专题三 函数中的整点问题&专题四 辅助线作法-【一战成名新中考】2026河北中考数学·二轮复习·专项分层提升练

专题三函数中的整点问题 [2025.12;2022.25(2)②：2019.26(4)；2017.15] 例一成名原创在平面直角坐标系中，将横、纵坐标都是整数的点叫作整点.已知抛物线y=x2-2x与 x轴的交点为A,B, (I)线段AB上的整点个数为 整点坐标是 (2)抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）整点个数为 (3)易错)若直线y=b与抛物线所围成的区域（不包含边界）恰有4个整点，则b的取值范围 是 【易错点拨】注意题目不包含边界时是否可以取到临界的等号 解题步骤： ①画出草图； ②找题目所求整点所在的线段、边界或区域； 注：此处需要认真审题看题目要求整点是否含边界 ③根据题目要求求解 例题图 @针对训练 1.[2023河北17题改编]如图，已知点A(1,4),B(5,4),点P是线段AB上的整点（不与A,B重合，且 横，纵坐标都是整数)，若双曲线y=女(x>0)经过点P,下列不符合条件的k的值为 A.4 B.8 C.12 D.16 3 012345就 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.如图，二次函数的图象与x轴的交点A,D的横坐标分别为3和-1，其图象与x轴围成封闭图形L,图形 L内部（不包含边界）恰有4个整点（横纵坐标均为整数的，点），系数a的值可以是 () A号 R号 c DE 3.[2025河北12题3分]在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点.如图，正方形EFGH 与正方形OABC的顶点均为整点.若只将正方形EFGH平移，使其内部（不含边界）有且只有A,B,C三 个整点，则平移后点E的对应点坐标为 ( 4居号 B(高 G( D.() 4.[2025保定莲池区一模节选]已知在平面直角坐标系中，点4(-4,4)，连接01，当反比例函数y=上(x <0)的图象把线段OA上横、纵坐标均为整数的点分布在其左右两侧，且左侧点的个数：右侧点的个数 =3:2时，k的取值范围为 22 专项分层提升练·河北数学 一战成名新中考 专题四 辅助线作法（必考） 方法①连接[2025.16,21(2)；2023.9,24；2022.24] 考法1连接形成中位线 1.[北师九上P85第4题改编]如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC的中点，过点E作EF⊥BC于点 F,连接DF,若BC=8,EF=3,则DF的长为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.8 F 第1题图 第2题图 考法2连接构造等腰三角形 2.如图，在边长为1的小正方形网格中，若△ABC和△CDE的顶点都在小正方形网格的格点上，则∠ACB+ ∠DCE= ( A.75° B.90° C.120° D.1359 考法3连接构造“三线合一” 3.[2025承德兴隆县一模]如图，在扇形A0B中，∠A0B=80°，半径OA=3,C是AB上一点，连接0C, D是OC上一点，且OD=DC,连接BD.若BD⊥OC,则AC的长为 A 第3题图 第4题图 考法4连接构造斜边中线 4.[2025凉山州]如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O,E是边CD的中点，过点E作 EF⊥BD于点F,EG1AC于点G,连接FG,若AC=12,BD=16,则FG的长为 考法5连接形成对角线[2025.21(2)] 5.如图，在菱形ABCD中，AB=13,对角线AC=24,过点D作DH⊥AB于点H,则线段DH的长度 为 D H 第5题图 第6题图 考法6连接形成半径[2025.16；2023.24] 6.[2025石家庄赵县五模]如图，AB是半圆0的直径，E是半圆上一点，且OE⊥AB,点C为BE的中点， 则∠A= 专项分层提升练·河北数学 23 考法7连接形成弦 7.[2025邯郸丛台区三模]如图，AB,AC是半径为1的⊙0的两条弦，OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E, 连接DE.若∠A=45°，则DE的长为 第7题图 A.1 B.2 C.1.7 0 2 方法②)作垂直[2025.23(4)；2024.22；2023.26：2022.16] 考法1利用解直角三角形[2025.23(4)；2024.22] 8.[2025保定定兴县一模]如图，一艘快艇从A地出发，向正北方向航行5海里后到达B地，然后右转 60继续航行到达C地，若C地在A地北偏东30°方向上，则AC= ( A.5海里 B.5,5海里 C.55海里 D.5海里 2 2 北 F 160°才C E B< A P A 第8题图 第9题图 考法2利用“三线合一” 9.如图，已知∠ABC=60°，点P在边AB上，BP=10,点E,F在边BC上，PE=PF.若BE=2,则 EF的长为 () A.6 B.5 C.4 D.3 考法3利用角平分线性质 21 0,[2025廊坊广阳区月考如图，4D是△ABC的角平分线，DE LAB于点E,SA=无，D53 2,AB=4, 则AC的长是 () A.3 B.4 C.6 D.5 RLL D 第10题图 第11题图 【更多练习见“遇到角平分线巧思考”本册P4】 考法4利用全等或相似三角形[2025.23(4)①] 11.