专题四 锐角三角函数实际应用-【一战成名新中考】2026河北中考数学·二轮复习·专项分层提升练

一战成名新中考 专题四 锐角三角函数实际应用 [2024.22] 1某风景管理区，为提高旅游安全性，决定将到达2.[2025凉山州]某型号起重机吊起一货物M在空 景点的步行台阶的倾角由45°改为30°，已知原 中保持静止状态时，如图①，货物M与点0的连 台阶坡面AB长为5m(BC所在地面为水平面)， 线M0恰好平行于地面，BM=3米，∠BOM=18.17°. 调整后的台阶坡面为AD. (1)求直吊臂OB的长； (1)求调整后的台阶坡面会加长多少？ (2)如图②，直吊臂OB与BM的长度保持不变， (2)求调整后的台阶多占多少水平地面？ OB绕点0逆时针旋转，当∠0BM=36时，货 (结果精确到0.1m,参考数据：√2≈1.41，√5≈ 物M上升了多少米？ 1.73) (参考数据：sinl8.17°≈0.31，cos18.17°≈0.95， tanl8.17o≈0.33，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81， tan36°≈0.73，结果精确到1米) 水平线 第1题图 77777777777777777 图① B 36o 水平线)18.172 M 图② 第2题图 专项分层提升练·河北数学 41 3.一成名原创如图①是某风力发电机实物图，图4.一成成名原创综合与实践 ②是它在某一时刻太阳光线下的平面示意图，其 发现生活中的锐角三角函数 中OA,OB,OC表示三个风叶，每个风叶长均为 40米，任意两风叶之间的夹角相等，风力发电机 素材1：如图①是某滑雪场儿童滑雪项 目示意图，从C处乘坐电梯到达A处， 的柱高OD为50√3米，AE,CF为太阳光线，EF 然后沿滑雪道AB滑下，再从B处乘坐 表示三个风叶在太阳光线下的影长.（其中所有 摆渡车返回C处，其中滑雪道AB长为 点、线均在同一平面内，D,E,F在同一条直线 200米，∠B=30°，电梯AC的坡度为4：3 上) (1)当OB/地面DF时，求EF的长； (2)若太阳光线与地面的夹角与(1)相同，则EF 的最大值是 米 C 30B 生活 图① 素材 素材2：如图②是成人滑雪项目的示意 图，电梯顶端A的高度同儿童滑雪项目 一样，滑雪道有两段，前半段AD的坡角 D E F 图① 图② 为30°，后半段DB的坡角为45°，AD BD 第3题图 30°cD 45>B 图② 问题一：求儿童滑雪场中电梯AC的长 度和游客乘坐摆渡车路线BC的长度； 解决 问题二：求成人滑雪场中滑雪道的总 问题 长度. (结果精确到0.1，参考数据：2≈ 1.414,5≈1.732) 42 专项分层提升练·河北数学(2)①：当y=0时，x=1或3， M(1,0),N(3,0),则MN=3-1=2, :y1=x2-4x+c的对称轴为直线x=2, 当WN=4时，xw=22=0,=244 24, M'(0,0),N(4,0), 把N'(4,0)代入y1=x2-4x+c得c=0 同理，当M'N=5时，xw=- 1 9 2,w= 把N(号，0代入万=-4e,得0- 9 -4× 4 2 tc, 解得c=-4 9 9 4≤c≤0： ②c=1±√19. 专题三 三角形的证明与计算 1.解：(1)△ABC兰△DEA..AD=AC. :∠BAC=90°，∠B=30°，∠C=60°， △ACD为等边三角形，.∠DAC=60°， .∠BAD=∠BAC-∠DAC=90°-60°=30°： (2)如解图，当△ADE的内心恰好落在AC上时，设△A 的内心为F, B D C E 第1题解图 :∠BAC=90°，∠B=30°，AC=4,.BC=2AC=8 ·F是△ADE的内心，∴.AF平分∠DAE LDACAF6030 .:∠ACB=60°，∴.∠ADC=180°-60°-30°=90° :.CD=AC=2..BD=BC-CD=8-2=6, 2 .'.当△ADE的内心在直线AC的右侧时，6<BD<8. 2.解：(1)AP是∠BAC的平分线，理由如下： (AD=AE, 在△ADF和△AEF中，{AF=AF, DF=EF, ∴.△ADF≌△AEF(SSS), ∠DAF=∠EAF .AP平分∠BAC: (2).AP平分∠BAC,PQ⊥AB ∴.△APC的高等于PQ, 1 P0=6Sae=2×6x9=27, Sam=Sac-San=3=号 0.AB. ∴AB=2S△r÷PQ=2×33÷6=11. 3.(1)证明：·OA=OD,AC=DE, .∴.OA+AC=OD+DE,∴.OC=OE. (0A=OD 在△AOE和△DOC中 ∠AOE=∠D0C. OE=0C, 30 参考答案与 .△AOE≌△DOC(SAS),∴.AE=CD: (2)解：∠2=∠1+∠C,理由： △A0E≌△D0C,.∠E=∠C, .…∠2=∠1+∠E,∴.∠2=∠1+∠C: (3)解：减少：6。 4.(1)证明：CE=DC,CF=BC,∠BCD=∠ECF, ∴.△BCD≌△FCE(SAS),∴.BD=EF; (2②解：可以.EB或EB或E欧=A股 ①如解图①，当点D为AB的中点时， △ABC为等边三角形，AB⊥CD,∠BDC=90° 由(I)可得△BCD≌△FCE,.