27.2.5 相似三角形的判定3-2025-2026学年九年级下册数学同步辅导（人教版2012）

∠BCE. .∠BEC+∠BCE=90°， ∴.∠BEC+∠AEF=90°， ∴.∠FEC=90°，即FE⊥EC. 点拨：当已知边的数量关系和角的数量关 系时，一般可考虑使用“两边对应成比例且 夹角相等的两个三角形相似”来判定三角 形相似. 8.证明：.'△ABC≌△DCE≌△FEG, ∴BC=CE=BG=号BG=1,即BG=3. :G-A8=,品-器是8 又.'∠BGF=∠FGE,.△BFG∽△FEG. ,△FEG是等腰三角形， ∴.△BFG是等腰三角形， ∴.BF=BG=3. 9解船=专品月-号船品 75AC-CD 又.'∠B=∠ACD,.△ABC∽△DCA. 6-=瓷AD=5 41 精彩一题 解：(1)△ABC和△DEF相似.理由如下： 根据勾股定理， 得AB=2√5，AC=√5，BC=5; DE=4√2，DF=2√2，EF=2√10. 加加即 ∴.△ABCc∽△DEF. 答图 (2)答案不唯一，下面6个三角形中的任意 2个均可（如答图）. △P2P5D,△P4PF,△P2P4D,△P4P5D, △P2P4P5,△P1FD 第5课时相似三角形的判定（三） 【基础巩固】 1.B 点拨：∠1=∠2，.∠DAE= ∠BAC,添加条件A、C、D后均可判定 △ABC△ADE..·∠DAE不是边AD 与DE的夹角，∴.添加条件B后，不能判定 △ABC∽△ADE. 2.C3.C 4.6 5.解：.'△ABC是直角三角形，CD是斜边AB 上的高， ∴.∠ACB=∠ADC=∠BDC=90°， ∴.∠A+∠B=∠A+∠ACD=∠B+ ∠BCD=90°. ∴.∠A=∠BCD,∠B=∠ACD. ∴.△ABC∽△ACD∽△CBD. I△AC△CBD品S品 即普-品BD=4cm (2:△CBD△AuC.-B認. 即号0BD-9m 点拨：本题的图形非常重要，要注意归纳其 规律，已知六条线段(AC,BC,CD,AB, AD,BD)中的任意两条，都可通过相似或 勾股定理或面积法求出其余四条线段 的长。 【能力提升】 1.B点技：可证得△A0D∽△CBA,8 0-1,BC-0A=AB= 2.C3.A 4.C点拨：①由题意可知∠AEB+∠CEF =90°，∴.∠BAE=∠CEF,又.∠ABE= ∠ECF,∴.△ABE∽△ECF.②由①知： 能柴-崇：E为BC中点，BE= BC.÷提-渠又∠ABE=∠AEP 90°，∴.△ABEC∽△AEF,∴.∠BAE= ∠EAF.即AE平分∠BAF.③当k=1时， 矩形ABCD为正方形.设正方形的边长为 a,由题意可知，AB=a,BE=号，EC=号， 29 则CF=号DP=是a.从而可判定△ABE 与△ADF不相似.故选C. 5aI69 7.解：(1)△ABC△ADE,△ABDx∽△ACE. (2)①证△ABCc∽△ADE. .∠BAD=∠CAE, .∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, 即∠BAC=∠DAE. 又'∠ABC=∠ADE, .△ABCC∽△ADE ②证△ABD∽△ACE, △ABCAADE.是-Ae 又.∠BAD=∠CAE, .△ABD∽△ACE. 8.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AB∥CD, ∴.∠ADF=∠CED,∠B+∠C=180°. ∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B, ∴.∠AFD=∠C, .△ADF∽△DEC. (2)解：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,CD=AB=4. 又.AE⊥BC, .AE⊥AD.在Rt△ADE中， DE=√AD+AE=√(3√3)2+32=6. :△ADPDEC.提S, 即2g9AF=2v8 9.证明：如答图，连接EC. .AB=AC,AD⊥BC, .∠ABC=∠ACB, AD垂直平分BC, .'BE=CE, 答图 .∠1=∠2， ∴.∠ABC-∠1=∠ACB-∠2， 即∠3=∠4. .CG∥AB,.∠G=∠3，∴.∠G=∠4. 又.∠CEF=∠GEC, &ACEFAGEC,器-3. .CE=EF·EG,即BE=EF·EG. 精彩一题 (1)△HGA△HAB 解：(2)由(1)可知△AGCp△HAB, ·指新 (3)当CG<号BC时. ∠GAC=∠H<∠HAG,∴.AG<GH. 又.AH>AG,AH>GH, 此时，△AGH不可能是等腰三角形； 当CG=2BC时，G为BC的中点， H与C重合，△AGH是等腰三角形， 此时GC=号E,即x=号E: 当CG>2BC时， 由(1)可知△AGC∽△HGA, .若△AGH是等腰三角形， 只可能存在AG=AH, 若AG=AH,则AC=CG,此时x=9. 综上，当x=9或x=号②时， △AGH是等腰三角形. 第6课时相似三角形的性质 【基础巩固】 1.A点拨：可设一个三角形的周长为x,另 一个三角形的周长为20-2，故20产7 号，所以x=8 2.B点拨：相似图形的面积之比等于相似比 的平方. 3.号<AC<4点拔：△ABCD△DFE, C-器-号BC=号AC在△Ac 中，由BC+AC>AB,得了AC>6,AC> .由BC-AC<AB,得AC<6,AC< 12 4.号<AC<4. 4.8点拨：由题意得△PEF与△PBC相似， 且相似比为号，故面积比为子，·Sac= 4S△PEF=4S=8,.'△PBC与□ABCD同 底等高，.S十S2=2SBCD=S△PBC=8, 5.解：AD∥BC,EF∥BC, ∴.AD∥EF∥BC. 又AE:EB=1:2, ..AE:AB=EF:BC=1:3,AD:BC= 1：2. 设EF=,BC-=3k,则AD=昌 设S△ADE=1, 3k AD 二4. ·S△ADE ∴.S△BcE=4. 而△AEF与△ADE有相等的高， S△AEE= 片=，=3，S= ·SAADE AD3B 【能力提升】 1.B 2.D点拨：由已知条件可得△CEDp △CAB.由相似三角形面积比等于相似比 的平方可知D选项正确. 3.D4.25.256.8:27 7.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠A=∠C,AB∥CD, ∴.∠ABF=∠CEB,∴.△ABFp△CEB, (2)解：.四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,AB∥CD,AB=CD, ∴.△DEFp△CEB,△DEFp△ABF. .DE= CD. DE121 S△CEB EC 9, S△DEE= /DE)21 S△ABF (AB=4 .S△DEF=2,∴.S△CEB=18,S△ABF=8, '.S四边形BCDF=S△BcE一S△DEF=16, .S四边形ABCD=S四边形BCDF十S△ABF=16十8= 24. 精彩一题 解：在题图①中，设正方形的边长为xcm, 答图 DE=x cm,AD=(30-x)cm. :∠A=∠A,∠ADE=∠C=90°，第5课时>相似三角形的判定（三） 基础巩固 1.如图27-5-1，已知∠1=∠2，那么添加下列 4.如图27-5-4，AD∥BC,AD⊥CD,AC⊥ 一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的 AB,已知AD=4,BC=9,则AC= 是() 人恕船 指能 C.∠B=∠D D.∠C=∠AED 图27-5-4 5.如图27-5-5，CD是Rt△ABC斜边上 的高 (1)已知AD=9cm,CD=6cm,求BD的长； 图27-5-1 图27-5-2 (2)已知AB=25cm,BC=15cm,求BD的长. 2.如图27-5-2，P为线段AB上一点，AD与 BC交于点E,∠CPD=∠A=∠B,BC交 PD于点F,AD交PC于点G,则图中相似三 角形有() 图27-5-5 A.1对B.2对 C.3对 D.4对 3.如图27一5-3，在正方形ABCD中，E是CD 的中点，P是BC边上的一点，下列条件中， 不能推出△ABP与△ECP 相似的是( A.∠APB=∠EPC B.∠APE=90° C.P是BC的中点 图27-5-3 D.BP:BC=2:3 能力提升 1.如图27-5-6，AB是⊙0的 2.如图27一5-7，给出下列条件： 直径，AD是⊙O的切线，点C ①∠B=∠ACD:②∠ADC= 在⊙O上，BC∥OD,AB=3, D OD=3,则BC的长为( 图27-5-6 ∠A8,S,①A= 图27-5-7 A号 号 AD·AB.其中单独能够判定 △ABCc∽△ACD的条件有() 7.如图27-5-12，在△ABC和△ADE中， A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ∠BAD=∠CAE,∠ABC=∠ADE. 3.已知，如图27一5一8①②中各有两个三角形， (1)写出图中两对相似三角形（不得添加辅 其边长和角的度数已在图上标注，图②中 助线)； AB、CD相交于点O,对于各图中的两个三角 (2)请分别说明两对三角形相似的理由. 形而言，下列说法正确的是( 7 359 图27-5-12 图27-5-8 A.都相似 B.都不相似 C.只有①相似 D.只有②相似 4.如图27一5-9，在矩形ABCD中，E是BC的 中点，连接AE,过点E作EF LAE交DC于点 F,连接AE设k,下列结论：①AAE △ECF;②AE平分∠BAF;③当k=1时， 8.(学科内知识交叉题)如图27一5一13，在平 △ABE∽△ADF.其中结论正确的是() 行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC,垂 足为E,连接DE,F为线段DE上一点，且 ∠AFE=∠B. (1)求证：△ADFp△DEC; 图27-5-9 (2)若AB=4,AD=3√3，AE=3,求AF的长. A.①②③B.①③ C.①② D.②③ 5.如图27-5一10，A、B、C、D是⊙O上的四个 点，AB=AC,AD交BC于点E,AE=3, 图27-5-13 ED=4,则AB的长为 图27-5-10 图27-5-11 6.如图27-5-11，在△ABC中，AB=5,AC 4,点D在边AB上，∠ACD=∠B,则AD的 长为 9.如图27一5一14，在等腰三角形ABC中， 精彩一题 AB=AC,AD⊥BC于点D,CG∥AB,BG分别 如图27-5-15①，△ABC与△EFD为等腰直 交AD、AC于点E、F.求证：BE=EF·EG. 角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9, ∠BAC=∠DEF=90°，固定△ABC,将△EFD 绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时， 旋转终止.不考虑旋转开始和结束时重合的情 图27-5-14 况，设DE、DF(或它们的延长线)分别交BC(或 它的延长线)于G、H两点，如图27-5-15②. (1)始终与△AGC相似的三角形有 及 (2)设CG=x,BH=y,求y关于x的函数关系 式（只要求根据图27-5-15②的情况说明 理由)； (3)当x为何值时，△AGH是等腰三角形？ A(D) A(D) L C(E ② 图27一5-15