如图，AB=BC且AB⊥BC,点P为线段BC上一点，PA⊥PD且PA=PD,若∠A=26°，则∠D的度 数为 24 专项分层提升练·河北数学 一战成名新中考 方法3作平行[2023.15] 考法1遇拐点作平行 12.如图，两条公路AB和CD互相平行，AB和CD之间有三段公路连接，且EF⊥FG,FG⊥GH,若∠AEF= 55°，则∠GHD的度数为 ( A.35° B.559 C.62.50 D.729 D G C H C E 第12题图 第13题图 第14题图 考法2构造全等或相似三角形 13.[2025石家庄-模]如图，DE是△ABC的中位线，点F为DE的中点，连接AF并延长交BC于点G,若 △EFG的面积为2，则△ABC的面积为 A.12 B.24 C.48 D.96 考法3构造特殊四边形 14如图，在四边形BCD中，AD/BC,且AB=AD=CD=)BC,则∠B=。 考法4构造等腰三角形 【更多练习见“遇到角平分线巧思考”本册P4】 方法④延长或截取[2023.19] 15.[2025沧州盐山县二模]如图，已知l1亿2，点A,点C分别在1,12上，若∠ABC=95°，则∠2-∠1等于 ( 2 第15题图 A.80° B.85o C.90° D.95 方法⑤》作对称或旋转 16.[2025邢台期中]如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1,AF=2,若P为对角线BD上一动点，则 EP+FP的最小值为 () A.1 B.2 C.3 D.4 EC 第16题图 第17题图 17.[2025保定期末]如图，在Rt△ABC中，AC=6,∠ABC=90°，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥ BD交BC边于点E.若AD=2,则图中阴影部分面积为 ( A.2 B.4 C.3 D.5 专项分层提升练·河北数学 25专题九几何最值模型 CNE)DP=3,由三角形三边关系得M 1.B2.4.83.D4.D5.C 6.解：(1)画图如解图： CN,∴.当C,N,M三点共线时MW的值最小，此时，MN= 年1 CM-CN=5-3=2. 8 第8题解图 第9题解图 6 第6题解图 9.解：如解图，连接AP, (2)35 由三角形三边关系得，AP≥0P-OA=2-1=1,当0，A,P三 7.1 点共线，即α=60时，等号成立， 8.(1)6;(2)2【解析】(2)如解图，连接CM,CW,由(1)知， .当a=60时，点P与点A之间的距离最小，PA的最小 AC=6,Rt△ACB≌Rt△DFE,.DF=AC=6,·点M是 值为1. 10.C11.B12.7+√313.B 4B的中点，点N是DF的中点，AB=10,BC=8一CM) 二、特色考法分类提升练 专题一函数过定点问题 4.5【解析】解法1：如解图，连接OE,:四边形ABCD是菱 例(1,3)1.(-1,0)变式1(-4，-2)变式2 形，且AC=12,BD=16,AC⊥BD,0C=6,0D=8,∠C0D (1,1)2.(1)-1;(2)(-1,0) =90°，在Rt△C0D中，CD=√0C+0D=√6+8=10， 3.解：将二次函数y=-kx2+(k-3)x+3整理得y=(-x2+x)- E是边CD的中点0E=CD=5,6P1BD.EG 3x+3, AC,..∠0GE=∠OFE=∠COD=90°，.四边形OGEF是 令-x2+x=0,解得x=0或x=1, 矩形，.FG=OE=5. 当x=0时，y=3;当x=1时，y=-3+3=0, 该二次函数图象经过的定点坐标为(0,3)，(1,0). 专题二函数中的交点问题 例1(1)(2,0)，(0,1)；(2)①0<a<1;②a<0;(3)①0<b< 2:26<0:(4)01:2K-2:(5)00<长1：22<0 第4题解图 例2(1)(-1,0)，(3,0)，(0,3)；(2)①>4或t≤0；②0<t< 解法2：E是边CD中点，EF1BD,EG1AC,LCOD= 3或1=4,3≤K4:(3)0或≤-3②-3c3或1 90°，易得GF为△0CD中位线，GF= 2CD=5. 3号 13 3120 6.22.5°7.D8.C9.A10.A11.19°12.B 13 例3(7≤k≤2：(21≤6≤4，(3)≤a≤2 13.C14.6015.B16.C17.B 例4(1)5≤k≤9：变式10<k≤9 专题五分类（情况）讨论 变式28≤k≤20(2)b≥5或b≤-7 例1D1D2C3号支2或号 1.B2.C3.4≤m≤15 例2A【思路剖析】80,100,80°或100° 4a4,22.-2》632 4.A5.3.5或12.56.√/10或√26 7.A8.r=4.8或6<r≤8 专题三 函数中的整点问题 9.解：由题意得AB=1-(-3)=4,BC=x-1,CD=6-x,当AB 例(1)3：(0,0)，(1,0)，(2,0)：(2)4：(3)1<b≤2 为底时，有BC=CD,.x-1=6-x,解得x=3.5; 1.A2.B3.A4.-4<k<-1 当AB为腰，且AB=BC时，BC=4,.x-1=4,解得x=5: 专题四辅助线作法 当AB为腰，且AB=CD时，CD=4,.6-x=4,解得x=2, .x的值为2或5或3.5. 1B2D3号 10.B11.D12.A 26 参考答案与重难题解析·河北数学