04-专题四 与三角形有关的实际应用题-【众相原创·减负中考】2026年中考数学基础精讲册（河北专用）

落回到圈A的概率A=士 (2)列表如下： 1 2 3 4 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4.4) 由表可知，共有16种等可能的结果，最后落回到圈A的 有(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,4)，共4种结果 、最后落回到圈A的概率P,164 41 P,=P2,淇淇与嘉嘉落回到圈A的可能性一样。 6.解：(1)P(A)=2 【解法提示】x2-5x+6=0,.(x- 2)(x-3)=0,解得1=2，x2=3,∴.一元二次方程x2-5x+ 21 6=0的解为2或3，.P(A)= 4=2 (2)画树状图如下： 开始 第一个球 第二个球234134124123 无 345356457567 由树状图可知，共有12种等可能的结果，而事件B出现 的结果有4种， P()=吉号 7.解：(1)由条形统计图可知，读6册的有6人，由扇形统计 图可知，读6册的占调查人数的25%， .调查人数为6÷25%=24（人）， .读5册的人数为24-5-6-4=9（人），即被遮盖的数 为9. …调查人数为24人， ·.读书册数的中位数为排序后第12人和第13人读书册 数的平均数. .·排序后第12人和第13人的读书册数均为5册： ·.册数的中位数是5册. (2)读书超过5册的共有6+4=10（人）， 105 、P(选中读书超过5册的学生)=2412 (3)3 8.解：(1)变小 (2)当s>8时，这组数据的平均数变大.理由如下： .·原数据的平均数为4， 1 24, .s>8. (3)画树状图如下： 开始 第一个小球 第二个小球356256236235 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两个小球 上数的和大于8的结果有4种！ ∴.将两次得到的数字添加到原数据中，这组数据平均数 4.1 变大的概率为2了 专题四与三角形有关的实际应用题 1.解：(1)由题意可知NH∥AD,FE⊥AD 如解图，延长FG交NH于点T,则GT⊥NH. .·∠GHN=60°， TG=GH·sin∠GHN=8x 2 2=45(cm), .TE=TG+FG+EF=43+6+12≈24.9(cm), ∴.漏斗口处点N到底座AD的高度约为24.9cm (2)如解图，过点P作PK∥FG,交NH 于I,过点O作OK⊥PK, 由题意可知∠PQK=53°， ∴.PK=P0·sin∠POK=P0·sin53o≈ 30×0.8≈24(cm). CH=8 cm.PG=GH, 2 D mm号m, m-mm∠6N号4(m. 此时玻璃棒顶端Q点到桌面的距离为PK-PI+TE+AB≈ 2445+249+3=49.6(cm). 3 2.解：(1)30：75；5.【解法提示】如解图，过点P作PD1 AC于点D,则△APD、△BPD、△CPD都是直角三角形.由题 可知∠APD=60°，∠BPD=45°，∠CPD=15°，∴.∠PAB=30°， ∠APC=∠APD+∠CPD=75°，由题可知渔船每小时航行 10海里，渔船从A处航行至B处所用时间为30分钟，即 半小时，故AB=×10=5(海里). 2 (2)设PD为x海里， A B EDC 在Rt△BPD中，∠BPD=45°， .∠PBD=45°，∴BD=PD=x海里， 在Rt△APD中，∠APD=60°， PD 1 C∠A=30°，tanLAPD=P=V5,cos∠APD AP 2 ∴.AD=√3PD,AP=2PD AB=AD-BD...3 PD-PD=5. .PD=- 5+1)海里， 17 .AP=2PD=5(5+1)≈13.65（海里）， 在△APC中，∠A=30°，∠APC=75°， ∴.∠C=180°-∠A-∠APC=75°， .∠C=∠APC, .AC=AP≈13.65海里」 设上午9时渔船航行至E处，则AE=10海里， CE=AC-AE≈3.65（海里），3.65<5， .该渔船会进入“海况异常”区」 3.解：(1)·AB⊥BF,CD⊥BF,.AB∥CD △ECD∽△EBA,ABBE CD CE BE 1 :CE=2米，CD=4米，六B2 (2)由题意得∠IGF=∠AGB. .AB⊥BF,HF⊥BF, △FHG△BAG,: HF FG ABBG 由(1)知，张=)，设BE=x米，则AB=2米， 2空2 经检验，x=42是所列分式方程的解，且符合题意 .AB=84米 答：开元寺塔的高度AB为84米. 4.解：(1).0A=0B,∠A0B=120° 六∠AB0=∠A=180°-120 =30° 2 由题意得OE∥NG,∠ODE=∠NMG=90°. ∴.∠OED=∠NGM,..△ODE∽△NMG 器器即g .0D=48m (2)如解图，过点O作OH⊥AB于点H,过点E作EI⊥ 于点1， D E F MG 在Rt△NMG中，由勾股定理得NG=5m 同理可证△EIF∽△NMG 以-E5,即1-20 ·NMNG' 451 ∴.E1=16m. 由题意得OE∥AF,而OH⊥AF,EI⊥AF、 .∴.0H=E1=16m. .·在Rt△0BH中，∠AB0=30°， .B0=20H=32(m), .当0B⊥DF时，48-32=16(m), 风叶转动时点B到地面DF的最小距离为16m. 18 5.解：(1)如解图，过点D作DE⊥AB于点E E B D :AB∥CD,DE⊥AB,∠DCB=90°， .∠EDC=∠DCB=∠DEB=90°， 四边形BCDE是矩形， .'CD=EB=20 m,BC=DE. .·∠ADB=82°，∠BDC=45°..∠ADC=127°. ∴.∠ADE=∠ADC-∠EDC=37. 在Rt△BCD中，∠BDC=45°，.∠DBC=45°， .∴.CD=CB=EB=DE=20m. 在Rt△AED中，：tam∠ADE=DE: AE ∴.AE=DE·tan∠ADE≈20×0.75=15(m). ∴.AB=AE+EB≈15+20=35(m). 答：A,B两棵树之间的距离约为35m. (2)在Rt△BCD中， CD BD...BD= CD .cos∠BDC= osa' CD ∴.BE=BD-DE= -6=0-b COsO cosQ ABCD,.△ABE∽△CDE,. AB BE CD DE' AB=CD·BBa( ab) cosa a DE 6 beosa a)m. 专题五 几何作图 1.解：如解图，点P即为所求 2.解：如解图，菱形ABCD即为所求 M D 3.解：(1)如解图，四边形BCDF即为所求 (2)结论：四边形BCDF是菱形专题四与三角形有 类型1解直角三角形的实际应用(2024.22) 1.【2025河北新考法1跨化学学科】(2025沧州盐山 县校级模拟)如图1，是液体过滤的实验装置， 图2是其侧面示意图，已知底座高度AB= 3cm,烧杯高度EF=12cm,漏斗的一端紧贴 烧杯内壁，漏斗的锥形部分MW=GH=8cm,且 ∠MNH=∠GHN=60°，漏斗管位于烧杯的上方 部分FG=6cm,玻璃棒斜靠在三层滤纸的点P 2 处，PG=3GH,玻璃棒PQ的长度为30cm.(结 果精确到0.1cm)》 (1)求漏斗口处点N到底座AD的高度； (2)某次过滤时，玻璃棒与水平方向的夹角为 53°，求此时玻璃棒顶端Q点到桌面的距离. (参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60， tan53°≈1.33，√3≈1.73) ED B 图1 图2 142 关的实际应用题(2024.22) 2.(2025邯郸育华中学模拟)木兰灯塔是亚洲最 高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最 北端，是海南岛东北部最重要的航标某天，一 艘渔船自西向东（沿AC方向）以每小时10海 里的速度在琼州海峡航行，如图所示 固呼 北 航行记录 记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西 60°方向上的A处 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北 偏西45°方向上的B处. 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9 时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围 5海里内会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P 北偏东15°方向. 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：∠PAB= °，∠APC= °，AB= 海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入 “海况异常”区？请计算说明！ (参考数据W2≈141,3≈1.73,6≈245) 类型2相似三角形的实际应用 3.【原创】定州开元寺塔，又名“瞭敌塔”，建成于 北宋至和二年(1055年)，为第一批全国重点 文物保护单位（如图1）.某兴趣小组欲测量开 元寺塔的高度AB,如图2，先在地面上C处竖 直立了一个高度为4米的标杆CD,这时地面 上的点E,标杆的顶端D,塔的顶端A正好在一 条直线上，测得CE=2米.再从点E出发沿着 直线BE方向前进14米到达点G.在点G处放 置一平面镜，当测量人员站在F处时，恰好在 平面镜中看到塔顶端A的像，此时测得测量人 员的眼睛到地面的距离HF=1.5米，FG=1米 已知点F,G,E,C与塔的底端B在同一直线上， AB⊥BF,CD⊥BF,HF⊥BF.(平面镜厚度忽略 不计) (1)求BE与AB的数量关系； (2)求开元寺塔的高度AB. D H CE GF 图1 图2 4.风力发电是我国电力资源的重要组成部分.嘉 嘉为了解某风力发电机的风叶长度，通过测量 其影子长度的方法进行计算.如图（图中所有 的点均在同一平面，太阳光线视为平行光线)， 线段0A,0B,0C表示三片风叶，0A=0B=0C, ∠A0B=∠B0C=∠C0A=120°，某时刻OA,OB 的影子恰好重合为线段EF,OD⊥EF于点D, 测得DE=36m,EF=20m.同一时刻测得高 4m的标杆MN的影长MG为3m. (1)求∠AB0的度数及OD的长； (2)求风叶转动时点B到地面DF的最小 距离. 143 类型3解直角三角形与相似三角形结合的实际应用 5.(2025邢台南宫市模拟)【实践课题】测量河对岸两棵树之间的距离. 【实践工具】皮尺、测角仪、标杆等 【实践活动】研学游期间，甲同学在拍照时，发现河对岸有A,B两棵树(AB与河岸平行)，于是他提 出：在不过河的前提下，如何测量河对岸的树A与树B之间的距离呢？ 乙同学观察地形，制订了测量方案：如图1，在河岸一侧确定两点C,D,使CD与河岸平行，且 ∠DCB=90°，经测量CD=20m,∠ADB=82°，∠BDC=45°. 【问题解决】(1)请根据乙同学的方案，计算出A,B两棵树之间的距离.（结果精确到0.1m,参考 数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 【交流讨论】(2)丙同学给出了另一种方案，如图2，在河岸一侧确定两点C,D,使CD与河岸平行， 且∠DCB=90°，测量出DC=am,DE=bm,∠D=,即可计算出AB的长度.请帮助丙同学验证他 的方案的可行性. 图1 图2 144