第7章 数学活动-2025-2026学年七年级下册数学同步辅导（人教版）

数学 活动1你有多少种画平行线的方法 1.【动手操作】 在数学活动课上，老师引导同学们探究画平 行线的方法，小红经过折纸等动手操作，探究 出一种画平行线的方法： 步骤一：如图1①，在纸上画出直线AB与EF 交于点E,在线段EF上取点M,过点M折叠 纸片，使折痕GC交AB于点G,点C在线段 GM的延长线上. 步骤二：用量角器测量出∠EMC和∠BEM 的度数，计算∠EMC-∠BEM=m°. 步骤三：再以点C为顶点画出∠DCM=m°， 点D在点C的右侧，就得到直线CD∥AB. (1)如图1①，∠DCM=∠EMC-∠BEM,求 证：CD∥AB. 【问题初探】小红继续折纸操作，探究∠EMC 与∠ENC的数量关系： 步骤四：如图1②，再次将纸折叠两次，使BE 与EF重合，DC与GC重合，折痕直线EN, CN交于点N. (2)如图1②，猜想∠EMC与∠ENC的数量 关系，并证明 图1 活动 活动2设计窗格图案 2.中国建筑中窗户的传统纹样体现出古人智慧 和审美的极高造诣，是中国古代文化的瑰宝. 下面纹样可以由一个基础图形通过平移变换 得到的是( 3.利用平移，可以设计非常美丽的图案，且在生 活中应用广泛，如生活中常见的地砖 (1)图2①是一块地砖示意图，将其平移后，请 将剩余三个部分补充完整； (2)请在图2②中自行设计一块地砖并利用平 移补充完整，与同学们分享你设计的作品 ① ② 图2 复习课 典例精析 【例1】(1)如图7-1，已知 ④互补的两个角不能都是锐角； 在三角形ABC中，∠ACB=90°， ⑤相等的角都是直角； CD⊥AB于点D,能表示点到直 ⑥如果两个角不相等，那么这两个角不是 线的距离的线段有 条： 图7-1 对顶角. (2)如图7-2，根据图形找出能使AD∥BC 思路分析：因为①②不是对某一事情作出 成立的题设： 判断的句子，所以①②不是命题；在③④⑤⑥四 (至少写三个)； 个命题中，③④⑥都是真命题，⑤是假命题， 解：①②都不是命题，③④⑤⑥都是命题， ③④⑥是真命题，⑤是假命题， 【例3】如图7-5，∠ADE ∠B,∠EDC=∠BGF,GFI 图7-2 图7-3 图7-4 AB,垂足为F,直线AB与CD (3)如图7-3，∠1的同位角有 ,内 互相垂直吗？请说明理由. 图7-5 错角有 ,同旁内角有 (每个角 思路分析：要判断AB⊥CD,需要求出其中 至少写一个)； 个角等于90°，由于GF⊥AB,则会产生90°的 (4)如图7-4，等边三角形ABC沿边AB方 角；又∠ADE=∠B,∠EDC=∠BGF,所以能 向平移到三角形BDE的位置，则图中∠CBE= 够得到直线平行，从而得到角相等. °，连接CE后，线段CE与AD的关系 解：AB⊥CD.理由如下： 是 .∠ADE=∠B(已知)， 答案：(1)5 ∴.DE∥BC(同位角相等，两直线平行) (2)∠4=∠ABC,∠1=∠2，∠5+∠ABC= ∴.∠EDC=∠DCB(两直线平行，内错角相 180°（答案不唯一） 等) (3)∠A∠AED ∠BED或∠CED或 :∠EDC=∠BGF(已知)， ∠DBC或∠DBE ∴.∠DCB=∠BGF(等量代换)： (4)60CE∥AD且CE=2AD ∴.CD∥GF(同位角相等，两直线平行). ∴.∠GFB=∠CDB(两直线平行，同位角相 【例2】判断下列语句是不是命题，如果是 等) 命题，是真命题还是假命题？ ,GF⊥AB(已知)， ①画直线AB; ∴.∠GFB=90°（垂直的概念）， ②两条直线相交，有几个交点？ .∠CDB=90°（等量代换）. ③若a∥b,b∥c,则a∥c; .AB⊥CD(垂直的概念).7.4平移 【基础过关】 1.D点拨：根据平移的定义和性质判断 2.D 3.解：(1)AB与DE,AC与DF,BC与EF分 别相等且平行，DA,EB与FC既平行又 相等， (2)∠DEF=80°，∠DFE=40°. 【素养提升】 1.C 2.C点拨：图中的三角形BDE,三角形 CEF,三角形DGH,三角形EHI,三角形 FIJ都可以由三角形ABC平移得到.故 选C. 3.C 4.2 ,点拔：本题是平移的具体应用.当点A 沿着对角线AC平移到点O时，点B平移 到BC中点的正下方的点B'处，点D平移 到DC中点的正右方的点D'处，所以阴影 长方形的长为原长方形长的一半，宽为原 长方形宽的一半，故面积为原长方形面积 的子 6.解：(1)过点A作方向标； (2)过点A画∠NAM=60°； (3)在射线AM上截取AA'=2cm; (4)依次作平移：BB'∥AA'且BB'=AA', CC∥AA'且CC=AA',得到点B,C,连 接A'B',B'C',CA',得到的三角形A'B'C 即为所求三角形，如答图7-4-1所示. 60 w 答图7-4-1 【综合探究】 1.解：(1)如答图7-4-2，三角形A'B'C'即为 所求； B 答图7-4-2 (2)6 2.解：由平移的性质可知：铺设主楼梯至少需 地毯的长度为5.8十2.8=8.6(m).由主楼 梯宽为2m,得地毯面积至少为8.6×2= 17.2(m),30×17.2=516(元).故购买这 种地毯至少需516元. 点拨：本题考查平移在实际生活中的应用. 由于地毯的宽一定，只需算准地毯的长即 可，所以只需把楼梯水平方向的长度都平 移到BC上，把竖直方向的长度都平移到 AB上，两者之和即为所需地毯的长度， 数学活动 活动1 1.(1)证明：.∠DCM=∠EMC-∠BEM, ∠EMC-∠BEM=180°-∠EMG-∠BEM= ∠EGM, .∠DCM=∠EGM,.CD∥AB. (2)解：∠EMC=2∠EVC,证明如下： 由折叠的性质可得： ∠GEN=∠FEN,∠DCN=∠GCN, 由(1)可得CD∥AB, ∴.∠DCM=∠EGM,∠NDC=∠GEN, .'∠EMC=180°-∠EMG=∠MEG+ ∠EGM=2∠NDC+2∠DCN=2(∠NDC+ ∠DCN),∠ENC=180°-∠CND=∠NDC+ ∠DCN, ∴.∠EMC=2∠ENC. 活动2 2.C 3.解：(1)如答图①所示. (2)如答图②所示（答案不唯一）！ ② 答图 复习课 【综合复习】 -、1.B2.D3.D4.D 5.D点拨：因为a,b,c三户家用电路接入电 表，相邻电路的电线等距排列，所以将α向 右平移，将c向左平移，可知三条折线的水 平长度与竖直长度的和相等，所以三户所 用电线一样长。 二、1.如果两条直线平行于同一条直线，那么 这两条直线互相平行 2.121 3.68°点拨：如答图7-1，延长BC到点F 答图7-1 .纸带对边互相平行，∠1=56°， .∠4=∠3=∠1=56°. 由折叠可得，∠DCF=∠5. .CD∥BE, .∠DCF=∠4=56°. ∴.∠5=56° .∠2=180°-∠DCF-∠5=180°-56° 56°=68°. 4.150°5.133° 三、1.解：平移后的图形如答图7-2所示. 公D 答图7-2 点拨：作图题先找特殊点，然后顺次连接 起来 2.解：(1)如答图7-3所示： 答图7-3