专题四 综合与实践-【一战成名新中考】2026河北中考数学·二轮复习·专项分层提升练

专题四 综合与实践 [2025.23;2024.23] 类型①操作实践类[2025.23；2024.23] 1.一域成名原创【情境】图①的正方形ABCD通过裁剪拼接可以得到图②所示的钻石型五边形，数据 如图所示.（说明：纸片拼接不重叠、无缝隙、无剩余） C 图① 图② 图③ 图④ 第1题图 【操作】如图③，嘉嘉将正方形ABCD沿虚线EF对折，再沿AF,DF裁剪后按照图④所示进行拼接 根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： (1)求线段GF的长； (2)求点M到直线BC的距离； 【探究】淇淇说：将图①所示纸片沿一条直线（裁剪线为线段PQ)裁剪出一部分，再将剪出的部分剪 成两块，还可以拼成如图⑤的铅笔头型五边形， (3)请你按照淇淇的说法设计一种方案：在备用图中正方形ABCD的BC边上找一点P(可以借助刻度 尺或圆规)，画出裁剪线PQ的位置，并直接写出BQ的长 B 第1题图⑤ 备用图 64 专项分层提升练·河北数学 一战成名新中考 2.[2025河北23题11分]综合与实践 【情境】要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图①），需找到合适的切割线 【模型】已知矩形ABCD(数据如图②所示).作一条直线MN,使MN与BC所夹的锐角为45°，且将矩形 ABCD分成周长相等的两部分. 【操作】嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题， 4 图① 图② 第2题图 如图③，嘉嘉的思路如下： 如图④，淇淇的方法如下： ①连接AC,BD交于点O; ①在边BC上截取BG=AB,连接AG; ②过点O作EF⊥BC,分别交BC,AD于点E,F; ②作线段GC的垂直平分线1，交BC于点M; ③在边AD上截取AN=GM,作直线MN E 第2题图③ 第2题图④ 【探究】根据以上描述，解决下列问题 (1)图②中，矩形ABCD的周长为 (2)在图③的基础上，用尺规作图作出直线MN(作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法)； (3)根据淇淇的作图过程，请说明图④中的直线MN符合要求； 【拓展】操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题， (4)如图⑤，若直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，分别交边AD,BC于点P,Q,过点B作 BHLPO于点H,连接CH. ①多解法)当∠PQC=45时，求tan∠BCH的值； ②当∠BCH最大时，直接写出CH的长. P H 第2题图⑤ 专项分层提升练·河北数学 65 类型2)学科融合类 3.[2025扬州]材料的疏水性 扬州宝应是荷藕之乡.“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内 部，这说明莲叶具有较强的疏水性.疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质， →空气（气相） 气一液界线 水滴（液相） 固一液界线 →材料（固相） 图① 图② 图③ 第3题图 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述.材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过 球心的纵截面如图①所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或，点）所作的气-液界线的切线 与固-液界线的夹角，图①中的∠PMN就是水滴的一个接触角， (1)请用无刻度的直尺和圆规作出图②中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕 迹，写出必要的文字说明) (2)材料的硫水性随着接触角的变大而 (选填“变强”“不变”“变弱”)； 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC(BC⊥AC),求出∠BAC的度数，进而求 出接触角∠CAD的度数（如图③）， (3)请探索图③中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说明理由； 【创新思考】 (4)材料的疏水性除了用接触角以及图③中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你 提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化 66 专项分层提升练·河北数学 一战成名新中考 类型3项目式学习 4.[2025山西]项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏 墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底。从正上方看，外 栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形.综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展 项目学习活动，形成了如下活动报告. 项目主题 景物的测量与计算 活动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 图①为该景点俯视图的示意图，点A,D是正八边形中一组平行边的中点，BC为圆 的直径，图中点A,B,C,D在同一条直线上 图②为测量方案示意图，直径BC所在水平直线与外栏墙分别交于点E,F,外栏墙 AE与DF均与水平地面垂直，且AE=DF.BE,CF均表示步道的宽，BE=CE.图中各 点都在同一竖直平面内 外栏墙 D 外栏墙 外栏墙 方案 步 地面 地面 说明 道Y 内栏墙 道 C 活动 D(FR 危险动 A(E) F步道 内 内为 步道E 过程 俯视图的示意图 测量方案示意图 图① 图② 第4题图 数据 在点A处测得点B和点C的俯角分别为∠DAB=37°，∠DAC=8.5°，AD=26米.图 测量 中墙的厚度均忽略不计 计算 … 交流展示 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径BC的长（结果精确到1米.参考数据：si8.5°≈0.15， cos8.5°≈0.99，tan8.5°≈0.15，sin37°≈0.60，c0s37°≈0.80，tan37°≈0.75). 专项分层提升练·河北数学 67 类型④设计探究类 5.综合与实践 【主题】用竹棒搭建鲁班桥 【背景】鲁班桥是一种自承式结构桥梁，依靠桥梁自身的结构间的力来维持稳固，是我国古代劳动人民 智慧的结晶 【素材】宽为3cm的长方体竹棒、底面圆直径为2cm的圆柱竹棒各若干、尺子、小刀等. 【实践操作】 步骤1：如图①，长方体竹棒上下共刻出3个半径为1cm的半圆凹槽，圆心分别为0,02,03，其中01 是竹棒中点，02,03到竹棒两端的距离均为2cm; 步骤2：用两个长方体竹棒夹住一个圆柱竹棒，其侧面示意图如图①，以此类推重复拼搭即可搭建出如 图②的鲁班桥 【实践探索】 (1)步骤2图①中，3个长方体竹棒搭建，A,B为竹棒与地面的交点，若竹棒长22cm,跨度AB为32 cm,则凹槽圆心O到AB的距离为多少？ (2)将鲁班桥首尾相连绕成环，图③为其侧面示意图，形状为两个完全相同的正方形，求需要准备的长 方体竹棒的长 图① 图② 图③ 第5题图 68 专项分层提升练·河北数学 一战成名新中考 类型⑤)调查统计类 6.[2025遂宁]DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智 能崭新的春天.为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动 下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题， 模具设计水平调查报告 调查 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 主题 调查 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发 目的 展应用意识 调查 调查 某校学生模具设计成绩 抽样调查 对象 方式 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如 下四组：A:60≤x<70,B:70≤x<80,C:80≤x<90,D:90≤x≤100. 