专题一 直线型(三角形、四边形)几何综合题-【一战成名新中考】2026河北中考数学·二轮复习·专项分层提升练

一战成名目 四、压轴解答题分类培优练 ☆河北中考近3年几何（直线型、曲线型）综合题常考设问及解题方法 常考设问 解题一般思考方法 方法1：将所求角度转化到特殊三角形中[2024.22(1)] 求角度 方法2：勾股定理逆定理[2023.26(2)①] 2025.21(1) 方法3：应用三角形内角和、内外角关系[2022.24(1)] 2024.22(1) 2023.26(2)① 方法4：应用圆的知识[2025.21(1)圆周角定理] 方法5：应用三角函数值 求线段长（距离） 方法1：勾股定理[2025.21(2)：2024.22(2)：2024.23：2024.25(2)] 2025.21(2) 方法2：相似[2024.25(3)①：2023.26(2)①：(3)] 2024.22(2); 方法3：解直角三角形[2025.23(4)②：2024.25(3)①：2023.26(2)①：(3)] 2024.23 般需作辅助线将所求的距离转化到直角三角形中 2023.26(2)①(3) 方法1：所求角在直角三角形中可直接代值[2024.22(1)] 求三角函数值 方法2：所求角不在直角三角形中需作辅助线构造直角三角形[2025.23(4)》 2025.23(4)① ①：2024.22(2)] 2024.22(2) 更多辅助线练习见本册“辅助线作法”P23引 方法1：两点之间线段最短 方法2：垂线段最短 求最值 方法3：利用三边关系及共线求最值[2024.25(3)②] 2024.25(3)② 方法4：[隐圆2025.23(4)②] 更多最值方法练习见本册“儿何最值模型P14川 已知距离求其他 分类讨论 2024.26(3)② 更多分类时论练习见本册“分类（情况）讨论”P26] 2023.26(2)② 证明线段相等 全等[2023.26(1)：2022.26(1)] 2023.26(1) 方法总结： 解决河北几何问题，过程中首先考虑全等、相似、解直角三角形等一般解题方法，同时需熟练掌握 数学思想（分类讨论、数形结合、转化）及如何构造辅助线以及一些模型方法的灵活应用 46 专项分层提升练·河北数学 一战成名新中考 专题一直线型（三角形、四边形）几何综合题（必考） 类型①》以全等三角形为核心 2.一成名原创如图，在菱形ABCD中，∠B=60° 1.一就成名原创如图，在口ABCD中，AB=BD=10, 将∠BMC绕点A逆时针方向旋转a(<60)得到 ∠EAF,交菱形ABCD的边BC,CD于点E,F. AD=2√10，点E,F分别在对角线BD,边CD上， (1)当=时，AC平分∠EAF; 且DE=CF,过点F作FG∥AD交AB于点G,连接 (2)如图①，连接EF EF,EG. ①判断AE,AF的数量关系并证明； (1)求证：△DEF≌△BGE; ②若AB=3,求△CEF面积的最大值； (2)过E,F,G三点作⊙0，若FG是直径且点E (3)如图②，连接BD,在(2)②的条件下，在旋转 在FG的左侧， 过程中，∠EAF的两边分别与BD相交于点 ①求∠EGF的度数； M,N,是否存在以BM,MN,ND为边长的直 ②请通过计算比较线段DF和EF长度的 角三角形？若存在，直接写出BM的值：若不 大小 存在，请说明理由， E G 第1题图 备用图 图① 图② 第2题图 专项分层提升练·河北数学 47 类型②以相似三角形为核心[2020.26] 4.一成成名原创如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 3.[2022河北26题改编]如图①，在四边形ABCD 90°，AC=6,BC=8,点P是边AB上一点(，点P不 中，AB∥CD,∠BCD=90°，∠BDC=60°，AB=CD= 与A,B重合)，过点P作PQ1AB于点P,交射线 2,连接BD.将△ABD沿着射线DC的方向平移 AC于点Q. 