于点M,在 Rt△AEM中，AE=2,∠AEM=∠DEF= 60°，.AM=AE·sin60°=2×5=5， EM=AE·cos60°=2X2=1.:BE= AD=2AE=4,..BM=BE+EM-4+1- 5,.'∠ABM=∠DAG,∠M=∠ADG= 90,i△IM△G1D.2即 品解得DG4 5 答图27-7 .3x2 10.2y=8-2x 点拨：.CM∥AB,PQ∥ AB,.PQ∥CM,.△APQ∽△ADC, :AQ=PQ.AQ=t.PQ-y.AC-2. ·ACDC x=受=元CD=2.:AP=2ED, .设DE=m,则AP=2m..△APQ∽ △Ac8-A怨=说.m 乏=六·AE=4mm.:CM∥AB, △CEDn△BEA器9 3 器0-器产营 而 11.(1)证明：.四边形ABCD为菱形，AC为 对角线， ∴.∠ACB=∠ACD. .∠ACD=∠ABE, ∴.∠ACB=∠ABE. 又∠BAC=∠EAB, ∴.△ABC∽△AEB. (2)解：.△ABCp△AEB, 提品 .AB=6,AC=4, “- ∴.AE=9. 12.(1)解：因为ED=},所以AE= 3 由题意，得AB∥FC, 所以△ABB△DFE所以哈5-能-2， 因为AB=1,所以DP=2 (2)证明：由题意，得AD∥BC,所以∠AEB= ∠CBF. 又因为∠A=∠C,所以△ABE∽△CFB, 所话出 因为AB=BC=1. 所以AE·CF=AB·BC=1. (3)解：设EG=ED=x,得AE=1一x, BE=1+x. 在Rt△BAE中，由勾股定理，得(1-x)2+ 12=(1+x)2, 解得x= 所以ED=子 13.解：(1)如答图27-8①，连接BD,BQ, 四边形ABCD是菱形， ∴.CB=CD=4,∠A=∠C=60°， .△BDC为等边三角形. Q为CD中点， ∴.CQ=2,BQ CD, ∴.BQ=2√3，QB⊥PB. .∠QPB=45°， ∴.△PBQ为等腰直角三角形， .PB=2√3. ,四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形 PB'C'Q, ∴.∠BPB'=∠C'QC=90°，PB'=PB= 2√3，CQ=CQ=2, ·∴.S四边形BBC'C=2S四边形PBCQ一S△PBB'十 S8m=2x号×2+2)×25-号× (2)+2×2=45+8. ① ② 答图27-8 (2)如答图27-8②，连接BQ,B'Q,延长 PQ交CC于点F. .PB=x,BQ=2√3，∠PBQ=90°， ∴.PQ=√x2+12, ·由等积法求得BE=2Bx √x2+12 ·易知△QBE∽△QPB,得QE=12 √Wx2+12 S6OE=X23 X2 √x2+12√x2+12 12√3x x2+12 又∠BEQ=∠BQC=∠QFC=90°， 易证△BEQp△QFC, .S△QFC S△BEQ 器=(2= 4√3x ∴.S△QFC= x2+12' .S=2(S△oEB+S△BQc+S△QrC) =25+2+4 x2+12 =323+45. x2+12 14.(1)证明：.四边形ABCD是正方形， .∠BAD=∠ABC=90°，AD=BC. .点E为AM中点，∴.EA=EB, .∠EAB=∠EBA, ∴.∠EAD=∠EBC. EA-EB, 在△EAD和△EBC中，{∠EAD=∠EBC, AD=BC, .∴.△EAD≌△EBC(SAS). ∴.ED=EC. (2)解：△CMB为等腰直角三角形 理由如下：由旋转的性质得：EB=EB ∴.EB'=AE=EM. ∴.∠EAB'=∠EBA,∠EMB=∠EB'M. .'∠EAB+∠EBA+∠EMB+∠EBM= 180°， .∠EB'A+∠EB'M=90°， 即∠AB'M=90°. ∴.∠MB'C=180°-∠AB'M=90°， ∴.∠B'MC=90°-∠ACB=45°. ∴.∠ACB=∠B'MC, ∴.B'M=B'C, ∴.△CMB为等腰直角三角形， (3)解：如答图27一9，延长BE交AD于 点F. B M 答图27-9 .∠EAB=∠EBA,∠EAB=∠EBA, ∴.∠BEM=2∠EAB,∠MEB'=2∠EAB'. .∠BEB'=2∠B'AB=90°. .∠DEF=∠B'EF-∠DEB'=45°. .△EAD≌△EBC, .∠AED=∠BEC, .∠AEF=∠BEM, ∴.∠CEM=∠DEF=45° .∠ACM=45°， .∠CEM=∠ACM. 又.∠CME=∠AMC, .△CEM∽△ACM. 微删 ∴.CM=AM·EM. EM-AM. .CM-TAMF 设BM=x, CM=1-x,AM=AB2+BM=1+x2. ∴1-x)2=2(1+x2). 解得x1=2一√3，x2=2十√3（不合题意，舍 去)， .x=2-√5， 即BM=2-√3. 15.解：由BC长为2m,面积为1.5m, 得AC=1.5m,AB=2.5m. (1)设正方形的边长为xm, 由题图27-27①知， R△ADER△ACB,得8器=2. 即吃-15得解得x= 由题图27-27②知， RIADECRU△ABC得-AS-号， 即6-· 所以DC=3 AD=AC-DC=3-3, 25x, 由R△ADGRt△ABC,得DC-BC DA AB' 4 即33= 2-5x 解得x=30 71 因为器 所以题图27一27①的正方形面积较大. (2)在题图27-27③中， 由Rt△ADE∽Rt△ACB, 阳能品- 则AD=,DC=AC-AD=63 4 所以长方形的面积y=DEX DC=xX 83z-(2-x)=-(x-1D+是 4 4 当x=1时，长方形的面积y有最大值为 是心 在题图27-27④中， 由Rt△DEC∽Rt△ABC, 得瓷长号 所以DC=号，DA=AC-DC-氵g, 由Rt△ADG∽Rt△ABC, 得-所-青， 则DG-DA=(小： 所以长方形的面积y=DEX DG=xX (小-(-)+ 当x=时，长方形的面积y有最大值为 子m 第二十几章 锐角三角函数 28.1锐角三角函数 第1课时锐角三角函数（一） 【基础巩固】 1.A2.C3.C BD 4,解：n号-sin∠BAC=B 2 √/4+6 2√13 13· 5.解：.BC=5,CD=4,CD⊥AB, BD=3,sinA=sin∠BCD=是 【能力提升】 1.A2.A 3.A点拨：∠ACD在Rt△ADC中，且sin∠ACD= C,但求AD比较烦琐若注意到∠B=∠ACD, A 则在Rt△ABC中求出sinB即可.由勾股 定理，得AB=√AC+BC=√（√5）2+22= 3在R△ABC中，mB=S-要 ,'∠ACD=90°-∠A=∠B,∴.sin∠ACD= sinB=5 31 4.c5.号 62 7.810 9.解：过点A作AD⊥x轴于点D. sinA0C-A品专0A=5AD=4 在Rt△AOD中，由勾股定理得DO= √OA2-A=√/52-4'=3. 点A在第一象限，.点A的坐标为(3,4). 将点A(3,4)的坐标代入y=”m,得m=12, ·反比例函数的解析式为y=12 将点A(3,4)的坐标代入y=nx+2, 2 得4=3n十2，解得n=3: :一次隔数的解析式为y号十2。 10.解：如答图28一1-1，过点D作DE⊥AB 于点E 设DC=a(a>0). 在Rt△ABC中， 答图28-1-1 .∠C=90°，BD=2DC, .∴.BD=2a,BC=3a. 又.∠ADC=45°， ∴.AC=DC=a, ∴.AB=√/(3a)2+a2=√10a, n之Ac-裕品细 10 DE-BD·sin∠ABD=2a.o-。 10 5a. 由勾股定理得AD=√2a, √/10 ·sin∠BAD=DE 5 a AD /2a 51 精彩一题 解：如答图28-1一2， (1)过点D作DM⊥BC, B 垂足为点M. 设八c 答图28-1-2