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为：80,81,82,82,83,84,84,84,85,85,86,86,86,87,87,88,88,89,89,89 数据 模具设计成绩的频数分布直方图模具设计成绩的扇形统计图 收集 人数（频数） 25 D A 20 与表示 20 20% 15 B 10 10 C 30% 0^ ABCD成绩/分 第6题图 根据以上信息解决下列问题： (1)本次共抽取了 名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是 分，在扇形统 数据 计图中，C组对应圆心角的度数为 分析 (2)请补全频数分布直方图； 与应用 (3)请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； (4)学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选择两名同学作经验交流， 请用画树状图或列表的方法求出所选的两名同学恰为甲和丙的概率， 专项分层提升练·河北数学 69 类型⑥数学建模类 7.[2025山西]综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线.我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理 设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm,起 跳点与落地点的距离为160cm 数学建模：如图①，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N,对称轴为直线1，仿青蛙机 器人在水平地面上的起跳点为O,落地点为M.以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在 水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系 y/cm 0 公 Ox/cm B 青蛙的运动路线仿青蛙机器人 图① 图② 第7题图 (1)请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变 (2)如图①，若仿青蛙机器人从点0正上方的点P处起跳，落地点为Q,点P的坐标为(0,75)，点Q在 x轴的正半轴上.求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长； (3)实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于 3cm,才能安全通过如图②，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD,其中∠ABC= ∠BCD=90°，AB=57cm,BC=40cm,CD=48cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起 跳，发现不能安全通过该障碍物.若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起 跳，则刚好安全通过该障碍物.请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面 与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内)· 70 专项分层提升练·河北数学(4)n=4.【解法提示】如解图，连接AB,并画出图象L1,: 图象L的AB段与图象L,的AB段关于线段AB中点(3， 4)成中心对称，.n=4. yt 第9题解图 10.解：(1).抛物线y=-x+bx+c经过点A(0,3),B(6,3), 顶点为P (c=3, .-36+66+c=3, 保化 ∴.y=-x2+6x+3=-(x-3)2+12, ∴.P(3,12): (2)L,不能经过点D,理由如下： :点D在L,(第一象限)上，到x轴的距离为 23 23. 23 小当y=时，4=+6+3， 解得或： 11 ，123、 ,1123 抛物线)=a(x-3)2+d(a<0)经过点C(弓，2)，对称轴 为直线x=3, L经过点c分2和号2》. L,不能经过点D: (3)①.A(0,3),P(3,12) E,P重合，E(3,12), :点M的横坐标是点E横坐标的一半，点M在线段 AE上， 数号5. 将M(号月)，C(分2)代人L解析式中。 得 5-(g-3gad. 解得a=: ②k=6-√I5.【解法提示】直线AE:y=kx+n(k>0)交L 于点E,A(0,3),n=3,直线AE的解析式为y=kx+ 3.y=a(-3)P+4(<0)经过点c(分，2》2-5+ 参考答案与重难题 一战成名新中考 dd=2-25 y=a(x-3)2+2-25。 ax-6ax+ 11 11 2,联立y=a2-6ax+ 2消去y得ar--6m y=x+3, -1=0:点M为宜线与L的唯一-公 共点，.4=(k+6a)2-4×a×( a-1)=00,M(a+ 4 2a 6g+k+3),即n6a+h,6ak+ -+3) 2a 2a’2a 解法1：，：点M的横坐标是点E横坐标的一半，.E 6@+,6a+E+3),将点E的坐标代入y=-+6x+3,心 a 6ak+k +3=-(6a+h) +6×60++3②，联立①②得 a a=-1, 或-l, 当k=6+√15时，唯一公共点 (k=6-√/15(k=6+√15 不在第一象限，不符合题意，k=6-√5】 解法2：联立 =+3易得E(6-k,6k-2+3),.M (L -66k-+3).则6-k_6a+,得a=-1,将a=-1代人 2,2 22a ①中得k=6±√5，同解法1得k=6-√5. 专题四综合与实践 1.解：(1)由题意得△ABF≌△FMA, ∠BAF=∠MFA,AG=GF, 设GF=x,则AG=x,BG=AB-AG=8-x, 在Rt△GBF中，GB+BFP=GF2, 1 1 易知BF=2BC=2AB=4, 即(8-x)2+4=x2,解得x=5,GF=5; (2)如解图①，过点M作MH⊥CB,交CB的延长线于 点H, 由题意得△GBF∽△MHF,∴P GB FG 由(1)知，FG=5,GB=3,FM=AB=8. 品解得 5 :点M到直线BC的距离为5： 24 (3)裁剪线PQ如解图②所示，BQ的长为4或45. 图① 图② 第1题解图 2.解：(1)10；【解法提示】小：四边形ABCD是矩形，AB=1,AD =4,∴.矩形ABCD的周长为2(AB+CD)=2×(1+4)=10. 解析·河北数学 43 (2)如解图①，直线MN即为所求：【解法提示】以点E为 圆心，E0长为半径画弧，交BC于点M,延长MO交AD于 点N,EF⊥BC,.∠BEF=90°，EM=EO,.∠OME= 45°，且过矩形对角线交点的直线均能把矩形周长平分， 故MN即为所求 N ME 第2题解图① (3)四边形ABCD是矩形， .∴.∠B=90°，AD∥BC,AB=CD,·BG=AB,∴.∠AGB=45° :AN=MG,.四边形AGMN是平行四边形 ∴.MN∥AG,.∠NMG=∠AGB=45°， 直线l是GC的垂直平分线，GM=CM=AN, BM=BC-CM,DN=AD-AN, ∴.BM=DN,.∴.AN+AB+BM=CM+CD+DN, .∴.MN把矩形ABCD分成了周长相等的两部分， ∴直线MW符合要求： (4)①解法1：如解图②，过点H作HG⊥BC于点G,连接 AC交PO于点O,过点P作PK⊥BC于点K,过点O作OT ⊥BC于点T, 0 G 第2题解图② :四边形ABCD是矩形，且直线PO将矩形ABCD分成周 长相等的两部分，则，点O是矩形ABCD的两条对角线的 交点， .AP=CO.PD=BO.AB=DC=PK=1. BT=CT=2 RC=2, :∠PQC=45°，.△PQK是等腰直角三角形， PK=QK=1,.PQ=√PK+Q=√P+下=√2， ·四边形ABCD是矩形，·.AD∥BC. .∴.∠APQ=∠CQP=45°， ∠A0P=∠C0Q. 在△AOP和△C00中，了 ∠AP0=∠CQ0 AP=CO, .△AOP≌△COQ(AAS), P0=00=2 15 ÷C0=C7+QT=2+2=2, B0=BC-C0=4今-3，∠B0H=∠P0C=45@ BH⊥PQ,∴.∠BHQ=90°， ∴.△BQ是等腰直角三角形， 1.33 HG=6Q=2B0=2×24 44 参考答案与重难 5313 cG=C0+G0=2+44' 3 ∴.tan∠BCH= HG 4 3 CG13=13 4 解法2思路提示：延长PQ交AB的延长线于点R,延长 QC到S,使CS=QC,连接RS,易得BR=号，BS=BC+CS 13 3 mBCH=m人9R-立 ②CH=2√2.【解法提示】如解图③，连接BD交PQ于点 O,·PQ把矩形ABCD分成了周长相等的两部分，.点O 为BD和PQ的中点，BH L PQ,点H在以BO为直径 的⊙L上，当CH与⊙L相切时，∠BCH最大，：AB=1,AD 4,BD=+4e7,B0=)BD=)H BL=0L=√7 ,过点L作L71BC,∠B7=90,:四边 形ABCD是矩形，.∠BCD=90°，.TL∥CD,则△BLT∽ √17 △BDC,. BL LT BT 4 LT BT BD CD BC· =1=4··工=48 CT=BC-BT=4-1=3.CL=TL+CT=c 是⊙L的切线，.∠CH=90°，.CH=√CL-HL= 451)=6=8=25 V16-（ W1616 P H 第2题解图③ 3.解：(1)如解图①，①圆弧上取一点C,交界面与圆弧的交 点为M,N,连接MC,NC; ②分别作MC,NC的中垂线，交于点0，则点0为圆弧的 圆心； ③连接OM,过点M作PM⊥OM,则PM为圆O的切线，故 ∠PMN即为所求： (2)变强： 图① 图② 第3题解图 (3)∠CAD=2∠BAC,理由如下： 如解图②，连接0A,则0A=0B, 题解析·河北数学 .∴.∠ABC=∠OAB ·AD为⊙O的切线，.OA⊥AD. ∴.∠OAB+∠BAD=90° .·BC⊥AC..∠ABC+∠BAC=90°， ·∠ABC=∠OAB,∴.∠BAD=∠BAC, .∠CAD=∠BAD+∠BAC=2∠BAC: (4):水滴弧的长度为1=测 1801 7180, “可以根据。的大小进行判断，越大，水滴越趋近于球 形，疏水性越强（答案不唯一）. 4.解：由题意得EF=AD=26米，AD∥EF, ∴.∠ABE=∠DAB=37°，∠ACE=∠DAC=8.5° 设BE=CF=x米，则CE=EF-CF=(26-x)米，BC=EF-CF -BE=(26-2x)米， 在Rt△ABE中，LAEB=90°，ian∠ABE=g BE .AE=BE·tan∠ABE=x·tan37°， 在Rt△ACE中，∠AEC=90,anLACE= CE' .AE=CE·tan∠ACE=(26-x)·tan8.5°， x·tan37°=(26-x）·tan8.5°， 解得x≈13 BC=26-2x13 3 17（米）， 答：内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米. 5.解：(1)如解图，作O,M⊥AB于点M 由题意得，0，A=01B=22-2=20(cm),AB=32cm, .O,M LAB, 六AM=BM=2AB=16cm,∠AM0,=90, .0,M=√J0,A2-AMr=√202-16=12(cm) 答：凹槽圆心O,到AB的距离为12cm; D 第5题解图 (2)如解图，作O,N⊥CE于点N, 由题意得，01C=0,E,∠C0,E=90° .△C0,E是等腰直角三角形，∠0，CE=45°， :O,N⊥CE,长方体竹棒的宽为3cm, .∠0，NC=90°，0，N=3cm, ∴.△O,NC是等腰直角三角形 ..CN=0,N=3 cm,0 C=20N=32 cm, 易知四边形O,C0,D是平行四边形， 长方体竹棒的宽度相等， .口01C02D每条边上的高相等， 易得口0，C0,D每条边相等，.0，C=0,C=32cm, 由中点性质可知长方体竹棒的长为2×(0，C+CN+2)=2× (3√2+3+2)=(6√2+10)cm. 答：需要准备长方体竹棒的长为(62+10)cm 参考答案与重难是 一战成名新中考 6.解：(1)50,83.5,144°： (2)补全频数分布直方图如解图所示：【解法提示】B组的 人数为50×30%=15（人）. 人数（频数） 25 20 15 15 10 10 5 0A入 ABCD成绩/分 第6题解图 (3)1200x20+10 720 50 .估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的 人数为720： (4)列表如下： 甲 乙 两 入 甲 (甲，乙)（甲，丙） (甲，丁) (乙，甲) (乙，丙) (乙，丁) 空 (丙，甲) (丙，乙) (丙，丁) (丁，甲)（丁，乙）（丁，丙） 由表可知共有12种等可能的结果，其中所选的两名同学 恰为甲和丙的结果有（甲，丙），（丙，甲），共2种 所选的两名同学恰为甲和丙的概率为号=。怎 7.解：(1)顶点N的坐标为(80,60)， 设抛物线的函数表达式为y=a(x-80)2+60, 3 图象过原点，a(0-80)+60=0,解得a=320: 3 该抛物线的函数表达式为y=320x80)°+60： (2):抛物线的形状不变，点P(0,75), 故第二次的函数图象可以看作由(1)的抛物线向上平移 75个单位长度得到的. 3 ·新的抛物线的表达式为y=320(x-80)°+60+75= 320x-80)2+135, 3 当y=0时，320x-80)+135=0, 解得x,=200,x,=-40(舍去)， 故起跳，点P与落地，点Q的水平距离0Q的长为200cm; (3)该平台的高度为6cm.【解法提示】设该平台的高度 3 为kcm,结合(1)，设新的函数表达式为y=320x-80) +60+k,AB=57cm,BC=40cm,CD=48cm,仿青蛙机器 人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，：仿青蛙机器人 刚好安全通过障碍物，.仿青蛙机器人经过CD正上方3 cm处，即抛物线经过点(80+40,48+3)，即(120,51)，把 （120,51)代入y=0-80)户+60+6，得51=动120- 3 80)2+60+h,解得k=6,故该平台的高度为6cm 解析·河北数学 45