得到△EFG,继续平移使点G始终在DC边上，当 (1)求点P与点C的最短距离； 点G到达点C后，△EFG立刻绕点C顺时针旋 (2)当△APQ与△ABC的周长比为1：4时，求出 转，如图②，直到边EG与CD边共线时停止 C的长； (1)求证：AD=BC; (3)设AP的长为x,△APQ与△ABC重叠部分图形 (2)从△EFG绕点C旋转开始到最终结束，求边 的面积为S,请用含x的代数式表示S; FG扫过的面积； (4)当直线PQ把△ABC分成的两部分图形中有 (3)如图③，在△EFG绕点C旋转过程中，当CE, 一个是轴对称图形时，直接写出PQ的长 GF分别交线段BD于点P,Q时，设BQ=x ①当DP=4-23时，求∠PCB的度数； ②直接写出DP的长（用含x的式子表示）. 0 C(C) 第4题图 备用图 B(E) 图① 图② C(C) D 图③ 第3题图 48 专项分层提升练·河北数学 一战成名新中考 5.[2020河北26题12分]如图①和图②，在△ABC 类型3》全等和相似综合[2022.26；2021.26] 中，4B=AC,BC=8,mG=子点K在4C边上，点6路如图，∠ABC=60,AB=4,AC-8, 经过点A向线段BC发出一束光，交BC于点F, M,N分别在AB,BC上，且AM=CN=2.点P从点 光束经点F,进行右侧直角反射，落在屏幕DE M出发沿折线MB-BN匀速移动，到达点N时停 (足够长)的点G处（即AF⊥FG),已知BC⊥ 止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持 DE,设BF=x ∠APQ=∠B. (I)求点A到线段BC的距离； (I)当点P在BC上时，求点P与点A的最短 (2)当AF=FG时，求CG的长度； 距离； (3)当CG=√3时，求x的值； (2)若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分 (4)连接AG,直接写出AG的最大值和最小值，并 成上下4：5两部分时，求MP的长； 指出此时x的值. (3)设点P移动的路程为x,当0≤x≤3及3≤ D x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用 含x的式子表示)； (4)在点P处设计并安装一扫描器，按定角 B ∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器 随点P从M到B再到N共用时36秒.若 从=}，请直接写出点人被扫指到的总 第6题图 备用图 时长 M 图① 图② 第5题图 专项分层提升练·河北数学 49 7.一成成名原创如图①，Rt△ABC是一张硬纸片，8.一成成名原创【问题初探】 其中∠C=90°，AC=BC=48,点D是AC上一点， (1)数学活动课上，老师给出如下问题：在口AB DE∥AB,交BC于点E.将△CDE剪下，绕点C逆 CD中，∠BAD和∠ABC的平分线相交于点 时针方向旋转，旋转角为(0°<α<90)，得到 O.求证：点O到AD与BC的距离相等 △CMN(M,N分别是D,E的对应点). ①如图①，嘉嘉同学从∠BAD和∠ABC的平 (1)当a= °时，Rt△ACB的内心在直线 分线相交于点O这个条件出发作出了如下 CM上； 辅助线：过点O作OP⊥AD于点P,OR⊥AB (2)如图②，连接AM,BW,证明：△AMC≌△BNC; 于点R,延长PO交BC于点Q; (3)如图③.连接N,点P在AcC上，C)CM ②如图②，淇淇同学从结论的角度出发作出 了如下辅助线：过点O作OP1AD于点P, =12,连接PM. OQ⊥BC于点Q,延长AO交BC于点H. ①求证：△CPM∽△CMA; 请你选择一位同学的解题思路，写出证明 ②求W+2A4M的最小值； 过程； (4)直接写出AM+5M的最小值 图① 图② 图① 图② 图③ 图④ 第8题图 【深入分析】 B 图③ 备用图 (2)老师在图①的基础上，提出了下面的问题 第7题图 如图③，在口ABCD中，点E是DA延长线上 任意一点，连接EO并延长交直线BC于点 F.求证：OE=OF; 【拓展延伸】 (3)如图④，在□ABCD中，连接AC,AC⊥BC,BC =8,4C=6,点M从点B出发以每秒)个单 位长度的速度向终点A运动，点N从点C出 发以每秒1个单位长度的速度向终点B运 动，运动时间为t秒，当∠CWNM的平分线恰 好经过AC的中点时，求线段MN的长， 50 专项分层提升练·河北数学 一战成名新中考 类型4以操作变化为手段[2023.26；2022. 10.[2025石家庄十八县模拟]“折纸”是同学们经 26;2021.26;2017.25 常做的手工活动. 9.一成名原创图①是正方形纸片ABCD,对角线 【活动一】 AC,BD交于点O,将△ABD剪下后沿AD方向平 如图①，有一张长方形纸片ABCD,AB=30cm, BC=40cm,嘉嘉将纸片进行两次折叠，第1次 移，得到△A'B'D',当A'B与DC重合时停止移 是沿过点B的直线进行折叠，使得点A的对应 动，点A',B,D分别与点A,B,D对应，A'B, 点A'落在纸片的内部，折痕与边AD交于点E, B'D'分别与BD,AC交于点E,F 第2次折叠，在边DC上取一点F,将纸片沿EF 进行折叠，使得点D落在射线EA'上 (1)如图①，在第1次折叠中，若点A'恰好落在 对角线BD上，则AE= (2)用圆规和直尺在图②中作出第2次折叠中 B C(B' 的折痕EF(不写作法，保留作图痕迹，并用 图① 图② 黑色水笔把线条描清楚)，并求出DF的最 大值 C(B' 图③ 备用图 图② 第9题图 (1)在图①中（不再添加字母和辅助线），四边形 是“有一个角是45的平行四边形”； (2)在图①中证明：△BB'E∽△CFB'; 图③ (3)如图②，当A'B'与DC重合后，将△A'BD'绕 第10题图 点C逆时针旋转，旋转角为心， 【活动二】 ①当0°<a<90°时，CA',CD'分别与BD交于 如图③，有一张四边形纸片MWPQ,已知∠MQP 点M,N,请判断BM,MW,DN三条线段之间 =∠MNP=90°，MN=45cm,MQ=35cm,PQ= 的数量关系并证明； 30cm,嘉嘉认为他可以用一张边长为35cm的 ②如图③，当点D'落在直线BD上时，请直接 正方形纸片，经过【活动一】中的两次折叠得到 写出的大小 与四边形纸片MWPQ一模一样的四边形，嘉嘉 的想法对吗？请说明理由 专项分层提升练·河北数学 51 11.成成名原创【探索发现】小颖在电脑上学习用作图软件画图时，作了一个含30°角的Rt△ABC,其中 AC=3,∠C=90°，∠B=30°，Rt△ABC可以绕点A旋转，然后小颖突发奇想，旋转加上轴对称会出现怎 样有趣的数学问题呢？于是，又以经过点A且垂直于水平面的直线MW为对称轴，作Rt△ABC关于 直线MN对称的Rt△AB'C',并将Rt△ABC绕点A逆时针旋转一周观察整个图形的变化，如图所示. M 图① 图② 图③ 第11题图 【问题初探】 (1)△ABC从图①位置开始绕点A逆时针旋转，下列3个图形随着旋转得到的图形顺序正确的是 ( ① ③ A.①②③ B.②3① C.②①3 D.③②① (2)如图②，当B,A,B'三点共线时，连接BC',B'C,求证：△BBC'≌△BB'C; 【问题拓展】 (3)将△ABC旋转到图③位置时，测得AC恰好平分∠B'AC',求阴影图形的面积； (4)在整个旋转过程中，设直线BC和直线B'C'交于点P,当四边形PCAC'为正方形时，直接写出 △ABC旋转的度数. 52 专项分层提升练·河北数学一战成名新中考 .DE=√2EH=√6： (3)如解图②，当∠E0F=150时， EMF的长=150m×2_5m 180=39 如解图③，当∠E0F=150时， E0的长=210m×2.7m 180-3 图② 图③ 综上，当∠E0f=15s0时的长为3或了 第6题解图 四、压轴解答题分类培优练 专题一直线型（三角形、四边形）几何综合题 DP∥BQ…. DE PE 1 L.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形 BE EQ 2 .AB∥CD,AD∥BC,AB=CD. .BE= DF=BE=20 20 3D ∴.∠FDE=∠EBG, .·FG∥AD,AD∥BC,.FG∥BC 0、√10 四边形FGBC是平行四边形，CF=BG, 3 2 .DE=CF,∴.DE=BG DF的长度大于EF的长度 AB=CD.AB=BD. 2.解：(1)30； .CD=BD...DF=BE. (2)①AE=AF. (DE=BG. 证明如下：四边形ABCD为菱形，AB=BC,AB∥DC, 在△DEF和△BGE中， ∠FDE=∠EBG. :∠B=60°，△ABC为等边三角形， DF=BE. .∠BAC=∠EAF=60°，AB=AC, .△DEF≌△BGE(SAS); ∴.∠ACF=∠BAC=60°，.∠B=∠ACF (2)解：如解图， .·∠BAE=∠BAC-∠EAC=60°-∠EAC,∠CAF=∠EAF- ①.·FG是⊙O的直径 ∠EAC=6O°-∠EAC,.∠BAE=∠CAF. .∠GEF=90°， I∠BAE=∠CAF 由(I)得△DEF≌△BGE, :在△ABE和△ACF中， AB=AC. ∴，FE=GE, M N∠B=∠ACF .∠EGF=∠EFG=45°； 第1题解图 .△ABE≌△ACF(ASA),.AE=AF: ②：四边形FGBC是平行四边形，.FG=BC=AD=2√10， ②△ABE≌△ACF,S△AHCr=S△Bs, FE=GE,..FE=GE 又：等边△ABC的边长为3，且S四边影CP=S△c+S△CP, F的长为}x20=。 SAANC=S△AEc+S△ABE, 1 *3、93 3 .S四边形BCP=S△Bc= 4 4， 在Rt△EFG中，.FG=210,∠EGF=∠EFG=45°， 95 .EF=EG=25, Sacr=S回c-Sa4en=4一SaAr, 如解图，过点D作DM⊥AB于点M. .当△AEF的面积最小时，△ECF的面积最大， 在Rt△ADM和Rt△BDM中， ∠EAF=60°，AE=AF,.△AEF为等边三角形， AD-AM2=DB2-BM.BM=AB-AM. .(2√10)2-A=102-(10-AM)2,解得AM=2, AE 4 DM=√AD2-AF=6, 在∠EAF运动过程中，当AE⊥BC时，AE最小，即SA4r最 过点E作EQ⊥AB于点Q,延长QE交CD于点P, 小，Sacr最大， 则PQ=DM=6. ·∠FEP+∠GEQ=∠FEP+∠EFP=90°， 当4E1C时易得A=S-得x(3 4 LGEQ=∠EFP, 273 I∠EFP=∠GEQ, 16 在△PFE和△QEG中， ∠EPF=∠GQE 93 9w327√393 EF=GE. -SAAEF 41616 ÷.△PFE≌△QEG,∴.PE=QG, 在Rt△QEG中，：EG=EQ+QG2, 即△CBF面积的最大值为16 ,93 (25)2=(6-PE)2+PE2, 解得PE=4或PE=2, (3)存在.BM的值为35-3或35-3 2 ·点E在FG的左侧，∴.PE=4舍去，∴.EQ=4 3.(1)证明：·ABCD,AB=CD 参考答案与重难题解析·河北数学 33 四边形ABCD是平行四边形 ∴.AD=BC; 即s子 s18 5 (2)解：由平移得EGAD,EG=AD, ②当18 .四边形ABCD是平行四边形， <10时，如解图②所示，设 .BC∥AD,BC=AD, PQ与BC交于点D ∴.EG∥BC,EG=BC AP CD 5 .'tan∠AQP :当点G与点C重合时，则线段EG与线段BC重合， Po co.co=- 3-6 .∠BCD=90°，∠BDC=60°，AB=CD=2. =CD,解得CD=421 59 第4题解图② 4=5 .∠CBD=90°-∠BDC=30°， .·BD=2CD=4, 33-6 由平移得FG=BD=4, 1 ·:△EFG绕点C顺时针旋转到边EG与CD边共线时停 止，且∠BCD=90°， .旋转角等于90°， ∴.边FG绕，点C旋转90°，边FG扫过的图形是半径为4 即S=-3x+1527,18 8x+2t-2(5<10). 且圆心角为90°的扇形， 18、 .S=90mx4 =4T, 360 综上所述，S 3,,1527,1 .边FG扫过的面积是4π： 8+22( <x<10): (3)解：①当DP=4-23时，BP=BD-DP=4-(4-25)=2w5, BC=√BD-CD=√④-2=23， (4)或8 ∴BP=BC, 5.解：(1)如解图①，过点A作AH⊥BC于点H. :AB=AC,AH⊥BC, ∠PCB=∠CPB=2×(180°-30)=75°， ∴.BH=CH=4,∠B=∠C. ∠PCB的度数是75°； AH 3 ∴.tanB=tanC= ②DP的长是r-12 BH 4' B x-6 ∴.AH=3, 第5题解图① 4.解：(1)如解图①，过，点C作CM⊥AB于点M,CM的长就 .当点P在BC上，PA⊥BC时，点P与点A的最短距 是点P与，点C的最短距离： 离为3： .·在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= (2)如解图①，：∠APQ=∠B, 6,BC=8. ∴.PQ∥BC, AB=√AC+BC=√6+8=10， .△APQ∽△ABC. 1 Sac=ZAC·BC=2AB·CM, ,PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分， C ..CM=AC BC_6x8_24 第4题解图① AB-10-51 SAABC (2)PQ⊥AB AP 又：AB0, ∴.∠APQ=90°=∠ACB, 又∠A=∠A, AP 2 AB3 △APQ△ACB, 铝会翻眼辈子略得0子 :在Rt△ABH中，AB=√A+BF=√32+4F=5, 57 ÷.CQ=AC-AQ=6-2=2 P=A-W92= 4 (3)如解图①，在Rt△ACM中，AM=√AC-CM (3)当0≤x≤3时，点P在MB上移动，如解图②，过，点P 6-=18 -51 作PI⊥CA交CA的延长线于点J, 由(2)可知，△APQ∽△ACB PQ∥BC, AD040.即P98解得P0=子，40= 4 5 AP PQ ∠AQP=∠C, AC CB AB' 6810 AB BC' 分两作情况.①当0c<计，如解图0所示. .2P0 58P0=8 (x+2), 2 tan C=sin AOP=sin C=3 3 S=Sm=2AP PQ=3* 1 34 参考答案与重难题解析·河北数学 一战成名新中考 .在Rt△PJQ中，PJ=PQ·sin∠AQP 24.48 25 x+2)= 2 x+ 25 (4)当x=0时，AC最大，最大值为5，当=5时，AG最 3 小，最小值为2 5 M 7.(1)解：45： H (2)证明：.∠ACB=90°，AC=BC,DE∥AB 第5题解图② 第5题解图③ ∠CDE=∠CAB=LABC=∠CED=45°，.CD=CE, 当3≤x≤9时，如解图③，过点P作PJL直线AC于点J, 由题意得△CDE≌△CMN, ..CD=CM,CE=CN,∠DCE=∠MCN=90°. BP=x-3,BC=8,..PC=11-x, ·.∠ACM+∠MCB=∠BCN+∠MCB,CM=CN. 同理可得PJ=PC·sinC=3 (11-x) 3.33 5+5 .∴∠ACM=∠BCN, 综上所述，点P到直线AC的距离为 CM=CN. 2448 在△AMC与△BNC中 ∠ACM=∠BCN. AC=BC. PI= 25+25(0≤x≤3)， 333 .△AMC≌△BNC(SAS): 5+5(3≤x≤9)： (4)点K被扫描到的总时长为23秒 (3)①证明CP=CM=25CM=24,C=7 6.解：(1)如解图①，过点A作AH⊥BC于点H, CM 24 1 CP CM 1 ∠ABC=60°，AB=4, CA482CM CA2 又.·∠PCM=∠MCA,.△CPM∽△CMA: ∴.AH=AB·sin60°=2√/5」 MP 即点A到线段BC的距离为2W3; ②解：如解图，连接BP,由①得△CPM∽△CMA, AM= (2)如解图①，当AF=FG时， CP CM 1 .'∠AFG=90°，∠AHC=∠BCG=90° CM CA 2 .易得∠AFH=∠FGC, ,△AHF≌△FCG(AAS), .AH=FC=25, 当B,M,P三点共线时，BM+MP取最小值，即BM+MP 1 第6题解图① =BP 由(I)易得BH=2AB=2, 在Rt△PCB中，由勾股定理得BP=√CP+BC= .CG=HF=BC-(BH+FC)=6-23: √12+48=12√17 (3)由题意得点F与点H,点C不重合.如解图①，当点F 在HC上时，2<x<8, ..BM+ 24/的最小值是127： 由题意可得HF=x-2,FC=8-x, ∠AHC=∠BCG=∠AFG=90°， .易得∠AFH=∠FGC,.△AIF∽△FCG, 兴恶器 8-x CG cG=5(-+10x-16)-5, 第7题解图 6 3 x1=5+3,3=5-3; (4)解：AM+4BM的最小值是3√337. 如解图②，当点F在HB上时，0≤x<2, 8.(1)解：选择嘉嘉同学的解题思路： 由题意可得HF=2-x,FC=8-x, 证明：四边形ABCD是平行四边形， ∠AHC=∠BCG=∠AFG=90°， .AD//BC. .易得LAFH=∠FGC, ,OP⊥AD AH HF ÷△AF∽△FCG,FCCG .∴∠0PA=90° ∴.∠0QC=∠0PA=90°，∴.0Q⊥BC 即232- 第6题解图② 又.·AO平分∠BAD,BO平分∠ABC,OR⊥AB, P8-xCG ∴.0P=0R,0Q=0R. CG=5(x-10r+16) .OP=OQ,即点O到AD与BC的距离相等： 3 6 选择淇淇同学的解题思路： x3=5+√15（舍去），x=5-√15： 证明：四边形ABCD是平行四边形， ..AD∥BC、 综上所述，当CG=√3时，x的值为5-√5或5-√3或5 ∴.∠DAO=∠AHB,∠BAD+∠ABC=180° +3: .AO平分∠BAD,BO平分∠ABC, 参考答案与重难题解析·河北数学 35 G∠DA0=∠BA0=之BMAD,LAB0E ∠ABC .∠A'B'B+∠ABC=180°，∠B'FC=∠BOC=90°， 2 ∴.∠A'B'B=∠B'FC=90° .∴∠BOA=180°-（∠BAO+∠AB0)=90°，∠BA0=∠AHB 又：在正方形ABCD中，对角线平分一组对角， .BO⊥AH,BA=BH ·.∠EBB'=∠B'CF=45°， ∴.0A=0H. .△BB'E∽△CFB'; 又.·∠AP0=∠0OH=90°，∠DA0=∠AHB (3)解：①DW+Bf=MN2,证明：如解图，将△CND绕点C .△AOP≌△HOQ(AAS) 逆时针旋转90°，使CD与CB重合，得到△CN'B,连 ∴.OP=OQ,即点O到AD与BC的距离相等：（任选一个 接MN, 进行证明即可) 则△CN'B≌△CND, (2)证明：如解图①，延长A0交BC于点H, .∠CDN=∠CBN', 由(1)得OA=0H. ∠DCN=∠BCN', .AD∥BC CN=CN',BN'=DN. ∴.∠E=∠F,∠EAO=∠FHO. .△OAE≌△OHF(AAS), 又.在正方形ABCD中 ∴.0E=0F: ∠CDN=∠CBM=45°， C(B' .∴.∠CBN'=∠CDN=∠CBM =45°， 第9题解图 ∴.∠MBN'=∠CBN'+∠CBM=90°， VH+ .△MBN'是直角三角形， 图① 图② .在正方形ABCD中，∠BCD=90°， 第8题解图 ∴.∠DCN+∠BCM=∠BCD-∠MCN=90°-45°=45° (3)解：如解图②，延长NM,DA相交于点K,取AC的中点 ∴.∠BCN'+∠BCM=∠MCNW'=45° 0,连接N0,K0.A0=0C=2AC=3 .∠MCW'=∠MCW=45°， CN'=CN 由(1)可得，当N0平分∠CNM,点0到AD,BC的距离相 在△MCN'和△MCN中 ∠MCN'=∠MCN. 等时，易得K0平分∠NK4,∠N0K=90. AC⊥BC,BC=8,AC=6, CM=CM, .AB=10 .△MCWN'≌△MCN(SAS), AD∥BC, ∴.MN'=MN. ∴.∠AM=∠BNM,∠B=∠KAM, 在Rt△MBN'中，由勾股定理得BN2+BM=MN'2, .△AKM∽△BNM, :DN+BM =MN 5 ②30°或150°. 10- 然AM即AK 10.解：【活动一】(1)15cm: BN BM'8-5 (2)如解图①，作∠DEA'的平分线，交CD于点F, .AK=(8-): 由折叠可知，∠AEB=∠A'EB,∠A'EF=∠DEF, t, .∠BEF=90°，.△ABE△DEF, .:∠CAK=∠ACN=∠NOK=90°. 设AE=xcm,DF=ycm,则DE=(40-x)cm, 易得△K40∽△0CN, AB AE 30x (8-t)2 △ABE∽△DEF,DEDF心40-xy1 0c,即人 AK OA 3 -= -,解得t=5或11（舍）， 整理得，y= 30(x-20)+40 1 ·BM= 4,BN=3; 当：=20时，y有最大值9 过点M作MH⊥BC于点H,.∠MHB=∠ACB=90°，∠B =∠B, DF的最大值为 3 cm: △BW一△BAC,易得Mn= 4,BH=5, .NH=5-3=2, MW=√NT+M证=4. 9.(1)解：BB'D'D; 第10题解图① (2)证明：在正方形ABCD中，∠ABC=90°，AC⊥BD 【活动二】嘉嘉的想法不对，理由如下： ∴.∠BOC=∠ABC=90°. 根据题意，可能的折法有以下两种： 由平移性质得，A'B'∥AB,B'DBD, 折法一：如解图②，可得一边长为45cm的长方形， 36 参考答案与重难题解析·河北数学 一战成名新中考 45>35,.不符合题意； (4)解：45°或135°或225°或315°， 专题二曲线型（圆）几何综合题 1.解：(1)∠CPB的度数为55°；【解法提示】如解图①，连接 0C,:点C处的刻度为70°，.∠A0C=70°，∠B0C= 110°，∴.∠CPB= 1LB0C=55° 图③ Q 图② 第10题解图 折法二：如解图③，将所得的四边形纸片MWPQ展开得 长方形，连接MP 在Rt△MPQ中，MP=MQ+PQ 在Rt△MNP中，MP2=MN2+PN2, .MN=45 cm.MO=35 cm,PO=30 cm, .PN=√35+302-45=10cm, 图① 图② △PHN∽△NGM,MCNC PN HN PH 第1题解图 (2)如解图②，连接P0并延长，交⊙0于点C, 小丙个三角形的相比为器-8号。 ,弧BP所对应的圆心角为60°，∴.∠POB=60°， ∴.∠B0C=120° 设HN=2acm,则GM=9acm,PH=(9a-30)cm,NG= .PQ在量角器上扫过部分为扇形BOC, (35-2a）cm, 9a-302 0B=24B=5cm, ·35-2a9 120m×522 解得a=4, .S形B0c 360 37cm2; 经检验，a=4是分式方程的根，且符合实际， .'MG=36 cm, PQ在量角器上扫过部分的面积为5 3 mem? .36>35,.不符合题意： (3)如解图③，连接P0,过点P作QQ'1P0, 综上所述，嘉嘉的想法不正确 Q"Q'1P0,0P为⊙0的半径， 11.(1)解：C; .:Q"Q'为⊙0的切线 (2)证明：由题意得△ABC≌△AB'C', ∠Q'P0=∠Q"P0=90°. .∠CB'A=∠CBA,B'C'=BC. .:∠POB=60°，OB=OP, 在△B'BC'和△BB'C中， .△OPB为等边三角形，.∠OPB=60°， (B'B=BB', ∴.∠BPQ'=∠0PB+∠0PQ'=60°+90°=150°， ∠CB'B=∠CBB' 情况一：当PQ旋转至PQ'位置时，射线P0旋转的角度 B'C'=BC. 为150°， .△B'BC'≌△BB'C(SAS): :射线PQ从与PB重合的位置开始，以每秒5°的速度绕 (3)解：如解图，延长AC'交BC M 点P逆时针旋转， 于点D, B .射线P0旋转的时间为150°÷5=30（秒）： 情况二：当PQ旋转至PO"位置时，射线P0转过的角度为 .∠C=90°，∠B=30°， 150°+180°=330°， .∠B'AC=∠BAC=60°， :射线P0从与PB重合的位置开始，以每秒5°的速度绕 AC恰好平分∠B'AC, 点P逆时针旋转， ∠CAD=1 ∠BAC=30、 第11题解图 .射线P0旋转的时间为330°÷5=66（秒） .∠CDA=60° 综上所述，当射线P0旋转至与⊙0相切时，射线P0旋转 在Rt△ACD中，AC=3, 的时间为30秒或66秒. CD=5,AD=2√5， 六5am3xw万- 1 2， .C'D=2√3-3，在Rt△PCD中，∠PDC'=60° .PC'=5(23-3)=6-35, 5aw=7x(25-3)x(6-35)=215-18. 2 35215-18)=18-95: 0 .S影=SAACD-SAPC=2 2 第1题解图③ 参考答案与重难题解析·河北数学 37