∠E=∠BDC=90° :△DEBF为直角三角形，此时EF=BD=24B, ②同理，如解图①，当点D为AC的中点时，易得△DE'F 是直角三角形，EF=BD=5B: 2 ③如解图②，当点A与点D重合时， :△ABC为等边三角形，△BCD≌△FCE, .BC=CF=CD=CE=AB=FE, ∴.∠CAF=∠CFA,∠AEF=∠CFE .·∠CAF+∠CFA+∠CFE+∠AEF=180°， .2∠CFA+2∠CFE=180°， ∴.∠CFA+∠CFE=90°，即∠AFE=90°， ∴.△DEF为直角三角形，此时EF=BD=AB. 综上所述，F子或=也政F 1 A(D) 图① 图② 第4题解图 专题四锐角三角函数实际应用 1.解：(1)由题意得∠ABC=45°，∠ACB=90°，∠ADC=30°， ·在R△ABC中，AC=AB,sin∠ABC-5 2(m), AC ∴.在Rt△ADC中，AD= in∠ADc52(m), .AD-AB=52-5≈2.1(m), 答：调整后的台阶坡面会加长约2.1m: (2)在Rt△ADC中，CD=4C=56 tan∠ADc-2(m), 在R胜△ABC中，BC=AB·cos∠ABC=52(m） BD=Cn-BC-5y655.52(,5-D-2.6(m. 2 2 答：调整后的台阶多占水平地面约2.6m. 2.解：(1)由题意得，BM L OM, .·∠BOM=18.17°，BM=3米， 重难题解析·河北数学 3 ∴.在Rt△BOM中，OB MB sin∠B0MQ3≈10（米）， 答：直吊臂0B的长约为10米： (2)如解图，记旋转后的点B,M的对应点分别为B',M', 延长B'M'交OM于点F, 由题意得B'M'=BM=3米，OB'=OB=10米 在Rt△B'OF中，B'F=OB'·cos∠OB'M'≈10×0.81=8.1 (米)， ∴.M'F=B'F-B'M'=8.1-3=5.1≈5（米）， .货物M上升了约5米 B 水平线6 18.17° 第2题解图 3.解：(1)：∠A0B=∠B0C=∠A0C, ·∠A0B=∠B0C=∠A0C=120°， .0B=OC=40,.∠OCB=∠0BC=30°， .·OB∥地面DF,∴.∠CFD=∠OBC=30°， 如解图①，延长A0交BC于点M,∠BOM=60° .AM⊥CF,.OM= 20C=20,AM=0A+0M=60. 过点E作EGLCF于点G,:AE∥CF,.EG=AM=60, .EF=2EG=120(米)； 0 E F 第3题解图① (2)805.【解法提示】由(1)知EF=2EG,要求EF的最大 值，即求EG的最大值，如解图②，连接BC,当OA与太阳 光线平行，即CBL太阳光线时，太阳光线照射风叶的范围 最大，即EG最大，由(1)易得EG=CB=40√5，此时EF最 大，最大值为805米。 0 B E 第3题解图② 4.解：问题一：如解图①，过点A作AD L BC于点D, D 30>B 第4题解图① 由素材1知，∠B=30°，AB=200米， 参考答案与重难题 一战成名新中考 六4D=24B=100米， BD=号AB=1005=173.2(米) 电梯AC的坡度为4：3，即AD:CD=4:3, .CD=75米. ∴.BC=CD+BD≈248.2（米）， 在Rt△ACD中，由勾股定理可得AC=√CD+AD=125(米)， ·儿童滑雪场中电梯AC的长度为125米，游客乘坐摆渡 车路线BC的长度约为248.2米； 问题二：如解图②，过点A作AM⊥BC于点M,过点D作 DN⊥AM于点N,DP⊥BC于点P, 由题知成人滑雪项目与儿童 滑雪项目电梯顶端A的高度 N 30c D 一样，.AM=100米， :∠ADN=30°， C 145°B M AN=2AD, 第4题解图② .∠DBC=45°， W=m-是a, 又AD=B,W=AD. 21 之=A+W=10 2AD=100(米)， .AD=200(2-1)米， .AD+DB=2AD=400(2-1)≈165.6（米）， 成人滑雪场中滑雪道的总长度约为165.6米. 专题五圆的相关证明与计算（含真实情境） 1.解：(1)由条件可知OF⊥AC,EF=AB=CD=10cm 如解图，连接OC. AC=26 cm,OC=0A=26 cm, AC=13cm,△A0C是等边 .AF=2 三角形，.∠0AF=60°， A B E D .0F=√5AF=13V5≈22.49(cm), 第1题解图 ·.0E=0F+EF=22.49+10=32.49(cm), .∴.圆上一点到地面距离的最大值为0E+r=32.49+26= 58.49≈58.5(cm): (2)由(1)得△A0C是等边三角形，.∠A0C=60°， S丽影=Sm形0c-S△A0c=360×26?、3 4×262-38m-1695 3 ≈61.4(cm). 2.解：(1)作图如解图①（答案不唯一），点0即为所求： (2)如解图②，连接A0,0C, 设AB交OC于点D,设⊙O的半径为r, 由题意可知，OC⊥AB, A0=DB=之4B=7cm）,LAD0=90, 在Rt△A0D中，0A=0D+AD2,即r2=(r-CD)2+49, 解析·河北数学 31