专题03 一元一次不等式与一次函数（五大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版）

专题03 一元一次不等式与一次函数 （五大题型） 【题型1 由图象确定一元一次不等式的解集】...........................................................................1 【题型2 一次函数的与一元一次不等式(多结论问题）】.........................................................2 【题型3 一次函数的与一元一次不等式(取值范围)】..............................................................4 【题型4 一次函数与一元一次不等式(面积问题)】...................................................................6 【题型5一次函数的与一元一次不等式 （图象问题）】..........................................................9 【题型1 由图象确定一元一次不等式的解集】 1．若函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．如图，点在直线上，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点，根据图象可知的解集为（    ） A． B． C．或 D． 5．如图，一次函数的图象经过点，关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【题型2 一次函数的与一元一次不等式(多结论问题）】 6．如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①当时，；②关于x的方程的解为；③当时，；④关于x的方程的解为；其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 7．如图，直线（和是常数且）交轴、轴于点、，下列结论正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 8．如图，一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则下列说法：①y随x的增大而减小；②关于x的方程的解为；③的解集是；④，其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．一次函数(k、b为常数， 且)中的x与y的部分对应值如下表： x 1 0 y m() 下列四个结论：①方程的解在0和1之间：②若点,在直线上， 则； ③； ④不等式的解集为 时， ．其中正确的结论有（       ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 10．已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点和．有下列结论：将其图象沿轴向下平移个单位，可得到直线；关于的方程的解为；当时，；图象经过点，其中正确的是（  ）      A． B． C． D． 【题型3 一次函数的与一元一次不等式(取值范围)】 11．如图，是函数与的图象，则关于x的不等式的解集是___________． 12．如图，与的图象相交于，则不等式的解集为______． 13．一次函数与的图像如图所示，则不等式组的解集为______． 14．如图，一次函数为常数，且的图象与直线都经过点，当时，的取值范围是__________． 15．一次函数与的图象如图所示，若，根据图象可得x的取值范围为______． 16．一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是_______． 17．一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②；③当时，中；④关于的方程的解是；则正确的序号有___． 【题型4 一次函数与一元一次不等式(面积问题)】 18．如图，函数与的图象交于． (1)求出的值； (2)直接写出不等式的解集； (3)在函数的图象上找一点，使的面积等于面积一半，求出点的坐标． 19．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点、点．且满足：． (1)由图象可知不等式的解集为_______； (2)在x轴上是否存在点D，使得的面积是面积的2倍，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，直线与轴相交于点，直线经过点，与轴相交于点，与轴相交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数关系式； (2)根据图象，直接写出的解集； (3)点是上的一点，若的面积等于的面积的2倍，求点的坐标． 21．如图，一次函数 的图像与一次函数 的图像交于点．与x轴交于点D，与x轴交于点A，且经过点． (1)求m，k，b的值： (2)根据图像，直接写出的解集． (3)在y轴上是否存在点P，使的面积是面积的？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（、为常数且）的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的表达式； (2)关于的不等式的解集为 ； (3)直线上存在点，满足的面积是的面积倍，则点的坐标为 ． 23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点． (1)求正比例函数与一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)若D是直线上一点，且的面积是面积的3倍，求点D的坐标． 24．如图，点、的坐标分别为，，直线与坐标轴交于、两点． (1)求四边形的面积． (2)不解不等式，直接写出的解集； 【题型5一次函数的与一元一次不等式 （图象问题）】 25．探究一次函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出的数图像，然后观察分析图像特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出的数的图像，并探究其性质．列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 0 a 0 1 b 3 …    (1)直接写出表中a，b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图像． ， ． (2)观察函数的图像，判断下列关于该函数性质的命题： ①该函数的图像关于直线对称； ②当时，该函数有最小值，最小值是； ③当时，y随着x的增大而减小； ④当时， 其中正确的有 （写出所有正确命题的序号） (3)结合图像，直接写出不等式的解集 ． 26．把一次函数（k、b为常数，）．在y轴右侧的图像沿y轴向左翻折，与原来在y轴及右侧的图像组合，得到一个新的函数图像，这个新函数的解析式为（k、b为常数，）．例如：的图像如图①所示． (1)请在图②中画出函数的图像，并直接写出该图像与y轴交点A的坐标_________； (2)若函数的图像与y轴交于点C，与函数的图像交于B，D两点（点B在点D的右侧），求四边形的面积； (3)已知函数与函数，若对于，都有，直接写出k的取值范围． 27．探究函数性质时，我们经历了列表，描点，连线画出函数图像，观察分析图像特征，概括函数性质的过程，结合已有的学习经验，请画出函数的图像并探究该图像的性质． x ．．． -6 -4 -2 0 2 4 6 ．．． ．．． m 4 2 0 n 4 6 ．．．    (1)列表，请直接写出表中m和n的值； (2)描点，连线，在所给的平面直角坐标系中画出函数的图像； (3)在所给的平面直角坐标系中，过点（0，3）和（2，2）两点画出直线，结合你所画的函数图像，直接写出不等式的解集． 28．探究函数的图像与性质． 小天根据学习一次函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究．下面是小天的探究过程，请补充完整： 第一步：的自变量x的取值范围是全体实数； 第二步：x与y的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 2 1 0 1 2 … (1)第三步：建立平面直角坐标系，描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图像； (2)第四步：观察的函数图像，得出了如下几条结论： ①当________时，函数有最小值为_______________； ②当________时（填写自变量取值范围），y随x的增大而增大；当________时（填写自变量取值范围），y随x的增大而减少； ③图像关于过点________且垂直于x轴的直线对称； ④若直线与的图像只有一个交点，则k的取值范围是________． 29．斌斌同学根据学习函数的经验，对函数的图像和性质进行了探究．下面是斌斌的探究过程，请解决相关问题． (1)列表、描点、画出图像． ①把下表补充完整： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 3 5 3 … ②如图，描出以表中各对对应值为坐标的剩余的两个点，并画出该函数的图像． (2)观察的图像，下列说法正确的是___________（填序号，可多选）． ①若点在图像上，则； ②函数有最大值，最大值是5； ③函数的图像是轴对称图形，对称轴是y轴； ④y随x的增大而增大． (3)画出一次函数的图像，并利用图像法直接写出不等式的解集． 30．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究了一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小明同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图像与性质进行探究．下面是小明同学的探究过程，请你补充完成 (1)列表 … 0 1 2 3 4 5 6 … … 2 1 0 0 1 3 … 则 ； ； (2)根据（1）中表格在下面直角坐标系中描点并画出该函数图像 (3)观察图像，当时，的取值范围是 (4)若关于的方程，在的范围内，有且只有1个实数解，则满足的条件为 ． 1．一次函数与分别与y轴交于点A、B，交点为，在同一坐标系中图像如图所示，下列说法错误的是（    ）． A． B．点A、B关于x轴对称 C． D．当时， 2．已知函数的图象如图，根据图象，下列结论正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．直线的解析式为 C．不等式的解集为 D．当时，y随x的增大而减小 3．一次函数和的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与y轴相交于点M，则下列说法：①；②点M的坐标为；③；④当时，，其中所有正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②④ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次不等式与一次函数 （五大题型） 【题型1 由图象确定一元一次不等式的解集】...........................................................................1 【题型2 一次函数的与一元一次不等式(多结论问题）】.........................................................3 【题型3 一次函数的与一元一次不等式(取值范围)】..............................................................8 【题型4 一次函数与一元一次不等式(面积问题)】...................................................................12 【题型5一次函数的与一元一次不等式 （图象问题）】..........................................................21 【题型1 由图象确定一元一次不等式的解集】 1．若函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象求出不等式的解集是解题的关键．观察函数图象即可求解． 【详解】解：由图象得，当时，，即， ∴关于的不等式的解集为． 故选：C． 2．直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用图像法解一元一次不等式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 不等式的解集，即为一次函数图像在轴上方的自变量的取值范围，由此求解即可． 【详解】解：由图知与轴的交点为， 不等式的解集是， 故选：C． 3．如图，点在直线上，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质． 根据一次函数的图像和性质作答即可． 【详解】解：由图可知，随的增大而减小， ∵点在直线上， ∴不等式的解集为， 故选：B． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点，根据图象可知的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与不等式，数形结合是解题的关键；由图象知，当时，一次函数的函数值位于0于3之间，由此即可得出答案． 【详解】解：由图象知，当时，一次函数的函数值位于0于3之间， 即的解集为； 故选：D． 5．如图，一次函数的图象经过点，关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据函数的图象判断，写出函数值大于所对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图象可得：当时，， 所以关于x的不等式的解集是， 故选：B． 【题型2 一次函数的与一元一次不等式(多结论问题）】 6．如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①当时，；②关于x的方程的解为；③当时，；④关于x的方程的解为；其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，根据一次函数的图象，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：由图象得： ①当时，，错误； ②关于的方程的解为，正确； ③当时，，正确； ④关于的方程的解为，正确； 故选：C． 7．如图，直线（和是常数且）交轴、轴于点、，下列结论正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式等知识点，掌握数形结合是解题的关键． 根据一次函数的性质、一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式以及函数的图象逐项判断即可． 【详解】解：如图：由函数图象可知直线（k和b是常数且）交x轴，y轴分别于点，． ∴方程的解是，即A选项错误，不符合题意； 由函数与的图象关于y轴对称，则函数的图象与x轴交点的横坐标为，所以方程的解是，即B选项错误，不符合题意； 由函数图象可知：当时，函数的图象在x轴的上方，不等式的解集是，即C选项正确，符合题意； 由函数图象可知：不等式的解集是，即D选项错误，不符合题意． 故选：C． 8．如图，一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则下列说法：①y随x的增大而减小；②关于x的方程的解为；③的解集是；④，其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系，一次函数与一元一次不等式的关系对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：根据一次函数的图象可知y随x的增大而减小，故①正确； 因为一次函数的图象与x轴的交点坐标为，关于x的方程的解为，故②正确； 因为一次函数的图象与x轴的交点坐标为，结合图象可知关于x的不等式的解集是，故③错误； 因为一次函数的图象与y轴的交点在y轴负半轴上，所以，故④正确； 故正确的有①②④． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴交点问题，一次函数与一元一次方程的关系，一次函数与一元一次不等式的关系；掌握数形结合思想是解决此题的关键． 9．一次函数(k、b为常数， 且)中的x与y的部分对应值如下表： x 1 0 y m() 下列四个结论：①方程的解在0和1之间：②若点,在直线上， 则； ③； ④不等式的解集为 时， ．其中正确的结论有（       ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程． 根据图象可对①进行判断；根据图象可得函数的增减性，即可对②进行判断；由题意，，解得，可对③进行判断；由，，将不等式化为，得到，根据不等式的解集得到，解得，可对④进行判断． 【详解】解：根据题意可画出图象为： 由图可得一次函数的图象与x轴的交点横坐标在0和1之间， ∴方程的解在0和1之间，故①正确； 由图可得一次函数的图象从左向右上升，即y随x的增大而增大， ∵点,在直线上，且， ∴，故②正确； ∵一次函数的图象经过点、，其中， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴不等式化为， ∴， ∵不等式的解集为 ， ∴， 解得，故④正确； 综上所述，正确的结论有①②③④． 故选：D 10．已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点和．有下列结论：将其图象沿轴向下平移个单位，可得到直线；关于的方程的解为；当时，；图象经过点，其中正确的是（  ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解． 【详解】∵一次函数过，， ∴，解得：， ∴一次函数解析式， ∴向下平移个单位为，故正确， 由，解得：，故正确， 根据图象可知：当时，，故正确， 当时，， ∴图象不经过点，故错误， 综上可知：正确， 故选：． 【点睛】此题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，利用数形结合是求解的关键． 【题型3 一次函数的与一元一次不等式(取值范围)】 11．如图，是函数与的图象，则关于x的不等式的解集是___________． 【答案】 【分析】直接利用函数图象，结合，得出x的取值范围． 【详解】解：∵交点坐标可知，当时，函数的图象位于函数的图象的上方， ∴不等式的解集为 12．如图，与的图象相交于，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】先求出点的坐标，再找到直线的函数图象在直线的函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：点在函数的图象上， ，解得， ， 由函数图象可知，当时，函数的值小于的值， 即不等式的解集为． 13．一次函数与的图像如图所示，则不等式组的解集为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，灵活利用数形结合的思想是解题的关键． 不等式组，再结合图像可得其解集为满足且的部分为直线在下方且在x轴上方部分对应的自变量取值范围即可解答． 【详解】解：不等式组的解集由图像可知满足且， 即直线在下方且在x轴上方部分对应的自变量取值，即． 故答案为：． 14．如图，一次函数为常数，且的图象与直线都经过点，当时，的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，会根据一次函数图象写出不等式的解集． 根据图象，确定的图象在图象下方的自变量取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数为常数，且的图象与直线都经过点， ∴时，， 故答案为：． 15．一次函数与的图象如图所示，若，根据图象可得x的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，表示在x轴的上方，且的图象在的图象的上边部分自变量的取值范围，根据图象即可直接求解． 【详解】解：根据图象可得，，则x的取值范围是：． 故答案为：． 16．一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式组，数形结合的思想是解题的关键． 依据题意，结合图象可得其解集为满足不等式组的部分在图象下方图象上方且在轴上方部分且对应的自变量取值，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意得，满足不等式组的部分在图象下方图象上方且在轴上方部分且对应的自变量取值， ， 故答案为：． 17．一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②；③当时，中；④关于的方程的解是；则正确的序号有___． 【答案】①④/④① 【分析】根据一次函数的图象经过的象限，可判断①； 根据一次函数的图象与轴的交点位置，可判断②； 根据一次函数与的图象交点的横坐标，及图象的位置，可判断③； 根据一次函数与的图象交点的横坐标，可判断④． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，故①正确； ∵一次函数的图象与轴交于负半轴， ∴，故②错误； 一次函数与的图象交点的横坐标为， 当时，的图象在的上方， 即，故③错误； ∵一次函数与的图象交点的横坐标为， ∴关于的方程的解是， ∴关于的方程的解是， 故④正确； 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，两直线的交点与二元一次方程组的解，判断一次函数的增减性，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 【题型4 一次函数与一元一次不等式(面积问题)】 18．如图，函数与的图象交于． (1)求出的值； (2)直接写出不等式的解集； (3)在函数的图象上找一点，使的面积等于面积一半，求出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数解析式，两直线交点求不等式解集．解题的关键在于熟练掌握一次函数的图象与性质．体会数形结合的思想． （1）把代入，求出，再将代入，可得m的值； （2）根据函数图象交点位置，利用数形结合思想可得答案； （3）由的面积等于面积一半，得，求出，进而求出的坐标． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得； ∴， 把代得：， 解得； （2）解：不等式的解集为； （3）解：∵的面积等于面积一半， ∴， ∴， 当时，； 当时，， ∴的坐标为或． 19．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点、点．且满足：． (1)由图象可知不等式的解集为_______； (2)在x轴上是否存在点D，使得的面积是面积的2倍，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】该题考查了一次函数与不等式、图形面积、二次根式的非负性，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据绝对值和二次根式的非负性求出，求出、，再根据一次函数与不等式的关系计算即可． （2）根据题意先求出的面积，从而得出的面积，求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点、点， 根据图象可得不等式的解集为． （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或． 20．如图，直线与轴相交于点，直线经过点，与轴相交于点，与轴相交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数关系式； (2)根据图象，直接写出的解集； (3)点是上的一点，若的面积等于的面积的2倍，求点的坐标． 【答案】(1)直线的函数关系式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，两直线交点的计算，图象法求不等式解集，掌握一次函数图象的性质是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）联立方程组求解得到，结合图象即可得到不等式组的解集； （3）根据题意得到，，设，由面积公式列式求解即可． 【详解】（1）解：直线经过点，与轴相交于点， ∴， 解得，， ∴直线的函数关系式为； （2）解：∵直线交于点， ∴联立方程组得，， 解得，， ∴，且， ∴由图象可得，当时，， ∴解集为：； （3）解：直线与轴相交于点， ∴当时，，即， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴或， 解得，或， ∴或． 21．如图，一次函数 的图像与一次函数 的图像交于点．与x轴交于点D，与x轴交于点A，且经过点． (1)求m，k，b的值： (2)根据图像，直接写出的解集． (3)在y轴上是否存在点P，使的面积是面积的？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了运用待定系数法求函数解析式，一次函数与一元一次不等式．熟练运用相关知识是解答本题的关键． （1）把点C的坐标代入直线的解析式求出m的值，根据点B、C的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据图像写出直线在直线上方时对应的自变量的范围即可； （3）先求出，根据的面积是面积的，求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵点C在一次函数 的图象上， ∴， 解得； ∴， ∵点、在直线上， ∴， 解得：； （2）解：由图像可得，不等式的解集为； （3）解：对于，当时，， 解得，， ∴, 由（1）知，，当时，， 解得， ∴， ∴， ∴， 假设存在点P，使的面积是面积的， ∴, 设点的坐标为， ∴， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（、为常数且）的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的表达式； (2)关于的不等式的解集为 ； (3)直线上存在点，满足的面积是的面积倍，则点的坐标为 ． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】本题考出来一次函数与一元一次不等式的关系，掌握待定系数法、三角形面积公式及数形结合思想是解题的关键． （1）根据待定系数法求解； （2）根据数形结合思想求解； （3）根据三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， ， 解得： 一次函数的表达式为：； （2）解：由图象得，当时，， 故答案为； （3）解：设， 由题意得：， 解得：或， 或， 或， 故答案为：或． 23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点． (1)求正比例函数与一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)若D是直线上一点，且的面积是面积的3倍，求点D的坐标． 【答案】(1)正比例函数的表达式为：；一次函数表达式为： (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的解析式求解、不等式的解集以及三角形面积的计算，解题的关键是利用待定系数法求函数解析式，根据函数图象求解不等式的解集，并结合三角形面积公式求解点的坐标。 （1）由待定系数法即可求解； （2）根据函数图象，找出一次函数图象在正比例函数图象下方时x的取值范围； （3）由，即可求解。 【详解】（1）（1）将点的坐标代入得：，则， 正比例函数的表达式为：， 由题意得：， 解得：， 故一次函数表达式为：； （2）由图象可知，当时，一次函数的图象在正比例函数的图象下方， 不等式的解集为； （3）由（1）知，点， 的面积， ∵的面积是面积的3倍 的面积， 设点, 解得：或， 则点或； 24．如图，点、的坐标分别为，，直线与坐标轴交于、两点． (1)求四边形的面积． (2)不解不等式，直接写出的解集； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式及一次函数的性质，熟知一次函数的图象与性质及巧用数形结合的数学思想是解题的关键． （1）先根据A，B两点坐标求出直线的函数解析式，再结合直线的函数解析式，求得的坐标，然后将四边形的面积转化为的面积与的面积之差即可； （2）观察函数图象，即可解决问题． 【详解】（1）解：将点A和点B坐标代入得， 解得 则直线的函数解析式为． 由得，， 则， 故点E的坐标为． 将代入得，， ∴点C的坐标为，则， 则． 又∵， ∴． （2）由函数图象可知，的解集为． 【题型5一次函数的与一元一次不等式 （图象问题）】 25．探究一次函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出的数图像，然后观察分析图像特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出的数的图像，并探究其性质．列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 0 a 0 1 b 3 …    (1)直接写出表中a，b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图像． ， ． (2)观察函数的图像，判断下列关于该函数性质的命题： ①该函数的图像关于直线对称； ②当时，该函数有最小值，最小值是； ③当时，y随着x的增大而减小； ④当时， 其中正确的有 （写出所有正确命题的序号） (3)结合图像，直接写出不等式的解集 ． 【答案】(1)，2，图像见详解 (2)①② (3) 【分析】本题主要考查一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键； （1）把和分别代入函数解析式进行求解即可，然后根据描点法可作出函数图像； （2）根据（1）中函数图像可进行求解； （3）在（1）中图像画出直线的图像，然后根据图像可进行求解． 【详解】（1）解：当时，则有，当时，则有， ∴， 由表格可得图像如下所示： +   （2）解：观察函数的图像，可知： 该函数的图像关于直线对称； 当时，该函数有最小值，最小值是； 当时，y随着x的增大而减小； 当时，或； 综上所述：正确的结论为①②； 故答案为①②； （3）解：由题意得：不等式即为的解集， ∴在（1）中坐标系中，画出直线的图像，如图所示：    由图像可知：不等式的解集为； 故答案为． 26．把一次函数（k、b为常数，）．在y轴右侧的图像沿y轴向左翻折，与原来在y轴及右侧的图像组合，得到一个新的函数图像，这个新函数的解析式为（k、b为常数，）．例如：的图像如图①所示． (1)请在图②中画出函数的图像，并直接写出该图像与y轴交点A的坐标_________； (2)若函数的图像与y轴交于点C，与函数的图像交于B，D两点（点B在点D的右侧），求四边形的面积； (3)已知函数与函数，若对于，都有，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)见详解， (2)3 (3)或 【分析】本题主要考查了含绝对值的一元一次函数图像以及性质，利用两函数求一元一次不等式的解集． （1）先求出当时，，当时，，即可画出函数右边的图像，然后y轴右侧的图像沿y轴向左翻折即可得出的图像，再根据函数图像写出点A的坐标即可． （2）分别求出点B，点C，点D的坐标，即可求四边形的面积． （3）分两种情况，当时和当时，分别解出关于k的不等式解题即可． 解不等式即可求解． 【详解】（1）解： 当时，，当时，， ∴函数的图像如下： ∴点 故答案为：． （2）令则， ∴， 令， 解得：，， ，， ∴，， ∴． （3）①当时， ， 解得：， ②当时， ， 若，则， ∵， ∴，解得：， 那么，， 若时，则， ∵， ∴，解得：， 那么，， 综上所述，k的取值范围为：或． 27．探究函数性质时，我们经历了列表，描点，连线画出函数图像，观察分析图像特征，概括函数性质的过程，结合已有的学习经验，请画出函数的图像并探究该图像的性质． x ．．． -6 -4 -2 0 2 4 6 ．．． ．．． m 4 2 0 n 4 6 ．．．    (1)列表，请直接写出表中m和n的值； (2)描点，连线，在所给的平面直角坐标系中画出函数的图像； (3)在所给的平面直角坐标系中，过点（0，3）和（2，2）两点画出直线，结合你所画的函数图像，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)m＝6，n＝2； (2)作图见解析； (3)作图见解析，． 【分析】（1）代入求值即可； （2）描点，作图即可； （3）先描点作图，观察图像即可得． 【详解】（1）解：将代入中，得； 将代入中，得． ，． （2）如图所示：图像即为所求．    （3）如图所示图像即为所求．    由图像可知的解集为． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式，掌握用描点法画出函数图像，利用数形结合思想，解一元一次不等式是解题的关键． 28．探究函数的图像与性质． 小天根据学习一次函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究．下面是小天的探究过程，请补充完整： 第一步：的自变量x的取值范围是全体实数； 第二步：x与y的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 2 1 0 1 2 … (1)第三步：建立平面直角坐标系，描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图像； (2)第四步：观察的函数图像，得出了如下几条结论： ①当________时，函数有最小值为_______________； ②当________时（填写自变量取值范围），y随x的增大而增大；当________时（填写自变量取值范围），y随x的增大而减少； ③图像关于过点________且垂直于x轴的直线对称； ④若直线与的图像只有一个交点，则k的取值范围是________． 【答案】(1)见解析 (2)①1；0；②；；③；④或或 【分析】（1）根据表格中的数据可以画出相应的函数图像； （2）①根据图像即可求得最小值，②根据题目中的函数解析式及图像，可知x的取值范围；③函数图像即可求得点的坐标；④根据函数图像的特征即可求解． 【详解】（1）描点，并画出函数的图像如下： （2）①由图可知，当时，函数有最小值， 故答案为，0； ②由图可知，当时，y随x的增大而增大，当时（填写自变量取值范围），随的增大而减少， 故答案为 ； ③由图像可知，图像关于成轴对称， ∴图像关于过点且垂直于x轴的直线对称， 故答案为； ④∵， ∴当时，函数与平行，当时，函数与平行， ∴当或时，函数与有一个交点， 另外当函数过点时，有，即时，函数与有一个交点， 故答案为或或． 【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图像，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图像，利用数形结合的思想解答． 29．斌斌同学根据学习函数的经验，对函数的图像和性质进行了探究．下面是斌斌的探究过程，请解决相关问题． (1)列表、描点、画出图像． ①把下表补充完整： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 3 5 3 … ②如图，描出以表中各对对应值为坐标的剩余的两个点，并画出该函数的图像． (2)观察的图像，下列说法正确的是___________（填序号，可多选）． ①若点在图像上，则； ②函数有最大值，最大值是5； ③函数的图像是轴对称图形，对称轴是y轴； ④y随x的增大而增大． (3)画出一次函数的图像，并利用图像法直接写出不等式的解集． 【答案】(1)①－1，1；②见解析； (2)②③； (3)x≤－3或x≥1． 【分析】（1）①分别将x＝－3，x＝2代入解析式求出对应的y即可； ②根据所求结果，描点、连线即可； （2）根据函数图像进行判断即可； （3）利用两点法画出函数图像，根据函数图像判断出交点坐标，进而得出不等式的解集． 【详解】（1）解：①当x＝－3时，， 当x＝2时，， 故答案为：－1，1； ②描点、连线，函数的图像如图所示： （2）由函数图像可知： ①若点在图像上，则对应的m值有两个，通过计算可得，原说法错误； ②函数有最大值，最大值是5，正确； ③函数的图像是轴对称图形，对称轴是y轴，正确； ④当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小，原说法错误； 故答案为：②③； （3）在中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝－2； ∴一次函数的图像过点（0，2），（－2，0）， 函数图像如图， 由函数图像可得，一次函数的图像与函数的图像交于点（－3，－1），（1，3）， ∴不等式的解集为：x≤－3或x≥1． 【点睛】本题考查了求函数值，画函数图像，函数的图像和性质，根据函数图像交点求不等式解集等知识，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 30．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究了一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小明同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图像与性质进行探究．下面是小明同学的探究过程，请你补充完成 (1)列表 … 0 1 2 3 4 5 6 … … 2 1 0 0 1 3 … 则 ； ； (2)根据（1）中表格在下面直角坐标系中描点并画出该函数图像 (3)观察图像，当时，的取值范围是 (4)若关于的方程，在的范围内，有且只有1个实数解，则满足的条件为 ． 【答案】(1)3，，2 (2)见解析 (3)或 (4)或 【分析】本题考查了作函数的图像，数形结合求不等式的解集等知识．熟练掌握函数图像的作法是解题的关键． （1）根据，，，计算求解即可； （2）描点，然后连线即可； （3）数形结合求解即可； （4）数形结合求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，， 故答案为：3，，2； （2）解：描点，作图如图1： （3）解：如图2， 由图像可知，当时，的取值范围是或， 故答案为：或； （4）解：如图3， 由题意知，当，经过时，方程，在的范围内，有且只有1个实数解， ∴， 解得，， 当，经过时，方程，在的范围内，有个实数解， ∴， 解得，， ∴当时，方程，在的范围内，有且只有1个实数解； 综上所述，或， 故答案为：或． 1．一次函数与分别与y轴交于点A、B，交点为，在同一坐标系中图像如图所示，下列说法错误的是（    ）． A． B．点A、B关于x轴对称 C． D．当时， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据一次函数的性质以及数形结合思想逐项判断即可． 【详解】解：A．由一次函数与y轴的交点在y轴的负半轴，即，故A选项正确，不符合题意； B．由题意可得，即点A、B关于x轴对称，故B选项正确，不符合题意； C．由一次函数，y随x增大而增大，即；由一次函数，y随x增大而减小，即；则，故C选项错误，符合题意； D．由函数图像可得：当时，一次函数的图像在上方，即，故D选项正确，不符合题意． 故选C． 2．已知函数的图象如图，根据图象，下列结论正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．直线的解析式为 C．不等式的解集为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】去绝对值化简得当时，，，当时，，结合图象逐项判断即可求解． 【详解】解：当时， ，令，则，解得：； 当时，，则； 当时， ，令，则，解得； A、当时，，则，解得，则，故此项错误，不符合题意； B、当时，，即直线的解析式为，故此项正确，符合题意； C、不等式的解集为，故此项错误，不符合题意； D、当时，y随x的增大而减小，故此项错误，不符合题意． 3．一次函数和的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交点横坐标，结合图象写出解集即可． 【详解】解：根据图象可知：当时，的函数值小于5，且的函数值大于的函数值， ∴不等式的解集为． 4．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与y轴相交于点M，则下列说法：①；②点M的坐标为；③；④当时，，其中所有正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】将点代入直线即可求出的值，再利用待定系数法即可求出直线的解析式，进而即可求出的坐标，利用三角形面积公式即可求出，由图象结合点坐标即可判断④． 【详解】解：将点代入直线得：， 解得，则说法①正确； ∴， 将点，代入直线得：， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为，则说法②正确； ∴， 又∵， ∴的边上的高为3， ∴，则说法③错误； 结合函数图象可知，时，直线的图象在直线图象上方，则，故说法④正确； 综上，所有正确的是①②④，D选项符合题意． 1 学科网（北京）股份有限公司 $