专项提升训练12：☆多边形的内角和解决问题（知识点梳理+题型分类训练共28题）-2025-2026学年四年级下册数学苏教版

专项提升训练12：☆ 多边形的内角和解决问题 【知识梳理+题型分类训练】 知识梳理 一、基本公式与推导 1.三角形内角和：任意三角形的内角和都是（ ）°。 2.四边形内角和：通过画一条对角线，可将四边形分成2个三角形，所以四边形的内角和是 （ ）°。 3.多边形内角和公式：如果用 表示多边形的边数，那么多边形的内角和计算公式是（ ）。 4.特殊推导法：从多边形内部任意一点向各顶点连线，将多边形分成 个三角形，则内角和计算公式也可写为 （ ）°（减去中心点的周角）。 二、正多边形与实际应用 5.正多边形每个内角：正多边形所有内角都相等。计算公式为：内角和 （ ）。 6.正六边形内角和：根据公式 （ ）°。 7.剪角问题： 一个正方形剪去一个角后，可能剩下（ ）边形（内角和540°）或（ ）边形（内角和360°），具体取决于剪法。 三、图形拼接与组合 8.蜂巢问题：一个六边形和一个七边形拼接在一起（共用一条边），计算组合图形内角和时，需要减去拼接处的（ ）个平角（即 ）。 9.三角形拼图：用 个三角形拼成一个多边形，如果中间没有空隙，多边形的内角和等于所有三角形内角和减去中间拼接点的（ ）角（360°）。 题型分类训练 【题型1】基础题 1．三角形的内角和是180°，四边形的内角和是多少度？我们可以这样探索：把四边形分为两个三角形（如图），发现四边形的内角和＝∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝（    ）°。用同样的方法可以得出五边形的内角和是（    ）°。（请在图中画出来） 2．笑笑根据三角形的内角和是180°，用下面的方法得到六边形的内角和。 列式计算：180°×6－360°＝720° （1）结合图，想一想，180°×6求的是什么？_________。算式中减去的360°指的是什么？请在图中标出来。 （2）你还有其它方法得出这个六边形的内角和吗？请把你的方法在图中画出来，并写出计算过程。 3．数学课中我们已经了解三角形的内角和是180°，那么四边形的内角和是多少度呢？下面是豆豆研究四边形内角和的方法。 由此我们可以得出四边形的内角和是（    ）°。 你还有别的方法研究四边形的内角和吗？请你在下图中画一画，算一算。 4．下图是街心花园平面图中一个四边形运动场地，你知道它的内角和是多少度吗？结合三角形内角和的研究方法，请你画一画，算一算，写出你的研究过程。 5．求任意一个四边形的内角和是多少度？要求：用准确的数学语言或计算方法，并作图说明。 6．观察，思考，算算。如图，四边形的内角和是多少度？ （1）算式： （2）把你这样计算的理由写出来。 7．我们研究过三角形和四边形的内角和，如下图：。 请你根据已有经验，画一画，算一算，求出下面这个多边形的内角和。 8．在研究“四边形内角和”时，下面是四位同学的学习探究过程。 （1）上面四种方法中，你最喜欢谁的方法？说说你的解题思路。 （2）请用你喜欢的方法探究下面多边形的内角和，先在图中画一画，再算一算。 9．我们知道三角形的内角和等于180°，四边形的内角和等于360°，如果边数为n的多边形，其内角和为（n－2）×180°；反过来，已知多边形的内角和，同样利用内角和公式可求出这个多边形的边数。 （1）求十边形的内角和。 （2）已知一个多边形的内角和是三角形内角和的12倍，求这个多边形的边数。 10．下图是一个正八边形和一个正六边形组成的图形，请你算一算，∠1 的度数是多少度？ （提示：正八边形和正六边形每个内角的度数都分别相等） 11．探索与发现。奇思说：“我已经探索过三角形的内角和是180度，那么其他多边形的内角是多少度呢？” ①观察图，画一画，你能算出四边形、五边形、六边形的内角和吗？ ②如果多边形的边数是n，那么它的内角和是多少度？ ③如果一个多边形的内角和是1800度，那么它是几边形？ 12．一个正方形被剪去一个角，剩下图形的内角和是多少度？请你在下图中先画一画，然后在括号里写出剩下图形的内角和是多少度。（写出两种情况即可） 13．请观察下表，完成以下题目。 图形 …… 内角和 180° （    ）° （    ）° … （1）请在表格中填写四边形和五边形的内角和。 （2）丽丽求六边形的内角和，她把六边形分为6个三角形（如下图），所以她认为六边形的内角和是，对吗？请你说明理由。 14．看图填空或画图。    （1）如图①，如果把五边形分成3个三角形，可以算出它的内角和是（    ）°，请在图①中分一分。 （2）如图②，如果把五边形分成5个三角形，内角和也可以这样算：180°×5－（    ）°＝（    ）°，请在图②中分一分。 【题型2】进阶题 15．风筝至今已2000多年的历史，曾经是传递信息的工具。下面的风筝形象是一个四边形，它左右两个角相等最上面的角是75度，最下面的角是35度，你能计算出它左右两个角是多少度吗？ 16．“山重水复疑无路，柳暗花明又一村。”在解决问题时，如果我们变换个角度进行思考，可能会得到意想不到的结果。下面是两位同学在求四边形的内角和时使用的两种不同的方法。 夏夏：在四边形内任意取一个点，分别连接这个点与四边形的四个顶点，四边形的内角和＝180×4－360＝360（度） 笑笑：把四边形分成两个三角形，四边形的内角和＝180×2＝360（度） 你喜欢哪种方法？请你选择一种你喜欢的方法算出下图多边形的内角和。 17．笑笑将任意一个四边形分成了两个三角形（如图），那么四边形的内角和是多少度？请写下你的想法。 18．正六边形是我国传统形状，象征六合、六顺之意，常被家居配饰使用。如下图，古建筑中经常看到这样正六边形窗户。 （1）用数学的眼光观察，这个六边形窗户的外框共有( ) 条对称轴。 （2）想一想，这个正六边形的内角和是( )°。 19．数学上经常用转化的策略解决问题，比如这学期我们在研究多边形的内角和时，其实就是把未知多边形的内角和转化成了已知图形的内角和，再写出推理或计算的过程。 20．根据三角形的内角和是180°，在四边形或五边形内任意取一点，与四边形或五边形的顶点连接，可以得到4个或5个三角形（如图1、图2），由此可以推出四边形或五边形的内角和。 四边形的内角和＝180°×4—360° 五边形的内角和＝180°×5—360° （1）根据上面的方法，把下图的六边形分一分，并写出六边形内角和的计算过程。 （2）观察上面的算式，你认为多边形的内角和可以怎样计算？ 21．研究六边形内角和时，小瓯通过分割把六边形变成6个三角形（如下图），求出六边形的内角和是180°×6＝1080°。你同意他的想法吗？请用画图或文字等方法尽可能清楚地说明你的理由。 22．小英用下图的方法求五边形的内角和，你觉得可以吗？请用合适的方法表达你的思考过程。 23．如图所示为果果制作的一个十二边形的徽章，它的每个内角的度数相同。 24．正六边形花窗是我国传统建筑的代表之一。 （1）用数学眼光观察，这个正六边形花窗的外框共有（    ）条对称轴。 （2）正六边形的内角和是多少度？请你借助图形先画一画，再计算。 25．蜂巢的秘密。如图是科学课上老师展示的蜂巢图片。小琳发现蜂巢由许多六边形组成，但其中藏着一个特殊的七边形蜂巢。 （1）本学期，我们学习了三角形的相关知识，知道三角形的内角和是（    ）°，利用三角形内角和的知识，我们可以把任意一个四边形分成（    ）个三角形，所以四边形的内角和是（    ）°。 （2）请你利用本学期学习的方法，先在图中画一画，再计算出特殊七边形蜂巢的内角和。 26．图是同学们在解决四边形的内角和问题时所采用的四种不同的方法。 （1）解答方法正确的是（    ）。 （2）请你试着用所学到的方法，求出下面图形的内角和（先在图中画一画，再列式计算）。 27．华小庚学习数学擅长联想，他在《三角形》单元中看到有个规律是“三角形任意两边的和大于第三边”，就猜想“三角形任意两角的和是否也肯定大于第三个角呢？” （1）请你用举例等方法，分析这个猜想是否正确。 （2）你在数学学习中进行过这样的联想、猜想、举例、验证吗？请你选其中一点，举例说一说。 28．（1）小红把△ABC的三个内角沿虚线剪下来（如图1），她将∠1和∠2拼在了一起（如图2），请你在图2中把∠3也拼画上去。 （2）△ABC剪去三个内角后，剩下的图形内角和是几度？请在图1中画出思考的示意图，并在最右边的虚线框内列式计算。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项提升训练12：☆ 多边形的内角和解决问题 【知识梳理+题型分类训练】 知识梳理 一、基本公式与推导 1.三角形内角和：任意三角形的内角和都是（ ）°。 2.四边形内角和：通过画一条对角线，可将四边形分成2个三角形，所以四边形的内角和是 （ ）°。 3.多边形内角和公式：如果用 表示多边形的边数，那么多边形的内角和计算公式是（ ）。 4.特殊推导法：从多边形内部任意一点向各顶点连线，将多边形分成 个三角形，则内角和计算公式也可写为 （ ）°（减去中心点的周角）。 