专题27.4 相似（章节复习）（知识梳理+29个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共73题）-2025-2026学年人教版数学九年级下册同步培优精编讲练

该初中数学相似章节复习讲义通过知识框架图系统梳理核心内容，涵盖相似图形及比例线段、相似三角形、位似、黄金分割四大知识点，用思维导图呈现判定性质联系，易错点拨标注关键区别，如相似与位似的特殊关系，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于29个考点分层设计，从比例性质基础题到相似三角形动点综合题，结合中考真题与分层练习。如测量古城墙高度的实际应用题，培养模型意识与应用能力，基础夯实与培优拔高题组满足不同学生需求，助力教师实施精准复习教学。

专题27.4 相似（章节复习） （知识梳理+29个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共73题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：相似图形及比例线段 2 知识点梳理02：相似三角形 2 知识点梳理03：位似 3 知识点梳理04：黄金分割 4 优选题型 考点讲练 4 考点1：比例的性质 4 考点2：比例线段 5 考点3：成比例线段 7 考点4：相似图形 8 考点5：相似多边形 8 考点6：相似多边形的性质 10 考点7：由平行判断成比例的线段 11 考点8：由平行截线求相关线段的长或比值 13 考点9：黄金分割 17 考点10：利用两角对应相等判定相似 18 考点11：选择或补充条件使两个三角形相似 20 考点12：相似三角形的判定综合 22 考点13：利用相似三角形的性质求解 23 考点14：在网格中画与已知三角形相似的三角形 24 考点15：相似三角形——动点问题 27 考点16：相似三角形的判定与性质综合 30 考点17：相似三角形的综合问题 34 考点18：重心的有关性质 38 考点19：相似三角形实际应用 40 考点20：位似图形的识别 42 考点21：判断位似中心 44 考点22：位似图形相关概念辨析 44 考点23：求两个位似图形的相似比 46 考点24：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 47 考点25：求位似图形的对应坐标 50 考点26：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 51 考点27：在坐标系中画位似图形 52 考点28：在坐标系中画位似中心 54 考点29：坐标与图形综合 57 中考真题 实战演练 58 难度分层 拔尖冲刺 66 基础夯实 66 培优拔高 70 知识点梳理01：相似图形及比例线段 1． 相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 【易错点拨】 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等； 2.相似多边形 如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 【易错点拨】 （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比. 3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【易错点拨】 （1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项） （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 知识点梳理02：相似三角形 1. 相似三角形的判定: 判定方法（一）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 判定方法（二）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 判定方法（三）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 【易错点拨】 此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（四）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 【易错点拨】 要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 2. 相似三角形的性质： （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； （2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比； 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 【易错点拨】 要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. (3) 相似三角形周长的比等于相似比； （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 3.相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 知识点梳理03：位似 1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 2.位似图形的性质: （1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 【易错点拨】 (1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形. （2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 知识点梳理04：黄金分割 1.定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割． 2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形． 黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割． 考点1：比例的性质 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）已知，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查比例．根据比例的性质求解即可． 【规范解答】解：若，则 ， 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）如果且，那么的值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法进行计算是解题的关键． 利用设k法进行计算，即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴设，， ∴ ， 故答案为：． 考点2：比例线段 【典例精讲】（24-25九年级下·浙江绍兴·期末）如图表示我国台湾省几个城市的位置关系．经测量得到基隆市到高雄市的图上距离为，地图上显示的比例尺为．则两城市的实际距离是（   ）千米． A．3.15 B．31.5 C．315 D．3150 【答案】C 【思路点拨】此题考查比例线段，掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用．根据图上距离与比例尺，求实际距离，即图上距离除以比例尺． 【规范解答】解：设两地间的实际距离为毫米， 根据题意，， 解得， 即实际距离是千米． 故选：C． 【变式训练】（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一测量电路，为待测电阻，为可调电阻，R，，为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过的电阻求得的电阻，现已知，．当时电流表读数为0，那么此时将减小，则需要如何变，电流表示数才能为0？ A．增大 B．增大 C．减小 D．减小 【答案】A 【思路点拨】本题考查了比例式，读懂题意，则根据，，，，求出，因为将减小，故把代入算出调整后的，即可作答． 【规范解答】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵将减小， ∴调整后的， ∵电流表示数才能为0， ∴， ∵，，， 则， 解得， ∴， 即增大， 故选：A． 考点3：成比例线段 【典例精讲】（23-24九年级下·浙江宁波·月考）已知三条线段a，b，c满足，且． (1)求a，b，c的值； (2)若线段d是线段a和b的比例中项，求d的值． 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】本题考查了比例的性质，比例线段等知识点，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）设，然后用k表示出a、b、c，再代入，求解得到k，即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，然后根据算术平方根的定义求解即可． 【规范解答】（1）解：设， 则， ， ， 解得， ； （2）解：线段d是线段a和b的比例中项， ， 或（舍去）， d的值为． 【变式训练】（24-25九年级下·江苏常州·期末）在比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的距离为，则甲，乙两地的实际距离为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了比例尺的概念、比例的性质；根据比例尺进行计算，注意单位的转换问题．根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式直接求得甲、乙两地间的实际距离． 【规范解答】设甲、乙两地间的实际距离为，则： 解得：． ． 故答案为：． 考点4：相似图形 【典例精讲】（24-25九年级下·河南安阳·期末）下面几对图形中，相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了相似图形的识别，形状完全相同的两个图形叫做相似图形，据此可得答案． 【规范解答】解：由相似图形的定义可知，四个选项中只有C选项中的两个图形相似， 故选：C． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·假期作业）下列图形一定是相似形的是（   ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个矩形 D．两个等边三角形 【答案】D 【思路点拨】本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键． 根据相似形的定义，形状相同的图形是相似图形．具体的说就是对应的角相等，对应边的比相等． 【规范解答】解：A、两个直角三角形，只能得到两个三角形的直角对应相等，其它两角不能判断是否对应相等，所以不是相似形，不符合题意． B、两个等腰三角形，不能判断对应角相等，也不能判断对应边的比相等，所以不是相似形，不符合题意． C、两个矩形，能判断对应角相等，但不能判断对应边的比相等，所以不是相似形，不符合题意． D、两个等边三角形，它们的内角都是，等边三角形的三边都相等，可以判断对应边的比相等，所以是相似形，符合题意． 故选：D． 考点5：相似多边形 【典例精讲】（24-25九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）下列命题中，真命题的个数有（   ） ①如果不等式的解集为，那么 ②已知二次函数，当时，y随x的增大而减小 ③顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形 ④各边对应成比例的两个多边形相似 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题考查判断命题的真假，根据不等式的性质，二次函数的图象和性质，中点四边形以及菱形的判定方法，相似多边形的判定方法，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：如果不等式的解集为，则：，；故①为真命题； 已知二次函数， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小；故②为真命题； 根据三角形的中位线定理，结合有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以得到顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形，故③为真命题； 各边对应成比例且对应角都相等的两个多边形相似，故④是假命题； 故选C． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏南京·月考）观察下面两组多边形： (1)在图（1）中，矩形和矩形相似吗？为什么？ (2)在图（2）中，多边形和多边形都是各边相等，各角相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？ 【答案】(1)不相似，见解析； (2)是相似图形，见解析． 【思路点拨】本题主要考查相似多边形的概念，根据相似图形的概念可知，必须满足两个条件：①两个多边形的对应角相等；②两个多边形的对应边成比例； （1）根据相似多边形的概念判断即可； （2）根据相似多边形的概念判断即可． 【规范解答】（1）解：∵矩形和矩形， ∴矩形的四个角都是直角，即相等， ∵，， ∴矩形和矩形不相似； （2）∵多边形和多边形都是各边相等，各角相等的正六边形， ∴它们各角相等，且各边成比例，是相似图形． 考点6：相似多边形的性质 【典例精讲】（24-25九年级下·河南许昌·期中）如图，现将一张纸沿它的长边对折（为折痕）可以得到两张纸，已知A系列纸的长宽比是相等的，那么纸的长边与短边的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，设原来矩形的长为，宽为，先表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，即可得答案． 【规范解答】解：设原来纸的长为，宽为，则对折后的纸的长为，宽为， 纸和纸的长宽比例是相等的， ， 解得． 故选：B． 【变式训练】（24-25九年级下·陕西咸阳·月考）如图，在四边形中，，连接，请用尺规作图法在上找一点P，使得．(保留作图痕迹，不写作法) 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查相似三角形的性质，尺规作图—作相等的角，明确从而利用作相等的角是解题的关键．由得出，根据可知，，从而以C为顶点在的上方作，交于点P即可． 【规范解答】解：如下图所示：点即为所求作的三角形 考点7：由平行判断成比例的线段 【典例精讲】（2025·河南南阳·三模）如图，已知． (1)尺规作图：作平分交于点，再作的垂直平分线交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接、，判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 (3) 【思路点拨】题目主要考查角平分线及垂直平分线的作法、菱形的判定和性质，平行线分线段成比例等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据角平分线及垂直平分线的作法作图即可； （2）根据基本的作图方法及其性质得出，，再由菱形的判定证明即可； （3）根据菱形的性质及平行线分线段成比例求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示即为所求作的图形； （2）证明：四边形是菱形； 根据作法可知：是线段的垂直平分线， ，， ， 平分， ， ， ， 同理可得，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （3）是菱形， ，， ， ， 解得：． 【变式训练】（23-24九年级下·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A、B、C三点都是格点，点在上，在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，画菱形；再将P点绕A点逆时针旋转，画出P点的对应点； (2)在图2中，在上画点，使最小；再画线段，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查无刻度的直尺在给定网格中完成画图，掌握平移，菱形的判定与性质，轴对称变换，旋转变换、平行线分线段成比例、将军饮马等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． （1）根据网格特点和勾股定理，取格点D、E，则，可得到菱形；根据网格找出绕A点逆时针旋转方向上，，确定即为旋转后的图形，再由网格中点P为所在线段矩形对角线的交点即可确定点的位置； （2）取格点T，连接交于O，根据网格特点，，取格点G，K，S，连接交于，连接交于H，则，根据平行线分线段成比例得，，则，连接交于Q，则最小，此时点Q即为所求． 【规范解答】（1）解：如图1，菱形和点即为所求作；    （2）解：如图，点Q、线段即为所求作． 考点8：由平行截线求相关线段的长或比值 【典例精讲】（2024九年级下·山西·专题练习）综合与探究 如图，抛物线交轴于两点（点A在点的左侧），交轴于点，顶点为，对称轴分别交轴，于点．是射线上一动点，过点作的平行线交轴于点，交抛物线于点（点位于对称轴的左侧），设点的纵坐标为． (1)求三点的坐标并直接写出直线的函数表达式． (2)①点在线段上运动，当时，求的值； ②是抛物线上一点，点在整个运动过程中，当满足以点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】(1)，；． (2)①；②或． 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的性质、平行线等分线段定理、解直角三角形、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先求出与坐标轴的交点坐标，然后运用待定系数法求出直线的函数表达式即可； （2）①先根据二次函数的性质确定对称轴为，进而得到；如图：过M作轴，证明是等腰直角三角形可得，进而得到，再根据平行线等分线段定理可得，易得，则即，再将代入抛物线解析式求解即可；②分为平行四边形的边和对角线两种情况求解即可． 【规范解答】（1）解：∵抛物线交轴于两点，交轴于点， ∴当时，即， 解得：， 则； 当时，， 则； 设直线的解析式为， 由题意可得：，解得：， ∴直线的函数表达式为． （2）解：①∵抛物线， ∴对称轴为， ∴， ∴点P的横坐标为1，纵坐标为m， 即， 如图：过M作轴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 将代入，可得： ， 解得：，（不合题意舍弃）， ∴m的值为． ②当为平行四边形的边时，，，设，， ∵， ∴点J与点C重合， ∴， ∴ ∵， ∴， 将代入，可得：； 当为平行四边形的对角线时，则， ∴， ∴ ∴， 设点，则， ∴，整理得：， ∵， ∴设直线的表达式为， 将代入可得：，即， ∴设直线的表达式为， 把点代入得：， 将代入得： ， 整理得：，解得：（舍弃）， ∴． 综上，m的值为或． 【变式训练】（2024九年级下·江苏南京·竞赛）（1）已知，求证：； （2）如图，已知数在数轴的位置，尺规作图作出点，使其表示的数为． 【答案】①见解析；②见解析 【思路点拨】本题主要考查了解不等式，相似三角形的性质和判定， （1）先作差，再结合裂项的逆运用，进行证明； （2）通过构造平行线来作图进行解答． 【规范解答】（1）证明：左边右边 ， ， ， 左边右边， ． （2）解：平行线分线段成比例定理，得， 可知， ． ，，， 即． 考点9：黄金分割 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏无锡·月考）古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地． 若古筝上有一根弦，支撑点C是靠近点A的一个黄金分割点，则为 ．（结果保留根号） 【答案】 【思路点拨】本题考查了黄金分割，解题的关键是熟练掌握黄金分割点的公式． 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【规范解答】解：∵点C是靠近点A的一个黄金分割点， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，点和点均为线段的黄金分割点，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义和黄金比是解题的关键．根据黄金分割的定义可求得，再求出，再进一步求解即可． 【规范解答】解：点和点均为线段的黄金分割点，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 考点10：利用两角对应相等判定相似 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，点在上，的延长线交的外接圆于点，与相似吗？为什么？ 【答案】相似，见解析 【思路点拨】先利用等腰三角形得出，进而得到一组角相等；再结合圆周角定理找到另一组角相等，依据“两角分别相等的两个三角形相似”来判断与是否相似 ．本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形性质以及相似三角形的判定，熟练掌握圆周角定理和相似三角形判定定理（两角分别相等的两个三角形相似 ）是解题的关键． 【规范解答】解：与相似．理由如下∶ ， ， ． ∵， ∴， 在和中， ，， （两角分别相等的两个三角形相似）． 【变式训练】（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在中，于点，于点，与交于点，则图中与相似（不含）的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 根据“同角（等角）的余角相等”，结合“两角分别相等的两个三角形相似”，可得图中与相似的三角形的个数． 【规范解答】解：∵于点，于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴图中与相似（不含）的三角形有个， 故选：C． 考点11：选择或补充条件使两个三角形相似 【典例精讲】（24-25九年级下·陕西榆林·期中）如图，使成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题重点考查相似三角形的判定，正确理解和运用相似三角形的判定定理是解题的关键．因为，则和只有一组对应角相等，所以不能判定和相似，可判断A不符合题意；由于不是和的对应角相等，则和只有与∠A这一组对应角相等，所以不能判定和相似，可判断B不符合题意；由，，可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，可判断C符合题意；因为，，不符合“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理的条件，不能判定和相似，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：∵，和只有一组对应角相等， ∴不能判定和相似， 故A不符合题意； ∵不是和的对应角相等， ∴和只有与这一组对应角相等， ∴不能判定和相似， 故B不符合题意； ∵，， ∴， 故C符合题意； ∵，，不符合“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理的条件， ∴由，，不能判定和相似， 故D不符合题意， 故选：C． 【变式训练】（24-25九年级下·江西九江·阶段练习）如图，在中，若，点D为的中点，则当 时，． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据进行计算即可求解． 【规范解答】解：∵点D为的中点，， ∴， ∵， ∴要使，则， 此时； 故答案为：． 考点12：相似三角形的判定综合 【典例精讲】（2025·江苏无锡·二模）如图，点E在的对角线上，当平分，且时． 求证： (1)四边形是菱形； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【思路点拨】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质得，，从而即可得证； （2）由菱形的性质可得，．则．由，，证明三角形相似即可． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【变式训练】（24-25九年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，．用尺规过点作直线与交于点，使得（其中与不平行，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析． 【思路点拨】本题考查作一个角等于已知角，三角形相似判定与性质，掌握作一个角等于已知角的方法与步骤是解题关键． 利用作一个角等于已知角方法：作，利用相似三角形的判定定理即可判定． 【规范解答】解：过点以任意长为半径画弧交角的两边分别为、，再以点D为圆心以长为半径画弧交于，再以点为圆心，长为半径画弧交前弧于，则，过点D作射线交于点E，如图所示， ，， ． 考点13：利用相似三角形的性质求解 【典例精讲】（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）四边形中，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据直角三角形的两个锐角互余得出，根据等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定定理即可证明； （2）根据勾股定理求出的值，根据相似三角形的性质即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵，， ∴． （2）解：在中，， ∵， ∴， 即， ∴． 【变式训练】（2024九年级下·安徽合肥·专题练习）如果两个相似三角形的周长比是，那么它们的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似三角形的性质即可求解． 【规范解答】解：∵两个相似三角形的周长比是， ∴相似比为， ∴面积比为， 故选：D． 考点14：在网格中画与已知三角形相似的三角形 【典例精讲】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边上画点，连接，使，且． (2)在图②中，分别在边上画点，连接，使，且． (3)在图③中，分别在边上画点，连接，使，且． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【思路点拨】本题考查格点图中画相似三角形： （1）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； （2）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； （3）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，即为所求； 【变式训练】（2024·河南洛阳·一模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法） (1)在图①中，在线段上画出点M，使 (2)在图②中，在线段上画出点N，使 (3)在图③中，在线段上画出点Q，使 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【思路点拨】本题考查作图-应用与设计作图、相似三角形的判定与性质、垂线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点C，D，使，且，连接，交于点M，则点M即为所求． （2）取格点E，F，使，且，连接，交于点N，则点N即为所求． （3）利用网格，过点P作的垂线，与的交点即为点Q 【规范解答】（1）解：如图①，取格点C，D，使，且， 连接，交于点M， 则， ， 即， 则点M即为所求． （2）如图②，取格点E，F，使，且， 连接，交于点N， 则， ， 即， 则点N即为所求． （3）如图③，取格点G，连接交于点Q， 则点Q即为所求． 考点15：相似三角形——动点问题 【典例精讲】（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为 ． 【答案】2或 【思路点拨】由，可得出存在和两种情况，设，则，当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，可得出m的值（即的长）；当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出m的值（即的长）． 本题考查了相似三角形的性质，分和两种情况，求出的长是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴存在和两种情况． 设，则， 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时； 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时． 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 【变式训练】（24-25九年级下·广东河源·月考）如图，在四边形中，，，，，．动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为． (1)请用含的代数式表示、； (2)请你求出为何值时，以点为顶点的三角形与相似； (3)是否存在的值使得的面积是面积的，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，． (2)或 (3)不存在，理由见解析 【思路点拨】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）过点作于点，先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，，再证出垂直平分，从而可得，然后根据即可得； （2）分两种情况：①和②，利用相似三角形的性质求解即可得； （3）先求出，再过点作于点，证出，根据相似三角形的性质可得，然后利用三角形的面积公式建立方程，利用一元二次方程根的判别式即可得出结论． 【规范解答】（1）解：如图，过点作于点， ，，，， 四边形是矩形， ，， ， ， 垂直平分， ， 由题意得：， ，． （2）解：①当时， 则，即， 解得； ②当时， 则，即， 解得， 综上，的值为或． （3）解：的面积为， 的面积是面积的， ， 如图，过点作于点， ， ， ，即， 解得， ，即， 这个方程根的判别式为，没有实数根， 所以不存在的值使得的面积是面积的． 考点16：相似三角形的判定与性质综合 【典例精讲】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，对角线，交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，延长交直线于点，延长交直线于点，分别连接，，有如下结论：①，；②四边形是菱形；③若，．则；④若，，，点为上的一个动点，则的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】 【思路点拨】①由平行四边形的性质可判断结论； ②从对角线的角度来判断四边形的形状； ③假定条件成立，求出的值与所给不符； ④由点与关于成轴对称，从而得到的最小值是． 【规范解答】①∵四边形是平行四边形， ∴，； 即结论①正确； ②∵中，， ∴， ∵，， ∴≌ ∴ ∵ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形； 即结论②正确； ③∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∵，， ∴， 即结论③错误． ④因为点关于的对称点是点，连接交于点，当点与重合时，的值最小即为的长． ∵菱形中， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴∽， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵中， ∴， 即结论④正确． 【变式训练】（2025·福建福州·一模）如图，为的直径，弦，连接，E为上一点，，连接并延长交于点F，交于点G． (1)求证：． (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）证明，推出可得结论； （2）证明，利用相似三角形的性质求解． 【规范解答】（1）证明：连接． ∵是直径，， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点17：相似三角形的综合问题 【典例精讲】（2024·江苏泰州·一模）（1）给出：①AC平分∠DAB；②ED⊥AD；③DE与⊙O相切，从中选择两个填在下面的文字“且”之后，再将剩余的一项作为结论填在“则”后面，构成一个命题．试写出你所构造的命题，判断命题是否正确，并说明理由．如图，已知RtABC，∠ABC＝90°，AB为⊙O的直径，斜边AC交⊙O于点E，且 ，则 ． （2）在（1）的条件下，若DE的延长线与BC交于点F，AD：AB=3：4，BF=2，求DE的长． 【答案】（1）且①②，则③，见解析；（2）3 【思路点拨】（1）根据切线的判断定理，连接OE，只要证明OE⊥DE即可，根据直角三角形两锐角互余，同圆的半径相等，以及等腰三角形的性质，可得结论； （2）利用去切线长定理，和等腰三角形可得出FB＝FC；利用相似三角形的性质，求出BC，即可求出DE． 【规范解答】解：（1）且①②，则③，理由如下： 连接OE， ∵DE⊥AD， ∴∠D＝90°， ∴∠DAE+∠DEA＝90°， ∵AC平分∠DAB， ∠DAE＝∠BAE， 又∵OA＝OE， ∴∠BAE＝∠OEA， ∴∠OEA+∠DEA＝90° 即OE⊥DE， ∴DE是⊙O的切线； 故答案为：且①②，则③， （2）∵Rt△ABC，∠ABC＝90°，AB为⊙O的直径， ∴BC是⊙O的切线， ∵∠C+∠BAC＝90°，∠DAE+∠DEA＝90°，∠DEA＝∠CEF， ∴∠C＝∠CEF， ∴FC＝FE， 又∵DE是⊙O的切线，BC是⊙O的切线， ∴FB＝FE， ∴FB＝FC=2； ∴BC=4 ∵∠D＝∠ABC＝90°，∠DAE＝∠BAE，， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 又∵AD：AB＝3：4，BC=4， ∴， ∴DE=3， ∴DE的长为3． 【变式训练】（2024·山西阳泉·一模）综合与实践 【问题背景】 如图1，矩形中，．点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边的点处． 【问题解决】 （1）填空：的长为______． （2）如图2，将沿线段向右平移，使点与点B重合，得到与交于点F，与交于点G．求的长； 【拓展探究】 （3）在图2中，连接，则四边形是平行四边形吗？若是，请予以证明；若不是，请说明理由． 【答案】（1）6；（2）；（3）四边形不是平行四边形，理由见解析． 【思路点拨】（1）先根据已知条件和矩形的性质可得CD=AB=10,AD=BC=8，再根据折叠的性质可得DC＇=DC=10，最后运用勾股定理解答即可； （2）先根据折叠的性质和勾股定理可求得，进而求得BE、EC，然后连接，根据平移的性质可得，进而说明，最后运用相似三角形的性质解答即可； （3）先由折叠可得，再根据平移的性质和等腰三角形的判定与性质得到，过点作于点H，则且，根据相似三角形的性质可得；设，则，在中，运用勾股定理求得和DH；然后再在中求得，可以发现即，即可发现四边形不可能是平行四边形． 【规范解答】解：（1）如图：∵矩形中， ∴CD=AB=10，AD=BC=8 根据折叠的性质可得DC＇=DC=10 在直角三角形ADC＇中，AC＇=． （2）由折叠可知：． 在中，根据勾股定理可求得， ∴． 在中，设，根据勾股定理，得， 解得，即． 如图：连接，则由平移可知，，且． 于是可得， ∴， 又∵， ∴． （3）四边形不是平行四边形，理由如下： 由折叠可知； 又∵平移可知，且， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∴． 如图，过点作于点H，则且， ∴ ． 设，则， 在中，根据勾股定理，得， 解得， ∴， ∴． 而在中，， 根据勾股定理可求得， ∴，即， 故四边形不可能是平行四边形． 考点18：重心的有关性质 【典例精讲】（24-25九年级下·上海·阶段练习）已知边长为4的等边的重心为点，则的面积为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了三角形的重心，等边三角形的性质，画出图形，利用重心的性质得到的值即可，熟知重心的性质是解题的关键． 【规范解答】解：如图， 等边的重心为点， 为的中线，且， ， 根据三线合一可得， ， ， ， 故答案为：． 【变式训练】（2025·浙江金华·模拟预测）如图，分别在三角形纸板 的顶点 处系一根线，把该三角形纸片悬挂起来，在纸板上分别画出悬线的延长线 和 ，相交于点， ． 则 的长度是 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了三角形重心的性质，根据题意得出为的重心，连接并延长交于点，勾股定理求得，进而根据重心的性质，即可求解． 【规范解答】解：如图所示，连接并延长交于点， ∵ ∴ ∴是直角三角形， 依题意，为的重心 ∴ 在中， ∴ 故答案为：． 考点19：相似三角形实际应用 【典例精讲】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）某校九年级一班的兴趣小组准备测量西安古城墙的高度，制定了如下的测量方案：如图，首先，王磊站在点，当在正前方1.5米（即米）的点放置一平面镜时，通过平面镜王磊刚好可以看到城墙的最高点，此时测得王磊的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，在阳光下某一时刻，李华再在点处竖立一根高2米的标杆，城墙的影子顶端与标杆的影子顶端恰好重合于点，此时测得米，米，已知图中所有点均在同一平面内，，，，点、、、、在一条水平线上，请根据以上数据，计算西安古城墙的高度．（平面镜大小忽略不计） 【答案】西安古城墙的高度为12米 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的实际应用，正确理解题意，寻找相似三角形是解题的关键； 设米，证明，推出米，证明，可得，据此解方程即可得到答案． 【规范解答】设米，由题知， 米，米，米，米， ，，， ， ，， ， ，即， 米， ，， ， ， 又米， ， 解得， 答：西安古城墙的高度为12米． 【变式训练】（2025·陕西汉中·二模）如图，某数学兴趣小组利用相似的知识和光的反射定律（反射角等于入射角）在综合实践活动中测量崇文塔的高度． 【测量步骤】某一时刻崇文塔的影长为，同一时刻小明站在地面上的点处时，小明影子的顶端也在处，在地面上的处放置一块平面镜（大小忽略不计），小明沿移动至点处时，恰好从平面镜中看到崇文塔的顶端； 【测量数据】经过测量可知，，，． 已知点、、、、在同一条直线上，且，，．请你根据以上测量步骤及所得数据求出崇文塔的高度． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相似三角形的应用，由和，可以证得，即可证得，即得，由光的反射的性质可以得出，再结合和 ，可以证得，进而根据相似三角形的性质即可求解． 【规范解答】解：，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， 又， ， ， 即， ， 解得， 答：崇文塔的高度为， 考点20：位似图形的识别 【典例精讲】（23-24九年级下·安徽阜阳·期中）如图为用杭州亚运会吉祥物莲莲所作的图形改变，这种图形改变属于（    ）    A．平移 B．位似 C．旋转 D．轴对称 【答案】B 【思路点拨】本题考查了位似变换，理解图形的形状相同，大小不相同，属于位似变换，是解答本题的关键． 【规范解答】解：这种图形改变属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于位似变换． 故选B． 【变式训练】（24-25九年级下·山东烟台·期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“  ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（    ）    A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【答案】B 【思路点拨】位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每组对应点连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），据此逐项判断即可得． 【规范解答】解：A、①和②是位似图形，则此项不符合题意； B、②和③对应点的连线不在同一个点，不是位似图形，则此项符合题意； C、①和④是位似图形，则此项不符合题意； D、②和④是位似图形，则此项不符合题意； 故选：B． 考点21：判断位似中心 【典例精讲】（2024九年级下·全国·专题练习）用直尺画出下面位似图形的位似中心． 【答案】画图见解析． 【思路点拨】本题考查了位似中心的画法，连接两个位似图形两对对应点，对应点连线的交点就是位似中心，正确理解两个位似图形对应点连线的交点就是位似中心是解题的关键． 【规范解答】解：如图，点、、分别为位似图形的位似中心． 【变式训练】（23-24九年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，正方形网格图中的与位似，则位似中心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】A 【思路点拨】本题考查了位似中心的确定，位似对应点连线的交点即为位似中心即可． 【规范解答】根据题意，得位似中心为点D， 故选A． 考点22：位似图形相关概念辨析 【典例精讲】（2024·辽宁·模拟预测）如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O），灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影．已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为4，则阴影部分的面积为 ．    【答案】16 【思路点拨】本题主要考查了位似图形的性质，根据题意可得与是位似图形，且位似比为，再根据位似图形的面积之比等于位似比的平方进行求解即可． 【规范解答】解：由题意得，与是位似图形，且位似比为， ∵的面积为4， ∴阴影部分的面积为16， 故答案为：16． 【变式训练】（2024·湖南郴州·二模）按如下方法，将的三边缩小为原来的，如图，任取一点O，连接，并取它们的中点D，E，F，得到，则下列说法错误的是（　　） A．与位似 B．与相似 C．与的面积之比为 D．与的周长之比为 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．根据位似图形的性质，得出与是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出与是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案． 【规范解答】解：根据位似性质可得： A、与是位似图形，故本选项正确，不符合题意； B、与是相似图形，故B选项正确，不符合题意； ∵将的三边缩小为原来的， 与的相似比为， C、∵面积比等于相似比的平方， ∴与的面积之比为，故C选项正确，不符合题意； D∴与的周长之比为，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 考点23：求两个位似图形的相似比 【典例精讲】（2025·福建泉州·模拟预测）如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，的面积等于9，则的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质．根据位似变换的概念得到，，从而得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积等于9， ∴的面积为． 故答案为：. 【变式训练】（24-25九年级下·四川眉山·期中）如图，四边形与四边形位似，位似中心为点．点A与点对应，若，四边形的面积为6，则四边形的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查位似图形，相似多边形的性质，根据相似比等于位似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方，求出四边形的面积即可． 【规范解答】解：∵四边形与四边形位似，且， ∴四边形与四边形相似，相似比为， ∴四边形与四边形的面积比为， ∵四边形的面积为6， ∴四边形的面积为； 故答案为：54． 考点24：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【典例精讲】（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点O均为格点（网格线的交点）． (1)以O为旋转中心，将顺时针旋转90°得到，画出； (2)以O为位似中心，在的另一侧画出的位似（即和位于点O不同侧），且与的位似比为1∶2． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （2）根据位似的性质作图，即可得出答案． 本题考查作图-位似变换、作图-旋转变换，熟练掌握位似的性质、旋转的性质是解答本题的关键． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求． （2）如图，即为所求． 【变式训练】（24-25九年级下·河南周口·阶段练习）如图，的三个顶点的坐标分别为，，．    (1)以原点为位似中心，将放大为，使与的相似比为． (2)尺规作图画出的外接圆，直接写出的外心坐标． 【答案】(1)见详解 (2)见详解；点坐标为 【思路点拨】本题考查作图位似变换，三角形的外接圆等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点D，E，F，然后顺次连接即可． （2）作线段和线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点I即为的外心．然后写出点I的坐标即可． 【规范解答】（1）解：如下图所示：    （2）解：即为所求：    点坐标为 考点25：求位似图形的对应坐标 【典例精讲】（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点的坐标为，以原点为位似中心，相似比为，在位似中心同侧把缩小，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了位似变换，根据位似变换的性质，即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵以原点为位似中心，相似比为，在位似中心同侧把缩小， ∴点的对应点的坐标是， 故选：． 【变式训练】（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B，的坐标分别为，，若点A的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了求位似图形的坐标，正确求出位似比是解题关键．先根据点和点的坐标求出位似比，再根据位似图形的点坐标变换规律求解即可得． 【规范解答】解：∵和是以坐标原点为位似中心的位似图形，点的坐标为，点的坐标为， ∴与的位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为，即为． 故选：A. 考点26：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【典例精讲】（23-24九年级下·重庆·期末）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则和的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查位似图形的性质，位似图形肯定是相似图形，位似比等于相似比，相似图形的面积比等于相似比的平方，由此可解． 【规范解答】解： ， ， 和的相似比为， 和的面积之比为， 故选C． 【变式训练】（23-24九年级下·江苏淮安·月考）如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形．若，的周长为3，则的周长为 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查坐标与位似．根据位似比等于相似比，周长比等于相似比，即可得出结果． 【规范解答】解：∵和是以原点O为位似中心的位似图形，， ∴和的相似比为：， ∴和的周长比为：， ∵的周长为3， ∴的周长为6； 故答案为：6． 考点27：在坐标系中画位似图形 【典例精讲】（2025·陕西铜川·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为、、，请以坐标原点为位似中心，在第三象限内画出，使得与位似，且与的相似比为，并写出点、的对应点、的坐标． 【答案】画图见解析，、 【思路点拨】本题主要考查了画位似图形，求位似图形对应点坐标，把A、B、C的横纵坐标都分别除以得到它们对应点的坐标，再描出，并顺次连接即可． 【规范解答】解：如图所示，即为所求； ， ∵与的相似比为，且在第三象限内，、， ∴、，即、． 【变式训练】（2025·甘肃陇南·三模）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的； (2)以点O为位似中心，在第四象限内将按相似比2放大，画出放大后的图形． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析 【思路点拨】（1）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，，画图即可． （2）根据，，．以点O为位似中心，在第四象限内将按相似比2放大，确定，画图即可． 本题考查了轴对称作图，位似作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由的三个顶点坐标分别为，，． 故关于y轴对称的坐标分别为，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，，，．以点O为位似中心，在第四象限内将按相似比2放大， 则，画图如下： ， 则即为所求． 考点28：在坐标系中画位似中心 【典例精讲】（2023九年级下·全国·专题练习）如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】用到的知识点为：位似中心为位似图形上任意两对对应点连线的交点．连接任意两对对应点，看连线的交点为那一点即为位似中心． 【规范解答】解：连接，，易得交点为． 故答案为：． 【变式训练】（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．    (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为，并分别写出点A、B的对应点、的坐标． (2)将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】(1)，，作图见解析 (2)能，点M，作图见解析 【思路点拨】（1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据平移变换的性质画出图形，再根据位似中心的性质可得答案． 【规范解答】（1）解：如图，即为所作图形； 其中，，；    （2）如图所示，与是关于点M为位似中心的位似图形． 考点29：坐标与图形综合 【典例精讲】（24-25九年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，点，，若三角形的面积为6，则的值为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，掌握平面直角坐标系中点的坐标特征、三角形和梯形面积计算公式是解题的关键． 分为 两种情况，画图求出、、，根据列方程求出值即可． 【规范解答】解：如图，当时，过点作轴的垂线，垂足为点， ， ， ，， ∵， ， 解得 如图， 当时，过点作轴的垂线交轴于点，交过点平行于轴的直线于点， ，， ， ， ， ， 解得 综上， 或， 故答案为： 或． 【变式训练】（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，平面直角坐标系中有一个的正方形网格，其中是四个格点，随（为任意常数）的变化，动点会经过的点是 ． 【答案】A 【思路点拨】由点可得，，得到解析式，即可解答本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 【规范解答】∵点， ∴， 即， ∴点P的轨迹是直线：， ∴由图可知只有点A符合． 故答案为：A． 1．（2024·贵州·中考真题）如图，矩形中，点在对角线上，延长交于点，过点作，分别交、于点、，，．如果，那么的长是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等积变换等知识点．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．如图，过点作于点，根据矩形的性质得，由得，由勾股定理得，证明得，即，证明得∴继而得到，设，则，得，解得：，再根据可得结论． 【规范解答】如图，过点作于点， ∵矩形中，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在中，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 在中，， ∴的长是． 故答案为：． 2．（2024·浙江·中考真题）如图，中， 平分交于点交 于点，若与的面积均为 1， （1）的面积为 ． （2）的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程，勾股定理，证明，，设的面积为，根据相似三角形的性质和勾股定理，列出一元二次方程即可解答，正确利用相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【规范解答】解：平分， ， ，， ， ， ， ， ， 设的面积为， ，， ， 即， ， ， 解得（负值舍去）， 的面积为， ， 故答案为：；． 3．（2024·广东·中考真题）如图，在正方形中，，，交于点，在边上，且，于，连接，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】以点为坐标原点建立平面直角坐标系，根据正方形的边长和正方形的性质可知：点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，利用勾股定理求出，利用三角形的面积公式求出，过点作于点，可得，利用相似三角形的性质可求，利用勾股定理可得，可得点的坐标是，根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出的长度． 【规范解答】解：如下图所示，以点为坐标原点建立平面直角坐标系， 正方形中，， ， 点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， ， 点是正方形对角线、的交点， 点是的中点， 点的坐标是， 整理得：点的坐标是， ， ， 点的坐标是， 四边形是正方形， ， 在中，， ， ， ， 解得：， 过点作于点， 则， ， ， ， ， ， 解得：， 在中，， 点的坐标是， ． 故答案为：． 4．（2024·山东·中考真题）如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D， ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F． 根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　） A． B． C．5 D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了作图−复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，证明是解答本题的关键．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 根据作法得平分，垂直平分，所以，，从而证明，可得，然后利用相似三角形性质可得，解比例方程即可求解． 【规范解答】解：连接， 由作法得平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 5．（2024·四川·中考真题）在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】B 【思路点拨】延长至点，使，证明，进而推出，即可得到点是的中点，再根据直角三角形的性质可知点在以点为圆心，为半径的圆上，当时，取的最大值，即此时面积最大，然后根据弧、弦、圆心角的关系可知，最后利用勾股定理即可解答． 【规范解答】解：如图，延长至点，使， D为中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴，即， ， 点是的中点， ，D为中点， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上，如图， 当时，边上的高取的最大值，即此时面积最大， ， ，即为等腰直角三角形， ∵，， ， ． 故选：B． 基础夯实 1．（2023·广东清远·一模）与相似且周长之比为，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得与的相似比为，然后根据两个三角形相似，那么它们的面积比等于相似比的平方进行求解即可． 【规范解答】解：由与相似且周长之比为，可知：与的相似比为， ∴； 故选：C． 2．（24-25九年级下·河南驻马店·期中）如图，直线，直线，与，，分别交于点，，和点．若，则的长是（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．6 【答案】A 【思路点拨】利用平行线分线段成比例定理，结合已知的线段比例和总长度，求出的长．本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键． 【规范解答】解：∵ ∴ ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∴ ， 故选：A． 3．（23-24九年级下·上海青浦·期末）已知，那么 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查比例问题，代数式的值，掌握比例性质，利用整体代入约分是解题关键．根据已知比例，将所求分式转化为已知分式与常数的差，进而代入计算． 【规范解答】解：∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级下·山东烟台·期末）如果且，那么 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查比例关系的应用及代数方程的解法．正确设定比例参数并转化为代数表达式是解题的关键．设，则，，，再根据列方程，解得的值，进而得到，，的值，最后代入式子求值即可． 【规范解答】解：设， ，，， ， ，即， ， ，，， ． 故答案为：． 5．（2025·四川成都·二模）如图，是的直径，点C，D在上，且点C是的中点，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【思路点拨】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理推理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）连接，由C是的中点求得根据等边三角形的性质得到，求得，求得得到结论； （2）根据圆周角定理得到根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到于是得到结论． 【规范解答】（1）证明：连接， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 培优拔高 6．（24-25九年级下·四川成都·期中）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定条件，需要逐一分析每个选项，判断是否满足相似三角形的条件即可． 【规范解答】解：A项：∵， ∴， 又∵， ∴，不符合题意； B项：∵，， ∴，不符合题意； C项：∵，， ∴，不符合题意； D项：无法得出和相似，符合题意． 故选：D． 7．（2023·山东·一模）如图，正方形的边长为8，E，F分别是边上的动点，且，连接交于点G，为正方形对角线，与交于点M，P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接，有下列四个结论：①；②；③当最大时，的长为；④当平分时，的最小值为．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【思路点拨】①根据正方形的性质，证明即可得出结论； ②证明，再利用等量代换即可得出结论； ③根据条件得出，点在以为直径的圆上，取的中点，连接，，借助圆的切线长的性质即可得出结论； ④连接，证明，判定出垂直平分线段，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【规范解答】解：①∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ②∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ③∵， ∴，且， ∴， ∴， 如图所示，则点在以为直径的圆上，取的中点，连接，， 当与相切时，最大， ∵， ∴与相切， ∴， 故③错误，不符合题意； ④如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， 当点在同一条直线上时，的值最小，即为的长度， 此时，根据，得出为等腰直角三角形， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴的最小值为， 故④正确，符合题意； 综上，正确选项有①②④， 故选：B． 8．（23-24九年级下·福建泉州·期末）如图，在矩形中，点O是对角线的中点，点M、N分别在边上，且过点O，若，则的长为 ． 【答案】16 【思路点拨】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，证明得出，作于，设，则，，，再由勾股定理计算得出，即可得解． 【规范解答】∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵点是对角线的中点， ∴， ∴， ∴， 作于， 设， ∵， ∴， ∴， ∵点是对角线的中点，， ∴是的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2024·江西·模拟预测）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定．根据三角形中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出即可． 【规范解答】解：是的中位线，， ，， ， ， ， ， ∴， 故答案为：． 10．（25-26九年级下·江苏常州·月考）如图，E是上一点，， (1)证明： (2)若，，，求的长 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，得到，由，得到，即可得出结论； （2）先证明，得到，代入求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ∴． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.4 相似（章节复习） （知识梳理+29个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共73题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：相似图形及比例线段 2 知识点梳理02：相似三角形 3 知识点梳理03：位似 3 知识点梳理04：黄金分割 4 优选题型 考点讲练 4 考点1：比例的性质 4 考点2：比例线段 4 考点3：成比例线段 5 考点4：相似图形 6 考点5：相似多边形 6 考点6：相似多边形的性质 7 考点7：由平行判断成比例的线段 7 考点8：由平行截线求相关线段的长或比值 8 考点9：黄金分割 9 考点10：利用两角对应相等判定相似 9 考点11：选择或补充条件使两个三角形相似 10 考点12：相似三角形的判定综合 10 考点13：利用相似三角形的性质求解 11 考点14：在网格中画与已知三角形相似的三角形 12 考点15：相似三角形——动点问题 13 考点16：相似三角形的判定与性质综合 13 考点17：相似三角形的综合问题 14 考点18：重心的有关性质 16 考点19：相似三角形实际应用 16 考点20：位似图形的识别 17 考点21：判断位似中心 18 考点22：位似图形相关概念辨析 18 考点23：求两个位似图形的相似比 19 考点24：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 20 考点25：求位似图形的对应坐标 21 考点26：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 22 考点27：在坐标系中画位似图形 22 考点28：在坐标系中画位似中心 23 考点29：坐标与图形综合 25 中考真题 实战演练 25 难度分层 拔尖冲刺 26 基础夯实 26 培优拔高 27 知识点梳理01：相似图形及比例线段 1． 相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 【易错点拨】 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等； 2.相似多边形 如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 【易错点拨】 （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比. 3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【易错点拨】 （1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项） （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 知识点梳理02：相似三角形 1. 相似三角形的判定: 判定方法（一）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 判定方法（二）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 判定方法（三）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 【易错点拨】 此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（四）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 【易错点拨】 要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 2. 相似三角形的性质： （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； （2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比； 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 【易错点拨】 要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. (3) 相似三角形周长的比等于相似比； （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 3.相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 知识点梳理03：位似 1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 2.位似图形的性质: （1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 【易错点拨】 (1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形. （2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 知识点梳理04：黄金分割 1.定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割． 2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形． 黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割． 考点1：比例的性质 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）已知，则 ． 【变式训练】（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）如果且，那么的值为 ． 考点2：比例线段 【典例精讲】（24-25九年级下·浙江绍兴·期末）如图表示我国台湾省几个城市的位置关系．经测量得到基隆市到高雄市的图上距离为，地图上显示的比例尺为．则两城市的实际距离是（   ）千米． A．3.15 B．31.5 C．315 D．3150 【变式训练】（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一测量电路，为待测电阻，为可调电阻，R，，为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过的电阻求得的电阻，现已知，．当时电流表读数为0，那么此时将减小，则需要如何变，电流表示数才能为0？ A．增大 B．增大 C．减小 D．减小 考点3：成比例线段 【典例精讲】（23-24九年级下·浙江宁波·月考）已知三条线段a，b，c满足，且． (1)求a，b，c的值； (2)若线段d是线段a和b的比例中项，求d的值． 【变式训练】（24-25九年级下·江苏常州·期末）在比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的距离为，则甲，乙两地的实际距离为 ． 考点4：相似图形 【典例精讲】（24-25九年级下·河南安阳·期末）下面几对图形中，相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·假期作业）下列图形一定是相似形的是（   ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个矩形 D．两个等边三角形 考点5：相似多边形 【典例精讲】（24-25九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）下列命题中，真命题的个数有（   ） ①如果不等式的解集为，那么 ②已知二次函数，当时，y随x的增大而减小 ③顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形 ④各边对应成比例的两个多边形相似 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】（24-25九年级上·江苏南京·月考）观察下面两组多边形： (1)在图（1）中，矩形和矩形相似吗？为什么？ (2)在图（2）中，多边形和多边形都是各边相等，各角相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？ 考点6：相似多边形的性质 【典例精讲】（24-25九年级下·河南许昌·期中）如图，现将一张纸沿它的长边对折（为折痕）可以得到两张纸，已知A系列纸的长宽比是相等的，那么纸的长边与短边的比是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·陕西咸阳·月考）如图，在四边形中，，连接，请用尺规作图法在上找一点P，使得．(保留作图痕迹，不写作法) 考点7：由平行判断成比例的线段 【典例精讲】（2025·河南南阳·三模）如图，已知． (1)尺规作图：作平分交于点，再作的垂直平分线交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接、，判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，，，求的长． 【变式训练】（23-24九年级下·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A、B、C三点都是格点，点在上，在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，画菱形；再将P点绕A点逆时针旋转，画出P点的对应点； (2)在图2中，在上画点，使最小；再画线段，使． 考点8：由平行截线求相关线段的长或比值 【典例精讲】（2024九年级下·山西·专题练习）综合与探究 如图，抛物线交轴于两点（点A在点的左侧），交轴于点，顶点为，对称轴分别交轴，于点．是射线上一动点，过点作的平行线交轴于点，交抛物线于点（点位于对称轴的左侧），设点的纵坐标为． (1)求三点的坐标并直接写出直线的函数表达式． (2)①点在线段上运动，当时，求的值； ②是抛物线上一点，点在整个运动过程中，当满足以点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【变式训练】（2024九年级下·江苏南京·竞赛）（1）已知，求证：； （2）如图，已知数在数轴的位置，尺规作图作出点，使其表示的数为． 考点9：黄金分割 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏无锡·月考）古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地． 若古筝上有一根弦，支撑点C是靠近点A的一个黄金分割点，则为 ．（结果保留根号） 【变式训练】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，点和点均为线段的黄金分割点，，则 ． 考点10：利用两角对应相等判定相似 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，点在上，的延长线交的外接圆于点，与相似吗？为什么？ 【变式训练】（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在中，于点，于点，与交于点，则图中与相似（不含）的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点11：选择或补充条件使两个三角形相似 【典例精讲】（24-25九年级下·陕西榆林·期中）如图，使成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·江西九江·阶段练习）如图，在中，若，点D为的中点，则当 时，． 考点12：相似三角形的判定综合 【典例精讲】（2025·江苏无锡·二模）如图，点E在的对角线上，当平分，且时． 求证： (1)四边形是菱形； (2)． 【变式训练】（24-25九年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，．用尺规过点作直线与交于点，使得（其中与不平行，不写作法，保留作图痕迹）． 考点13：利用相似三角形的性质求解 【典例精讲】（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）四边形中，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【变式训练】（2024九年级下·安徽合肥·专题练习）如果两个相似三角形的周长比是，那么它们的面积比是（   ） A． B． C． D． 考点14：在网格中画与已知三角形相似的三角形 【典例精讲】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边上画点，连接，使，且． (2)在图②中，分别在边上画点，连接，使，且． (3)在图③中，分别在边上画点，连接，使，且． 【变式训练】（2024·河南洛阳·一模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法） (1)在图①中，在线段上画出点M，使 (2)在图②中，在线段上画出点N，使 (3)在图③中，在线段上画出点Q，使 考点15：相似三角形——动点问题 【典例精讲】（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为 ． 【变式训练】（24-25九年级下·广东河源·月考）如图，在四边形中，，，，，．动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为． (1)请用含的代数式表示、； (2)请你求出为何值时，以点为顶点的三角形与相似； (3)是否存在的值使得的面积是面积的，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 考点16：相似三角形的判定与性质综合 【典例精讲】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，对角线，交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，延长交直线于点，延长交直线于点，分别连接，，有如下结论：①，；②四边形是菱形；③若，．则；④若，，，点为上的一个动点，则的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【变式训练】（2025·福建福州·一模）如图，为的直径，弦，连接，E为上一点，，连接并延长交于点F，交于点G． (1)求证：． (2)若，求． 考点17：相似三角形的综合问题 【典例精讲】（2024·江苏泰州·一模）（1）给出：①AC平分∠DAB；②ED⊥AD；③DE与⊙O相切，从中选择两个填在下面的文字“且”之后，再将剩余的一项作为结论填在“则”后面，构成一个命题．试写出你所构造的命题，判断命题是否正确，并说明理由．如图，已知RtABC，∠ABC＝90°，AB为⊙O的直径，斜边AC交⊙O于点E，且 ，则 ． （2）在（1）的条件下，若DE的延长线与BC交于点F，AD：AB=3：4，BF=2，求DE的长． 【变式训练】（2024·山西阳泉·一模）综合与实践 【问题背景】 如图1，矩形中，．点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边的点处． 【问题解决】 （1）填空：的长为______． （2）如图2，将沿线段向右平移，使点与点B重合，得到与交于点F，与交于点G．求的长； 【拓展探究】 （3）在图2中，连接，则四边形是平行四边形吗？若是，请予以证明；若不是，请说明理由． 考点18：重心的有关性质 【典例精讲】（24-25九年级下·上海·阶段练习）已知边长为4的等边的重心为点，则的面积为 ． 【变式训练】（2025·浙江金华·模拟预测）如图，分别在三角形纸板 的顶点 处系一根线，把该三角形纸片悬挂起来，在纸板上分别画出悬线的延长线 和 ，相交于点， ． 则 的长度是 考点19：相似三角形实际应用 【典例精讲】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）某校九年级一班的兴趣小组准备测量西安古城墙的高度，制定了如下的测量方案：如图，首先，王磊站在点，当在正前方1.5米（即米）的点放置一平面镜时，通过平面镜王磊刚好可以看到城墙的最高点，此时测得王磊的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，在阳光下某一时刻，李华再在点处竖立一根高2米的标杆，城墙的影子顶端与标杆的影子顶端恰好重合于点，此时测得米，米，已知图中所有点均在同一平面内，，，，点、、、、在一条水平线上，请根据以上数据，计算西安古城墙的高度．（平面镜大小忽略不计） 【变式训练】（2025·陕西汉中·二模）如图，某数学兴趣小组利用相似的知识和光的反射定律（反射角等于入射角）在综合实践活动中测量崇文塔的高度． 【测量步骤】某一时刻崇文塔的影长为，同一时刻小明站在地面上的点处时，小明影子的顶端也在处，在地面上的处放置一块平面镜（大小忽略不计），小明沿移动至点处时，恰好从平面镜中看到崇文塔的顶端； 【测量数据】经过测量可知，，，． 已知点、、、、在同一条直线上，且，，．请你根据以上测量步骤及所得数据求出崇文塔的高度． 考点20：位似图形的识别 【典例精讲】（23-24九年级下·安徽阜阳·期中）如图为用杭州亚运会吉祥物莲莲所作的图形改变，这种图形改变属于（    ）    A．平移 B．位似 C．旋转 D．轴对称 【变式训练】（24-25九年级下·山东烟台·期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“  ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（    ）    A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④ 考点21：判断位似中心 【典例精讲】（2024九年级下·全国·专题练习）用直尺画出下面位似图形的位似中心． 【变式训练】（23-24九年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，正方形网格图中的与位似，则位似中心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 考点22：位似图形相关概念辨析 【典例精讲】（2024·辽宁·模拟预测）如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O），灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影．已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为4，则阴影部分的面积为 ．    【变式训练】（2024·湖南郴州·二模）按如下方法，将的三边缩小为原来的，如图，任取一点O，连接，并取它们的中点D，E，F，得到，则下列说法错误的是（　　） A．与位似 B．与相似 C．与的面积之比为 D．与的周长之比为 考点23：求两个位似图形的相似比 【典例精讲】（2025·福建泉州·模拟预测）如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，的面积等于9，则的面积为 ． 【变式训练】（24-25九年级下·四川眉山·期中）如图，四边形与四边形位似，位似中心为点．点A与点对应，若，四边形的面积为6，则四边形的面积为 ． 考点24：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【典例精讲】（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点O均为格点（网格线的交点）． (1)以O为旋转中心，将顺时针旋转90°得到，画出； (2)以O为位似中心，在的另一侧画出的位似（即和位于点O不同侧），且与的位似比为1∶2． 【变式训练】（24-25九年级下·河南周口·阶段练习）如图，的三个顶点的坐标分别为，，．    (1)以原点为位似中心，将放大为，使与的相似比为． (2)尺规作图画出的外接圆，直接写出的外心坐标． 考点25：求位似图形的对应坐标 【典例精讲】（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点的坐标为，以原点为位似中心，相似比为，在位似中心同侧把缩小，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B，的坐标分别为，，若点A的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 考点26：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【典例精讲】（23-24九年级下·重庆·期末）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则和的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24九年级下·江苏淮安·月考）如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形．若，的周长为3，则的周长为 ． 考点27：在坐标系中画位似图形 【典例精讲】（2025·陕西铜川·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为、、，请以坐标原点为位似中心，在第三象限内画出，使得与位似，且与的相似比为，并写出点、的对应点、的坐标． 【变式训练】（2025·甘肃陇南·三模）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的； (2)以点O为位似中心，在第四象限内将按相似比2放大，画出放大后的图形． 考点28：在坐标系中画位似中心 【典例精讲】（2023九年级下·全国·专题练习）如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 【变式训练】（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．    (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为，并分别写出点A、B的对应点、的坐标． (2)将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标． 考点29：坐标与图形综合 【典例精讲】（24-25九年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，点，，若三角形的面积为6，则的值为 ． 【变式训练】（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，平面直角坐标系中有一个的正方形网格，其中是四个格点，随（为任意常数）的变化，动点会经过的点是 ． 1．（2024·贵州·中考真题）如图，矩形中，点在对角线上，延长交于点，过点作，分别交、于点、，，．如果，那么的长是 ． 2．（2024·浙江·中考真题）如图，中， 平分交于点交 于点，若与的面积均为 1， （1）的面积为 ． （2）的值为 ． 3．（2024·广东·中考真题）如图，在正方形中，，，交于点，在边上，且，于，连接，则的长为 ． 4．（2024·山东·中考真题）如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D， ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F． 根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　） A． B． C．5 D． 5．（2024·四川·中考真题）在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（   ） A． B．2 C．2 D．4 基础夯实 1．（2023·广东清远·一模）与相似且周长之比为，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·河南驻马店·期中）如图，直线，直线，与，，分别交于点，，和点．若，则的长是（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．6 3．（23-24九年级下·上海青浦·期末）已知，那么 ． 4．（24-25九年级下·山东烟台·期末）如果且，那么 ． 5．（2025·四川成都·二模）如图，是的直径，点C，D在上，且点C是的中点，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 培优拔高 6．（24-25九年级下·四川成都·期中）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（   ） A． B． C． D． 7．（2023·山东·一模）如图，正方形的边长为8，E，F分别是边上的动点，且，连接交于点G，为正方形对角线，与交于点M，P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接，有下列四个结论：①；②；③当最大时，的长为；④当平分时，的最小值为．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 8．（23-24九年级下·福建泉州·期末）如图，在矩形中，点O是对角线的中点，点M、N分别在边上，且过点O，若，则的长为 ． 9．（2024·江西·模拟预测）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为 ． 10．（25-26九年级下·江苏常州·月考）如图，E是上一点，， (1)证明： (2)若，，，求的长 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $