专题强化02：勾股定理题型讲精讲练【12大题型 压轴培优】-2025-2026学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

专题强化02：勾股定理题型讲精讲练 【题型归纳】 【题型探究】 题型一：勾股数（树） 【例1】．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质，关键是勾股定理的应用；根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：∵图①中所有正方形的面积和为：； 第一次操作后所有正方形的面积和为：； 第二次操作后所有正方形的面积和为：； …… 第次操作后所有正方形的面积和为：； ∴当时，， 故选：C ． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）下列四组数：；7，24，25；9，40，41；4，5，6，其中是勾股数的有（    ） A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数的定义：满足的三个正整数、、称为勾股数． 根据勾股数的定义依次验证四组数是否符合定义即可． 【详解】解：∵①组的数不是正整数， ∴①不是勾股数， ∵②组中，，，即，且7、24、25均为正整数， ∴②是勾股数， ∵③组中，，，即，且9、40、41均为正整数， ∴③是勾股数， ∵④组中，，，， ∴④不是勾股数， 综上，是勾股数的有2组， 故选C． 2．（25-26八年级上·湖南常德·期末）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树……依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为（   ） A．1013 B．2027 C．2026 D．2025 【答案】B 【分析】本题考查了“勾股树”中的规律问题，找出第代勾股树中所有正方形的面积和为，即可求解． 【详解】解：第１代勾股树中所有正方形的面积和为， 第２代勾股树中所有正方形的面积和为， 第３代勾股树中所有正方形的面积和为， 第代勾股树中所有正方形的面积和为， 第2026代勾股树中所有正方形的面积和为， 故选：B． 3．（25-26八年级上·福建福州·期末）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2026次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2027 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2027， 故选：B． 题型二：以直角三角形三边为边长的图形面积 【例2】．．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置，四个阴影部分面积分别记为，，若已知的面积，则能求下列哪个代数式的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．根据勾股定理得到，用各部分面积分别表示出、和，再列式求解即可． 【详解】解：如图，由题意得，， ∵，，， ∴， ∴， ∵的面积已知， ∴能求出代数式的值， 故选：A． 【举一反三】． 1．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与几何综合，数形结合，由直角三角形边长表示出是解决问题的关键． 在中，设，则由勾股定理可得，根据阴影部分的面积关系满足，由圆的面积公式、直角三角形面积公式表示出与，从而得到，由完全平方公式恒等变形即可得到，即可得到答案． 【详解】解：在中，设， ， 由勾股定理可得，则，则 ，，， ，即，则，， 则，即，， 故选：A． 2．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图，在Rt中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若．则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理，可以得到之间的关系，然后根据，可以得到的值，从而可以得到的值，进而求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵为直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴图中阴影部分的面积为， 故选：B． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记，，．若，．则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理可知,即可求解． 本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题关键． 【详解】由勾股定理可知, , , 由图形可知，阴影部分的面积为． 故选:． 题型三：勾股定理和网格问题 【例3】．．（25-26八年级下·全国·课后作业）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，，，三点均在正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．点到直线的距离是2 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积计算及等面积法，掌握网格中用勾股定理求边长，用逆定理判断直角，用等面积法求高是解题的关键． 先利用勾股定理计算三边长度，再通过勾股定理逆定理判断直角，接着用直角三角形面积公式求面积，最后用等面积法求点到直线的距离，逐一验证选项． 【详解】解：∵，，， ， ，故A，B选项的结论正确，不符合题意； ，故C选项的结论错误，符合题意； 设点到直线的距离是，则， ，故D选项的结论正确，不符合题意． 故选：C． 【举一反三】． 1．（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，的每个顶点都在格点上，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理求出的长，割补法求出的面积，再利用面积关系求出点到直线的距离即可． 【详解】解：由勾股定理，得， 设点到直线的距离为， 则， ∴； 故选C． 2．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均落在格点（网格线的交点）上，是与网格线的交点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，斜边上的中线，根据勾股定理求出的长，勾股定理逆定理，得到，斜边上的中线得到，即可得出结果． 【详解】解：由勾股定理，得， ∴， ∴， 由图可知，为的中点， ∴； 故选C． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点，，，，，都在格点上．以，，为边能构成一个直角三角形，则点的位置有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】先利用勾股定理计算出、的长度平方，再分三种情况讨论以、、为边构成直角三角形时可能的长度，最后在网格中找出满足条件的点的位置数量． 【详解】解：计算各边长度的平方：，． 分三种情况讨论： 情况：为斜边，、为直角边： 即．在网格中，从出发，水平或垂直移动个单位，有处． 情况：为斜边： 边长平方不能为负，此情况不成立． 情况：为斜边，、为直角边： ． 即．在网格中，满足的格点，有处． ∴点的位置如图所示． ∴满足条件的点共有处． 故选：D． 题型四：勾股定理和折叠问题 【例4】．．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式对折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， 故选：A． 【举一反三】． 1．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，，∴，， 设，则，在中，∵，∴，解得：，即． 2．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则， ∵正方形，∴，， ∴四边形是矩形，∴，由折叠可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵∴，设正方形边长为，则， ∵， ∴，在中，，即 解得：或（不合题意舍去） ∴． 故选：D 3．（25-26八年级上·北京昌平·期末）如图，在长方形纸片中，点M在边上，沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为，若，，则的长度为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【详解】解：∵长方形纸片沿所在的直线折叠， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴； 由四边形折叠得到四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 题型五：勾股定理求两线段的平方和（差）问题 【例5】．．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则______． 【答案】231 【详解】证明：在 中，由勾股定理，得①， 在 中，由勾股定理，得②，得． 在 中，由勾股定理，得③，在 中，由勾股定理，得④， 得，所以， ∵，， ∴． 故答案为：231． 【举一反三】． 1．（25-26八年级上·广东茂名·月考）如图，在中，，垂足为D，M为上任意一点，则__________． 【答案】60 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，∴， ．故答案为：60． 2．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______． 【答案】50 【详解】解：设交于点F， ∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，，∴，， 在和中，，∴，∴，∵， ∴， ∴，∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：50． 3．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则__________． 【答案】73 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． 题型六：以炫图为背景的计算问题 【例6】．．（25-26八年级上·江西鹰潭·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了赵爽弦图，勾股定理，完全平方公式，三角形面积计算，由题意可得，再由已知条件可得，即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为， 故答案为：． 【举一反三】． 1．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．图中正方形的面积是90，，则正方形的面积是_____． 【答案】36 【详解】解：∵大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的， ∴， ∵大正方形的面积是90， ∴， ∵， ∴， 则， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴正方形的面积是． 故答案为：36． 2．（25-26八年级上·四川成都·期末）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，已知正方形和正方形，A，B，E三点在一条直线上，现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形，若正方形和正方形的面积之和为220，阴影部分的面积为130，则的长为________． 【答案】20 【详解】解：如图： 设，，∴， ∵四边形、四边形和都是正方形， ∴，，，，， ∴，，∴， 在和中， ∴≌，∴， ∴，，∴， ∴，即，∴．故答案为：20． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用x，y表示直角三角形的两直角边，则：______；______． 【答案】 /22.5/ 94 【详解】解：∵大正方形的面积为49，小正方形的面积为4， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为， 由图可知，大正方形的边长等于直角三角形的斜边长，小正方形的边长等于直角三角形较长直角边与较短直角边的差，∴，， ∴，， 故答案为：，94． 题型七：勾股定理的逆应用 【例7】．．（25-26八年级上·山西晋中·期末）如图，在中，点在边上，已知，，，点在上，且，若，则的长为______． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形， ∴，∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G，点E在点D右侧．若，则的面积为_________． 【答案】96 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理逆定理，连接，线段垂直平分线的性质，得到，勾股定理逆定理得到，根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：96． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，等边三角形内有一点，分别连接，，．若，，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，勾股定理逆定理，三角形面积的计算，掌握通过旋转构造全等与特殊三角形，将面积和转化为特殊三角形面积之和是解题的关键． 将绕点逆时针旋转构造全等三角形，利用旋转性质得到等边三角形与直角三角形，把两个三角形面积和转化为特殊三角形面积之和再计算． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接． 根据旋转的性质可知，，，， 为等边三角形， ． 过点作于点，则， ． 在中，，，， ， 直角三角形，且， ． 故答案为：． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形中，，O是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理与逆定理，根据全等三角形的性质得出，， ，根据等式的性质得出，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理的逆定理得出，然后根据求解即可． 【详解】解：连接． ， ，， ， ，即， 在中，， ，，， ， ， ． 故答案为：． 题型八：勾股定理的实际应用 【例8】．．（25-26八年级上·河南郑州·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，，，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． （2）解：如图， 由题意得，，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 【举一反三】． 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）小明买了一个风筝进行试放，如图，牵风筝线的手到地面的距离为，假设牵风筝线的手的位置高度不变的情况下，测得人站立的位置与风筝的水平距离为，手与风筝之间的距离为，已知点、、、在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线剩的情况下，如图，若想要让风筝的离地高度再上升至处，请判断小明能否成功，并说明理由． 【答案】(1)风筝离地面的垂直高度为； (2)风筝的离地高度能再上升至处，理由见解析． 【分析】（1）作交于点，证明四边形是矩形，由矩形性质得出，，再结合勾股定理即可得解 （2）假设风筝的离地高度能再上升至处，利用勾股定理求出，再结合无理数的估算即可判断该情况能否成立． 【详解】（1）解：作交于点， 由题意得， 四边形是矩形， ，， 中，， ， 故风筝离地面的垂直高度为； （2）解：假设风筝的离地高度能再上升至处， 此时， ， 中，， ， ， 即， 故在余线剩的情况下，风筝的离地高度能再上升至处． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端到左墙角的距离为，顶端距墙顶的距离为．若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为，顶端距墙顶的距离为．已知点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，，． (1)求墙的高度． (2)求竹竿的长度． 【答案】(1)墙的高度为 (2)竹竿的长度为 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题关键是通过设未知数，利用“竹竿长度不变”这一等量关系建立方程，从而将几何问题转化为代数方程求解． （1）这是一个勾股定理的实际应用问题，我们可以设墙的高度为米，那么两次竹竿斜靠时的顶端到地面的距离分别是 和．竹竿长度不变，所以可以利用勾股定理分别表示出两次竹竿的长度，建立方程求解． （2）在求出墙高后，代入勾股定理表达式即可求出竹竿的长度． 【详解】（1）解：设墙的高度为h米，竹竿长度为L米． 在中，； 在中，． ∵两次竹竿长度相等， ∴． 展开并化简： ． 故墙的高度为． （2）解：将代入的勾股定理式： 故竹竿的长度为． 3．（25-26八年级上·山西临汾·期末）“安全重于泰山，生命高于一切”．某地一楼房发生火灾，消防员用消防车上的云梯救人．如图，消防车高米（即米），施救点距离地面的高度为米，此时云梯的长度为米． (1)求云梯底部到楼房的距离． (2)消防员发现在处上方米的处有人未撤离，为了救出处的被困人员，在云梯长度不变的情况下，云梯底部需沿方向前进多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【详解】（1），， ． 在中， （米） 答：云梯底部到楼房的距离为米． （2）由题意，得， 由（1）可知 ． 在中， 米 由（1）可知 米 答：云梯底部需沿方向前进米． 题型九：勾股定理的证明方法 【例9】．．（25-26八年级上·四川成都·月考）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法．下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达·芬奇用如图所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由个正方形和个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由个全等的直角三角形和个正方形组成，面积记为． 任务： (1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为_____． ，_____，_____， ，即． (2)请你参照小颖的验证过程，利用图及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． (3)这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．实际上，初中数学还有一些代数恒等式（除上述涉及的）也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式． 【详解】（1）证明：由图1，知，正方形的边长为， ∵，，， ，即． （2）解：由题意可知，， ， ∵， ∴，即． （3）解：如图所示：可解释的代数恒等式为． 【举一反三】． 1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）勾股定理是数形结合思想的经典体现，实现了从“形”到“数”的转化与求解． (1)【问题解决】据记载，毕达哥拉斯就是借助图1和图2验证了勾股定理，请你写出验证过程． (2)【反思拓展】我们可以用图2表示的，，，之间的关系解决教材第页第题：两个正数的和是，求它们积的最大值．如图，设两个正数，为直角三角形的两条直角边，且， ，； 要使最大，则值应最小． 由图2可知，当点在线段上时，最小，此时，______，即最大为______． (3)【迁移应用】如图3，正方形的边长为，借助“反思拓展”思路，利用图求代数式的最小值为_________． 【答案】(1)见解析； (2)； (3) 【分析】（1）利用正方形的面积一定，得出等式，化简即可； （2）利用勾股定理求出的长，进而计算即可； （3）利用勾股定理，结合（2）的思路，得出的最小值为的长即可得答案． 【详解】（1）解：在图中，， 在图中， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴最大为． （3）解：由图可得，，， ∴， 由（2）可知，点在线段上时，取最小值， ∴的最小值为的长， ∵正方形的边长为， ∴， ∴的最小值为． 2．（25-26八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长、、之间的一个重要结论：． (1)已知：，，，．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为__________， ∵，且（等面积法）， ∴__________＋__________， ∴． (2)如图2，四边形是直角梯形，，，，， 其中，． ①求证：； ②仿照（1）用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为__________． 【详解】（1）解：证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为， ∵，且（等面积法）， ∴， ∴， 故答案为：、、． （2）解：①∵， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴ ． ②∵， ∴，， ∴， ， 故， 化简得． （3）解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 将，代入可得， ， 解得， ∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海·期末）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，从而得到等式，化简证得勾股定理． 【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： （1）如图1，若，那么小正方形面积：大正方形面积的比值等于__________． （2）如图2，晓华先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于__________． （3）如图3，晓华再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，求该风车状图案的面积． 【迁移运用】如图4，用三张含角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验证过程，发现含角的三角形三边a、b、c之间的关系吗？ （4）请直接写出此等量关系式：__________． （知识补充：如图5，含角的直角三角形，对边：斜边定值．） 【答案】（1）；（2）19；（3）；（4） 【详解】解：（1）∵，， ∴，∴小正方形面积：大正方形面积，故答案为：； （2）根据题意得， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，∴空白部分的面积． 故答案为：19； （3）如图，， 根据题意得 ，． 设，则，． 在中，， 即，解得，∴， ∴该风车状图案的面积； （4）． 理由：设大正三角形的高为，中心小正三角形的高为，三个全等三角形的边a上的高为． 由图可知大正三角形面积三个全等三角形面积小正三角形面积， ， 大等边三角形的面积， ， 小等边三角形的面积， ， ， 三个这样的三角形面积之和为， ， 即， ∴． 题型十：勾股定理和三角形压轴问题 【例10】．．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，为边上一点，于点，交于点，平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，点与点关于直线对称，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，求的长． 【详解】（1）证明：∵的角平分线交于点， ， 在和中，，∴， ； （2）证明：如图2所示： 同（1）可证，， ， ∵， ， ∵， ， ∵， ， ， ， 由对称得， ； （3）解：连接，，过作交于，如图3所示： ， ， ∵， ， 在和中，， ∴， ，， ， 由对称得，，， ∵， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， 在中，，，则由勾股定理可得： ． 【举一反三】． 1．（25-26八年级上·广东韶关·月考）如图，中，，，点D在上，点E为中点，于H，交直线于N，若，，，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点F，连接，则是的中线，可得，根据，可得，从而可得为等边三角形，得到，即可求解； （2）设与的交点为P，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理，结合线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：如图，取的中点F，连接， ， ， F是的中点， ， ， ， 为等边三角形， ， ； （2）如图，设与的交点为P， ，， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ， ， 在中，， 在中，，， ， ， 在中，， ， ， ， ． 2．（25-26八年级下·福建福州·月考）如图1，在等边中，点E是边上点（点E不与A，C重合），连接，过点A作于点H，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若， (1)求线段的长； (2)如图2，延长交于点D，求证：点D是中点； (3)如图3，连接，若，求的长． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，，， ，，，， ； （2）证明：过点作交的延长线于点， 由（1）可知，，，， ， ， 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， 是等边三角形， ， ，， ， ， ，，，又， ，， 即点D是中点； （3）如图，过、分别作， ， ， 又是等边三角形， ， ， ， ，， ， ，又由（2）知点D是中点，为的中点，即为的中位线， ，． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图，在中，，，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点．求证：． ①如图，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点作交的延长线于点． ②如图，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图，在中，，，点，在边上，，连接，，点在边上，连接，且．求证：． 【学以致用】 （3）如图，在中，，，点在边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点，连接，求的面积． 【详解】解：（1）选择小辉同学的解题思路． 证明：如图2，过作交的延长线于， ， ， ，， ． 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ， ，，， ， ，． ， ， ， ， ， ， ． ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ． 选择小光同学的解题思路． 证明：如图3，在上截取，连接． ， ， ． ， ，即． ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ， ； （2）证明：如图4，过作于，过作于． ，， ， ，，， ， ，． ，，， ，， ， ． 在和中， ， ， ． ，， ， ，， ， ，即， ； （3）如图5，在边上截取，连接，过作于， 由题意得，，． ， ． ，， ∴， ， 在和中， ，，， ， ． ，， ， ， ， ． 又， ，， ． ，， ， 根据勾股定理得，， ． 【点睛】添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【专题强化】 一、单选题 1．（21-22八年级下·山东淄博·月考）如图，矩形的对角线，则图中五个小矩形的周长之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用勾股定理求出的长，然后根据平移的性质得出五个小矩形的周长之和等于矩形的周长，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， 在中，∵，， ， 由平移的性质可知，图中五个小矩形的周长之和等于矩形的周长， ∴五个小矩形的周长之和． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，已知正方形边长为，连接平分交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理及角平分线的性质，关键是灵活应用知识点解题；过点作于点，设，根据，列方程求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴即：是等腰直角三角形， ∵正方形边长为， ∴， ∴， 设， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 3．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）在一次夏令营活动中，小明从A营地出发，要到A营地的北偏东方向的C营地，他先沿正东方向走了100米到达B营地，再沿北偏东方向走， 恰好能到达C营地(如图)，由此可知C营地到直线的距离是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】先结合方向角的度数得到三角形中角的度数，再利用直角三角形性质得到三角形的各个角的度数，进而推出，最后利用勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：由题知，， ， ， 米， 米， 米， 米． 4．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边分别交于点M、N．若正方形的边长为8，则阴影部分的面积为（    ） A．64 B．32 C．16 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质，勾股定理，解题的关键是连接构造全等三角形． 连接，由得到点E是的中点，然后结合正方形的性质得到、、，进而结合得到，从而得证，再由全等三角形的性质得到重叠部分四边形的面积与的面积，最后由正方形的边长求得结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴点E是的中点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长为8，即， ∴， ∴， ∴， ∴重叠部分四边形的面积为16． 故选：C． 5．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接、、，则四边形周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C． D． 【答案】B 【分析】延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴四边形周长， 根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值． ∵E为边长是4的正方形的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形周长的最小值为． 6．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，平分交于点，于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．由等腰三角形的性质可得，由勾股定理即可求出的长度，最后用面积法求得的长． 【详解】解：∵，，，平分交于点， ∴且点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，菱形的边长为5，对角线与相交于点，，延长至，平分，点是上任意一点，则的面积为（   ） A．10 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．过点作于点，先根据菱形的性质可得，，再证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，然后根据三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵菱形的边长为5，且， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 8．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）如图，矩形中，，为边上的一点，沿直线将翻折至（点落到点处）．如图与相交于点，且，则的长为（　　） A．4 B．5 C．4.8 D． 【答案】C 【分析】先证明，得到，设，则，，，根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】∵矩形中，，， ∴，，， 根据折叠的性质，得，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，，， 根据勾股定理，得， 解得， 故． 9．（25-26九年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若．则的长为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，，，∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， ∵为的中点， ∴． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，分别以为边向外作正方形，正方形，连接，则的长为（   ） A．10 B．9 C． D． 【答案】C 【详解】解：过点E作，交的延长线于点P，设交于点Q，如图所示： ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴，和都是直角三角形， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中，，∴，∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，在中，由勾股定理得：， ∴． 故选：C． 二、填空题 11．（21-22八年级下·江苏南通·期末）以原点为旋转中心，将点逆时针旋转得到点，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】连接，作轴，垂足为，容易判断是等腰直角三角形，则，，结合旋转的性质可知，点在轴负半轴上，且，从而得到点的坐标． 【详解】解：如图，连接，作轴，垂足为， ∵，轴于点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∵点由点绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴、、三点共线，即点在轴负半轴上， ∴点的坐标为． 12．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，中，为的角平分线，过点D作的垂线，垂足为点E，则的长为______． 【答案】 【分析】作于交延长线于G，由平分，得到，由等腰三角形的性质得到，由勾股定理求出，得到的面积，由的面积的面积的面积，得到，因此，即可求出． 【详解】解：作于交延长线于G， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26八年级上·广东河源·月考）如图，在中，，是上一点，连接，若，，平分，则的长为___________． 【答案】 【分析】作辅助线，垂足为，根据角平分线的性质则有，根据勾股定理求出长，设，利用面积相等列方程，求出的值，进而根据求解即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， 平分，， ， 在中，，， ， 设， ， 即， ，即， ． 14．（25-26八年级下·湖北武汉·开学考试）如图，在中，，，，点D，E在，边上，且，连接，则的最小值是 ________________ ． 【答案】 【分析】如图作，使得．作交的延长线于，连接．首先证明，可得，推出的最小值为的长． 【详解】解：如图作，使得．作交的延长线于，连接． ∴， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为的长， ∵， ∴， ∴，在中，，， ，，∴， 在中，， 故的最小值是． 三、解答题 15．（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）如图1，中，，直角边在射线上，直角顶点C与射线端点O重合，，，且满足． (1)求a，b的值； (2)如图2，向右匀速移动，在移动的过程中的直角边在射线上匀速向右运动，移动的速度为1个单位/秒，设移动的时间为t秒，连接． ①若为等腰三角形，求t的值： ②若为直角三角形，直接写出t的值． 【答案】(1)， (2)①或；②或 【分析】（1）根据非负数的性质计算即可得出结果； （2）①由勾股定理可得，由题意可得，表示出，，再分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可得出结果．②分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴，． （2）解：①∵，，， ∴， 由题意可得：， ∴，， 当时，， 解得或（舍去）； 当时，， 解得； 当时，， 解得（舍去）； 综上所述，或． ②当为直角三角形时，分2种情况： 当点和点重合时，，满足题意，此时； 当时，由①可知：，，， ∴， ∴，解得； 综上所述：或． 16．（25-26八年级下·湖南郴州·开学考试）阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． (1)如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． (2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 【详解】（1）证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为， ∵，且（等面积法）， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴； （3）解：解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 将，代入可得， ， 解得， ∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：． 17．（25-26八年级上·四川德阳·月考）如图，在中，，D是边上一点，记．E是线段的中点．F是线段上一点满足，G是线段上一点满足．连接． (1)求和（用含α的式子表示）． (2)求证：． (3)直接写出线段的数量关系．（无需证明） 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． （2）证明：延长，交于点H，连接，过点E作于点M，于点N，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵E是线段的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）解：延长，交于点H，连接，过点E作于点M，于点N，如图， 由（2）知： ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴线段的数量关系为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化02：勾股定理题型讲精讲练 【题型归纳】 【题型探究】 题型一：勾股数（树） 【例1】．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）下列四组数：；7，24，25；9，40，41；4，5，6，其中是勾股数的有（    ） A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 2．（25-26八年级上·湖南常德·期末）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树……依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为（   ） A．1013 B．2027 C．2026 D．2025 3．（25-26八年级上·福建福州·期末）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2026次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2027 C． D． 题型二：以直角三角形三边为边长的图形面积 【例2】．．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置，四个阴影部分面积分别记为，，若已知的面积，则能求下列哪个代数式的值（    ） A． B． C． D． 【举一反三】． 1．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图，在Rt中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若．则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．5 C． D． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记，，．若，．则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．9 C． D． 题型三：勾股定理和网格问题 【例3】．．（25-26八年级下·全国·课后作业）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，，，三点均在正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．点到直线的距离是2 【举一反三】． 1．（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，的每个顶点都在格点上，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均落在格点（网格线的交点）上，是与网格线的交点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点，，，，，都在格点上．以，，为边能构成一个直角三角形，则点的位置有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 题型四：勾股定理和折叠问题 【例4】．．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式对折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】． 1．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 2．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（   ） A．4 B． C． D． 3．（25-26八年级上·北京昌平·期末）如图，在长方形纸片中，点M在边上，沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为，若，，则的长度为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 题型五：勾股定理求两线段的平方和（差）问题 【例5】．．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则______． 【举一反三】． 1．（25-26八年级上·广东茂名·月考）如图，在中，，垂足为D，M为上任意一点，则__________． 2．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______． 3．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则__________． 题型六：以炫图为背景的计算问题 【例6】．．（25-26八年级上·江西鹰潭·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为______． 【举一反三】． 1．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．图中正方形的面积是90，，则正方形的面积是_____． 2．（25-26八年级上·四川成都·期末）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，已知正方形和正方形，A，B，E三点在一条直线上，现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形，若正方形和正方形的面积之和为220，阴影部分的面积为130，则的长为________． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用x，y表示直角三角形的两直角边，则：______；______． 题型七：勾股定理的逆应用 【例7】．．（25-26八年级上·山西晋中·期末）如图，在中，点在边上，已知，，，点在上，且，若，则的长为______． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G，点E在点D右侧．若，则的面积为_________． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，等边三角形内有一点，分别连接，，．若，，，则__________． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形中，，O是内一点，，，，为外一点，且，则四边形的面积为______． 题型八：勾股定理的实际应用 【例8】．．（25-26八年级上·河南郑州·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【举一反三】． 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）小明买了一个风筝进行试放，如图，牵风筝线的手到地面的距离为，假设牵风筝线的手的位置高度不变的情况下，测得人站立的位置与风筝的水平距离为，手与风筝之间的距离为，已知点、、、在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线剩的情况下，如图，若想要让风筝的离地高度再上升至处，请判断小明能否成功，并说明理由． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端到左墙角的距离为，顶端距墙顶的距离为．若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为，顶端距墙顶的距离为．已知点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，，． (1)求墙的高度． (2)求竹竿的长度． 3．（25-26八年级上·山西临汾·期末）“安全重于泰山，生命高于一切”．某地一楼房发生火灾，消防员用消防车上的云梯救人．如图，消防车高米（即米），施救点距离地面的高度为米，此时云梯的长度为米． (1)求云梯底部到楼房的距离． (2)消防员发现在处上方米的处有人未撤离，为了救出处的被困人员，在云梯长度不变的情况下，云梯底部需沿方向前进多少米？ 题型九：勾股定理的证明方法 【例9】．．（25-26八年级上·四川成都·月考）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法．下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达·芬奇用如图所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由个正方形和个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由个全等的直角三角形和个正方形组成，面积记为． 任务： (1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为_____． ，_____，_____， ，即． (2)请你参照小颖的验证过程，利用图及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． (3)这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．实际上，初中数学还有一些代数恒等式（除上述涉及的）也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式． 【举一反三】． 1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）勾股定理是数形结合思想的经典体现，实现了从“形”到“数”的转化与求解． (1)【问题解决】据记载，毕达哥拉斯就是借助图1和图2验证了勾股定理，请你写出验证过程． (2)【反思拓展】我们可以用图2表示的，，，之间的关系解决教材第页第题：两个正数的和是，求它们积的最大值．如图，设两个正数，为直角三角形的两条直角边，且， ，； 要使最大，则值应最小． 由图2可知，当点在线段上时，最小，此时，______，即最大为______． (3)【迁移应用】如图3，正方形的边长为，借助“反思拓展”思路，利用图求代数式的最小值为_________． 2．（25-26八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长、、之间的一个重要结论：． (1)已知：，，，．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为__________， ∵，且（等面积法）， ∴__________＋__________， ∴． (2)如图2，四边形是直角梯形，，，，， 其中，． ①求证：； ②仿照（1）用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为__________． 3．（25-26八年级上·上海·期末）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，从而得到等式，化简证得勾股定理． 【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： （1）如图1，若，那么小正方形面积：大正方形面积的比值等于__________． （2）如图2，晓华先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于__________． （3）如图3，晓华再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，求该风车状图案的面积． 【迁移运用】如图4，用三张含角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验证过程，发现含角的三角形三边a、b、c之间的关系吗？ （4）请直接写出此等量关系式：__________． （知识补充：如图5，含角的直角三角形，对边：斜边定值．） 题型十：勾股定理和三角形压轴问题 【例10】．．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，为边上一点，于点，交于点，平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，点与点关于直线对称，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，求的长． 【举一反三】． 1．（25-26八年级上·广东韶关·月考）如图，中，，，点D在上，点E为中点，于H，交直线于N，若，，，． (1)求的度数． (2)求的长． 2．（25-26八年级下·福建福州·月考）如图1，在等边中，点E是边上点（点E不与A，C重合），连接，过点A作于点H，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若， (1)求线段的长； (2)如图2，延长交于点D，求证：点D是中点； (3)如图3，连接，若，求的长． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图，在中，，，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点．求证：． ①如图，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点作交的延长线于点． ②如图，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图，在中，，，点，在边上，，连接，，点在边上，连接，且．求证：． 【学以致用】 （3）如图，在中，，，点在边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点，连接，求的面积． 【专题强化】 一、单选题 1．（21-22八年级下·山东淄博·月考）如图，矩形的对角线，则图中五个小矩形的周长之和为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，已知正方形边长为，连接平分交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）在一次夏令营活动中，小明从A营地出发，要到A营地的北偏东方向的C营地，他先沿正东方向走了100米到达B营地，再沿北偏东方向走， 恰好能到达C营地(如图)，由此可知C营地到直线的距离是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边分别交于点M、N．若正方形的边长为8，则阴影部分的面积为（    ） A．64 B．32 C．16 D．8 5．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接、、，则四边形周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C． D． 6．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，平分交于点，于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，菱形的边长为5，对角线与相交于点，，延长至，平分，点是上任意一点，则的面积为（   ） A．10 B．12 C．15 D．18 8．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）如图，矩形中，，为边上的一点，沿直线将翻折至（点落到点处）．如图与相交于点，且，则的长为（　　） A．4 B．5 C．4.8 D． 9．（25-26九年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若．则的长为（   ） A． B． C．1 D． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，分别以为边向外作正方形，正方形，连接，则的长为（   ） A．10 B．9 C． D． 二、填空题 11．（21-22八年级下·江苏南通·期末）以原点为旋转中心，将点逆时针旋转得到点，则点的坐标为__________． 12．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，中，为的角平分线，过点D作的垂线，垂足为点E，则的长为______． 13．（25-26八年级上·广东河源·月考）如图，在中，，是上一点，连接，若，，平分，则的长为___________． 14．（25-26八年级下·湖北武汉·开学考试）如图，在中，，，，点D，E在，边上，且，连接，则的最小值是 ________________ ． 三、解答题 15．（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）如图1，中，，直角边在射线上，直角顶点C与射线端点O重合，，，且满足． (1)求a，b的值； (2)如图2，向右匀速移动，在移动的过程中的直角边在射线上匀速向右运动，移动的速度为1个单位/秒，设移动的时间为t秒，连接． ①若为等腰三角形，求t的值： ②若为直角三角形，直接写出t的值． 16．（25-26八年级下·湖南郴州·开学考试）阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． (1)如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． (2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 17．（25-26八年级上·四川德阳·月考）如图，在中，，D是边上一点，记．E是线段的中点．F是线段上一点满足，G是线段上一点满足．连接． (1)求和（用含α的式子表示）． (2)求证：． (3)直接写出线段的数量关系．（无需证明） 2 学科网（北京）股份有限公司 $