专题二 曲线型(图)几何综合题-【一战成名新中考】2026河北中考数学·二轮复习·专项分层提升练

.·45>35,.不符合题意 图② 图③ 第10题解图 折法二：如解图③，将所得的四边形纸片MWPQ展开得 长方形，连接MP, 在Rt△MPQ中，MP2=MQ+PQ 在Rt△MNP中，MP2=MN2+PN2」 MN=45 cm,MO=35 cm,PO=30 cm, .PW=√/35+302-45=10cm, △PHN∽△NGM,MCNc PN HN PH 两个三角形的相似比为贷-招号 设HN=2acm,则GM=9acm,PH=(9a-30)cm,NG= (35-2a）cm, 9a-302 35-2a9 解得a=4, 经检验，a=4是分式方程的根，且符合实际， .MG=36 cm, 36>35,.不符合题意 综上所述，嘉嘉的想法不正确， 11.(1)解：C; (2)证明：由题意得△ABC≌△AB'C', .∠C'BA=∠CBA,B'C'=BC, 在△B'BC和△BB'C中， (B'B=BB', ∠C'B'B=∠CBB', B'C'=BC. ∴.△B'BC'≌△BB'C(SAS): (3)解：如解图，延长AC'交BC M 于点D, B .∠C=90°，∠B=30°， ∴.∠B'AC=∠BAC=60°， :AC怡好平分∠B'AC, ∠CAD= 2∠B'AC'=30°， 第11题解图 .∠CDA=60° 在Rt△ACD中，AC=3, CD=√3，AD=25, 六5aw=x3x5-33 1 2 ∴.CD=23-3,在Rt△PC'D中，∠PDC'=60° ∴.PC'=√3(23-3)=6-3√3， 5aew=7×(25-3)x(6-35)=215-18. 33215-18)=18-95: S阴影=Sacw-Sacn=2-（ 2 参考答案与重难题解 一战成名新中考 (4)解：45或135°或225°或315°， 专题二曲线型（圆）几何综合题 1.解：(1)∠CPB的度数为55°：【解法提示】如解图①，连接 0C,.:点C处的刻度为70°，.∠A0C=70°，.∠B0C= 1 110°，∴.∠CPB= 2 ∠B0C=55° 0 图① 图② 第1题解图 (2)如解图②，连接P0并延长，交⊙0于点C, :弧BP所对应的圆心角为60°，.∠P0B=60°， ∴.∠B0C=120° .PQ在量角器上扫过部分为扇形BOC, 1 :OB=2AB=5 em, 120m×5225 S形B0e 360 "3 n em'; PQ在量角器上扫过部分的面积为5 (3)如解图③，连接P0,过点P作Q"Q'1P0, Q"Q'1P0,0P为⊙0的半径， .Q"0'为⊙0的切线 ∠Q'P0=∠Q"P0=90°. .:∠POB=60°，0B=0P .△OPB为等边三角形，.∠OPB=60°， ·.∠BP0'=∠0PB+∠0P0'=60+90°=150°， 情况一：当PQ旋转至PO'位置时，射线PQ旋转的角度 为150°， :射线PQ从与PB重合的位置开始，以每秒5°的速度绕 点P逆时针旋转， .射线P0旋转的时间为150°÷5=30（秒）： 情况二：当PQ旋转至PO"位置时.射线PQ转过的角度为 150°+180°=330°， :射线PQ从与PB重合的位置开始，以每秒5°的速度绕 点P逆时针旋转， 射线PQ旋转的时间为330÷5=66（秒）. 综上所述，当射线PQ旋转至与⊙0相切时，射线PQ旋转 的时间为30秒或66秒， 第1题解图③ 析·河北数学 37 2.解：(1).在△ABC中，AB=BC=6,∠ABC=120° ∴.∠A=30°， .BC为⊙O的直径，.∠BDC=90°，即BD⊥AC. ∴.EF=AD=CD=AB·cosA=3W3, .∠G=90°，∠GEF=30°，∴.EG=EF·cos∠GEF= (2)当点D落在EG上时，如解图，连接OF 由(1)易知∠C=∠GBF=30°，∠CBG=60°，.∠CBF =30°， .·OB=OF,..∠CBF=∠BFO=30° .:∠BFG=90°-30°=60°， .∠GFO=∠BFO+∠BFG=90°.FG⊥OF, :0F为⊙0的半径，直线FG与⊙0相切； (E)B 第2题解图 (3)点0到G距离的最大值为2+ 4a. 3.