二、正多边形与实际应用 5.正多边形每个内角：正多边形所有内角都相等。计算公式为：内角和 （ ）。 6.正六边形内角和：根据公式 （ ）°。 7.剪角问题： 一个正方形剪去一个角后，可能剩下（ ）边形（内角和540°）或（ ）边形（内角和360°），具体取决于剪法。 三、图形拼接与组合 8.蜂巢问题：一个六边形和一个七边形拼接在一起（共用一条边），计算组合图形内角和时，需要减去拼接处的（ ）个平角（即 ）。 9.三角形拼图：用 个三角形拼成一个多边形，如果中间没有空隙，多边形的内角和等于所有三角形内角和减去中间拼接点的（ ）角（360°）。 参考答案 一、基本公式与推导 1.180 2.360 3. 4.360 二、正多边形与实际应用 5.边数（或 ） 6.720 7.五；四（顺序可互换，对应两种剪法） 三、图形拼接与组合 8.2 9.周 题型分类训练 【题型1】基础题 1．三角形的内角和是180°，四边形的内角和是多少度？我们可以这样探索：把四边形分为两个三角形（如图），发现四边形的内角和＝∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝（    ）°。用同样的方法可以得出五边形的内角和是（    ）°。（请在图中画出来） 【答案】360；540；图见分析 【分析】根据上图可知，∠1＋∠3＋∠6＝180°，∠2＋∠4＋∠5＝180°，所以四边形的内角和＝∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝180°×2＝360°；如下图，五边形可以分成3个三角形，五边形的内角和是180°×3＝540°。 【详解】根据分析可知，四边形的内角和＝∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°。用同样的方法可以得出五边形的内角和是540°。 【点睛】本题主要考查学生对多边形内角知识的掌握和灵活运用。 2．笑笑根据三角形的内角和是180°，用下面的方法得到六边形的内角和。 列式计算：180°×6－360°＝720° （1）结合图，想一想，180°×6求的是什么？_________。算式中减去的360°指的是什么？请在图中标出来。 （2）你还有其它方法得出这个六边形的内角和吗？请把你的方法在图中画出来，并写出计算过程。 【答案】（1）6个三角形的内角和； 如图： （2）如图： 180°×4＝720° 【分析】（1）六边形由中心点引6条辅助线，把六边形分割成6个三角形，每个三角形的内角和是180°，所以180°×6求的是6个三角形的内角和；6个三角形中心角的和是周角，算式中减去的360°指的是6个三角形中心的角的和360°。 （2）把六边形添加3条辅助线，将六边形分割成4个三角形，每个三角形的内角和是180°，由此可知六边形的内角和等于180°×4＝720°。 【详解】（1）由分析可知，180°×6求的是6个三角形的内角和，算式中减去的360°指的是6个三角形中心的角的和360°。 （2）把六边形添加3条辅助线，将六边形分割成4个三角形，每个三角形的内角和是180°， 180°×4＝720° 3．数学课中我们已经了解三角形的内角和是180°，那么四边形的内角和是多少度呢？下面是豆豆研究四边形内角和的方法。 由此我们可以得出四边形的内角和是（    ）°。 你还有别的方法研究四边形的内角和吗？请你在下图中画一画，算一算。 【答案】360；作图见详解； 360° 【分析】由题意得，四边形的四个角剪下来之后组成了一个周角，即这四个角的度数之和为360°。我们还可以将四边形分成两个三角形，每个三角形的内角和为180°，那么两个三角形的内角和就是四边形的内角和。据此解答。 【详解】 180°×2＝360° 故四边形的内角和为360°。 4．下图是街心花园平面图中一个四边形运动场地，你知道它的内角和是多少度吗？结合三角形内角和的研究方法，请你画一画，算一算，写出你的研究过程。 【答案】360度 【分析】连接四边形的1条对角线，可把四边形分成两个三角形；根据三角形的内角和定理，三角形内角和是180°，所以任意四边形的内角和180°×2＝360°。 【详解】如图： 因为三角形内角和180°，所以任意四边形的内角和180°×2＝360°。 答：四边形的内角和是360度。 【点睛】先把四边形分成2个三角形，再根据三角形的内角和定理解答。 5．求任意一个四边形的内角和是多少度？要求：用准确的数学语言或计算方法，并作图说明。 【答案】见详解 【分析】第一种方法：取任意一个顶点向对角连接一条对角线，分成2个三角形。 第二种方法：取四边形里面任意一点，连接四个顶点，分成4个三角形。 第三种方法：取四个边上的任意一点，连接不相邻的四边形2个顶点，分割成3个三角形。 【详解】方法一：180°×2＝360°，所以任意四边形内角和是360°。 如图： （作图不唯一） 方法二：180°×4＝720°，720°－360°＝360°，所以任意四边形内角和是360°。 如图： 方法三：3×180°＝540°，540°－180°＝360°，所以任意四边形内角和是360°。 如图： （作图不唯一） 【点睛】本题主要考查利用三角形内角和的知识解答四边形的内角和。 6．观察，思考，算算。如图，四边形的内角和是多少度？ （1）算式： （2）把你这样计算的理由写出来。 【答案】360° （1）（4－2）×180°＝360° （2）从四边形的一个顶点出发，与其它顶点相连，可将四边形分成2个三角形，1个三角形的内角和是180°，则2个三角形的内角和就是2个180°，2×180°＝360°，也就是说四边形的内角和是360°。 【分析】（1）多边形的内角和＝（多边形的边数－2）×180°，依此列式并计算； （2）从多边形的一个顶点出发，与其它顶点相连，组成的三角形的个数＝多边形的边－2，计算四边形的内角和，可将四边形分成2个三角形，则四边形的内角和等于2个三角形的内角和，1个三角形的内角和是180°，依此解答。 【详解】（1）算式： （4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 四边形的内角和是360°。 （2）我这样计算的理由：从四边形的一个顶点出发，与其它顶点相连，可将四边形分成2个三角形（如下图所示），1个三角形的内角和是180°，则2个三角形的内角和就是2个180°，2×180°＝360°，也就是说四边形的内角和是360°。 【点睛】熟练掌握多边形的内角和的计算方法是解答此题的关键。 7．我们研究过三角形和四边形的内角和，如下图：。 请你根据已有经验，画一画，算一算，求出下面这个多边形的内角和。 【答案】图见详解过程；720° 【分析】通过画线可将正六边形分割成4个三角形，根据一个三角形的内角和为180°，所以正六边形的内角和为180°×4，据此解答即可。 【详解】如图所示： 180°×4＝720° 所以这个多边形的内角和是720°。 【点睛】本题主要考查多边形的内角和，关键利用转化思想，把多边形转化为三角形进行计算。 8．在研究“四边形内角和”时，下面是四位同学的学习探究过程。 （1）上面四种方法中，你最喜欢谁的方法？说说你的解题思路。 （2）请用你喜欢的方法探究下面多边形的内角和，先在图中画一画，再算一算。 【答案】（1）林林的；思路见解析 （2） 540° 【分析】（1）根据自己的喜好，选出一个自己喜欢的方式，并说出解题思路即可。 （2）根据自己的喜好，先根据自己的方法画出图形，看看能分出几个三角形，每个三角形内角和都是180°，再列式计算即可。 【详解】（1）林林的，她把四边形分成了两个三角形，每个三角形的内角和都是180°，四边形是两个三角形组成则180°×2就是四边形的内角和360°。（答案不唯一） （2） 3×180°＝540° 答：此多边形内角和是540°。（答案不唯一） 【点睛】此题考查了根据三角形内角和求多边形的内角和的过程和方法。 9．我们知道三角形的内角和等于180°，四边形的内角和等于360°，如果边数为n的多边形，其内角和为（n－2）×180°；反过来，已知多边形的内角和，同样利用内角和公式可求出这个多边形的边数。 （1）求十边形的内角和。 （2）已知一个多边形的内角和是三角形内角和的12倍，求这个多边形的边数。 【答案】（1）1440° （2）14 【分析】（1）根据多边形的内角和公式，十边形的内角和为（10－2）×180°，计算出结果即可。 （2）多边形的内角和是三角形内角和的12倍，这个多边形的内角和是12×180°，这个多边形的边数为（12＋2）条。 【详解】（1）（10－2）×180° ＝8×180° ＝1440° 答：十边形的内角和是1440°。 （2）12＋2＝14（条） 答：这个多边形有14条边。 【点睛】熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键。 10．下图是一个正八边形和一个正六边形组成的图形，请你算一算，∠1 的度数是多少度？ （提示：正八边形和正六边形每个内角的度数都分别相等） 【答案】105° 【分析】八边形能被分成6个三角形，1个三角形的内角和是180°，6乘180°可以求出八边形的内角和，再用内角和除以8即可求出八边形一个内角的度数，一个六边形能被分成4个三角形，再用同样的方法求出六边形一个内角的度数，∠1与一个八边形的内角、一个六边形的内角组成的角是1个周角，360°减八边形的1个内角，再减一个六边形的内角，即可求出∠1的度数。 【详解】（8－2）×180° ＝6×180° ＝1080° 1080°÷8＝135° （6－2）×180° ＝4×180° ＝720° 720°÷6＝120° 360°－120°－135° ＝240°－135° ＝105° ∠1＝105° 【点睛】1周角＝360°，多边形的内角和＝（多边形的边数－2）×180°，据此求多边形内角和。 11．探索与发现。奇思说：“我已经探索过三角形的内角和是180度，那么其他多边形的内角是多少度呢？” ①观察图，画一画，你能算出四边形、五边形、六边形的内角和吗？ ②如果多边形的边数是n，那么它的内角和是多少度？ ③如果一个多边形的内角和是1800度，那么它是几边形？ 【答案】①图见详解；360°；540°；720°； ②（n－2）×180°； ③十二边形 【分析】（1）把四边形、五边形、六边形分成几个三角形，计算其内角和即可。 （2）根据三、四、五、六边形的内角和，总结多边形内角和公式。 （3）根据多边形内角和定理计算即可。 【详解】①如图： 我能算出四边形、五边形、六边形的内角和。 2×180°＝360° 3×180°＝540° （6－2）×180° ＝4×180° ＝720° ②如果多边形的边数是n，那么它的内角和是（n－2）×180°。 ③（n－2）×180°＝1800° 解：（n－2）×180°÷180°＝1800°÷180° n－2＝10 n－2＋2＝10＋2 n＝12 答：它是十二边形。 【点睛】本题主要考查多边形内角和的推算。 12．一个正方形被剪去一个角，剩下图形的内角和是多少度？请你在下图中先画一画，然后在括号里写出剩下图形的内角和是多少度。（写出两种情况即可） 【答案】画一画见详解；540；360 【分析】多边形的内角和＝（n－2）×180°，n为多边形边的条数；根据剩余图形边的条数，代入多边形的内角和公式中计算即可解答。 【详解】（5－2）×180° ＝3×180° ＝540° （4－2）×180° ＝2×180° ＝360° （答案不唯一） 【点睛】本题主要考查学生对多边形内角和知识的掌握。 13．请观察下表，完成以下题目。 图形 …… 内角和 180° （    ）° （    ）° … （1）请在表格中填写四边形和五边形的内角和。 （2）丽丽求六边形的内角和，她把六边形分为6个三角形（如下图），所以她认为六边形的内角和是，对吗？请你说明理由。 【答案】（1）360；540； （2）不对；因为丽丽计算六边形的内角和度数时，多算了中心6个角的度数，也就是多算了360°，即六边形的内角和应该是720°。 【分析】（1）根据图示可知，四边形可分成2个三角形，一个三角形的内角和是180°，因此四边形的内角和等于2个180°；五边形可分成3个三角形，因此五边形的内角和等于3个180°；依此解答。 （2）根据图示可知，丽丽计算六边形的内角和度数时，多算了中心6个角的度数，中间6个角的度数之和为360°，因此最后需要用1080°减360°，依此解答。 【详解】（1）180°×2＝360° 180°×3＝540° 图形 …… 内角和 180° 360° 540° … （2）不对；因为丽丽计算六边形的内角和度数时，多算了中心6个角的度数，也就是多算了360°，即六边形的内角和应该是720°。 正确的计算方法是： 180°×6－360° ＝1080°－360° ＝720° 由此可知，六边形的内角和应该是720°。 【点睛】熟练掌握多边形内角和的计算方法，是解答此题的关键。 14．看图填空或画图。    （1）如图①，如果把五边形分成3个三角形，可以算出它的内角和是（    ）°，请在图①中分一分。 （2）如图②，如果把五边形分成5个三角形，内角和也可以这样算：180°×5－（    ）°＝（    ）°，请在图②中分一分。 【答案】（1）540；图见详解 （2）360；540；图见详解 【分析】从多边形的一个顶点出发，向与它不相邻的顶点画虚线段，看多边形分成了几个三角形，三角形的内角和是180°，用分成的三角形个数乘180°即是多边形的内角和。或者从多边形内一点向它的两个顶点画需线段，看多边形分成了几个三角形，三角形的内角和是180°，用分成的三角形个数乘180°再减360°即是多边形的内角和。 【详解】（1）    180°×3＝540° 如果把五边形分成3个三角形，可以算出它的内角和是（540）° （2）    180°×5－360° ＝900°－360° ＝540° 如果把五边形分成5个三角形，内角和也可以这样算：180°×5－（360）°＝（540） 【点睛】边形的内角和公式是（n－2）×180°，n表示多边形的边数。 【题型2】进阶题 15．风筝至今已2000多年的历史，曾经是传递信息的工具。下面的风筝形象是一个四边形，它左右两个角相等最上面的角是75度，最下面的角是35度，你能计算出它左右两个角是多少度吗？ 【答案】125度 【分析】四边形内角和360度，四边形内角和－最上面的角的度数－最下面的角的度数＝左右两个角的度数和，再除以2即可，据此列式解答。 【详解】（360－75－35）÷2 ＝250÷2 ＝125（度） 答：它左右两个角是125度。 16．“山重水复疑无路，柳暗花明又一村。”在解决问题时，如果我们变换个角度进行思考，可能会得到意想不到的结果。下面是两位同学在求四边形的内角和时使用的两种不同的方法。 夏夏：在四边形内任意取一个点，分别连接这个点与四边形的四个顶点，四边形的内角和＝180×4－360＝360（度） 笑笑：把四边形分成两个三角形，四边形的内角和＝180×2＝360（度） 你喜欢哪种方法？请你选择一种你喜欢的方法算出下图多边形的内角和。 【答案】见详解 【分析】求多边形内角和的思路是把多边形分割成多个三角形，每个三角形的内角和都是180度，分出多少个三角形就有多少个180度。 但是要注意如果在分割过程中出现了新的角，要把新的角的度数减掉，如夏夏的做法中，中间部分出现了四个新的角，这四个角组成了一个周角，所以夏夏减掉了360度。 【详解】我喜欢笑笑的方法。先把多边形分割成三个三角形，如图： 内角和：180×3＝540（度） 答：这个多边形的内角和是540度。 17．笑笑将任意一个四边形分成了两个三角形（如图），那么四边形的内角和是多少度？请写下你的想法。 【答案】360°；想法见详解 【分析】看图可知四边形分成了两个三角形，根据三角形内角和是180°用一个三角形内角和乘2，即可求出么四边形的内角和。据此解答即可。 【详解】180°×2＝360° 答：两个三角形的内角和就是四边形的内角和，四边形的内角和是360°。 18．正六边形是我国传统形状，象征六合、六顺之意，常被家居配饰使用。如下图，古建筑中经常看到这样正六边形窗户。 （1）用数学的眼光观察，这个六边形窗户的外框共有( ) 条对称轴。 （2）想一想，这个正六边形的内角和是( )°。 【答案】 6 720 【分析】（1）这个六边形窗户的外框是轴对称图形，找出它的对称轴，要使对称轴左右两边的图形完全相同。可分别过这个六边形窗户的外框的两个相对的顶点，或过这个六边形窗户的外框的两个相对的边的中点，画出它的对称轴； （2）一个三角形的内角和为180°，正六边形可被分成4个三角形，用180°×4，即可得到这个正六边形的内角和是多少度。 【详解】（1）过这个六边形窗户的外框的两个相对的顶点，可画出它的对称轴，这样的对称轴有3条；过这个六边形窗户的外框的两个相对的边的中点，可画出它的对称轴，这样的对称轴有3条。 因此这个六边形窗户的外框共有6条对称轴。 （2）180°×4＝720° 因此这个正六边形的内角和是720°。 19．数学上经常用转化的策略解决问题，比如这学期我们在研究多边形的内角和时，其实就是把未知多边形的内角和转化成了已知图形的内角和，再写出推理或计算的过程。 【答案】画图见详解；1080°；推理和计算过程见详解 【分析】把多边形分割成几个三角形，根据三角形的内角和是180度来计算即可。 【详解】如下图所示，把多边形分成6个三角形。 因为三角形的内角和是180°，所以： 即多边形的内角和是1080°。 答：多边形的内角和是1080°。 20．根据三角形的内角和是180°，在四边形或五边形内任意取一点，与四边形或五边形的顶点连接，可以得到4个或5个三角形（如图1、图2），由此可以推出四边形或五边形的内角和。 四边形的内角和＝180°×4—360° 五边形的内角和＝180°×5—360° （1）根据上面的方法，把下图的六边形分一分，并写出六边形内角和的计算过程。 （2）观察上面的算式，你认为多边形的内角和可以怎样计算？ 【答案】（1）画图见详解；720° （2）见详解 【分析】 （1）如图：，可以将六边形分割成6个三角形，已知三角形的内角和为180°，用6乘180°，再减去360°，即可求出六边形的内角和。 （2）四边形的内角和＝180°×4—360°，五边形的内角和＝180°×5—360°，六边形的内角和＝180°×6—360°，那么n边形的内角和＝180°×n—360°，据此解答即可。 【详解】（1）如图： 180°×6—360° ＝1080°－360° ＝720° 答：六边形内角和为720°。 （2）四边形的内角和＝180°×4—360° 五边形的内角和＝180°×5—360° 六边形的内角和＝180°×6—360° 所以计算多边形的内角和时，用180°乘多边形的边长的数目，再减去一个360°，即可求出。即n边形的内角和＝180°×n—360° 21．研究六边形内角和时，小瓯通过分割把六边形变成6个三角形（如下图），求出六边形的内角和是180°×6＝1080°。你同意他的想法吗？请用画图或文字等方法尽可能清楚地说明你的理由。 【答案】不同意；理由见详解 【分析】求多边形的内角和，可以看这个多边形可以分成几个三角形，三角形的内角和为180°，直接用180°乘可以分成三角形的个数即可算出多边形的内角和。由题意得，小瓯把六边形变成6个三角形。这样分割时把中间的周角也分给了6个三角形，这个周角原本不是六边形的内角，所以最后算出来的结果会比正确的结果多一个周角的度数。 【详解】答：不同意小瓯的方法。因为这样分割把中间6个角的度数和也算进去了，也就是多算了一个周角的度数，正确的度数应该等于1080°减去360°。 22．小英用下图的方法求五边形的内角和，你觉得可以吗？请用合适的方法表达你的思考过程。 【答案】可以； 思考过程见详解 【分析】三角形的内角和是180°。如图，这个五边形被分成5个三角形，分完后中间增加了一个周角；则，五边形的内角和加上一个周角的度数就等于五个三角形的内角和，且周角是360°。所以用180°乘5减去周角的度数，求出差就是五边形的内角和。 【详解】根据分析，小英的方法可以求五边形的内角和。用五个三角形的内角和减去一个周角的度数，求出差就是五边形的内角和。可以列算式为： 180°×5－360° ＝900°－360° ＝540° 答：五边形的内角和是540°。 23．如图所示为果果制作的一个十二边形的徽章，它的每个内角的度数相同。 【答案】150° 【分析】根据题意，明确多边形的内角和是：（n－2）×180°，先计算出12边形的内角和是多少，再除以12，就是每个内角的度数；列式计算即可。 【详解】根据分析可知： （12－2）×180°÷12 ＝10×180°÷12 ＝1800°÷12 ＝150° 答：每个内角的度数是150°。 24．正六边形花窗是我国传统建筑的代表之一。 （1）用数学眼光观察，这个正六边形花窗的外框共有（    ）条对称轴。 （2）正六边形的内角和是多少度？请你借助图形先画一画，再计算。 【答案】（1）6 （2）720度 【分析】（1）这个六边形窗户的外框是轴对称图形，可分别过这个六边形窗户的外框的两个相对的顶点和过这个六边形窗户的外框的两个相对的边的中点，画出它的对称轴即可； （2）一个三角形的内角和为180°，正六边形可被分成4个三角形，用180°×4，即可得到这个正六边形的内角和是多少度，据此借助图形先画一画，再计算。 【详解】（1）过这个六边形窗户的外框的两个相对的顶点，可画出它的对称轴，这样的对称轴有3条；过这个六边形窗户的外框的两个相对的边的中点，可画出它的对称轴，这样的对称轴有3条。因此这个六边形窗户的外框共有6条对称轴。 （2） 把六边形添加3条辅助线，将六边形分割成4个三角形，每个三角形的内角和是180°，由此可知六边形的内角和等于180°×4＝720°。 答：正六边形的内角和是720度。 25．蜂巢的秘密。如图是科学课上老师展示的蜂巢图片。小琳发现蜂巢由许多六边形组成，但其中藏着一个特殊的七边形蜂巢。 （1）本学期，我们学习了三角形的相关知识，知道三角形的内角和是（    ）°，利用三角形内角和的知识，我们可以把任意一个四边形分成（    ）个三角形，所以四边形的内角和是（    ）°。 （2）请你利用本学期学习的方法，先在图中画一画，再计算出特殊七边形蜂巢的内角和。 【答案】（1）180；2；360； （2）画图见详解；900° 【分析】（1）三角形的内角和是180°，任何一个四边形都能被分成2个三角形，则四边形的内角和是2个180°，依此解答。 （2）从一个顶点出发，此图能被分成几个三角形，则它的内角和就是几个180°，依此画图并计算。 【详解】（1）180°×2＝360° 本学期，我们学习了三角形的相关知识，知道三角形的内角和是（180）°，利用三角形内角和的知识，我们可以把任意一个四边形分成（2）个三角形，所以四边形的内角和是（360）°。 （2）画图如下： 180°×5＝900° 答：七边形蜂巢的内角和是900°。 26．图是同学们在解决四边形的内角和问题时所采用的四种不同的方法。 （1）解答方法正确的是（    ）。 （2）请你试着用所学到的方法，求出下面图形的内角和（先在图中画一画，再列式计算）。 【答案】（1）①②③ （2）图见详解；540° 【分析】三角形内角和是180°； （1）①把四边形四个角剪下来拼成一个周角，方法正确； ②连接四边形不相邻的两个顶点，把四边形分割成两个三角形，这时四边形内角和就等于两个三角形的内角总和，方法正确； ③把一个四边形分割成四个三角形，这样四个三角形的内角和比一个四边形的内角和度数多出一个周角的度数，用四个三角形内角和减去一个周角度数就是一个四边形的内角和度数，方法正确； ④把四边形分割成三个三角形，此时四边形内角和等于三个三角形内角和减去一个平角，列式错误。 （2）连接五边形不相邻的三个顶点，把五边形分割成三个三角形，这时五边形内角和就等于三个三角形的内角总和，列式计算即可。 【详解】（1）①把四边形四个角剪下来拼成一个周角，方法正确； ②把四边形分割成两个三角形，两个三角形的内角和等于四边形内角和，方法正确； ③把四边形分割成四个三角形，四个三角形内角和减去一个周角度数就是一个四边形的内角和度数，方法正确； ④把四边形分割成三个三角形，四边形内角和等于三个三角形内角和减去一个平角，列式错误。 解答方法正确的是①②③。 （2） 180°×3＝540° 答：内角和为540°。 27．华小庚学习数学擅长联想，他在《三角形》单元中看到有个规律是“三角形任意两边的和大于第三边”，就猜想“三角形任意两角的和是否也肯定大于第三个角呢？” （1）请你用举例等方法，分析这个猜想是否正确。 （2）你在数学学习中进行过这样的联想、猜想、举例、验证吗？请你选其中一点，举例说一说。 【答案】（1）不正确；理由见详解 （2）见详解 【分析】（1）三角形按角来分，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。由题意得，可以用直角三角形的三个内角来验证说法“三角形任意两角的和肯定大于第三个角”是否正确。 （2）在学习多边形的内角和时，四边形可以分成2个三角形，它的内角和为：2×180°＝360°，据此猜想n边形的内角和为（n－2）×180°。然后通过举例来验证该假设是否成立。 【详解】（1）在一个直角三角形中，三个角的度数分别为90°，30°和60°。 30°＋60°＝90°，90°＝90°，即两个角的度数之和等于第三个角。 答：三角形任意两角的和不一定大于第三个角，即华小庚的猜想不正确。 （2）猜想：n边形的内角和为（n－2）×180°。 举例如下： 五边形可以分成3个三角形，5－2＝3，它的内角和为：3×180°＝540°。符合猜想。 六边形可以分成4个三角形，6－2＝4，它的内角和为：4×180°＝720°。符合猜想。 七边形可以分成5个三角形，7－2＝5，它的内角和为：5×180°＝900°。符合猜想。 综上所述，猜想“n边形的内角和为（n－2）×180°”正确。（答案不唯一） 28．（1）小红把△ABC的三个内角沿虚线剪下来（如图1），她将∠1和∠2拼在了一起（如图2），请你在图2中把∠3也拼画上去。 （2）△ABC剪去三个内角后，剩下的图形内角和是几度？请在图1中画出思考的示意图，并在最右边的虚线框内列式计算。 【答案】（1）画图见详解 （2）画图见详解；720度 【分析】（1）将∠3的顶点与∠2的顶点重合，并将∠3的一条边与∠2的外面一条边重合，则∠3的另一条边与∠1的一条边成一条直线，可知三角形的三个内角和是180°。据此画图。 （2）从图中可以看出，△ABC剪去三个内角后，剩下的图形是六边形；分别连接六边形的一个顶点与相对的顶点，则把六边形分成了4个三角形，六边形的内角和就是4个三角形内角的总和，每个三角形的内角和是180°，所以，六边形的内角和等于4个180°的和；据此画图并解答。 【详解】（1）根据分析，画图如下： （2）根据分析，画图如下： 180°×4＝720° 答：剩下的图形内角和是720度。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $