精品解析：江苏省南京市竹山中学2021-2022学年七年级下学期 第二次数学月考试卷

初一年级学科素养限时作业数学试卷 （总分100分，时间90分钟） 【注意】：本卷所有解答均写在答题卡相应位置上 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂，同底数幂的除法，合并同类项法则分别判断． 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项正确； D、不能合并，故选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂，同底数幂的除法，合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． 2. 已知，为任意实数，则下列不等式总是成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质依次判断即可． 【详解】解：∵，为任意实数， ∴，故选项A错误； ∵，为任意实数， ∴，故选项B正确； ∵，为任意实数，且时，， ∴选项C错误； ∵，为任意实数，且时，， ∴选项D错误； 故选：B． 【点睛】此题考查了不等式的性质：不等式的两边加上或减去同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变． 3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. a（x－y）＝ax－ay B. x2－1＝（x+1）（x－1） C. （x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D. x2+2x+1＝x（x+2）+1 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用因式分解的定义分析得出答案． 【详解】解：A、a（x-y）=ax-ay，是多项式的乘法运算，故此选项错误，不符合题意； B、x2-1=（x+1）（x-1），正确，符合题意； C、（x+1）（x+3）=x2+4x+3是多项式的乘法，故此选项错误，不符合题意； D、x2+2x+1=x（x+2）+1，不符合因式分解的定义，故此选项错误，不符合题意． 故选：B． 4. 若从长度分别为2 cm、3 cm、4 cm、6 cm的四根木棒中，任意选取三根首尾顺次相连搭成三角形，则搭成的不同三角形共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据“在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”组合三角形． 【详解】三角形三边可以为：①2cm、3cm、4cm；②3cm、4cm、6cm． 所以，可以围成的三角形共有2个． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 5. 观察下列4个命题：其中真命题是( ) （1）三角形的外角和是180°；（2）三角形的三个内角中至少有两个锐角； （3）如果＜0，那么y＜0；（4）直线a、b、c，如果a⊥b、b⊥c，那么a⊥c． A. （1）（2） B. （2）（3） C. （2）（4） D. （3）（4） 【答案】B 【解析】 【详解】三角形的外角和是180°，三角形的外角和是360°，则原命题是假命题 （2）三角形的三个内角中至少有两个锐角，锐角三角形，直角三角形，钝角三角形中都有两个锐角，所以原命题是真命题； （3）如果＜0，那么y＜0，是真命题，由题设知是正数，所以，则原命题是真命题； （4）直线a、b、c，如果a⊥b、b⊥c，那么a⊥c，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，则原命题是假命题． 故选B 6. 如图，是的中线，点D是边上一点，，交于点F，若的面积为20，则与的面积之差等于（ ） A. B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的面积，解答此题的关键是等积代换．由的面积为20，得，根据，得①，同理可得，即可求得． 【详解】解：∵是的中线，的面积为20， ∴， 即， 同理：∵， ∴， ∴， 即， 得：， 故选：B． 7. 对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]=1，[﹣2.5]=﹣3，若[x﹣2]=﹣1，则x的取值范围为（ ） A. 0＜x≤1 B. 0≤x＜1 C. 1＜x≤2 D. 1≤x＜2 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得 解得 故选D． 8. 如图，E，F分别在的边上，且，D是延长线上一点，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质，得到，，再利用外角的性质逐个选项分别判定即可． 【详解】解：， ， ，故选项A正确； 由，故选项B正确； ， ， ，故选项C错误； ，故选项D正确． 二、填空题（每题2分，共20分） 9. 每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨䋈纤维的直径约为，该数值用科学记数法表示为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法；科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，当原数的绝对值小于时，是负整数． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 若是一个完全平方式，则k的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征得出中间项为，从而判断出k的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 已知方程的解是正数，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先解一元一次方程得到用含a表示的解，再根据方程的解是正数列不等式，求解不等式即可得到a的取值范围． 【详解】解：， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得， 系数化为，得， 方程的解是正数， ，即， 解得． 12. 一块长方形菜园，长是宽的3倍，如果长减少3米，宽增加4米，这个长方形就变成一个正方形，设这个长方形菜园的长为x米，宽为y米，根据题意，得方程组________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意找出两个等量关系. 一是长为宽的3倍. 二是长减少3米后与宽增加4米后长度相等（正方形边长相等）. 根据等量关系列出二元一次方程组即可． 【详解】解：由“长是宽的3倍”可得方程 ， 由“长减少3米. 宽增加4米. 长方形变成正方形”可知变化后长与宽相等. 可得方程 ， 联立得方程组 ． 13. 若，，用含x的代数式表示y，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方运算与代数式的变形，先从已知x的表达式中得到的表达式，再利用幂的乘方法则将变形为，代入y的表达式整理即可得到结果． 【详解】解： 又 将代入得： ． 14. 一个三角形的三边长分别是、、，它的周长不超过，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形任意两边之差小于第三边，得出，再根据周长列不等式，求出，即可得到x的取值范围． 【详解】解：一个三角形的三边长分别是、、， , 三角形任意两边之差小于第三边， ， ， 它的周长不超过， ， ， x的取值范围是． 15. 如图，在七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，若∠1、∠2、∠3、∠4的外角和等于225°，则∠BOD＝______°． 【答案】45 【解析】 【分析】依据七边形AOEFG的外角和为360°，即可得到∠AOE的邻补角的度数，进而得出∠BOD的度数． 【详解】解：∵五边形AOEFG的外角和为360°， 且∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于225°， ∴∠AOE的邻补角为360°-225°=135°， ∴∠BOD=180°-135°=45°， 故答案为：45． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键． 16. 关于x的不等式组只有4个整数解，则a的范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求解不等式组得到x的取值范围，再根据整数解的个数确定a的取值范围． 【详解】解：由不等式得：， 因此原不等式组的解集为， 不等式组只有4个整数解， 4个整数解为0、1、2、3， 可得， 不等式两边同时加2，得：． 17. 一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，∠3=50°，则∠1+∠2=_____． 【答案】100°； 【解析】 【分析】设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角，再利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解． 【详解】如图,∠BAC=180°−90°−∠1=90°−∠1， ∠ABC=180°−60°−∠3=120°−∠3， ∠ACB=180°−60°−∠2=120°−∠2， 在△ABC中,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°， ∴90∘−∠1+120°−∠3+120°−∠2=180°， ∴∠1+∠2=150°−∠3， ∵∠3=50°， ∴∠1+∠2=150°−50°=100°. 故答案为100° 【点睛】此题考查三角形内角和定理，解题关键在于利用三角形内角和定理 18. 如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质，连接．首先求出，再证明即可解决问题． 【详解】解：连接． ∵平分，平分，， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴，， ∵，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共64分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）先计算乘方，零指数幂和负整数指数幂，再计算加减法即可； （2）先根据多项式乘以多项式的运算法则和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解因式即可． （2）先将原式化为，再利用提公因式和平方差公式，最后提公因式即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 21. 先化简，再求值：x（x﹣3）+（x+1）（﹣1+x）﹣2（x﹣1）2，其中x＝1． 【答案】x﹣3，－2 【解析】 【分析】根据整式的加减乘除混合运算顺序先化简，再代入求值． 【详解】解：原式＝ ＝ 当x＝1时， 原式＝1﹣3＝﹣2． 【点睛】本题考查的知识点是整式的化简求值，属于基础题目，正确的化简是解题的关键． 22. 解方程组及回答问题 （1）解方程组：； （2）填空：方程组的解是________． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）用加减消元法求解即可； （2）把看作一个整体，用代入消元法求解即可． 【小问1详解】 解：， ，得 ， 解得， 把代入②，得 ， 解得， ∴方程组的解是； 【小问2详解】 解：， 把①代入②，得 ， 解得， 把代入①，得 ， 解得或， ∴方程组的解是或． 23. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来，并写出该不等式组的整数解． 【答案】，作图见解析，整数解为：，， 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来，在其公共解集范围内找出符合条件的x的整数解即可． 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴此不等式组的解集为， 在数轴上表示为： ∴该不等式组的整数解为：，，． 24. 如图，B、A、E三点在同一直线上，（1）AD∥BC，（2）∠B＝∠C，（3）AD平分∠EAC. 请你用其中两个作为条件，另一个作为结论，构造一个真命题，并证明. 已知:______________________________________________________. 求证:______________________________________________________. 证明: 【答案】见解析. 【解析】 【分析】本题答案不唯一，可以用（1）和（2）作为已知条件，（3）作为结论，构造命题．再结合图形说明命题的真假． 【详解】命题：已知：AD∥BC，∠B＝∠C 求证：AD平分∠EAC． 证明：AD∥BC ∠B＝∠EAD，∠C＝∠DAC 又∠B＝∠C， ∠EAD＝∠DAC． 即AD平分∠EAC． 【点睛】本题考查的知识点是命题与定理，解题关键是掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等． 25. 对于有理数a、b，定义的含义为： 当时，；当时，． 例如：，． （1）________． （2）求． （3）已知，求k的取值范围． （4）已知，直接写出m、n的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）， 【解析】 【分析】本题主要考查新定义，解一元一次不等式，完全平方公式，准确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义即可得到答案； （2）根据平方得知，即可得到，根据新定义即可得到答案； （3）根据，得到，解一元一次不等式即可得到答案； （4）根据题意得到，化简得，即可得到，即可求出答案． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， ， 解得； 【小问4详解】 解：， ， ， ， ， ， 解得，． 26. “疫情无情，人间有爱”．为扎实做好复工复课工作，教育局准备租借甲、乙两种型号的车为全市各中小学配送防疫物资．已知2辆甲型车和1辆乙型车载满物资一次可运走10吨；用1辆甲型车和2辆乙型车载满物资一次可运走11吨． （1）1辆甲型车和1辆乙型车都载满物资一次可分别运送多少吨？ （2）教育局现有防疫物资37吨需要配送，计划同时租用甲、乙两种型号车共10辆（都要有），一次运完．若设甲型车租了m辆，请你帮教育局设计租车方案； （3）在题（2）的条件下，若1辆甲型车需租金100元/次，1辆乙型车需租金120元/次．设租车总费用为Q元，请用含m的代数式表示Q，并确定哪一种租车方案的费用最少，最少租车费用是多少？ 【答案】（1）1辆甲型车满载物资时一次运3吨，1辆乙型车满载物资时一次运4吨 （2）方案一：租甲型车1辆，乙型车9辆；方案二：租甲型车2辆，乙型车8辆；方案三：租甲型车3辆，乙型车7辆 （3），方案三：租甲型车3辆，乙型车7辆的费用最少，最少为1140元 【解析】 【分析】（1）设1辆甲型车满载物资时一次运x吨，1辆乙型车满载物资时一次运y吨．根据2辆甲型车和1辆乙型车载满物资一次可运走10吨；用1辆甲型车和2辆乙型车载满物资一次可运走11吨建立方程组求解即可； （2）设租借甲型车m辆，则租借乙型车辆，根据运送的物资不低于37吨建立不等式求出m的取值范围即可得到答案； （3）分别求出租用甲型车和乙型车的费用，二者求和可表示出Q，再根据（2）所求代入对应的m的值求出三种方案的费用，比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：设1辆甲型车满载物资时一次运x吨，1辆乙型车满载物资时一次运y吨． 根据题意，得 解得 答：1辆甲型车满载物资时一次运3吨，1辆乙型车满载物资时一次运4吨． 【小问2详解】 解：设租借甲型车m辆，则租借乙型车辆． 由题意得：， 解得 又∵同时租借甲乙两型号车（都要有）， ， ∵m为整数， 当时，， 当时，， 当时，， 答：一共有三种方案：方案一：租甲型车1辆，乙型车9辆；方案二：租甲型车2辆，乙型车8辆；方案三：租甲型车3辆，乙型车7辆； 【小问3详解】 解：由题意得， 方案一的费用：（元） 方案二的费用：（元） 方案三的费用：（元）， ∵， ∴方案三：租甲型车3辆，乙型车7辆的费用最少，最少为1140元． 27. 已知：，平分，点分别是射线、、上的动点（不与点重合），连接交射线于点.设． （1）如图1，若，则： ①的度数是________； ②如图2，当时，试求的值（要说明理由）； （2）如图3，若，则是否存在这样的的值，使得中有两个相等的角？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．（自己画图） 【答案】（1）①；②的值为60 （2）存在这样的的值，使得中有两个相等的角，且或或 【解析】 【分析】（1）①利用角平分线的性质求出的度数即可；②利用角平分线的性质和平行线的性质求得； （2）分类讨论：当点在线段上和点在射线上两种情况，进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：①，平分， ， ， ， 故答案为：； ②如图所示， ， ，平分， ， ， ， ， ， ， ，即， 的值为60； 【小问2详解】 解：如图，当点在线段上时， ， ， ， 若，则，即； 若，则，，即； 若，则，，即； 如图，点在射线上时， ， ， ， 三角形的内角和为， 只有， 此时， 即，则不在射线上，舍去； 综上所述，存在这样的的值，使得中有两个相等的角，且或或． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，角平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质的应用，熟练掌握三角形的内角和为，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初一年级学科素养限时作业数学试卷 （总分100分，时间90分钟） 【注意】：本卷所有解答均写在答题卡相应位置上 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，为任意实数，则下列不等式总是成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. a（x－y）＝ax－ay B. x2－1＝（x+1）（x－1） C. （x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D. x2+2x+1＝x（x+2）+1 4. 若从长度分别为2 cm、3 cm、4 cm、6 cm的四根木棒中，任意选取三根首尾顺次相连搭成三角形，则搭成的不同三角形共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 观察下列4个命题：其中真命题是( ) （1）三角形的外角和是180°；（2）三角形的三个内角中至少有两个锐角； （3）如果＜0，那么y＜0；（4）直线a、b、c，如果a⊥b、b⊥c，那么a⊥c． A. （1）（2） B. （2）（3） C. （2）（4） D. （3）（4） 6. 如图，是的中线，点D是边上一点，，交于点F，若的面积为20，则与的面积之差等于（ ） A. B. 5 C. 4 D. 3 7. 对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]=1，[﹣2.5]=﹣3，若[x﹣2]=﹣1，则x的取值范围为（ ） A. 0＜x≤1 B. 0≤x＜1 C. 1＜x≤2 D. 1≤x＜2 8. 如图，E，F分别在的边上，且，D是延长线上一点，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题2分，共20分） 9. 每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨䋈纤维的直径约为，该数值用科学记数法表示为_________． 10. 若是一个完全平方式，则k的值为 _______． 11. 已知方程的解是正数，则a的取值范围是________． 12. 一块长方形菜园，长是宽的3倍，如果长减少3米，宽增加4米，这个长方形就变成一个正方形，设这个长方形菜园的长为x米，宽为y米，根据题意，得方程组________． 13. 若，，用含x的代数式表示y，则________． 14. 一个三角形的三边长分别是、、，它的周长不超过，则x的取值范围是________． 15. 如图，在七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，若∠1、∠2、∠3、∠4的外角和等于225°，则∠BOD＝______°． 16. 关于x的不等式组只有4个整数解，则a的范围是________． 17. 一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，∠3=50°，则∠1+∠2=_____． 18. 如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则________． 三、解答题（共64分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 因式分解： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：x（x﹣3）+（x+1）（﹣1+x）﹣2（x﹣1）2，其中x＝1． 22. 解方程组及回答问题 （1）解方程组：； （2）填空：方程组的解是________． 23. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来，并写出该不等式组的整数解． 24. 如图，B、A、E三点在同一直线上，（1）AD∥BC，（2）∠B＝∠C，（3）AD平分∠EAC. 请你用其中两个作为条件，另一个作为结论，构造一个真命题，并证明. 已知:______________________________________________________. 求证:______________________________________________________. 证明: 25. 对于有理数a、b，定义的含义为： 当时，；当时，． 例如：，． （1）________． （2）求． （3）已知，求k的取值范围． （4）已知，直接写出m、n的值． 26. “疫情无情，人间有爱”．为扎实做好复工复课工作，教育局准备租借甲、乙两种型号的车为全市各中小学配送防疫物资．已知2辆甲型车和1辆乙型车载满物资一次可运走10吨；用1辆甲型车和2辆乙型车载满物资一次可运走11吨． （1）1辆甲型车和1辆乙型车都载满物资一次可分别运送多少吨？ （2）教育局现有防疫物资37吨需要配送，计划同时租用甲、乙两种型号车共10辆（都要有），一次运完．若设甲型车租了m辆，请你帮教育局设计租车方案； （3）在题（2）的条件下，若1辆甲型车需租金100元/次，1辆乙型车需租金120元/次．设租车总费用为Q元，请用含m的代数式表示Q，并确定哪一种租车方案的费用最少，最少租车费用是多少？ 27. 已知：，平分，点分别是射线、、上的动点（不与点重合），连接交射线于点.设． （1）如图1，若，则： ①的度数是________； ②如图2，当时，试求的值（要说明理由）； （2）如图3，若，则是否存在这样的的值，使得中有两个相等的角？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．（自己画图） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $