第十一章 解三角形（复习讲义，12大题型精讲）高一数学苏教版必修第二册

该高中数学解三角形复习讲义通过表格系统梳理核心知识，将余弦定理、正弦定理的语言表述、符号表示及作用分类呈现，结合面积公式和实际问题术语（如仰角俯角、方位角）构建知识网络，清晰呈现重难点内在联系。 讲义亮点在于12类题型的递进设计，从基础解三角形到综合几何应用，如“测量距离问题”培养用数学眼光观察现实世界的能力，“边角互化”训练数学思维的逻辑性。分层练习（基础巩固、能力提升）满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升复习效率。

第十一章 解三角形（复习讲义） 1、掌握余弦定理，能够利用余弦定理解决有关问题. 2、掌握余弦定理，能够利用余弦定理解决有关问题. 3、利用余弦定理、正弦定理解决生产实践中有关距离的测量问题. 4、能运用正弦定理、余弦定理解决测量角度的实际问题. 5、能运用正弦定理、余弦定理解决相关力学问题. 知识点1　余弦定理 语言 表述 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍． 符号 表示 a2＝b2＋c2－2bc cos A； b2＝a2＋c2－2ac cos B； c2＝a2＋b2－2ab cos C． 推论 cos A＝； cos B＝； cos C＝． 作用 实现三角形边与角的互化 知识点2　正弦定理 语言 表述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 符号 表示 ＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) 变形 (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝ 作用 实现三角形边与角的互化 知识点3　三角形的面积公式 (1)S△ABC＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高)． (2)S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． (3)（r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径 ） (4)，其中 知识点4　实际问题中的有关术语 名称 定义 图示 仰角与 俯角 在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角 方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图，B点的方位角为α 方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°．如图，∠ABC为北偏东60°或东偏北30° 题型一 利用余弦定理解三角形 1．（25-26高一下·全国·课后作业）设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．2或4 B．3 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据题意结合余弦定理运算求解即可. 【详解】因为，，， 由余弦定理可得，即， 可得，解得或． 故选：A. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，已知，，，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理计算即可. 【详解】根据余弦定理得. 由于，所以. 故选：D. 3．（25-26高一下·广东·月考）在中，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合余弦定理即可求解． 【详解】由余弦定理可得 ，故． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，若，，，则____________． 【答案】 【分析】先由余弦定理求出c边，再由余弦定理即可求出. 【详解】因为，，， 所以，故， 所以由余弦定理得. 故答案为： 题型二 余弦定理边角互化的应用 1．（25-26高二上·河北张家口·开学考试）在中，满足，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】根据题意结合余弦定理可得，即可得结果. 【详解】因为，即， 所以，且，所以. 故选：A 2．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 【答案】A 【分析】根据余弦定理计算直接得出结果. 【详解】由， 得， 即， 所以， 又，所以. 故选：A 3．（24-25高三上·海南海口·月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知及余弦边角关系可得，进而有，即可求目标函数值. 【详解】由题设，易知，又，则， 所以. 故选：C 4．（24-25高一下·福建泉州·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则__________ 【答案】 【分析】根据题意整理可得，结合余弦定理即可得结果. 【详解】因为，整理可得， 则， 且，所以. 故答案为：. 题型三 利用正弦定理解三角 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】由，所以， 所以． 故选：D. 2．（25-26高三上·贵州黔南·期末）在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】在中，由，有，所以. 又，故，所以. 3．（2026·广东深圳·一模）在中，已知，，，则______. 【答案】 【分析】利用三角形内角和与正弦定理可得答案 【详解】由三角形内角和得，则， 又由正弦定理：，则. 4．（25-26高一下·全国·课后作业）已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，，求a，b和B． 【答案】，， 【分析】运用三角形内角和定理和正弦定理进行求解即可. 【详解】因为，，，所以． 由，得． 由，得． 题型四 正弦定理边角互化的应用 1．（2026·湖北武汉·模拟预测）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用正弦定理化边为角，根据和角的正弦公式化简，再由同角三角函数化弦为切即得. 【详解】由和正弦定理，得（*）， 因， 将其代入（*）整理得， 即得，故. 2．（25-26高三上·陕西商洛·期末）设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知则A=（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，通过正弦定理化简，求解即可. 【详解】因为，由正弦定理可得， 因为，解得，则，又，所以． 故选：B. 3．（2026·贵州·模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式化简即可. 【详解】由以及正弦定理，得， 所以. 因为，所以，所以. 故选：C 4．（2026·安徽合肥·一模）在中，角的对边分别是，若，则__________． 【答案】2 【分析】借助正弦定理将边化为角后，利用三角形内角和及两角和的正弦公式可得，再由正弦定理可得，即可得解. 【详解】因为，由正弦定理，可得， 所以，又因为，所以， 所以，又由正弦定理，可得，即， 因为，所以． 题型五 判断三角形解的个数 1．（25-26高一下·全国·课后作业）已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则此三角形有（   ） A．两解 B．一解 C．无解 D．无穷多解 【答案】B 【分析】利用正弦定理求出的值，结合正弦函数的图像和三角形内角和得到结论. 【详解】，，，， ，， ，或 当时，，，不符合三角形内角和定理，故舍去， 则只有一个解，故此三角形只有一个解. 故选：B. 2．（25-26高三上·江苏盐城·月考）（多选）在中，角、、所对的边分别为、、，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的长可以是（   ） A．1 B． C． D．4 【答案】ABD 【分析】根据不同条件下三角形的解的个数分析判断即得. 【详解】在中，当已知边和锐角，判断三角形的个数时，若，有且只有一个解； 当时，有两个解；当时，有且只有一个解；当时，无解. 因为. 由，即，解得，故D正确； 由，可得，选项中，满足此条件，故A，B正确； 对于C，，此时三角形无解， 故C错误. 故选：ABD 3．（25-26高一下·全国·单元测试）（多选）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中错误的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，无解 D．，，，有一解 【答案】ABC 【分析】利用正弦定理，结合各选项的条件逐一判断即可. 【详解】对于A，由，得，则，即只有一解，A错误； 对于B，，且，则，而为锐角，因此有两解，B错误； 对于C，由，，，得，有解，C错误； 对于D，由，得，又，则是锐角，有一解，D正确. 故选：ABC 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，符合上述条件的有________个． 【答案】1 【分析】根据正弦定理及已知条件求出角，即可确定三角形个数. 【详解】由正弦定理，可得． 因为，所以，所以，故， 所以符合条件的只有一个． 故答案为：1． 题型六 三角形面积公式的应用 1．（25-26高三下·安徽·月考）在中，内角的对边分别为，若，则的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由余弦定理得，则， 故的面积为. 2．（25-26高三下·河南·开学考试）记的内角的对边分别为，已知，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理以及余弦的和差角公式可得，进而根据诱导公式以及辅助角公式得，根据三角函数的有界性得，即可求解角的大小，即可得解. 【详解】由题意及正弦定理，得， 又，所以，则， 因为， 所以， 所以， 又，所以， 所以，又， 所以当且仅当时，， 又，且，所以，， 所以，则， 故的面积． 故选:C 3．（2026·山西大同·一模）已知内角A，B，C所对边分别为a，b，c，该三角形外接圆半径为，面积为.若，，则______. 【答案】2 【分析】先应用二倍角正弦公式结合两角和正弦公式化简，再应用正弦定理及三角形面积公式计算求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 故， 即， 所以， 又由正弦定理及三角形面积公式，可得， 又因为，所以，解得. 4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在平面四边形ABCD中，，，，，，则的面积是______. 【答案】15 【分析】利用余弦定理及三角形面积公式求解. 【详解】在中，由余弦定理得， 即，解得，， 而，则，又，因此， 所以的面积是. 题型七 三角形形状判断 1．（24-25高一下·上海宝山·月考）下列是有关的几个命题： ①若，则是锐角三角形． ②若，则是等腰三角形； ③若，则是等腰三角形； ④若，则是直角三角形，其中所有正确命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】利用两角和的正切公式变形后判断①，由正弦定理化边为角后变形求解判断②③，结合诱导公式判断④. 【详解】①， 由得， 所以， 中最多只有一个钝角，中最多只有一个负数， 因此，从而均为锐角，①正确； ②若，则由正弦定理得，从而，而三角形中，所以或,所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，②错； ③若，由正弦定理得， 即，在中，，故恒成立， 因此，条件对任意三角形都成立，不能据此判断是等腰三角形，故③错误； ④若，则， 又由知为锐角，所以或， 即或，则不一定是直角三角形，④错，因此正确的命题有1个， 故选：A. 2．（辽宁大连育明高中、丹东二中、本溪高中四校联考2026届高三下学期教学质量调研数学试题）（多选）已知的内角的对边分别为，则能判定一定是等腰三角形的为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用正余弦定理、和差公式逐一分析即可. 【详解】对A，由正弦定理将边化角得， 即，所以为等腰三角形； 对B，因为， 所以， 所以，整理得， 又，所以，即，所以为等腰三角形； 对C，， 所以，整理得， 所以或，即是直角三角形或等腰三角形； 对D，， 当且仅当，即时等号成立，又，所以只能成立， 此时为等腰三角形. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】AB 【分析】解法1：根据余弦定理和正弦定理进行边角关系转化可得，从而可得或，进而可判断三角形形状；解法2：对已知等式化简变形，然后根据边的关系判断三角形形状. 【详解】解法1：在中由余弦定理可得,整理得， 由正弦定理得,即，故， 所以，即， 所以，则，即. 因为，所以， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形. 解法2：因为，所以， 所以， 所以， ， 所以， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形. 故选：AB 4．（25-26高一下·全国·单元测试）（多选）下列关于的结论中，正确的是（   ） A．若，则为钝角三角形 B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据余弦定理、正弦定理逐一判断即可. 【详解】A中，由，得， 因为，所以，故为钝角三角形，对； B中，由已知条件，得， 因为，所以，错； C中，因为，所以， 因为，所以，所以不能确定另外两个角是否为锐角，错； D中，在中，，所以，所以，对． 故选：AD 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，已知，则的形状为________． 【答案】等腰或直角三角形 【分析】借助正弦定理与余弦定理可将原等式化简，即可得解. 【详解】由正弦定理及余弦定理可得： ， 即有，化简得， 故或，则为等腰或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形. 题型八 测量距离、高度与角度问题 1．（2026·贵州黔东南·模拟预测）一艘轮船从A处出发，沿着正东方向行驶到B处，再从B处向北偏西30°方向行驶千米到达C处，此时，C处在A处的东北方向，则A、C两处之间的距离是（   ） A．30千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】B 【详解】如图，由题意可知千米，，， 则由正弦定理知千米. 2．（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 【答案】D 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【详解】如图， 由题意，在中，，，， 则为正三角形，则， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以，故， 此时灯塔C位于渔船的北偏东方向. 故选：D. 3．（2026高一·全国·专题练习）如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，则从建筑物的顶端A看建筑物的张角的大小为_____． 【答案】 【分析】先过点A作于点，由勾股定理求出和，再由余弦定理求出，由，即可求出答案． 【详解】如图，过点A作于点， 由题可知，，，， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由余弦定理得： ， 因为， 所以． 4．（24-25高一下·海南海口·月考）如图1，椰子树是海南最具代表性的树木之一，树干笔直无分枝，叶片形似巨大的羽毛伞.如图2，、两处观测点与树干底部点在同一水平面内，树干垂直于水平面，某同学在地面处，测得树干顶端处的仰角为，、两处相距米，，. (1)求观测点到树干底部点的距离的长度； (2)求在树干顶端处观测到、两点的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合可得出的长； （2）求出、、、的长，然后利用余弦定理可求得的值，即为所求. 【详解】（1）在中，由正弦定理可得， 因为，所以. 又两处相距米，故，所以的长为米. （2）在中，由在处测得树干顶端处的仰角为， 可得，则. 由（1）知，由，得， 由，得. 在中，由，得. 在中，由余弦定理得. 故在处观测到、两点的夹角的余弦值为. 题型九 三角形中角平分线与中线的应用 1．（25-26高三上·四川巴中·月考）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若为边的中点，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理角化边化简已知等式，再结合余弦定理即可求得答案； （2）由题意可得，平方后可得，再利用余弦定理得到，即可求出的值，利用三角形面积公式即可求得答案. 【详解】（1）由题意知在中，， 则， 即得，即, 可得，结合，得； （2）由题意知为边的中点，， 则,则， 可得，即 又，则，结合， 可得， 故的面积为. 2．（25-26高三上·重庆·期中）如图，记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的值； (2)设边的中点为，若，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由三角形中，结合已知整理得，即可得角的大小； （2）作，垂足为，设，再用表示出、，应用勾股定理构建方程求参数，进而求相关边长，即可求面积. 【详解】（1）在中，代入 所以，即，又，则； （2）如图，作，垂足为，， 为中点，设，因为为中点，所以， 在中，，所以， 在中，，， 由勾股定理得， ，，则. 3．（25-26高三上·湖北·月考）在中，内角的对边分别为，且． (1)求的大小； (2)为边的中点，且，求的长． 【答案】(1); (2). 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合两角和正弦公式即可求解； （2）利用中线向量公式，结合向量的数量积运算即可求解. 【详解】（1）由正弦定理边化角可得：， 再利用三角形内角和可知：， 所以有， 整理得：，在三角形中， 所以有， 又因为，所以； （2） 由中线向量可得：， 则， 所以. 4．（25-26高三上·广东·期末）在中，，，分别为角，，的对边，已知，. (1)求角的大小； (2)若为的中点，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角差的余弦公式展开等式，然后利用正弦定理、诱导公式及辅助角公式化简等式，即可求得； （2）由中点得到向量的数量关系，然后平方后整理为边的关系式，结合余弦定理求出，即可求得的面积. 【详解】（1）∵， ∴， 由正弦定理得， 又∵， ∴， ∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴. （2）∵为的中点，∴， ∴， ∴，∴， 在中，由余弦定理可知，∴， ∴， ∴. 5．（25-26高三上·山西太原·期末）在中，，. (1)求； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，求的角平分线的长. 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理，将已知的边角关系进行转化，最后求解即可； （2）利用余弦定理建立关于未知边 的一元二次方程，求解后再代入面积公式即可； （3）先利用角平分线将原三角形 分割成两个小三角形 和 ，得到它们的面积之和等于原三角形的面积，最后代入求解即可. 【详解】（1），，， 由得，. （2）由（1）得，， ，或（舍去）， 的面积. （3）设， 则，， ， . 6．（25-26高三上·湖南·月考）记的内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若的角平分线交边于点，，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件及正弦定理，再结合二倍角公式可得； （2）根据角平分线分三角形面积之间的关系及余弦定理可得. 【详解】（1）由及正弦定理，得， ，， ，，，，或. ，，，即. （2）如图：   ， ，①， 又在中，由余弦定理可得，即②， 将①代入②得，或（舍）, . 的周长为. 7．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且 (1)求角A； (2)若的面积为. ①已知E为BC的中点，且，求中线AE的长； ②求内角A的角平分线AD长的最大值. 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，求出； （2）①由三角形面积求出，从而得到，或，，根据中线得到，两边平方，结合向量数量积运算法则求出；②根据求出，由基本不等式求出长的最大值. 【详解】（1）由正弦定理得，即. 由余弦定理得. 因为，所以. （2）①，. 且，解得，或，. 由于， 所以， ； ②由， 得. 解得， 由于，当且仅当时，取等号， 故,当且仅当时，取等号，即的最大值为. 题型十 三角形中边长或周长、面积范围的问题 1．（25-26高一下·广西贵港·月考）中，. (1)求A； (2)若，求周长的最大值； (3)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理计算即可. （2）方法一：先根据余弦定理列出关于的关系式，然后根据基本不等式的性质计算即可；方法二：先根据正弦定理得到，然后根据正弦函数的性质求出结果即可. （3）根据余弦定理结合三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）由正弦定理可得：，， ，. （2）[方法一]：由余弦定理得：， 即.（当且仅当时取等号）， ， 解得：（当且仅当时取等号）， 周长，周长的最大值为. [方法二]： 设，则，根据正弦定理可知， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 此时周长的最大值为. （3）由余弦定理得：， 即.（当且仅当时取等号）， ∴（当且仅当时取等号）， 面积的最大值为. 2．（2025高三上·四川眉山·专题练习）已知的面积记为.内角，，的对边分别为，，，. (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据条件得出角，结合余弦定理计算得到边长； （2）由正弦定理结合角得到，由边角关系计算得到答案. 【详解】（1）由，得， 因为为三角形边长，所以，所以， 若，则，代入得，矛盾， 所以，方程两边同除以得，又，所以. 根据余弦定理， 得.即，整理得. 解得或（舍去）.所以. （2）由，得，， 因为，则，， 所以， ， 因为为锐角三角形，所以则， 所以，即取值范围为. 3．（25-26高三上·山东东营·期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，为边上一点，，的面积为. (1)求； (2)若，，求的最小值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）两边平方，结合题目条件，余弦定理和面积公式得到，因为为锐角，所以. （2）设，，则，在中和在中，由正弦定理联立得，因为，所以，求出的最小值. 【详解】（1）由，两边平方得，故， 所以的面积， 由余弦定理及， 得， 因为，所以，因为为锐角，所以. （2）设，，则， 在中，由正弦定理得， 因为， 所以， 则①， 在中，由正弦定理得， 则②， 由①②得，， 因为，所以，所以 所以，故的最小值为1. 4．（25-26高二上·新疆克拉玛依·期末）已知的内角所对的边分别为，向量，且． (1)求角； (2)若，求的面积； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量平行的坐标表示，结合正弦定理建立方程，求解角. （2）已知两边及夹角，直接利用余弦定理求第三边，再用面积公式计算. （3）利用正弦定理将表示成关于角的函数，再求出函数的取值范围即可. 【详解】（1）且，. 由正弦定理，得， 代入上式得， ，又，. （2）在中，由余弦定理：. 又，代入上式得，或（舍）. . （3）在中，，由正弦定理得. . 又，. . ，，. 即的取值范围是. 5．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据正弦定理和辅助角公式求出，再由已知条件结合正弦定理求得； （2）先根据正弦定理求出的关系式，然后根据的范围求出的范围，最后利用三角形面积公式即可求得其面积的范围. 【详解】（1）在锐角中，由正弦定理得， 又， ∵， 所以， 则， 在锐角中，， ，即. ， （2）由（1）得， 由正弦定理：，得 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 故面积的取值范围为． 6．（25-26高三上·河南信阳·期末）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律得到，再由均值不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， ， ，，则， ，. （2）因为是中点，所以. 两边平方得 . 所以，即， 又由均值不等式得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，即面积的最大值为. 7．（25-26高三上·宁夏·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为的角平分线，且，，求角平分线的长度； (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理求出，然后可得角； （2）根据给定条件，利用三角形面积公式建立方程求解； （3）利用正弦定理，结合角的范围求出的范围，然后由面积公式可得. 【详解】（1），， ，， 由余弦定理得， 又，； （2）由的角平分线将的面积分为两部分， 则，， 于是， 即，解得， 所以的长为； （3）由三角形面积公式得， 由正弦定理得 ， 三角形为锐角三角形，，得，， ，，，. 8．（2025高三上·广东肇庆·专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求周长的取值范围； (3)若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）应用正弦边角关系，结合诱导公式、二倍角正弦公式化简得，即可求角； （2）法一：应用余弦定理、基本不等式得，进而有，结合三角形三边关系求范围；法二：应用正弦定理得三角形周长，再应用三角形内角性质及三角恒等变换得，最后应用正弦函数的性质求范围； （3）设，，应用正弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换得，再应用正弦函数的性质求范围. 【详解】（1）由已知及正弦边角关系得， 因为，所以，而， 所以，，， 所以，，故，即； （2）方法一：由余弦定理，得，即 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，， 由三角形三边关系知，所以，即， 所以周长的取值范围为； 方法二：由正弦定理，得，， 所以 ， 因为，所以，即，即，， 所以周长的取值范围为； （3）因为角A与角B的角平分线交于点D，，所以， 设，， 在中，由正弦定理， 所以，即，， 所以 ， 因为，为锐角三角形，所以，即， 所以，即， 则， 所以面积的取值范围为. 题型十一 正余弦定理在几何中的应用 1．（25-26高三上·江西南昌·期中）如图，在平面四边形ABCD中，．    (1)若，求四边形的面积； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，在中与中分别使用余弦定理，从而可得的值，再根据三角形面积公式求解四边形的面积； （2）结合余弦定理，三角面积公式以及正弦型三角函数即可得四边形面积的最大值． 【详解】（1）连接BD，    在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得，则， 从而， 因此四边形ABCD的面积为：． （2）连接BD．在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 则， 因为， 所以， 因为，所以， 四边形ABCD的面积， 则①， 由，则②， 联立①②，解得，则， 当且仅当时，等号成立，四边形ABCD的面积取得最大值． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，，，，将三角形沿翻折得三角形，使得交于，求． 【答案】 【分析】利用平行四边形的性质结合已知条件得出相关边、角关系，利用折叠的性质结合已知条件得出三角形全等，最后利用余弦定理构造方程求解． 【详解】已知在平行四边形中，，，， ，，， 三角形沿翻折得到三角形，交于， ，， ，，， ， ，设，则，， 在中，由余弦定理得， 即，解得，即． 3．（2026·河北沧州·一模）如图，四边形中，已知交于点，．    (1)若，求的值； (2)证明：当时，位于外接圆的内部． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件，利用余弦定理求出相关线段长度，进而求解； （2）利用正弦定理结合已知条件求出，再利用四点共圆的性质求出，比较的大小判断的位置． 【详解】（1），， 在中，由余弦定理得 ， ， 同理， ， ． （2）在中，由正弦定理得， ， ， 设为射线上一点，且四点共圆，则，   ，解得， ，位于外接圆的内部． 4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，一艘船向正东航行，顺次经过观测点B，M，N，C，船航行到B处，在B处观测灯塔A在船的北偏东的方向上，船航行到C处，在C处观测灯塔在船的北偏西的方向上，已知B，C相距6海里，．    (1)若，求的距离； (2)求面积的最小值． 【答案】(1)（海里） (2)（平方海里）． 【分析】（1）在和中反复使用正弦定理，用角度表示边长、、、，代入求值即可； （2）将面积表达式化简为关于的三角函数，利用和角公式、二倍角公式进行变形，通过三角函数的范围求解面积的最小值. 【详解】（1）因为，，所以， 又因为，所以，， 又，设， ∴，，． 在和中由正弦定理可得， ， 即，， ， ． 当时，则，， ∴，， ∴（海里）． （2） 令 ， ∴． 因为，∴，∴， 所以当时，（平方海里）． 题型十二 正余弦定理与三角函数性质综合 1．（24-25高一下·天津武清·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且.已知向量，，函数， (1)求角A的大小； (2)在中，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理和面积公式即可得到角的值. （2）先利用数量积公式得到的解析式，进而得到边的值.利用正弦定理将边换成角，然后利用三角函数知识求解的取值范围. 【详解】（1）由已知，可以得到 再利用面积公式可以得到， 由余弦定理知，所以有 即. 因为，所以. （2）由数量积公式可知 由二倍角公式和辅助角公式可得. 所以. 由正弦定理可得， 所以,，因为,所以， 所以 ， 因为，所以. 所以， 所以的取值范围为. 2．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，其中. (1)若，求图象的对称中心； (2)记的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)已知为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简得到，整体法求出函数对称中心； （2）求出，根据单调递增区间得到不等式，求出的取值范围； （3）由，得到，由余弦定理和正弦定理得到，因为为锐角三角形，所以，求出的取值范围，得到答案． 【详解】（1）， 当时，． 令，得， 所以图象的对称中心为. （2）由（1）得，且， 所以，即， 因为将的图象向左平移个单位长度得到的图象， 所以， 因为，则， 又因为函数在区间上单调递增， 则， 可得，解得， 可得，即， 且，则，所以的取值范围是. （3）由得， 因为，即， 且为锐角三角形，则，则， 可得，解得． 由余弦定理，即， 可得， 所以． 由正弦定理，得， 则，， 可得， 因为为锐角三角形，则，解得， 可得，则， 即，可得， 所以的取值范围是． 3．（24-25高一下·海南·月考）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)在锐角中，角的对边分别为，若，求周长的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由的图象，求得，得到，得到，再由，即，求得，即可函数的解析式及对称中心； （2）由，求得，由正弦定理得，得到，化简得到的周长为，结合为锐角三角形，得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的图象，可得， 可得，所以，所以， 又由，即， 解得，即， 因为，所以， 所以函数的解析式为； 令，可得， 所以的对称中心为. （2）解：因为，可得，即， 因为，可得，所以，所以， 又因为，由正弦定理可得，则， 所以的周长为 因为，可得， 所以， 因为为锐角三角形，可得，可得，可得， 则，可得， 所以的周长为. 4．（2024·北京·三模）已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 【答案】(1)1 (2) 【分析】利用三角恒等变换整理可得，结合最小正周期分析求解； 以为整体，结合正弦函数最值可得.若选条件①：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件②：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件③：利用面积公式、余弦定理可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解. 【详解】（1）由题意可知：， 因为函数的最小正周期为，且，所以. （2）由（1）可知：， 因为，则， 可知当，即时，取到最大值3，即. 若条件①：因为， 由正弦定理可得， 又因为， 可得，且，则， 可得，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为； 若条件②；因为， 由正弦定理可得：， 则， 因为，则， 可得， 即，且，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为； 若选③：因为，则， 整理得，且，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为. 基础巩固通关测 1．（18-19高二上·陕西汉中·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（   ） A．5 B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用余弦定理及已知条件求解. 【详解】，，， ， ，． 故选：D. 2．（2026·福建莆田·二模）记的内角，，的对边分别是，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理求出的值，再结合角的取值范围确定角的大小. 【详解】 因为，所以. 故选：B. 3．（2026·山西运城·一模）在中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由同角三角函数关系式及正弦定理可得. 【详解】因为，且，所以. 又因为中，，由正弦定理得， 所以. 4．（25-26高二上·安徽滁州·期末）设的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么外接圆的半径为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据余弦定理求出，然后根据正弦定理求出三角形外接圆半径. 【详解】由，可得， 则，因为，所以， 又，由正弦定理可得，解得. 故选：B. 5．（2026·湖南怀化·一模）在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角之间的关系，进而判断三角形的形状. 【详解】在中， , 则，即， 则，即得, 由于，故，结合，可得， 即一定为直角三角形， 6．（2026高一·全国·专题练习）圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，某同学为了估算圣·索菲亚教堂的高度，在圣·索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为，则估算圣·索菲亚教堂的高度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中用表示出，然后在中利用正弦定理求出，再在中用表示出，即可得解. 【详解】由题意知，，， ∴． 在中，． 在中，由正弦定理得， ∴． 在中，． 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）某次测量中，点A在点B的北偏东，则点B在点A的（   ） A．北偏西 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏西 【答案】D 【分析】根据方向角的定义，点A在点B的北偏东55°，则点B在点A的南偏西55°． 【详解】由题意，点A在点B的北偏东55°方向，即从点B看，点A位于正北方向顺时针旋转55°． 那么从点A看，点B位于正南方向顺时针旋转55°，即南偏西55°． 故选：D． 8．（25-26高一上·广东深圳·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理及两角和的正弦公式化简已知得，进而求得，利用面积公式求得，最后利用余弦定理求解即可. 【详解】在中，因为，所以由正弦定理得， 由及正弦定理得 ， 即，因为，所以，所以， 又，所以，所以，得，则， 所以由余弦定理可得，所以. 故选：D 9．（24-25高一下·江苏盐城·期中）（多选）在中，角、、所对的边为、、，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【分析】对于A、B、D根据三角形全等，易得三角形的形状唯一确定，故解唯一；对于C，可用正弦定理，结合正弦函数的图象，说明符合条件的三角形有两解. 【详解】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确； 对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确； 对于C，由正弦定理，即，所以， 因为，则, 因为，结合正弦函数的图象可知角有两解，故C错误； 对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确. 故选：ABD. 10．（24-25高二下·贵州毕节·期末）（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】利用正余弦定理和三角形面积公式，结合三角形的内角范围逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，由，得，因，则，故A正确； 对于B，则，得，因，则或，故B错误； 对于C，由和正弦定理，可得，又，则， 由余弦定理，，因，则，故C正确； 对于D，由正弦定理得，即，解得， 由于，所以，故，故D正确. 故选：ACD． 11．（24-25高一下·上海宝山·月考）在中，，则其外接圆的半径为___________． 【答案】/ 【分析】由三角形面积公式求得，从而判断出三角形是等边三角形，再结合正弦定理得外接圆半径. 【详解】由题意，，所以是等边三角形，则， 所以其外接圆的半径为， 故答案为：. 12．（2025·甘肃·模拟预测）的内角的对边分别为的面积为，且，则边上的中线长为__________． 【答案】/ 【分析】根据三角形面积公式得到，由向量法即可求得答案． 【详解】由，解得， 设的中点为D，则， 则 ， 则， 即边上的中线长为． 故答案为：． 13．（25-26高一下·全国·单元测试）的三边之比为，则最大角的余弦值为__________，较大锐角的角平分线分三角形的面积比是__________． 【答案】 （或） 【分析】利用余弦定理、三角形面积公式进行求解即可. 【详解】不妨设，，，则最大角为， 且． 因为，故为钝角，则为较大锐角．设的平分线交于， 设的面积为，的面积为， 则． 故答案为：；（或） 14．（25-26高三下·江苏泰州·开学考试）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ． (1)求B； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角差的余弦公式、三角形内角和定理进行求解即可； （2）利用三角形面积公式和余弦定理进行求解即可. 【详解】（1） ， 因为，所以， 所以由. （2）由上可知， 因为的面积为， 所以， 所以由余弦定理可知 ， 所以的周长. 15．（2026·山东东营·一模）已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 (1)若 求A； (2)若 求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过向量平行转化为边角关系，再用正弦定理和三角恒等变换求解即可. （2）通过向量垂直得到边的关系，结合余弦定理和面积公式求解即可. 【详解】（1）因为所以①. 又由正弦定理，即，代入①式， 可得，整理得， 又，所以，解得. （2）因为，所以， 即，又，所以. 因为，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）. 故. 16．（25-26高二上·贵州遵义·月考）在中，角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若是锐角，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式化简即可； （2）利用余弦定理求出，再利用面积公式计算即可. 【详解】（1）由以及正弦定理得，， 所以 因为，所以，所以； （2）因为，且是锐角，所以， 由余弦定理可得， 则， 因为，所以，得， 故的面积为. 能力提升进阶练 1．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）在中，内角的对边分别为，，，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，由正弦定理得，， ， 计算得． 又因为， 所以， 即， 整理得， 所以. 2．（2026高三·全国·专题练习）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的外接圆半径为，若的面积，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理及三角形面积公式得，即可求解范围． 【详解】由正弦定理得，所以， 又三角形面积公式，可知，所以， 又，所以， 由正弦定理得 ， 在锐角中，有，因为正切函数在上单调递增， 所以， 从而. 故选：A 3．（2026·湖南永州·二模）在中，内角所对的边分别为，且满足，则（   ） A．角为锐角 B．2 C．2 D．的最大值为 【答案】D 【分析】由同角的三角函数关系和降幂公式可判断A；由余弦定理结合A的结果可判断B；由同角的三角函数关系结合余弦定理可得判断C；由两角和的正切展开式再结合基本不等式可判断D. 【详解】由，得， ，所以， 对于A，由，得，所以为钝角，故A错误； 对于B，由，得，即，故B错误； 对于C，由，结合正弦定理可得， 所以，即得， 因为为钝角，为锐角，两边除以，得，故C错误； 对于D，由，即，， ， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以，即的最大值为，故D正确. 故选：D. 4．（2026·四川内江·二模）（多选）已知的面积为，角的对边分别是，，，则（   ） A． B． C． D．边的中线长为 【答案】ABD 【分析】利用条件化简判断A，根据正弦定理及三角恒等变换判断B，根据正弦定理求判断C，根据余弦定理求出中线长判断D. 【详解】因为， 所以，即， 所以，由可知，即为钝角， 又，所以， 又为锐角，所以，故A正确； 因为，由正弦定理可得， 所以， 由和差化积公式可得， 即，即， 由可得，所以或（舍去）， 即，故B正确； 由AB可知，，所以，故， 因为，所以， 由正弦定理，，即， 解得，所以，故C错误； 由可知，， 设边的中线长为，则， 所以，故D正确. 5．（2026·山东青岛·一模）（多选）记的内角所对边分别为，点为的中点，，，延长到点，使点为线段的中点，则（    ） A． B．周长的取值范围为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】已知等式由正弦定理和三角恒等变换化简，求角判断选项A；由余弦定理和基本不等式得，进而得出判断选项B；由，利用向量的数量积和三角恒等变换化简得，为锐角三角形，有，结合正弦函数的性质求取值范围判断选项C；设，由余弦定理，利用辅助角公式和正弦函数的性质求最小值判断选项D. 【详解】对于A，已知，由正弦定理得， 即，得， 则有，得， 又由于，所以，故， 而，所以，选项A正确； 对于B，在中，由余弦定理，得， 所以，，所以，即，当且仅当时取等号， 由于， 所以的周长的取值范围为，故选项B正确； 对于C，在中，由正弦定理得， ，， 由AC的中点为M，有， ， △ABC为锐角三角形，则，得， 当，有，所以， 有，故的最大值为，选项C错误； 对于D，设，所以，在中由余弦定理， ， ，， 故当，即时， 取最小值，所以的最小值为，故D选项正确. 故选：ABD. 6．（2026·重庆·一模）在中，为边上一点，．当面积最小时，__________． 【答案】 【分析】先将的面积拆分为和的面积之和，分别表示出两个小三角形的面积，利用正弦定理表示出两个三角形的面积，对面积的表达式利用三角函数的相关公式化简，再借助三角函数的性质求最值，进而得到此时的. 【详解】的面积，由内角和得：， 对和分别用正弦定理，结合得： ， 又，因此：， 展开化简得： ， 代入整理得： 最小等价于二次函数（）最大， 开口向下的二次函数顶点在，即， 因此. 7．（2026·山东青岛·一模）记内角，，的对边分别为，，，，则的最小值为______ 【答案】/ 【分析】先应用正弦定理及两角和正弦公式计算得出，再换元应用判别式法结合一元二次不等式计算求解最小值即可. 【详解】因为，而， 由正弦定理得， 所以. 又因为， 设，，所以. 又，所以， 所以，即， 设，所以，即有解， 所以，解得. 若，则与中至少有一个为负数，这与三角形中最多只有一个钝角矛盾，故. 即有，所以，故的最小值为. 8．（2025高三·全国·专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求； (2)若的面积为，内角的角平分线交边于，，求的长； (3)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再求出，即可得解； （2）使用“拆面积法”，即，由此求解即可； （3）由题意，两边平方得，结合余弦定理可求出，再根据数量积的几何意义即可得. 【详解】（1）由及正弦边角关系，得， 因为，即， 则有 ， 由，因此， 则， 由，得，解得， 又，所以； （2） 由，得，，则， 又， 因为内角的角平分线交边于，所以， ∴， ∴； （3）在中，由余弦定理，得， 由边上的中线，又因为， 两边平方得， 则，即， 解得， 令边的中点分别为，由点为的外接圆圆心， 得，， ， ， 所以. 9．（25-26高三下·重庆·开学考试）已知的内角的对边分别为，且，. (1)求c及C； (2)求周长的最大值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由余弦定理的边角关系，将化角为边求，再由正弦定理及求得，即可得； （2）由余弦定理、基本不等式有，进而可得周长的最大值. 【详解】（1）由，则， 所以， 由，而，即， 所以，而，故； （2）由（1）知，则，当且仅当时取等号， 所以，即时取等号， 所以周长的最大值为. 10．（2025高三上·新疆省直辖县级单位·专题练习）记的内角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题可先根据向量数量积的定义将展开，再结合正弦定理进行化简，进而求出. （2）本题可根据正弦定理将用角表示，再结合三角形内角和为以及锐角三角形的条件，求出周长的范围即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，由正弦定理得：， 所以，又因为，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，所以，即. （2）由正弦定理得，所以， 所以， 又， 得， 因为为锐角三角形，即， 所以，， 即，， 则，所以的周长的取值范围为. 11．（25-26高三上·江西·月考）已知平面四边形如图所示，其中，，. (1)若，，求的面积； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由余弦定理可求； (2)利用正弦定理及几何关系，将表示为某个角度的关系，分析角度的取值范围，得到结果. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得： ，所以, 所以或，因为，所以 所以. 即的面积为. （2）设， 在中，，所以， 由正弦定理：，即， 所以， 在中，,, 由正弦定理，所以， 所以， 所以，化简得， 所以， 因为，所以 ， 在中， , 所以，即， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，所以，所以， 所以的取值范围为，即. 所以的取值范围为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 解三角形（复习讲义） 1、掌握余弦定理，能够利用余弦定理解决有关问题. 2、掌握余弦定理，能够利用余弦定理解决有关问题. 3、利用余弦定理、正弦定理解决生产实践中有关距离的测量问题. 4、能运用正弦定理、余弦定理解决测量角度的实际问题. 5、能运用正弦定理、余弦定理解决相关力学问题. 知识点1　余弦定理 语言 表述 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍． 符号 表示 a2＝b2＋c2－2bc cos A； b2＝a2＋c2－2ac cos B； c2＝a2＋b2－2ab cos C． 推论 cos A＝； cos B＝； cos C＝． 作用 实现三角形边与角的互化 知识点2　正弦定理 语言 表述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 符号 表示 ＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) 变形 (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝ 作用 实现三角形边与角的互化 知识点3　三角形的面积公式 (1)S△ABC＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高)． (2)S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． (3)（r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径 ） (4)，其中 知识点4　实际问题中的有关术语 名称 定义 图示 仰角与 俯角 在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角 方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图，B点的方位角为α 方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°．如图，∠ABC为北偏东60°或东偏北30° 题型一 利用余弦定理解三角形 1．（25-26高一下·全国·课后作业）设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．2或4 B．3 C．5 D． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，已知，，，则（   ） A． B．2 C． D． 3．（25-26高一下·广东·月考）在中，若，，，则（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，若，，，则____________． 题型二 余弦定理边角互化的应用 1．（25-26高二上·河北张家口·开学考试）在中，满足，则（    ） A． B．或 C． D．或 2．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 3．（24-25高三上·海南海口·月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·福建泉州·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则__________ 题型三 利用正弦定理解三角 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，若，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·贵州黔南·期末）在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（    ） A． B． C． D．或 3．（2026·广东深圳·一模）在中，已知，，，则______. 4．（25-26高一下·全国·课后作业）已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，，求a，b和B． 题型四 正弦定理边角互化的应用 1．（2026·湖北武汉·模拟预测）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26高三上·陕西商洛·期末）设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知则A=（   ） A． B． C． D． 3．（2026·贵州·模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·安徽合肥·一模）在中，角的对边分别是，若，则__________． 题型五 判断三角形解的个数 1．（25-26高一下·全国·课后作业）已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则此三角形有（   ） A．两解 B．一解 C．无解 D．无穷多解 2．（25-26高三上·江苏盐城·月考）（多选）在中，角、、所对的边分别为、、，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的长可以是（   ） A．1 B． C． D．4 3．（25-26高一下·全国·单元测试）（多选）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中错误的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，无解 D．，，，有一解 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，符合上述条件的有________个． 题型六 三角形面积公式的应用 1．（25-26高三下·安徽·月考）在中，内角的对边分别为，若，则的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（25-26高三下·河南·开学考试）记的内角的对边分别为，已知，则的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山西大同·一模）已知内角A，B，C所对边分别为a，b，c，该三角形外接圆半径为，面积为.若，，则______. 4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在平面四边形ABCD中，，，，，，则的面积是______. 题型七 三角形形状判断 1．（24-25高一下·上海宝山·月考）下列是有关的几个命题： ①若，则是锐角三角形． ②若，则是等腰三角形； ③若，则是等腰三角形； ④若，则是直角三角形，其中所有正确命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（辽宁大连育明高中、丹东二中、本溪高中四校联考2026届高三下学期教学质量调研数学试题）（多选）已知的内角的对边分别为，则能判定一定是等腰三角形的为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 4．（25-26高一下·全国·单元测试）（多选）下列关于的结论中，正确的是（   ） A．若，则为钝角三角形 B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，则 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，已知，则的形状为________． 题型八 测量距离、高度与角度问题 1．（2026·贵州黔东南·模拟预测）一艘轮船从A处出发，沿着正东方向行驶到B处，再从B处向北偏西30°方向行驶千米到达C处，此时，C处在A处的东北方向，则A、C两处之间的距离是（   ） A．30千米 B．千米 C．千米 D．千米 2．（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 3．（2026高一·全国·专题练习）如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，则从建筑物的顶端A看建筑物的张角的大小为_____． 4．（24-25高一下·海南海口·月考）如图1，椰子树是海南最具代表性的树木之一，树干笔直无分枝，叶片形似巨大的羽毛伞.如图2，、两处观测点与树干底部点在同一水平面内，树干垂直于水平面，某同学在地面处，测得树干顶端处的仰角为，、两处相距米，，. (1)求观测点到树干底部点的距离的长度； (2)求在树干顶端处观测到、两点的夹角的余弦值. 题型九 三角形中角平分线与中线的应用 1．（25-26高三上·四川巴中·月考）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若为边的中点，，求的面积． 2．（25-26高三上·重庆·期中）如图，记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的值； (2)设边的中点为，若，求的面积. 3．（25-26高三上·湖北·月考）在中，内角的对边分别为，且． (1)求的大小； (2)为边的中点，且，求的长． 4．（25-26高三上·广东·期末）在中，，，分别为角，，的对边，已知，. (1)求角的大小； (2)若为的中点，且，求的面积. 5．（25-26高三上·山西太原·期末）在中，，. (1)求； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，求的角平分线的长. 6．（25-26高三上·湖南·月考）记的内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若的角平分线交边于点，，，求的周长. 7．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且 (1)求角A； (2)若的面积为. ①已知E为BC的中点，且，求中线AE的长； ②求内角A的角平分线AD长的最大值. 题型十 三角形中边长或周长、面积范围的问题 1．（25-26高一下·广西贵港·月考）中，. (1)求A； (2)若，求周长的最大值； (3)若，求面积的最大值. 2．（2025高三上·四川眉山·专题练习）已知的面积记为.内角，，的对边分别为，，，. (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 3．（25-26高三上·山东东营·期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，为边上一点，，的面积为. (1)求； (2)若，，求的最小值. 4．（25-26高二上·新疆克拉玛依·期末）已知的内角所对的边分别为，向量，且． (1)求角； (2)若，求的面积； (3)若，求的取值范围． 5．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 6．（25-26高三上·河南信阳·期末）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 7．（25-26高三上·宁夏·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为的角平分线，且，，求角平分线的长度； (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 8．（2025高三上·广东肇庆·专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求周长的取值范围； (3)若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 题型十一 正余弦定理在几何中的应用 1．（25-26高三上·江西南昌·期中）如图，在平面四边形ABCD中，．    (1)若，求四边形的面积； (2)求四边形面积的最大值． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，，，，将三角形沿翻折得三角形，使得交于，求． 3．（2026·河北沧州·一模）如图，四边形中，已知交于点，．    (1)若，求的值； (2)证明：当时，位于外接圆的内部． 4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，一艘船向正东航行，顺次经过观测点B，M，N，C，船航行到B处，在B处观测灯塔A在船的北偏东的方向上，船航行到C处，在C处观测灯塔在船的北偏西的方向上，已知B，C相距6海里，．    (1)若，求的距离； (2)求面积的最小值． 题型十二 正余弦定理与三角函数性质综合 1．（24-25高一下·天津武清·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且.已知向量，，函数， (1)求角A的大小； (2)在中，，求的取值范围. 2．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，其中. (1)若，求图象的对称中心； (2)记的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)已知为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求的取值范围. 3．（24-25高一下·海南·月考）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)在锐角中，角的对边分别为，若，求周长的取值范围． 4．（2024·北京·三模）已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 基础巩固通关测 1．（18-19高二上·陕西汉中·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（   ） A．5 B． C．4 D．3 2．（2026·福建莆田·二模）记的内角，，的对边分别是，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山西运城·一模）在中，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·安徽滁州·期末）设的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么外接圆的半径为（    ） A．1 B．2 C． D．4 5．（2026·湖南怀化·一模）在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 6．（2026高一·全国·专题练习）圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，某同学为了估算圣·索菲亚教堂的高度，在圣·索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为，则估算圣·索菲亚教堂的高度约为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）某次测量中，点A在点B的北偏东，则点B在点A的（   ） A．北偏西 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏西 8．（25-26高一上·广东深圳·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 9．（24-25高一下·江苏盐城·期中）（多选）在中，角、、所对的边为、、，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．（24-25高二下·贵州毕节·期末）（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 11．（24-25高一下·上海宝山·月考）在中，，则其外接圆的半径为___________． 12．（2025·甘肃·模拟预测）的内角的对边分别为的面积为，且，则边上的中线长为__________． 13．（25-26高一下·全国·单元测试）的三边之比为，则最大角的余弦值为__________，较大锐角的角平分线分三角形的面积比是__________． 14．（25-26高三下·江苏泰州·开学考试）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ． (1)求B； (2)若，的面积为，求的周长． 15．（2026·山东东营·一模）已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 (1)若 求A； (2)若 求的面积. 16．（25-26高二上·贵州遵义·月考）在中，角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若是锐角，且，求的面积. 能力提升进阶练 1．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）在中，内角的对边分别为，，，已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的外接圆半径为，若的面积，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南永州·二模）在中，内角所对的边分别为，且满足，则（   ） A．角为锐角 B．2 C．2 D．的最大值为 4．（2026·四川内江·二模）（多选）已知的面积为，角的对边分别是，，，则（   ） A． B． C． D．边的中线长为 5．（2026·山东青岛·一模）（多选）记的内角所对边分别为，点为的中点，，，延长到点，使点为线段的中点，则（    ） A． B．周长的取值范围为 C．的最大值为 D．的最小值为 6．（2026·重庆·一模）在中，为边上一点，．当面积最小时，__________． 7．（2026·山东青岛·一模）记内角，，的对边分别为，，，，则的最小值为______ 8．（2025高三·全国·专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求； (2)若的面积为，内角的角平分线交边于，，求的长； (3)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 9．（25-26高三下·重庆·开学考试）已知的内角的对边分别为，且，. (1)求c及C； (2)求周长的最大值. 10．（2025高三上·新疆省直辖县级单位·专题练习）记的内角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 11．（25-26高三上·江西·月考）已知平面四边形如图所示，其中，，. (1)若，，求的面积； (2)求的取值范围. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $