专题八 辅助圆(隐形圆)模型-【一战成名新中考】2026河北中考数学·二轮复习·专项分层提升练

专题八辅助圆（隐形圆）模型 [2025.23(4)②：2025样卷24(4)；2023.26] 类型①定点定长模型一利用圆的定义[2023.26] 1.如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子AB的中颶模型解读 点，梯子底端向左水平滑动到CD位置，滑动过程中OM的变化情形：等距成圆 旋转成圆 规律是 ( (OA=OB=0C=r)(AP绕点A旋转) A.变小 B.不变 C.变大 D.先变小再变大 图示： 0 Ar一P 画图： D B 第1题图 第2题图 2.[2025邯郸育华一模]如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60° AD=6,点E在边CD上，且DE=4,F是边AD上一动点，将 △DEF沿直线EF折叠，点D落在点N处，当点N在四边形 情形：折叠成圆 直角三角形斜 ABCD内部（含边界）时，DF的最小值是 (△ABD沿AD折叠) 边中点轨迹 A.2 B.23C.4 D.42 图示： 3.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=44°，D是△ABC外一点 且AD=AC,则∠BDC的度数为 D 画图： 第3题图 类型②定弦定角模型一利用圆周角定理[2025.23(4)②：2025样卷24(4)] 4.[2025邯郸武安市一模]如图，在正方形ABCD中，AB=2,P®模型解读 是正方形ABCD内一点，若∠APB=90°，则PC的最小值为 在△ABP中一个角和他的对边保持不 变，即AB,∠P是定值 情形：90°型 图示： P(动点) (定点)A2 B(定点) 第4题图 画图： P(动，点) A.1 B.5 (定点)A B(定点) C.5-1 D.√5+1 0 12 专项分层提升练·河北数学 一战成名新中考 5.[2025邯郸模拟]如图，在一个圆心角为45°的扇形M0N(无情形：一般型 限大)中，有一矩形ABCD,其中点A,B分别在半径OM,ON图示： 画图： 上滑动.已知AB=2,BC=1,则点C到圆心O的最大距离 P(动点) (动点)P 是 0 A(定点) B 2a (定点)（定点）A B(定点) 结论：当AP=BP时，△ABP周长和面 积最大 A 第5题图 类型3)定角定高模型 6.成成原创已知在△ABC中，∠ABC=120°，BDLAC于点眼模型解读 D,BD=3,则AC的最小值是 ()在△ABP中，∠APB=a(定角)，PD是 A.5 B.63 C.93 D.183 AB边上的高，且PD=h(定高)，则AB 有最小值，即△ABP的面积有最小值 图示： D 第6题图 变式题图 变式多解法)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BC边上的 4 B 高AD=4,则△ABC周长的最小值为 结论：当△ABP是等腰三角形(AP= 【速解技巧】直接应用定角定高的结论可快速解题 BP)时，AB的长最小，△ABP的 面积最小，△ABP的周长最小 类型④四点共圆模型 7.[2024邯郸三模]如图，正方形纸片ABCD的中心0刚好是即模型解读 △ABM的外心，则∠AMB= ）情形：对角互补模型 对等角模型 D (∠A+∠C=180°) (定线BC对 等角：∠1=∠2) 图示： D M 第7题图 A.135° B.125° C.115°D.105o 8.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD=135°， 画图 连接AC,BD.若AC=2,则BD= D 0. 结论：A,B,C,D四点共圆 第8题图 专项分层提升练·河北数学 13∴.4-2<2AD<4+2,即1<AD<3. B G D E 第1题解图 第2题解图 2.证明：解法1：如解图，过点E作EG∥AC交BD于点G. AB=AC,∠B=∠ACB, .EG∥AC,∴.∠EGB=∠ACB=∠EBG ∴.BE=EG=CF.EG∥CF, ∴.∠DEG=∠DFC,∠DGE=∠DCF. ∴.△DEG≌△DFC(ASA),.DE=DF 解法2思路提示：过点E作BC的平行线。 例1B 3.>【解析】解法1（截长法）：如解图①，在AB上截取AE, (AE=AC. 使AE=AC,连接PE,在△AEP和△ACP中 ∠1=∠2， AP=AP. △AEP≌△ACP(SAS),∴.PE=PC,在△PBE中，BE>PB- PE,即AB-AC>PB-PC. D 图① 图② 第3题解图 解法2（补短法）：如解图②，延长AC至点M,使AM (AB=AM, AB,连接PM,在△ABP和△AMP中∠1=∠2，.△ABP AP=AP. ≌△AMP(SAS),∴PB=PM,在△PCM中，CM>PM- PC,即AB-AC>PB-PC. 2 BD=CE:60 4.BM+DN=MN 专题四一线三等角（含弦图）模型 例2；LB=∠1=∠C;∠BAD=∠EDC L.C【解析】解法1：.·四边形ABCD为正方形，.∴.AB=BC 4,∠A=∠B=90°，，E为AB的中点，∴.AE=BE=2,∴.CE =√BE+BC=√2+4=25，：EF⊥EC,.∠AEF+ ∠BEC=90°，又∠BCE+∠BEC=90°，∴∠AEF= AF EF 25BF= 2BCE,△AP∽ABCE,B即2E队 5.s ct=cs 2xW5x25=5 源法2思路现示85SSS 20a号 专题五手拉手模型 例651.60 参考答案与重难题 一战成名新中考 2.5-1【解析】解法1：△ABC和 △ADE都是等腰直角三角形，AB=√2 AD=2...BC=2,DE=22..L BAD= ∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD= ∠CAE,AB=AC,AD=AE,.△ABD≌ B D △ACE(SAS),·BD=CE,∠ABD= 第2题解图 ∠ACE=45°，∴.∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°=∠ECD.设 CD=x,则BD=CE=2+x,在Rt△ECD中，根据勾股定理得 CD+CE2=DE2,即x2+(2+x)2=(22)2,解得x=5-1 (负值已舍去).CD=3-1. 解法2思路提示：如解图，过，点A作AF1D宇点F,在 等腰直角三角形ABC中，易得AF=CF=1,在Rt△AFD 中，易得DF=3,则CD=Df-CF=5.-l. 3.5 专题六对角互补模型 例(1)3：(2)8,421.42.43.72 专题七点圆、线圆最值模型 1.B2.A3.244.8,18 专题八辅助圆（隐形圆）模型 1.B2.A3.224.C5.√2+56.B 变式8+82【解析】解法1：如解图①，延长CB到点E, 延长BC到点F,使得BE=BA,CF=CA,则C△IBc=AB+BC +AC=EB+BC+CF=EF.作出△AEF的外接圆，连接OE, OF,AE,AF,过点0作EF的垂线，垂足为M,与⊙O交于 点N,.AB=EB,AC=FC,.∠AEB=∠EAB,∠CAF= ∠CFA..∠ABC=2∠AEB,∠ACB=2∠AFC.·∠BAC= 90°，.∠ABC+∠ACB=90°，∴.∠AEB+∠AFC=45°，∴. ∠EAB+∠FAC=45°，.∠EAF=135°，.∠E0F=90°.设 ⊙0的半径为r,则OM= 2,MNs,- 2x由MN≥AD ② 得， ≥4，解得r≥8+4万，r的最小值为8+42 又·EF=√2r,.EF的最小值为8+82，即△ABC周长 的最小值为8+8√迈」 NA E B MD C *0 图① 图② 变式题解图 解法2：如解图②，由定角定高的结论知当AB=AC时， △ABC周长最小，AD=4,∠BAC=90°，易得BC=2AD =8,AB=AC=4√2，即△ABC周长的最小值为AB+AC+ BC=8+82 7.A8.2 解析·河北数学 25