第19章 二次根式 复习训练-2025-2026学年八年级下册数学同步辅导（人教版）

复习课 是典例精析 【例1】下列二次根式中，哪些是最简二次 合并 根式？不是的原因是什么？ 解：(1)原式=2√3×5√2+2√/3×4√3 i5v压0.2a6a618a6,层，。 3√2×5√2-32×4√3 =10√6+24-30-12√6 √Jab,√4x2+y',√(a+b)2(a-b)(a>b>0), =-2√6-6； 3F6ryF3ya/ab. (2)原式=[(w2-3)(√2+√3)]=1： 思路分析：最简二次根式有以下两个特征： (3)原式=[√2+(-√6)][√2-(3 一是被开方数不含分母，二是被开方数中不含 √6)] 能开得尽方的因数或因式， =(2)2-(3-√6)2 解西3a,号va瓜Vr+y,65是 =2-(9-6√2) 最简二次根式，其余的不是.因为： =6√2-7. √45=√9×5=3√5； 点拨：(1)在对二次根式进行运算时，要根据 二次根式的特点，灵活利用乘法公式计算，使运 0.2a=√5=√25 算更简捷；(2)二次根式相加减，先把各个二次根 √18ab=√9a2·2b=3aW/2b; 式化成最简二次根式，再把被开方数相同的分别 合并，要注意的是，化简过程不要出错，合并时， 3 只合并二次根式的系数即可，根式部分不变， (a+b)2(a-b)=(a+b)a-B; 【例3】若|a-b+1|与a+2b+4互为相 √3x2+6xy+3y=√3(x+y)7=√3|x+yl. 反数，求代数式(a一b)2o27的值 点拨：判断最简二次根式，关键是要把握最 思路分析：根据相反数的性质可知这两个 简二次根式的两个条件 代数式的和为零，结合绝对值和二次根式的性 【例2】计算下列各题： 质，可进一步求出a、b的值， (1)(23-32)(5√2+4√3)： 解：.|a-b十1|与/a+2b十4互为相反数， (2)(√2-√3)2(2+√3)2： ∴.|a-b+1+√Ja+2b+4=0, (3)(√2+√3-√6)（√2-√3+√6）. .|a-b+1|≥0wa+2b+4≥0， 思路分析：几个二次根式的和或差相乘，类 ∴.a-b+1=0,且a+2b+4=0, 似于多项式乘法，能用乘法公式的尽量用乘法 .a=-2,b=-1, 公式.如(1)进行计算时，不要漏乘；对于运算结 ∴.(a-b)2027=(-1)2027=-1. 果，只有被开方数相同的最简二次根式才能 点拨：二次根式√a≥0这个性质，常与绝对 值、偶次方相结合，这个非负数的性质在解答题 解：.x=2-√3，y=2+√3， 目时应用较多.若√a+√b=0或√a+|b=0或 .x+y=(2-√3)+(2十√3)=4，xy= √a十b=0,则a=0,b=0,这些常作为中考的考 (2-√3)(2+√3)=22-()2=4-3=1. 查题型. (1)x2+y2=(x+y)2-2xy=42-2× 【例4】已知x=2-√3，y=2十√5，求下列 1=14. 代数式的值. (2)x2-xy+y2=(x+y)2-3xy=42 3×1=13. (1)x2+y2; 点拨：整体思想的核心就是把所研究对象 (2)x2-xy+y2. 的一部分或全部视为一个整体运用在解题过程 思路分析：在关于二次根式的化简求值问 中.在解题时把注意力和着眼点放在问题的整 题中，有时可考虑已知条件与所求代数式之间 体结构上，从而触及问题的本质，避开不必要的 的联系，运用整体思想求解，以简化运算， 计算，使问题得以简化. 复习训练 1.若a<1,化简√(a-1)z-1等于 6.已知实数a,b在数轴上的对应点如图19一2 A.a-2 B.2-a 所示，则化简（√a)2+√(b-a)一√/(a+b)2为 C.a D.-a 2.下列二次根式中，是最简二次根式的是( A.2√2 B C.√4 D.√27 图19-2 3.墨迹覆盖了等式“/27●√3=3”中的运算符 A.3a B.2b-a 号，则被覆盖的运算符号是 ( ) C.a+2b D.a-26 A.+ B.- C.X D.÷ 4.下列运算错误的是 ( 7.若最简二次根式√3a-7与2√5是同类二次 A.√2+√3=√5 B.√2X√3=√6 根式，则a C.√⑧÷√2=2 D.(-√3)2=3 8.计算√2×（√6-√2）的结果为 ,表示 5.如图19一1，在大正方形中有两个小正方形，面 这个数的点落在了如图19一3所示的数轴上 积分别为S1,S2,已知S1=48,S2=32,重叠部 的 段（填“①”“②”或“③”或“④”）. 分的面积为8，则空白部分的面积为 ( ①，②，③，④ A.16√6-16 0 2 34 B.8√6-6 图19-3 C.16√6-6 9.若三角形的三边长分别为2,5，n,则化简 图19-1 D.6√6-8 √(3一n)+8一n的结果为(1)a2-b2=(a+b)(a-b)=2√5×4= 8√5. (2)a2+b+ab=(a+b)2-ab=20-1=19. 【综合探究】 解：(1)3十√2（答案不唯一） (2)2 6 2(w3-1) 6×3 √3+13(3+1)(W3-1)√3×√3 28-2_63=3-1-23=-1-3. 2 3 (3)①3√5-6 ②a+b =a(w2-1) —+b2 √2+1√2（√2+1）(2-1) 2 2a-a+bg2-(a+8)E-a=-1+2B, 2 a+=2, 2 a=1, 解得 b=2. -a=-1, 数学活动 1.D 2.解：(1)√2√2：1(2)①22 ②由折叠过程可知，AB=AC, ∴.A4纸的长与宽之比为AC:AF=AB: AF=√2：1. ③同理可知，A0纸的长与宽之比是√2：1. 设A0纸的宽为xmm,则长为√2xmm. .A0纸的面积为1m2=10mm2, .√2x·x=10. .x2=10 =10°×1≈707100. √2 2 .x≈/707100≈840.9≈841. .√2x≈1189. .A0纸的宽约为841mm,长约为1189mm. 复习课 【复习训练】 1.D2.A3.D4.A5.A6.A 7.48.23-2②9.5 10.解：(1)原式=6+2-1=7： (2)原式=√3+√6-2√5+√3=√6； (3)原式=(18-12)-(2+3-2√6) =6-5+26 =1+2√6. 11.解：原式=3√xy-2|x√xy+|y√xy =(3-2|x|+|y|)W/xy. “x=-2y=-8 ·原式=(3-2×2+8)×V4=20. 12.解：1)x+=6,(+)°=5 2++2=52+是=3. 2(x-)-(x+2)-4…=5 4=1,即(x-)=1,解得2-子=士1. 13.解：(1)由题意得：S阴影=（√5+√3）2-(5 3)2=5+2√15+3-(5-2√/15+3)= 4/15(cm2). (2)由题意得：题图②中长方形的长为 (5+√3)+（√5-3）=2√5(cm), 宽为（√5+√3）-(5-√3)=2√3(cm), ∴.S阴影=25X2√3=4√15(cm2). 【聚焦中考】 1.A 2.C点拨：因为√12.25<13<√16，所以 3.5<√13<4，所以-3.5>-√/13>-4，所 以10-3.5>10-√13>10-4，即6.5> 10一√13>6，所以10一√13最接近6，故选C 3.B点拨：√2（√8+10）=√16+20=4+ √20，.4=16</20<√/25=5，∴.8<4+ √20<9，∴√2（⑧+10）的值应在8和9之 间，故选B. 4.C 5.606.17.10