8.3.1 实数的定义-2025-2026学年七年级下册数学同步辅导（人教版）

所以8x3=512,所以x=4. 答：截得的每个小正方体的棱长是4cm. 第2课时互为相反数的两个数的立方根的关系 【基础过关】 1.D2.B 3.0或1或4 4,解：1)原式=一。 (2)原式信= (3)原式=一7. (4)原式(T=子 【素养提升】 1.A2.C3.A 4.D点拨：.(-3)2=9,9的平方根是士3， .a=±5. 5.2或-/6点拨：由题意，知(x一1)2=49， x一1=士7，x=8或x=一6，则其立方根为 2或一6，正数的平方根有两个，不要漏掉 负值， 6-号 7.(1)0.010.1110100 (2)被开方数乘1000，则立方根乘10 (3)①14.420.1442②7.697③15.07 8.解：由题意可知3x一7和3y十4互为相反 数，所以3.x-7+(3y+4)=0,所以3.x+ 3y=3,x十y=1.所以x+y的值为1. 点拨：若两个数的立方根互为相反数，则这 两个数也互为相反数.反之也成立 【综合探究】 1.解：(1)（举例不唯一）.2十一2=0,2+ (-2)=0,即2和一2互为相反数，2与 一2也互为相反数，.“如果两个数的立方 根互为相反数，那么这两个数也互为相反 数”成立、 (2).1+y和2y-7互为相反数， ∴1十y+2y-7=0. ∴.1+y十2y-7=0,解得y=2. x十3的平方根是它本身， ∴.x十3=0，解得x=-3. .x+y=-3+2=-1. .x十y的立方根是一1. 2.解：小明、小刚都说错了.理由如下： 由题意可知，养鱼池的深度是700米。 因为8.83=681.472,8.93=704.969， 所以8.8<700<8.9， 故养鱼池的深度在8.8米和8.9米之间. 点拨：本题的实质是估算700的立方根. 8.3实数及其简单运算 第1课时实数的定义 【基础过关】 1.D点拔：虽然8中带有根号，但是-8 3 -2,因此写8=一号，是分数本题易错之 处在于学生误认为具有“分数”形式的数就 是分数， 2.C点拨：如4,3π都是有理数；3一5与 爪 √5一1都是无理数，而它们的和为2，是有 理数 3.B 4.√230，π十3点拨：一√9虽带根号，但实 际上等于一3，是有理数：号化成小数后是 无限循环小数，只不过它的循环节较长而 已.两个整数相除（除数不为0），商一定是 整数、有限小数、无限循环小数中的一种， 绝不可能是无限不循环小数. 5.(1)>(2)<(3)<(4)< 6.答案不唯一，如√2、π等点拨：此题答案 不唯一，只要无理数在0~4之间即可. 7.4 8.解：如答图. -1.5 -√3 答图 用“<”连接为一√3<一1.5<0<√3<π. 【素养提升】 1.C 2.D点拨：√4=2，是有理数，故选项A不符 合题意；8=2，是有理数，故选项B不符合 题意；π°=1，是有理数，故选项C不符合题 意；√2是无理数，故选项D符合题意 3.C点拨：圆的周长为2π，点A应位于表示 一1的点的右侧且与之相距2π处，所以点 A表示的数为一1十2π. 4.B 5.一√10（答案不唯一） 6.52点拨：分别找出1,2,3，…，30这30个 自然数的算术平方根和立方根中有理数的 个数，然后便可得出无理数的个数，因为 12=1,22=4,32=9,42=16,52=25<30, 62=36>30,所以1,2,3…，30这30个自然 数的算术平方根中，有理数有5个，所以无 理数有25个；因为13=1,23=8,33=27< 30,43=64>30,所以1,2,3，…，30这30个 自然数的立方根中，有理数有3个，所以无 理数有27个，所以1,2,3，…，30这30个 自然数的算术平方根和立方根中，无理数 共有25+27=52（个）. 7.-3.05,y0.3,2号，-1.732 5m,-罗 8.2(答案不唯一)点拨：.SA=10,Sc=1, .正方形A的边长为√10，正方形C的边 长为1，.1<B的边长<10，正方形B的 边长可以是2. 9.解：(1)(-25)3=-25，(-3)3=-27， -25>-27, ∴.-25>-3. (2).(√/35)2=35,62=36,35<36， .√35<6. 【综合探究】 1.解：(1).√4x-y2+1+|y2-9|=0, .y2-9=0. ∴.y=±3,4x-y2+1=4x-9+1=0. .x=2 (2)分两种情况： 当y=3时，y+6=√9=3，是有理数； 当y=一3时，y+6=√3，是无理数. 2.解：(1)2√5-2 (2).1<√3<2，.2十√3的整数部分是3. 第2课时实数的简单运算 【基础过关】 1.D点拨：A中a,b可能互为相反数，B中 a,b若为负数则不成立，C中a,b可能为 负数 2.A点拨：因为√x一2+(y+1)2=0,也就 是两个非负数的和等于0，所以x一2=0， y+1=0,解得x=2,y=一1.所以x一y= 2-（-1)=3.故选A. 3.√7-25+√3点拨：原式=√7-5 (5-√3)=√7-5-√5+√5=√7-2√5十 √5. 4.±10 5.解：(1)原式=√6-√2+(W2-1)一(3-√6)= √6-√2+√2-1-3+√6=2√6-4. (2)原武=5×店6×2后=1-2× (6)2=1-2×6=-11. 【素养提升】 1.-b点拨：从数轴上看，a>0,b<0, a<b1,所以√(a+b)2+a=-a-b+ a=-b. 2.4点拨：先确定√/10的近似值，然后确定 √10+1的整数部分..9<10<16，.3< √10<4,4</10+1<5，∴.[/10+1]=4. 3.2√3一1点拨：A,B两点所对应的实数 分别是1和√3，∴.AB=√3-1.点B是AC 的中点，.AB=BC.BC=√3-1，∴.OC= √3+√3-1=2√3-1，.点C对应的实数 是23-1. 4.解：(1)原式≈3.142-1.732+1.414≈2.82； (2)原式≈√J6-√3+2.56≈2.45-1.73+ 2.56≈3.3. 5.解：由题图可知：a<0<b,且|a|>b|, 所以a+b<0,2a-b<0,所以|a+b1- |2a-b=(-a-b)+(2a-b)=-a- b十2a一b=a-2b.点拨：根据正实数的 绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负实 数的绝对值等于它的相反数，去掉绝对值 符号. 6.A处填一√3，B处填1，C处填一5. 点拨：由折叠知识可知，折成正方体后A与 √3相对，B与一1相对，C与5相对. 【综合探究】 1.解：(1).正方形A和正方形B的面积分 别为3和9， .正方形A和正方形B的边长分别是√5 和3. .长方形的长为3+3，宽为3， .长方形的周长为2(3+3十3)=2√3+12 (2)S阴影=3（√5十3）-3-9=3√3-3. 2.解：有理数：3，一6：无理数：，元元× 3 3+3-(-6)=12,元×3÷3-(-6)=7. 点拨：本题答案不唯一，要注意理解题意， 根据所给无理数的特点，要使选出的两个 无理数能计算出有理数的结果是关键：8.3实数及其简单运算 第1课时实数的定义 基础过关 1.下列说法正确的是( ) 中，无理数有 A号是分数 R号是无理数 5.比较大小： (1)-√2 3;(2)- 6 Cx3.11是有理数D.3是有理数 5 6 3 3)-9 :(8台 √12. 2.下列说法正确的是() A.带根号的数是无理数 6.写出一个比4小的正无理数： B.含π的数是无理数 7.与√15相差最小的整数是 C.无理数都是无限小数，而无限小数不一定 :8.【教材P54练习3变式】把下列实数表示在数 是无理数 轴上，并将它们用“<”连接起来： D.两个无理数之和一定是无理数 -1.5,-√5,3,0，元. 3.在实数：3.14159,64,1.010010001…（从左 向右，相邻的两个1之间依次多1个0)， 4.2i,x,号中，无理数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.在实数2，一50，号x+33.1415926 素养提升 1.下列说法正确的是() 一周时，停在数轴上的点A处，那么点A所 A.√2是最小的正无理数 表示的实数是( B.绝对值最小的实数不存在 A.-1+元 B.π+1 C.2π-1 D.2π+1 C.无限不循环小数都是无理数 4.如图8-3-1所示的是一个数值转换器，当输 D.有理数与数轴上的点一一对应 入的x=64时，输出的y等于( ) 2.下列实数中，是无理数的是() 输入xA 取算术平方根 是无理数，输出y A.√4 B.8 C.π0 D.√2 是有理数 3.半径为1的圆从数轴上表示一1的点开始，沿 图8-3-1 数轴的正方向做无滑动滚动，当它恰好滚动 A.8 B.√⑧ C.√12 D.4 5.【开放性问题】写出一个比一4大且比一3小 8.【几何直观】如图8-3-2， 的无理数： A,B,C均为正方形，若 6.【教材P54练习2变式】在1,2,3，…，30这 A的面积为10，C的面积 30个自然数的算术平方根和立方根中，无理 为1，则B的边长可以是 图8-3-2 数有 个. (写出一个答案即可)， 7.把下列各数分别填在相应的横线上： 9.比较大小： 5,-309.03.号，-1.732v丽，. (1)一25和-3； (2)√35和6. 整数：{ 分数：{ 无理数：{ 综合探究 1.已知实数x,y满足关系式√4x-y+1+ 2.阅读下面的文字，解答问题： |y2-91=0. 我们知道，√2是无理数，而无理数是无限不循 (1)求x,y的值； 环小数，因此√2的小数部分我们不可能全部 (2)判断y+6是有理数还是无理数，并说明 写出来，但是由于1<√2<2，所以√2的整数 原因. 部分为1.将√2减去其整数部分1，差就是小 数部分√2-1. (1)√5的整数部分是 ,小数部分是 (2)求2十√3的整数部分是多少？