17.2一元二次方程的解法课后培优同步训练 2025—2026学年沪科版八年级数学下册

17.2一元二次方程的解法课后培优同步训练沪科版2025—2026学年八年级数学下册 一、选择题 1．方程经过配方法化为的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．方程 的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个三角形的周长是（   ） A．9 B．12 C．12或9 D．10或7 3．关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为（   ） A． B．2 C．3 D．5 4．设a、b是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为（   ） A．1 B． C． D．无法确定 5．设方程的两个根为m、n，那么的值为（   ） A． B．1 C． D．2 6．某校组织校园足球联赛，某班级在联赛中胜场数是一个两位数．且这个两位数的个位数字与十位数字之和为5，且胜场数比它个位数字的平方小2，则该球队的胜场数为（    ） A．14 B．23 C．32 D．41 7．对于任意实数、，定义新运算：，例如：，则方程的解为（    ） A．， B．， C．， D． 8．已知，且，则的值为（    ） A．3 B． C． D．或 二、填空题 9．把关于x的一元二次方程配方，得，则______． 10．一元二次方程的解为______． 11．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则的值为_______． 12．已知代数式：与的值互为相反数，则整数x的值为 _____________ 三、解答题 13．用适当的方法解下列方程． (1) (2) 14．下列每个图形都是由一些黑点和一些白点按一定的规律组成的． (1)根据规律，第4个图中有　　　　个白点，第n个图形中，白点和黑点共有　　　　(用含n的式子表示，n为正整数)个． (2)有没有可能黑点比白点少2025个?如果有，求出此时n的值；如果没有，请说明理由． 15．已知：是关于的方程的一个根，．其中均为正整数，且这三个数互不相等． (1)求证：； (2)求的值． 16．定义：如果关于x的一元二次方程，满足，我们称这个方程为“和谐方程”． (1)根据定义判断，方程________“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于x的一元二次方程是“和谐方程”，则b的值为多少，并解出这个“和谐方程”； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求代数式的最小值． 17．配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题，我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．再如：，（，是整数），所以也是“完美数”． 例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： （1）下列各数中，“完美数”有________（只填序号）； ①11；    ②34；    ③60． （2）若可配方成（，为正整数），则的值为________； （3）已知实数x，y满足，求代数式的最小值． 18．“读有益之书，做有益之事，成有益之人”，我们不妨约定：如果一个整数能表示成两个整数的平方差形式（即可以写成的形式其中a、b是整数），则称这个数为“有益数”．例如，3是“有益数”，理由：因为，所以3是“有益数”． (1)按要求填空． ①已知20是“有益数”，请将它写成（、是整数）的形式______；（写一种即可） ②整式可表示成（m、n为常数且），则的值是______； ③请判断122是否为“有益数”，______；（填“是”或“否”） (2)已知（x、y是整数，t是常数），要使Y为“有益数”，试求出符合条件的一个t值，并说明理由． (3)已知是关于x的方程的解，是关于x的方程的解（其中k是常数），求“有益数”（是整数）的值． 参考答案 一、选择题 1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．A 7．A 8．D 二、填空题 9． 10．， 11．或 12． 三、解答题 13．【详解】（1）解：， ， ， ， 或， 解得，； （2）解：， ， ， ， ， 解得. 14．【详解】（1）解：第1个图中白点1个，黑点1个， 第2个图中白点 个，黑点个， 第3个图中白点个，黑点个， ∴第4个图中白点，黑点个， 第n个图中白点个，黑点个， ∴第个图形中，白点和黑点总数的和为， 故答案为：16，； （2）解：有可能， 由题意，得， 解得，， ∵n是正整数， ∴， ∴黑点比白点有可能少2025个. 15．【详解】（1）证明：∵， ∴， 是关于的方程的一个根， ∴， ∴， ． ． 由①+②，得， ． （2）解：由（1）得， ， ①②，得， ． 均为正整数，， ． 把代入，得． ． 16．【详解】（1）解：∵方程中，，， ∴， ∴方程是“和谐方程”； （2）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”， ∴， 解得：， 解方程， 解得； （3）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”， ∴， ∴， ∴ ， ， ， 即代数式的最小值为． 17．【详解】解：（1）由于②，所以②是完美数， ；； 所以，不能表示成（a，b是整数）的形式，不是完美数； 故答案为：②； （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：5； （3）解：因为， ∴ ∴ ∴ ∴当时，的最小值为2022． 18．【详解】（1）解：①由题意，∵20是“有益数”， ∴， 故答案为：； ②由题意得，， ∴对比可知，， ∴， 故答案为：12， ③假设122是有益数， ∵对于，，， ∴说明，与，是同时为奇数，或同时为偶数， ∵均为“一奇一偶”， 无满足条件的整数a、b， ∴122不是有益数， 故答案为：否． （2）解：由题意得， ， ∵Y为“有益数”， ∴， ∴． （3）解：由题意知， ∵是关于x的方程的解，是关于x的方程的解， ∴解得，， ∵为整数， ∴整除k，设（a为整数且），则，代入得，故，即或， ∵为整数， ∴整除，设（b为整数且），则，代入得，故，即或（此时方程无解，舍去）， 联立、为整数的条件，通过消去k得： 由和，得， 即， ∵、为整数， ∴，， 当时，，此时k无意义，故排除， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $