7.1.2 两条直线垂直-2025-2026学年七年级下册数学同步辅导（人教版）

7.1.2两条直线垂直 基础过关 1.下面四种判定两条直线垂直的方法中正确的 (3)点B到直线AD的距离是线段 有() 的长度，点D到直线AB的距离是 ①两条直线相交所成的四个角中有一个角是 直角，则这两条直线互相垂直；②两条直线相 (4)在线段DA,DB,DC中，最短的线段是 交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互 ,在线段BA,BE,BD中，最短 相垂直；③两条直线相交所成的四个角相等， 的线段是 ,理由是 则这两条直线互相垂直；④两条直线相交，有 5.(1)如图7-1-14①，过点P画出射线AB的垂 一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直. 线； A.4个B.3个 C.2个D.1个 (2)如图7-1-14②，过点P画出线段AB,CD 2.【跨学科问题】如图7-1-11，这是光的反射示 的垂线，垂足分别为M,N. 意图，CO是入射光线，OD是反射光线，OE是 法线，EO⊥AB,∠EOD是反射角，∠EOD= ∠COE.若∠AOC=2∠EOD,则入射角 ∠COE的度数为( ) 图7-1-14 6.如图7-1-15，OA⊥OB,CD是过点O的直 图7-1-11 线，∠BOD=20°，求∠AOC的度数. A.30° B.409 C.45 D.60 3.如图7-1-12，点C是小鹃同学在一次体育课 上从点N跳远后留下的脚印，她的跳远成绩 是线段 的长度. 图7-1-15 图7-1-12 图7-1-13 4.如图7-1-13，AC⊥CD,∠BED=90°. (1)∠ACD= (2)直线AD与BE的位置关系是 素养提升 1.下列结论中不正确的是( ) 在同一条直线上，其理由是 A.互为邻补角的两个角的角平分线一定互 相垂直 7.如图7-1-21，要把水渠中的水引到水池C B.在同一平面内，过已知点有且只有一条直 中，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最 线与已知直线垂直 短？画出图来，并说明原因， C.直线外一点与直线上各点的连线中垂线段 最短 D.过平面上的一点有且只有一条直线 2.如图7-1-16，AC⊥CB于点C,CD⊥AB于点 图7-1-21 D,下列关系中一定成立的是( A.AD>CD B.CD>BD C.BC>BD D.AC>BC 8.如图7-1-22，∠ADC=90°，∠ACB=90°，AC= 图7-1-16 图7-1-17 8cm,BC=6cm,AB=10cm. 3.如图7-1-17，直线AB,CD,EF相交于点O, (1)指出互相垂直的线段有几组； AB⊥CD,OG平分∠AOE,若∠FOD=30°， (2)指出与∠ACD相等的角，与∠DCB相等 则∠AOG的度数为() 的角： A.30° B.60° C.75° D.90° (3)求点C到AB的距离. 4.如图7-1-18，点0是直线m上一点，当∠1 和∠2满足 时，能使OA⊥OB. 图7-1-22 图7-1-18 图7-1-19 图7-1-20 5.如图7-1-19，三条直线a,b,c两两相交，且 61c若∠1=号∠3，则∠2= 6.【教材P9习题8变式】如图7-1-20，已知直 线AB,CB,l在同一平面内，若AB⊥l,垂足 为B,CB⊥l,垂足也为B,那么A,B,C三点 综合探究 1.如图7-1-23所示，点A表示小宇家，点B表 3.如图7-1-25所示，直线AB,CD相交于点O, 示小红家，点C表示小丽家，他们三家恰好组 EO⊥AB,垂足为O. 成一个直角三角形，其中AC⊥BC,AC= (1)若∠EOC=35°，求∠AOD的度数； 900m,BC=1200m,AB=1500m. (2)若∠BOC=2∠AOC,求∠DOE的度数， (1)试写出小宇家到街道BC的距离以及小 红家到街道AC的距离； (2)画出表示小丽家到街道AB距离的线段， 图7-1-25 图7-1-23 4.如图7-1-26，一辆汽车在笔直的公路AB上 由A向B行驶，M,N是分别位于公路两侧 的村庄 2.如图7-1-24，如果OA⊥OC,O是垂足，OB (1)设汽车行驶到公路AB上点P的位置时， 是一条射线，且∠AOB:∠AOC=2:3,求 距离村庄M最近；行驶到点Q的位置时， ∠BOC的度数. 距离村庄N最近，请在图中的公路AB上 分别画出点P和点Q的位置；（保留作图 痕迹) (2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB 图7-1-24 的哪一段路上距离M,N两村庄都越来越 近？在哪一段路上距离村庄N越来越 近，而距离村庄M越来越远？（分别用文 字表述你的结论，不必证明) y 图7-1-26所以3∠1+∠1=180°，解得∠1=45°. 所以∠3=∠1=45°，∠2=3×45°=135°. 所以∠4=∠2=135°. (3)根据题意，得∠2=∠1十60°， 又因为∠1+∠2=180°， 所以∠1+∠1+60°=180°，解得∠1=60. 因为∠1+∠4=180°， 所以∠4=180°-∠1=180°-60°=120°. 2 直线数量 … 对顶角对数 2 6 12 n(n-1) 邻补角对数 4 12 24 2n(n-1) 点拨：如答图7-1-1所示，我们以4条直 线交于一点时为例.设直线AE,BF,CG, DH交于一点O,则以OA为始边的3个 角（按顺时针方向，∠AOB,∠AOC, ∠AOD)有4-1=3（对）对顶角，3对邻补 角，同理，以OB,OC,OD为始边的角也分 别有3对对顶角、3对邻补角，而以OE, OF,OG,OH为始边的角的对顶角与前面 的重复，因此对顶角对数不增加，邻补角对 数加倍，故当4条直线交于一点时，对顶角 的对数为(4一1)×4=12，邻补角的对数为 (4-1)×4×2=24.综上所述，当n条直线 交于一点时，对顶角的对数为n(n一1)，邻补 角的对数为2n(n一1). 答图7-1-1 7.1.2两条直线垂直 【基础过关】 1.A点拨：本题考查两条直线垂直、邻补角 及对顶角的定义.根据对顶角相等及邻补 角互补可求出两条直线相交所成的角的度 数，再由两条直线互相垂直的定义判断两 条直线的位置关系 2.A 3.AN 4.(1)90°(2)互相垂直(3)BE线段DC 的长度(4)DCBE连接直线外一点 与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 点拨：点到直线的距离是所作的垂线段的 长度，它是一个数量，而不是这条垂线段 本身. 5.解：(1)如答图7-1-2①所示. (2)如答图7-1-2②所示. B 答图7-1-2 6.解：由OA⊥OB,得∠AOB=90°，所以 ∠AOC=180°-∠AOB-∠BOD=180°- 90°-20°=70°. 【素养提升】 1.D2.C3.B 4.∠1十∠2=90°点拨：要使OA⊥OB,则 只需∠AOB=90°.又因为∠1+∠2+ ∠AOB=180°，所以∠1+∠2=90°. 5.120°点拨：因为b⊥c,所以∠3=90°.因为 ∠1=号∠3，所以∠1=60.因为∠1十∠2= 180°，所以∠2=180°-∠1=120°. 6.在同一平面内，过一点有且只有一条直线 与已知直线垂直 7.解：如答图7-1-3所示，过点 DP C作CD⊥AB,垂足为点D, 所以在点D沿DC开沟，才答图7-1-3 能使沟最短，原因是连接直线外一点与直 线上各点的所有线段中，垂线段最短， 8.解：(1)互相垂直的线段有4组，分别为AC」 BC,CD⊥AB,CD⊥AD,CD⊥BD. (2)与∠ACD相等的角是∠B,与∠DCB 相等的角是∠A. (3)点C到AB的距离是4.8cm. 点拨：点C到AB的距离就是AB边上的高 的长度.由已知可得三角形ABC的面积为 号AC·BC=2AB.CD.所以CD=4.8am 【综合探究】 1.解：(1)因为AC⊥BC,AC=900m, BC=1200m, 所以小宇家到街道BC的距离 为900m,小红家到街道AC的 距离为1200m. (2)如答图7-1-4所示，CD即 答图7-1-4 为表示小丽家到街道AB距离的线段 2.解：①如答图7-1-5甲所示，当OB在 ∠AOC内部时，由已知∠AOB:∠AOC= 2:3,∠AOC=90°，得∠AOB=60°，所以 ∠BOC=90°-60°=30°.②如答图7-1-5乙 所示，当OB在∠AOC外部时，由已知 ∠AOB:∠AOC=2:3,∠AOC=90°，得 ∠AOB=60°，所以∠BOC=90°+60°= 150°.所以∠BOC的度数是30°或150°. 点拨：此题应有两种情况，可分别求∠BOC 的度数，一种情况是OB在∠AOC内部，另 一种情况是OB在∠AOC外部， 知 答图7-1-5 3.解：(1)因为EOLAB, 所以∠BOE=90. 因为∠EOC=35°， 所以∠BOC=∠BOE+∠EOC=125°. 所以∠AOD=∠BOC=125° (2)因为∠AOC+∠BOC=180°，∠BOC= 2∠AOC, 所以∠AOC+2∠AOC=180°. 所以∠AOC=60°. 所以∠BOD=∠AOC=60°. 所以∠DOE=∠BOE+∠BOD=90°+ 60°=150°. 4.解：(1)画图略.（提示：过点M作MP⊥ AB,垂足为点P;过点N作NQ⊥AB,垂 足为点Q,点P、Q就是所要画的两点.) (2)当汽车从A向B行驶，在AP这段路上 时，距离M,N两个村庄都越来越近；在 PQ这段路上时，距离村庄M越来越远，距 离村庄N越来越近， 7.1.3两条直线被第三条直线所截 【基础过关】 1.D2.A3.D