解：(1)30°，4：【解法提示】如解图①，当点P与点N重合 时，OA=0P=AP=4,.△A0P为等边三角形，.∠OAP ∠AP0=60°，在△ABP中，∠APB=90°，∠B=30°， ∠QAP=60°，.点Q与，点0重合，∠MPB=30°，又∠B =30°，.QB=QP=0N=4. 0(0) M(P)E O 图① 图② 第3题解图 (2)如解图②，连接OA,当点P与，点M重合时，OB最长 过点A作AE⊥MN于点E,过点B作BF⊥NM,交NM的 延长线于点F, .·AP=0P=OA=4, ∴.△AP0为等边三角形，∴.∠APE=60°， .·AE⊥MN,∴.在Rt△AEP中，PE=2,AE=2√3 在Rt△ABP中，∠ABP=30°，∠APB=90°，.BP=√5PA, 易得△△MEE =√3， ∴.BF=√3PE=25,PF=√3AE=6. ∴.0F=0P+PF=4+6=10, 在Rt△0BF中，0B=√BF+0F=√(23)2+102= √112=4W7, 即0B的最大值为4√7； (3)如解图③，过，点A作AC⊥MN于点C,过，点B作BD⊥ MW于点D, .·AC⊥MN,BD⊥MN, ∴.∠BDP=∠ACP=90°，.∠CAP+∠APC=90° 又.·∠DPB+∠APC=∠APB=90°， .∴.∠CAP=∠DPB,.△APC∽△PBD 六BD那=m∠ABp= CP AP 3Cp= 3BD=1, 38 参考答案与重对 ∴在Rt△ACP中，AC=√AP2-CP=√I5」 易得AB=2AP=8,:∠BDQ=∠ACQ,∠BQD=∠AQC, BD BO ·.△BD0△ACQ,ACA01 即5-B0解得B0=25-2: √158-B01 B 第3题解图③ 263 2 (0≤x<4): (4)d= x-25(4<x≤8). (2 4.解：(1)4，√6⑤；【解法提示】如解图①，当AP1⊥BC时， AP,=4,此时AP有最小值为4；当点P与点C重合时， AP,=√6⑤，此时AP有最大值为√65. A P C(P,) 图① 图② 第4题解图 (2)①如解图②，连接CE,可得CD=CE. .∠CED=∠CDE=54°， ∴.∠DCE=180°-2×54°=72°， 多饭示的长为%-2m ②如解图③，过点C作CM LAD于点M,以C为圆心，CM 长为半径作⊙C,此时⊙C与AD相切于点M, .·∠CMD=90°，∠D=54°，CD=AB=5, 4 CM=DC·in54=5x5=4, .BP=BC-PC=BC-CM=10-4=6. 如解图④，过点C作CN LAB交BA的延长线于点N,以C为 圆心，CW长为半径作⊙C,此时⊙C与直线AB相切于点N, ∠CWB=90°，∠B=54°， CN=Bcn54=10x号-8， ..BP'=BC-P'C=BC-CN=10-8=2. 综上所述，BP的长为6或2： B 图③ 图④ 第4题解图 ③0<r<4或5<r<10. 5.解：发现：4V3;【解法提示】0M=0N=4,∠M0N=120°， 题解析·河北数学 如解图①所示，过点O作OH⊥MN于点H,则∠MOH= ∠N0H=60°，.MH=WH=OM·sin60°=23，.MWN= 45,0H=0M·cos60°=2∴.S△0ww= MN·OH=43. 2 图① 图② 第5题解图 思考：2π；【解法提示】如解图②所示，P,Q分别为AD, AB与圆缺0切点，连接0Q,0P,.∠0QA=∠0PA=90°， :四边形ABCD是正方形，∠A=90°，.∠Q0P=90°， :0=90mX4=2m: 180 探究：(1)如解图③所示，连接OE,过，点O作OF垂直MN 于点F, BM F 第5题解图③ E为AB与圆缺0的切，点，∠OEB=90°， ,·∠B=∠OFB=90°. .四边形OEBF为矩形，.∠EOF=90°， 由发现易得0F=2,0E=4,S△OM=25,FM=25,∠M0F =60°， .SE形OEBr=8, .·∠M0F=60°，.∠E0M=30°. 30m×424m ∴.S电形B0M9 360=3S附影=8-254 (2)不可能：【解法提示】如解图④所示，当OM⊥AB时 ∠0MB=90°，∠B=90°，∠M0N=120°，.∠0NB=60°， 不可能以N为切点。 ①如解图④所示，当点N落在BC边上时，CN最小，作OH ⊥BC于点H.