第19章 二次根式 复习课-2025-2026学年八年级下册数学同步辅导（人教版）

数学活 活动纸张规格的奥秘 1.生活中，我们常用到不同规格的长方形打印 纸，出于满足影印（放大或缩小后，需保持形 状不变)及制作各规格纸张时方便省料等方 面的需求，纸张规格制定了通用的国际标准. 其中，把A0纸定义为面积为1平方米、长与 宽的比值为√2的纸张；沿A0纸两条长边中 点的连线裁切，就得到两张A1纸；再沿A1 纸两条长边中点的连线裁切，得到两张A2 纸…以此类推，得到A3、A4、A5等纸（如 图1所示).若设A4纸的宽为x米，则x应为 A8 的A6 A4 A5 A2 A3 图1 得 且瓷的第术平方根 c号 n号的算术半方银 2.(1)如图2①，把两个边长为1的小正方形沿 对角线剪开，用所得的4个直角三角形拼 成一个面积为2的大正方形，则大正方形 的边长为 一般结论：正方形的对角线与边长的比 是 (2)如图2②，按照国际标准，A型纸为长方 形，其中A0纸的面积为1m,将A0纸沿 长边中点连线对折、裁开，便得到两张A1 动 纸；将A1纸沿长边中点连线对折、裁开， 便得到两张A2纸；将A2纸沿长边中点 连线对折、裁开，便得到两张A3纸… 将An纸沿长边中点连线对折、裁开，便 得到两张A(n+1)纸. ①A1纸面积是A2纸面积的 倍， A2纸周长是A4纸周长的 倍 ②将一张A4纸按如图2③所示进行两次 折叠（折痕分别是AB和AE),观察发现 点B恰好和点C重合，求A4纸的长与宽 之比. A2 ☑☑ 40 A1------ A3 A4 B DF ③ 图2 ③根据上述结论，估算A0纸的长和宽分 别是多少毫米（结果取整数）. (参考数据：√2≈1.4142，√/1.4142≈ 1.1892, 1≈0.7071，√0.7071≈0.8409， √/1414200≈1189.2，√/707100≈840.9， √2×840.9≈1189.2，√2×1189.2≈1681.8) 复习课 是典例精析 【例1】下列二次根式中，哪些是最简二次 合并 根式？不是的原因是什么？ 解：(1)原式=2√3×5√2+2√/3×4√3 i5v40.2a,3a618a6/昏，号。 3√2×5√2-32×4√3 =10√6+24-30-12√6 √Jab,√4x2+y',√a+b)2(a-b)(a>b>0), =-2√6-6； 3xF6ryF3ya/ab. (2)原式=[(2-3)(2+√3)]=1： 思路分析：最简二次根式有以下两个特征： (3)原式=[√2+(3-√6)][√2-(3 一是被开方数不含分母，二是被开方数中不含 √6)] 能开得尽方的因数或因式， =(2)2-(√3-√6)2 解西v3a,号va瓜Vr+y,65是 =2-(9-6√2) 最简二次根式，其余的不是.因为： =6√2-7. √45=√9X5=3√5； 点拨：(1)在对二次根式进行运算时，要根据 二次根式的特点，灵活利用乘法公式计算，使运 0.2a=√5-√25 5 算更简捷；(2)二次根式相加减，先把各个二次根 √18ab=√9a2·2b=3aW2b; 式化成最简二次根式，再把被开方数相同的分别 合并，要注意的是，化简过程不要出错，合并时， 3； 只合并二次根式的系数即可，根式部分不变， N(a+b)2(a-b)=(a+b)a-B; 【例3】若|a-b十1|与a+2b+4互为相 √3x2+6xy+3y=√/3(x+y)7=√3|x+yl. 反数，求代数式(a一b)2o27的值 点拨：判断最简二次根式，关键是要把握最 思路分析：根据相反数的性质可知这两个 简二次根式的两个条件 代数式的和为零，结合绝对值和二次根式的性 【例2】计算下列各题： 质，可进一步求出a、b的值， (1)(25-32)(5√2+4√5)； 解：.|a-b十1|与/a+2b十4互为相反数， (2)(√2-√5)2（√2+√）2： ∴.|a-b+1+Ja+2b+4=0, (3)(√2+√3-√6)（√2-√3+√6）. .|a-b+1|≥0wWa+2b+4≥0， 思路分析：几个二次根式的和或差相乘，类 ∴.a-b+1=0,且a+2b+4=0, 似于多项式乘法，能用乘法公式的尽量用乘法 ∴.a=-2,b=-1, 公式.如(1)进行计算时，不要漏乘；对于运算结 ∴.(a-b)2027=(-1)2027=-1. 果，只有被开方数相同的最简二次根式才能 点拨：二次根式√a≥0这个性质，常与绝对(1)a2-b2=(a+b)(a-b)=2√5×4= 8√5. (2)a2+b+ab=(a+b)2-ab=20-1=19. 【综合探究】 解：(1)3十√2（答案不唯一） (2)2 6 2(w3-1) 6×3 √3+13(3+1)(W3-1)√3×√3 28-2_63=3-1-23=-1-3. 2 3 (3)①3√5-6 ②a+b =a(w2-1) —+b2 √2+1√2（√2+1）(2-1) 2 2a-a+bg2-(a+8)E-a=-1+2B, 2 a+=2, 2 a=1, 解得 b=2. -a=-1, 数学活动 1.D 2.解：(1)√2√2：1(2)①22 ②由折叠过程可知，AB=AC, ∴.A4纸的长与宽之比为AC:AF=AB: AF=√2：1. ③同理可知，A0纸的长与宽之比是√2：1. 设A0纸的宽为xmm,则长为√2xmm. .A0纸的面积为1m2=10mm2, .√2x·x=10. .x2=10 =10°×1≈707100. √2 2 .x≈/707100≈840.9≈841. .√2x≈1189. .A0纸的宽约为841mm,长约为1189mm. 复习课 【复习训练】 1.D2.A3.D4.A5.A6.A 7.48.23-2②9.5 10.解：(1)原式=6+2-1=7： (2)原式=√3+√6-2√5+√3=√6； (3)原式=(18-12)-(2+3-2√6) =6-5+26 =1+2√6. 11.解：原式=3√xy-2|x√xy+|y√xy =(3-2|x|+|y|)W/xy. “x=-2y=-8 ·原式=(3-2×2+8)×V4=20. 12.解：1)x+=6,(+)°=5 2++2=52+是=3. 2(x-)-(x+2)-4…=5 4=1,即(x-)=1,解得2-子=士1. 13.解：(1)由题意得：S阴影=（√5+√3）2-(5 3)2=5+2√15+3-(5-2√/15+3)= 4/15(cm2). (2)由题意得：题图②中长方形的长为 (5+√3)+（√5-3）=2√5(cm), 宽为（√5+√3）-(5-√3)=2√3(cm), ∴.S阴影=25X2√3=4√15(cm2). 【聚焦中考】 1.A 2.C点拨：因为√12.25<13<√16，所以 3.5<√13<4，所以-3.5>-√/13>-4，所 以10-3.5>10-√13>10-4，即6.5> 10一√13>6，所以10一√13最接近6，故选C 3.B点拨：√2（√8+10）=√16+20=4+ √20，.4=16</20<√/25=5，∴.8<4+ √20<9，∴√2（⑧+10）的值应在8和9之 间，故选B. 4.C 5.606.17.10