第20章 勾股定理 复习训练-2025-2026学年八年级下册数学同步辅导（人教版）

复习课 典例精析 【例1】如图20-1，把长方形纸条ABCD 方法构造一些特殊的图形来验证，这本身就是 沿EF,GH同时折叠，B,C两点恰好同时落在 转化思想的重要体现.这种思想在解决问题时 AD边的P点处，若∠FPH=90°，PF=8,PH= 有着重要作用，例如，在有些问题的图形中没有 6,则长方形ABCD的边BC的长为 () 现成的直角三角形的情况下，就可以根据已知 条件通过作辅助线构造出直角三角形，然后再 利用勾股定理来解决问题 【例3】如图20一3所示，已知四边形 ABCD中，AB∥CD,BC=AD=4,AB=CD= 图20-1 10,∠DCB=90°.E为CD边上一点，且DE= A.20 B.22 C.24 D.30 7,动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的 思路分析：由题意知PF=BF,PH=HC. 速度沿着边AB向终点B运动，连接PE,设点 ∠FPH=90°，.由勾股定理得FH P的运动时间为t秒， √/PF2+PHr=√/82+6=10，.BC=BF+ (1)求BE的长； FH+HC=PF+FH+PH=8+10+6=24. (2)若△BPE为直角三角形，求t的值. 答案：C 点拨：利用折叠的性质，结合勾股定理求出 FH的长，从而确定BC的长.勾股定理与折叠 问题的综合应用是中考数学的热点题型， 图20-3 【例2】如图20一2所示，在正方形网格 解：(1)CD=10,DE=7,.CE=10- 中，点A,B,C,D,E是格点，则∠ABD+∠CBE 7=3. 的度数为 在Rt△CBE中，由勾股定理得BE= √BC+CE=5. (2)当∠BPE=90°时，AP=10-3=7, 则t=7÷1=7. 当∠BEP=90°时，过点E作EF⊥AB于 图20-2 点F,PF=7-t. 思路分析：将∠CBE旋转到如图20一2∠CBE :BP=10-t,由勾股定理得BE+ 的位置，连接AC,设每个小网格边长均为1，由勾股 PE2=BP2, .52+42+(7-t)2=(10-t)2, 定理得BC=AC=√5，AB=√10，由勾股定理的 逆定理得AB=AC'?十BC2,∴.∠ACB=90°， 解得1一 .AC=BC,.∠ABC=45. 综上所述，当△BPE为直角三角形时，t的 答案：45 点拨：勾股定理可通过图形的割、补、拼等 值为7或号 点拨：在应用勾股定理解题时，有时会遇到 解：根据题意，较短路径有下列三种情况： 多种情况，稍不留神就会漏解或造成错解，这就 ①展开AA'C'C面和CC'B'B面，得图 需要我们利用分类讨论思想对不同情况加以分 20-5①， 类分析，并逐类求解，然后综合得出结论， 【例4】如图20-4，已知长 AB2=AB2+BB2=(2+1)2+42=32+ 方体的长为2cm,宽为1cm,高为 4=25. 4cm.一只蚂蚁如果沿长方体的表 ②展开AA'C'C面和A'D'BC'面，得图 面从A点爬到B'点，那么沿哪条 20-5②， 路爬最近？最短路程是多少？ 图20-4 AB2=AC+CB2=22+(4+1)2=4+ 思路分析：要求蚂蚁爬行的路径最短，需将 空间长方体转化成平面展开图（利用“两点之间 52=29 线段最短”)，即将点A,B所在的两个面展开， ③展开AAD'D面和A'D'B'C'面，得图 但展开图并非只有一种，而是三种，需要分别计 20-5③， 算三种展开图中线段AB的长度，然后比较结 AB2=AD2+BD2=12+(2+4)2=1+ 果，找出最短路径， 62=37 综上所述，最短路径应如图20一5①所示. .AB2=25,即AB'=5. 答：最短路径如图20一5①所示，最短路程 为5cm. 图20-5 复习训练 1.如图20-6，在△OAB中，顶点O的坐标为 3.在单位长度为1的正方形网格中，每个小正方 (0,0),顶点A,B分别在第一、四象限上，且 形的边长均为1，下面四个三角形的顶点都在 AB⊥x轴，若AB=6,OA=OB=5,则点A 网格的格点上，其中是直角三角形的是() 的坐标是 () A.(5,4)B.(3,4) C.(5,3) D.(4,3) ...1..1 ...i.i.i. .1.i.i.. A B C D 4.如图20一8所示长方形地面ABCD中，长 AB=20米，宽AD=10米，中间有一堵砖墙高 图20-6 图20-7 MN=2米.一只蚂蚁从A点爬到C点，它必 2.如图20一7，两个边长均为1的正方形拼接排 须翻过中间那堵砖墙，则它至少要走() 列在数轴上形成一个长方形.以数轴上表示3 的点为圆心，以这个长方形的对角线长为半 径作圆，圆与数轴正方向交于点P,则点P表 示的数是 () 图20-8 A.5.2 B.25C.3+5 D.2+5 A.20米 B.24米C.25米 D.26米当点D在AC上， BC=CD 此时 AB+BC+CD=5+3+3=11， ∴t=11÷1=11. 当点D在AB上，且过 BC 的垂直平分线， BD=CD 时，如图③所示， ∴∠B=∠DCB. $$\because \angle B + \angle A = \angle D C B + \angle D C A = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ∴∠A=∠DCA， ∴AD=CD，∴BD=AD，∴AD=2.5， ∴t=2.5÷1=2.5. B B H D ③ ④ 当点D在 $$m _ { 1 }$$ 上， ，BC=CD 时，如图④所示， 过点C作 CH⊥AB， 垂足为 H. $$\because S _ { \triangle A B C } = 3 \times 4 \times \frac { 1 } { 2 } = 6 ， S _ { \triangle A B C } = \frac { 1 } { 2 } \times A B \times$$ $$C H = \frac { 1 } { 2 } \times 5 \times C H = 6 ， \therefore C H = \frac { 1 2 } { 5 } .$$ $$\because A D = t ， \therefore B D = 5 - t ， \therefore D H = \frac { 5 - t } { 2 } .$$ 在 Rt△CDH 中 由勾股定理，得 $$D H ^ { 2 } + C H ^ { 2 } = C D ^ { 2 } ，$$ $$\therefore \left( \frac { 5 - t } { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { 1 2 } { 5 } \right) ^ { 2 } = 9$$ $$\therefore t = \frac { 7 } { 5 } = 1 . 4$$ 或 $$t = \frac { 4 3 } { 5 }$$ (舍去)， 综上，t的值为2或11或2.5或1.4. 数学活动 1.解：(1)2次操作后的图形如图所示. (2)由勾股定理可知， $$， a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = c ^ { 2 } = 1 \left( c m ^ { 2 } \right) ，$$ ∴ 题图 1① 中所有正方形的面积和为 $$a ^ { 2 } +$$ $$b ^ { 2 } + c ^ { 2 } = 2 \left( c m ^ { 2 } \right)$$ ∴.1次操作后所有正方形的面积和为α+ b+2=3(cm). .2次操作后所有正方形的面积和为a2十 b2+3=4(cm2). ∴.2次操作后的图形中所有正方形的面积 和为4cm. (3)如果最初的直角三角形是等腰直角三 角形，“毕达哥拉斯树”将是左右对称的树 形结构. 2.解：(1)图中阴影部分的面积为两个半圆的 面积减去三角形的面积， 即阴影部分的面积=方x(9)+)x× (C)-AcXBc-zxx(2)+x (号-×4×6--12. “阴影部分的面积为x-12. (2)设OA=a,AB=c, 由题意，得OB=OC=5, ∴.4c+4(a-5)=80,由勾股定理， 得a2+52=c2, ∴.c=25-a, ∴.a2+52=(25-a)2, 解得a=12. 1 4X SAAO=4X2X12X5=120, ∴.该飞镖状图案的面积为120. 复习课 【复习训练】 1.D2.C3.C 4.D点拨：展开如图，连接AC,则新长方形的 长增加2MN=4(米)，宽度不变，由此可得 新长方形的长AB=20十4=24（米）.根据勾 股定理得AC=√AB+BC=√24+10= 26(米).故选D. 5.D点拨：根据垂线段最短， 当BP⊥AC时，BP最短.如 图，过点A作AD⊥BC于点 D..AB=AC,AD⊥BC,∴.D 为BC的中点.又BC=6,.BD=CD=3.在 Rt△ADC中，AC=5,CD=3,根据勾股定理 得AD=√AC-CD-√/52-32=4..'S△4Bc= 号BC·AD=AC.BP,BP-BCAD AC 6X4=4.8. 5 6.52°7.10或2√78.45 9.解：(1)由折叠可得∠ACE=∠DCE 2∠ACD,∠BCF=∠BCF=2∠BCB. .∠ACB=90°， ∴.∠ACD+∠BCB'=90°， ∠ECD+∠CD=号×90=45， 即∠ECF=45. (2)由折叠可得∠DEC=∠AEC=90°， BF=B'F=1, ∴.∠EFC=45°=∠ECF, .CE=EF=4,∴.BE=4+1=5. ∴.在Rt△BCE中，BC=√BE2十CE= √41.设AE=x,则AB=x+5. .在Rt△ACE中，AC=AE+CE, 在Rt△ABC中，AC=AB2-BC, ∴.AE2+CE=AB2-BC, 即x+4=(x+5)2-41,解得x=16, 5 '.SAMe-ZABX CE-x(+5)x 482 51 10.解：(1).∠ACB=90°，AB=5cm,BC= 3cm,.'.AC=4cm. 动点P从点A出发， 沿射线AC以1cm/s的速度运动， .∴.AP=tcm. 当∠APB=90时，如图①， 点P与点C重合，AP=AC=4cm, 当∠ABP=90时， (P) ① 如图②，AP=tcm,CP=(t-4)cm. 在Rt△BCP中，BP2=32+(t-4)2」 在Rt△BAP中，AB2+BP2=AP2 ∴5+3+(-4)=f:解得=空。 综上所述，当△ABP为直角三角形时， :的值为4或织 (2)当PB=PA时，如图③， PB=PA=tcm,CP=(4-t)cm. 在Rt△BCP中，PB=BC+CP, =32+(4-t)2,解得1=25」 8 当AP=AB=5cm时， 3 如图@1=1=5 当AB=BP时，如图⑤， C ⑤ A-2AC=8cm4=-8 综上所述，当△ABP为等腰三角形时， :的值为号或5或8， 【聚焦中考】 1.C 2.A点拨：E是BC边的中点，BC=2,