易得BM=OH=2√3，∴.BW=6,∴.CN=4: ②如解图⑤所示，MN=4V5,G为MN的中点，∠ABC= 90°，.BG=MG=23,.点G在以B为圆心，23长为半 径的圆上运动，当B,G,D三，点共线时，DG最短，易得BD =102,DG最小=102-2W3 图④ 图⑤ 第5题解图 6.解：(1).四边形ABCD是矩形， .∴.AD=BC=4,∠C=∠DAB=90°. ·in∠DBC=3 3 5,CD=5 BD. CD'+BC=BD,..CD=3,BD=5. 参考答案与重难题解 一战成名新中考 如解图①，连接AM,:M是BD的中点， 1 .DAB=90°，∴.NQ是⊙0的直径，.·AM是⊙0的弦， 5 .AM≤NQ,.NQ≥2 Q的最小值是 「2； D 0 A Q 图① 图② 第6题解图 (2)如解图②，连接ON,0M,∴.∠OMB=90° 连接AM,过点A作AE⊥BD于点E,过点O作OF⊥AM于 点F, .OM∥AE,.∠OMA=∠MAE, 5w子0AB=宁0.A服A5 5, orL,由()知w=号Pn==号M=子 又.·∠OFM=∠MEA,.△OMF∽△MAE, 5 OM MA OM 2 CFE520/2为 961 45 3 .·tan∠ADB= 4,tan370≈ 4∠ADB≈37， 又.DM=MA,.∠DAM=∠ADB≈37°， ∠M0N≈74，mN的长≈74x125-925 180m×961728 (3) 25 )8<AN<8 7.解：(1)10：【解法提示】在△ABC中，∠BCA=90°，BC= 3 12,sinM=行，4B=20,1C=16,如解图①，当点C落在 DD上时，连接AE,则有0E=0B=OA=10,:∠D0E= 120°，∴.∠A0E=60°，∴.AE=0A=10. B(D) 0 第7题解图① (2).OF⊥AB,∴.∠D0F=90°， 又：∠D0E=120°，∴.∠E0F=30°， 3 .在△ABC中，∠BCA=90°，BC=12,sinA= 5 BC OF 3 AB=20.AC=16.tmA=AC=0A4 .0是AB的中点，∴.OA=10, 15 0 ∴.OF= 2S阴影 75 360 16 析·河北数学 39 (3)当扇形D0E所在圆与边AC相切时，如解图②，设切 点为P,连接OP,则∠OPA=90°， .∠C=90°，∴.OP∥BC, :0是AB的中点，0P=2BC=6, 120m×6 180 =4: D 图② 图③ 第7题解图 当扇形DOE所在圆与边BC相切时，如解图③，设切点为 Q,连接0Q,则∠0QB=90°， .∠C=90°，∴.0Q∥AC, :0是AB的中点00=24C=8, 120m×816m 180 3 综上所述，当扇形DOE所在圆与△ABC的边相切时，DE 的长为4行或' 8.解：(1)AB和CD位置关系为：AB∥CD,理由： 由题意得OA=OC, :点O是线段BD的中点，.OB=OD: 0A=OC. 在△AOB和△COD中 ∠AOB=∠COD OB=OD .∴.△AOB≌△COD(SAS), ∴.∠ABO=∠CD0. .∴.ABCD: （2036,65:【解法提示140=20=6.0=12，在 AC旋转过程中，当OA⊥OB时，△AB0的面积最大，最大 值为2B0.0M=7×6x12=36,0110B.00=0B=12. 0C=0A=6,∴.∠C0D=90°，.CD=√0C2+0D2= √122+62=65. ②.·AB恰好与小半圆相切，OA⊥AB, 40=280=6∠B=30 .OC=OA=6,由(1)知AB∥CD. .OC⊥CD,∠D=∠B=30°. .∠C0D=60°， .CD=√30C=65 1 六Sw=20C·CD=2X×6x65=18W5 S阴影=Sa0w-S期5ue=18w560mx6 185-6m. 360 9.解：发现(1)30：【解法提示】如解图①，连接OM,CM,则 OC=OM=CM,.△OCM为等边三角形，·.∠COM=60°， :∠A0M=90°，∠A0C=30° (2)如解图①，由对称性可知，MC=C0,0D=D0. .C两影=l。+AB=5T+10; 40 参考答案与重难 思考如解图②，连接BM,BD,OD,OD交BM于点E, :AB是半圆O的直径，∠AMB=∠ADB=90°， AM=6,AB=10,.BM=√AB2-AM=√I0-6=8, 由折叠可得，∠MAD=∠CAD,.MD=BD, ∴.OE⊥BM,.BE=ME=4,OE∥AM,∠DEB=90°， .:OA=OB,.OE为△ABM的中位线， 六0B=2AM=3, ∴.DE=0D-0E=2,.BD=V√BE+DE=√4+2=25， :∠ADB=90°.AD=√AB2-BD=√102-(25)=45： M (MC D(N 0 图① 图② 第9题解图 探究折痕MN的取值范围为5√2≤MN≤53. 10.解：【发现】2；【解法提示】小CED由CD折叠得到， :G与⑦的半径相等，即畔径为-2 【探究】平行：【解法提示】如解图①，连接O'E,则O'E⊥ AB,CED的半径为2，.0'E=2,即O'到AB的距离始 终为2，点O的运动路线和直径AB的位置关系是 平行. 图① 图② 第10题解图 【拓展】(1)如解图②，连接0'E,则0'E=2,0'E⊥AB, .E是OB的中点，OB=2, .OERE010-5. 又.：AB是⊙O的直径，∴.∠AMB=90°=∠O'EB, 又∠ABM=∠MBE,△AMB∽△O'EB, .-ABM≥∠ ·0'E0'B' 架得：多5， (2)弦CD的最大值为25，最小值为22. 专题三动态函数图象题 1.解：(1)由题意得B(-1,3), 设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)， s-2 将点A(2,1),B(-1,3)代人，得2+6=解得 31 (-k+b=3. 7 27 、4B所在直线的解析式为)=一了+3 (2)①两人的说法均正确. 题解析·河北数学一战成名新中考 专题二曲线型（圆）几何综合题（必考） 类型①静态圆型问题[2024.25；2018.25] 2.一成名原创已知，如图①，在△ABC中，AB= 1.[2025邯郸育华四模]如图，量角器的直径AB= BC,∠ABC=120°，以BC为直径作⊙0，交AC于 10cm,点A对应0°刻度，点B对应180刻度，AB 点D,连接BD.点E为AB上一动点，点F为⊙O 的中点即量角器的外轮廓所在圆的圆心0，点P 上一点，且EF=AD,以EF为边作Rt△EFG,∠G 为AB右下方⊙O上一点，弧BP所对应的圆心 =90°，∠GEF=30°，且点G,A在EF的同侧. 角为60°，射线PQ从与PB重合的位置开始，以 (1)若AB=6,求EG的长； 每秒5°的速度绕点P逆时针旋转一周，射线PQ (2)当点D落在EG上时，请说明直线FG与⊙O 与⊙0，AB分别相交于点C,D, 的位置关系； (1)当点C处的刻度为70°时，直接写出∠CPB (3)设AB=a,直接写出点O到EG距离的最大 的度数； 值.（用含a的代数式表示） (2)当射线PQ刚好经过点0时，求PQ在量角 G 器上扫过部分的面积； (3)当射线PQ旋转至与⊙0相切时，求射线PQ 旋转的时间。 0 第2题图 备用图 -P 第1题图 备用图 专项分层提升练·河北数学 53 3.成名原创嘉淇用量角器和三角尺做数学探 类型2)动态圆型问题[2019.25；2017.25] 究实验，并以此编制一道数学题： 考法1圆心不动，半径变化 如图，半圆O为量角器，△APB为三角尺，MWN为 4.成成名原创如图①，在口ABCD中，AB=5,BC 半圆O的直径，点P是MW上的一个动点(，点P =10,∠B=54°，点P在边BC上运动（点P可与 不与点O重合)，将△APB绕点P旋转使得点A 4 5,c0s360≈ 4 落在半圆弧上，已知AP=ON=4,∠APB=90° ,点B,C重合).（注：sin54° 5 ∠B=30°，当AB与直径MN相交时，记交点为 Q,PW=x,点B到直线MN的距离为d. B (1)当点P与点N重合时，∠MPB= B QB=; 图① 图② (2)连接OB,求OB的最大值； 第4题图 (3)当d=√3时，求BQ的长度； (1)连接AP,则AP的最小值为，AP的最大 (4)直接写出d关于x的关系式， 值为 (2)如图②，若以点C为圆心，CP长为半径 作⊙C ①当⊙C恰好经过点D时，设⊙C与AD的 B 第3题图 另一个交点为E,求劣弧DE的长； ②当⊙C与口ABCD的边所在的直线相切 时，求BP的长； ③当⊙C与口ABCD只有2个交点时，设⊙C 的半径为r,直接写出r的取值范围. 54 专项分层提升练·河北数学 一战成名新中考 考法2圆在动，半径不变 考法3圆心动，半径变化 5.一成名原创如图①，正方形ABCD内有一图6.一越成名原创如图，在矩形ABCD中，M是对角 形，是由⊙O的优弧和弦MWN组成的封闭图形， 线BD的中点，Q是边AB上一点（不与点A,B重 我们称它为圆缺O,其中正方形ABCD的边长为 合)，过A,Q,M三点作⊙0交AD于点N,BC=4, 10,圆缺0的半径为4，∠M0N=120° sin LDBC=5 发现：S△OMN= 思考：当圆缺O与正方形ABCD的两条边相切 (1)连接NQ,求NQ的最小值： 时，两切点之间的弧长是定值，则这个定值 (2)若⊙0与BD相切于点M,求MN的长；（结 过 ； 果保留π) 探究：(1)当圆缺0在正方形内部自由运动到如 (3)直接写出AN长的取值范围， 图②所示的位置时，求阴影部分（左下角） （参考数据：sim49°= 4,6041°≈3 ,tan37°≈ 3 的面积； (2)当OM与AB垂直时，圆缺0 (填 “有可能”或“不可能”)与正方形的边切于 点N; ①当圆缺O与AB相切于点M时，求点C和 点N之间的最小距离； ②当点M在AB上，点N在BC上(M,N均不 第6题图 备用图 与点B重合)时，设弦MW的中点为G,求线 段DG的最小值 图① 图② 第5题图 D 备用图 专项分层提升练·河北数学 55 类型3)旋转成圆（弧）型问题[2017.23] 8.如图①，点O是线段BD的中点，点A、点C分别 7.一成名原创如图①，在△ABC中，∠BCA= 是线段OB,OD上的点，且OA=OC,使线段AC绕 点O顺时针旋转，以0为圆心，分别以B0,AO 0,BC=12,sinM=,0是AB的中点，D是 为半径作两个半圆，连接AB,CD,如图②. 段OB上一点，以0为旋转中心，将线段OD顺 时针旋转120°，得到扇形D0E. BA O CD 图① 图② 第8题图 图① 图② (1)AB和CD有什么位置关系？请说明理由； 第7题图 (2)设小半圈与m相交于点E,40=20=6 (1)若点C落在DE上，则A,E两点间的距离 ①在AC旋转过程中，SAo最大值为， 为 此时CD的长为 (2)如图②，设DE交AC于点F,OE交AC于点 ②当AB恰好与小半圆相切时，求阴影部分 G,若OF⊥AB于点O,求阴影部分的面积； 的面积 (3)若扇形DOE所在圆与△ABC的边相切时， 求DE的长， 56 专项分层提升练·河北数学 一战成名新中考 类型4④折叠圆（弧）型问题[2014.25] 10.[2025秦皇岛二模]【情境】数学课上，同学们用 9.一成名原创在半径为5的半圆0中，AB是半 圆形纸片探究折叠的性质，如图①，AB是⊙O 圆0的直径，点M是半圆O上一点，沿半圆0的 的直径，AB=4,将纸片沿弦CD折叠，使折叠后 某一条弦所在直线将半圆O进行折叠实践活动. 的CD与AB相切于点E. 发现如图①，当M是半圆弧的中点时，将半圆 【发现】CED所在圆的半径为； O沿弦CD折叠，使点M与圆心O重合， 【探究】为了找到CED所在圆的圆心，同学们讨 连接0C. 论了以下两种方式， (1)∠A0C= (2)求阴影部分的周长； 淇淇说：取弦CE和弦ED的中垂线的交点 即可 思考如图②，若AM=6,将半圆0沿弦AD折 嘉嘉说：不必画两条中垂线，如图②，只需作点 叠，使点M恰好落在直径AB上的点C 处，求AD的长； 0关于弦CD的对称，点O',点0即为所求 淇淇说：这样看来，折叠后，切点E在直径AB 探究如图③，若将半圆O沿弦MN折叠，且折 上运动，可以看成⊙O'在直径AB上滚动： 叠后的圆弧与直径AB相切，请直接写出 折痕MW的取值范围， 嘉嘉说：没错，所以当点E在直径AB上运动 时，点O'的运动路线和直径AB的位置关 系是 【拓展】(1)如图③，若切点E为OB的中点，连 接O'B,交⊙0于点M,连接AM,求弦AM的 图① 图② 长； (2)若切点E落在线段OB上（包括端点），直接 写出弦CD的最大值和最小值. 0 图③ 第9题图 图① 图② 图③ 第10题图 专项分层提升练·河北数学 57