第20章 勾股定理 复习课-2025-2026学年八年级下册数学同步辅导（人教版）

数学活动 活动利用勾股定理绘制图案 2.【空间观念】小林同学是一名剪纸爱好者，喜 1.如图1①，直角三角形的两个锐角分别是40° 欢运用数学知识对自己的作品进行分析思考. 和50°，其三边上分别有一个正方形.执行下 下面是他利用勾股定理对部分作品的数量关系 面的操作：由两个小正方形向外，分别作一个 进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成. 锐角为40°、一个锐角为50°的直角三角形，再 (1)如图2①所示，在Rt△ABC中，∠C=90°， 分别以所得直角三角形的两条直角边为边长 AC=4,BC=6,分别以AC,BC为直径作半 作正方形.图1②是1次操作后的图形 圆，求图中阴影部分的面积 (2)如图2②所示，这是由四个全等的直角三角 形紧密地拼接形成的飞镖状图案，O为图案 的中心交点，测得外围实线轮廓的总长度为 80,OC=5,求该飞镖状图案的面积. 图1 (1)试画出2次操作后的图形. (2)如果原来直角三角形斜边长为1cm,写出 2次操作后的图形中所有正方形的面积和. 图2 (3)重复上述步骤若干次后得到的图形，人们 把它称为“毕达哥拉斯树”.如果最初的直 角三角形是等腰直角三角形，你能想象出 此时“毕达哥拉斯树”的形状吗？ 复习课 典例精析 【例1】如图20-1，把长方形纸条ABCD 方法构造一些特殊的图形来验证，这本身就是 沿EF,GH同时折叠，B,C两点恰好同时落在 转化思想的重要体现.这种思想在解决问题时 AD边的P点处，若∠FPH=90°，PF=8,PH= 有着重要作用，例如，在有些问题的图形中没有 6,则长方形ABCD的边BC的长为 () 现成的直角三角形的情况下，就可以根据已知 条件通过作辅助线构造出直角三角形，然后再 利用勾股定理来解决问题 【例3】如图20一3所示，已知四边形 ABCD中，AB∥CD,BC=AD=4,AB=CD= 图20-1 10,∠DCB=90°.E为CD边上一点，且DE= A.20 B.22 C.24 D.30 7,动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的 思路分析：由题意知PF=BF,PH=HC. 速度沿着边AB向终点B运动，连接PE,设点 ∠FPH=90°，.由勾股定理得FH P的运动时间为t秒， √/PF2+PHr=√/82+6=10，.BC=BF+ (1)求BE的长； FH+HC=PF+FH+PH=8+10+6=24. (2)若△BPE为直角三角形，求t的值. 答案：C 点拨：利用折叠的性质，结合勾股定理求出 FH的长，从而确定BC的长.勾股定理与折叠 问题的综合应用是中考数学的热点题型， 图20-3 【例2】如图20一2所示，在正方形网格 解：(1)CD=10,DE=7,.CE=10- 中，点A,B,C,D,E是格点，则∠ABD+∠CBE 7=3. 的度数为 在Rt△CBE中，由勾股定理得BE= √BC+CE=5. (2)当∠BPE=90°时，AP=10-3=7, 则t=7÷1=7. 当∠BEP=90°时，过点E作EF⊥AB于 图20-2 点F,PF=7-t. 思路分析：将∠CBE旋转到如图20一2∠CBE :BP=10-t,由勾股定理得BE+ 的位置，连接AC,设每个小网格边长均为1，由勾股 PE2=BP2, .52+42+(7-t)2=(10-t)2, 定理得BC=AC=√5，AB=√10，由勾股定理的 逆定理得AB=AC'?十BC2,∴.∠ACB=90°， 解得1一 .AC=BC,.∠ABC=45. 综上所述，当△BPE为直角三角形时，t的 答案：45 点拨：勾股定理可通过图形的割、补、拼等 值为7或号当点D在AC上，BC=CD时， 此时AB+BC+CD=5+3+3=11, .t=11÷1=11. 当点D在AB上，且过BC的垂直平分线， BD=CD时，如图③所示， ∴.∠B=∠DCB. :∠B+∠A=∠DCB+∠DCA=90°， .∠A=∠DCA, .AD=CD,∴.BD=AD,∴.AD=2.5, .t=2.5÷1=2.5. CL- ④ 当点D在AB上，BC=CD时，如图④所示， 过点C作CH⊥AB,垂足为H. :S6度=3X4X号=6.S2m=号×AB× CH=号×5xCH=5cH=号 AD=t,∴BD=5-t,DH=5t 2 在Rt△CDH中， 由勾股定理，得DH+CH=CD, (2+(号)=9. 6=号=1.4或= (舍去)， 43 综上，t的值为2或11或2.5或1.4. 数学活动 1.解：(1)2次操作后的图形如图所示. (2)由勾股定理可知，a2+b=c2=1(cm2), ∴.题图1①中所有正方形的面积和为a2+ b2+c2=2(cm2). ∴.1次操作后所有正方形的面积和为α+ b+2=3(cm). .2次操作后所有正方形的面积和为a2十 b2+3=4(cm2). ∴.2次操作后的图形中所有正方形的面积 和为4cm. (3)如果最初的直角三角形是等腰直角三 角形，“毕达哥拉斯树”将是左右对称的树 形结构. 2.解：(1)图中阴影部分的面积为两个半圆的 面积减去三角形的面积， 即阴影部分的面积=方x(9)+)x× (C)-AcXBc-zxx(2)+x (号-×4×6--12. “阴影部分的面积为x-12. (2)设OA=a,AB=c, 由题意，得OB=OC=5, ∴.4c+4(a-5)=80,由勾股定理， 得a2+52=c2, ∴.c=25-a, ∴.a2+52=(25-a)2, 解得a=12. 1 4X SAAO=4X2X12X5=120, ∴.该飞镖状图案的面积为120. 复习课 【复习训练】 1.D2.C3.C 4.D点拨：展开如图，连接AC,则新长方形的 长增加2MN=4(米)，宽度不变，由此可得 新长方形的长AB=20十4=24（米）.根据勾 股定理得AC=√AB+BC=√24+10= 26(米).故选D.