专题六 对角互补模型&专题七 点圆、线圆最值模型-【一战成名新中考】2026河北中考数学·二轮复习·专项分层提升练

专题六对角互补 例如图，∠AOB=∠DCE=90°，∠DCE的顶A 点在∠AOB的平分线OC上，两边分别与射 线OA,OB交于点D,E, (1)若CD=3,则CE= E B (2)若0C=4,则SA0cm+S△0cE= 例题图 OD+OE= 解法1思路提示：如解图①，过点C分别作CM⊥OA,CW ⊥OB于点M,N,由角平分线的性质可得CM=CN,易得 ∠MCN=90°，.'∠DCE=90°，∴.∠MCD+∠DCN=∠DCW +∠NCE,.∴∠MCD=∠NCE,∴.△MCD≌△NCE(ASA), 故CD=CE,MD=NE,易证四边形MONC为正方形， .0D+0E =0D+ON+NE=OD+MD+ON=OM+ON=20N= 2OCSAO+SAOCE=NG=ON=0C NE\B 图① 图② 例题解图 解法2思路提示：如解图②，过点C作CF⊥OC与OB交于 点F.易证∠DOC=∠EFC=45°，C0=CF,∠DC0=∠ECF ∴.△DCO≌△ECF(ASA),∴.CD=CE,OD=FE,.OD+OE= 1 EF+OE=OF=CS0+SA0=SA0C=0C @针对训练 1.90°对角互补如图，正方形ABCD的边长为3,0是对角线AC 上一点，且C0=2A0,E是边CD上一点，连接OE,过点0作 OF⊥OE,交BC于点F.则四边形CEOF的面积为 B 第1题图 第2题图 第3题图 2.60°对角互补如图，在四边形ABCD中，已知AB=AD,∠BAD= 60°，∠BCD=120°，若四边形ABCD的面积为4W5,则AC=, 3.一般角对角互补如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，BC= CD,AB=6,AD=8,∠B+∠D=180°，则对角线AC的长 为 10 专项分层提升练·河北数 模型 即模型解读 条件：四边形满足一组对角互补 图示：(1)一组邻边相等 作垂直构全等 (AD=CD) B 旋转构等腰直角三角形 D C 作垂直构全等 (AD=CD,∠ABC+ ∠ADC=180°) B 旅转构等腰三角形 结论：阴影部分2个三角形全等 (2)邻边均不相等 作垂直构相似 (LABC+∠ADC=180°)作垂直构相似 结论：阴影部分2个三角形相似 拓展模型一十字模型 图示： 正方形 矩形 D G 结论：正方形中：△ADE≌△BAF; 矩形中：△HFN∽△GEM 学 一战成名新中考 专题七点圆、线圆最值模型 [2025样卷22(2)：2015.26] @针对训练 即模型解读 1.[2025衡水模拟]如图，在扇形A0B中，∠A0B=120°，0B= 点圆最值问题：已知定点A和⊙0上一 2,点D为弦AB上一动点（不与A,B两点重合），连接OD并 动点B,求线段AB的最值，设OA =d,⊙0的半径为r 延长交AB于点C,当CD为最大值时，∠BOC=( 圆内一定点到圆上动点最值 A.30° B.60° C.90° D.120° B A B AB最小值为 AB最大值为 第1题图 AB,=r-d AB,=r+d 2.[2024保定二模]如图，在平面直角坐标系中，存在三个定点 分别为A(-2,-2),B(6,-2),C(6,4),将这三点顺次连接， 圆外一定点到圆上动点最值 现添加一点D,使得AD=5,那么CD的长不可能为( 0 B B AB最小值为 AB最大值为 AB,=d-r AB,=d+r 线圆最值问题：已知定直线m和⊙0 上一动点P,求P到直线的最值， 第2题图 设点0到直线m的距离OA=d, A.4 B.7 C.11 D.15 ⊙0的半径为r 3.[2025河北样卷22题改编]如图，线段OA,0B,OC表示三片 位于同一平面的风叶，OA=0B=0C=12m,风叶中心0到地 直线与圆相交 面距离36，则风叶转动时点B到地面DE的最小距离 为m. m M 点P到直线m有最大值PA=r+d; 点P与点M,N重合时取最小值0 D 第3题图 直线与圆相离 4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12,BC=10,D是边 P BC的中点，以点D为圆心，BD长为半径作⊙D,E是⊙D上 一点，则线段AE的最小值为，AE的最大值为 -m m A 点P,到直线m有点P2到直线m有 最小值P,A=d-r最大值P,A=r+d 第4题图 专项分层提升练·河北数学 11∴.4-2<2AD<4+2,即1<AD<3. B G D E 第1题解图 第2题解图 2.证明：解法1：如解图，过点E作EG∥AC交BD于点G. AB=AC,∠B=∠ACB, .EG∥AC,∴.∠EGB=∠ACB=∠EBG ∴.BE=EG=CF.EG∥CF, ∴.∠DEG=∠DFC,∠DGE=∠DCF. ∴.△DEG≌△DFC(ASA),.DE=DF 解法2思路提示：过点E作BC的平行线。 例1B 3.>【解析】解法1（截长法）：如解图①，在AB上截取AE, (AE=AC. 使AE=AC,连接PE,在△AEP和△ACP中 ∠1=∠2， AP=AP. △AEP≌△ACP(SAS),∴.PE=PC,在△PBE中，BE>PB- PE,即AB-AC>PB-PC. D 图① 图② 第3题解图 解法2（补短法）：如解图②，延长AC至点M,使AM (AB=AM, AB,连接PM,在△ABP和△AMP中∠1=∠2，.△ABP AP=AP. ≌△AMP(SAS),∴PB=PM,在△PCM中，CM>PM- PC,即AB-AC>PB-PC. 2 BD=CE:60 4.BM+DN=MN 专题四一线三等角（含弦图）模型 例2；LB=∠1=∠C;∠BAD=∠EDC L.C【解析】解法1：.·四边形ABCD为正方形，.∴.AB=BC 4,∠A=∠B=90°，，E为AB的中点，∴.AE=BE=2,∴.CE =√BE+BC=√2+4=25，：EF⊥EC,.∠AEF+ ∠BEC=90°，又∠BCE+∠BEC=90°，∴∠AEF= AF EF 25BF= 2BCE,△AP∽ABCE,B即2E队 5.s ct=cs 2xW5x25=5 源法2思路现示85SSS 20a号 专题五手拉手模型 例651.60 参考答案与重难题 一战成名新中考 2.5-1【解析】解法1：△ABC和 △ADE都是等腰直角三角形，AB=√2 AD=2...BC=2,DE=22..L BAD= ∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD= ∠CAE,AB=AC,AD=AE,.△ABD≌ B D △ACE(SAS),·BD=CE,∠ABD= 第2题解图 ∠ACE=45°，∴.∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°=∠ECD.设 CD=x,则BD=CE=2+x,在Rt△ECD中，根据勾股定理得 CD+CE2=DE2,即x2+(2+x)2=(22)2,解得x=5-1 (负值已舍去).CD=3-1. 解法2思路提示：如解图，过，点A作AF1D宇点F,在 等腰直角三角形ABC中，易得AF=CF=1,在Rt△AFD 中，易得DF=3,则CD=Df-CF=5.-l. 3.5 专题六对角互补模型 例(1)3：(2)8,421.42.43.72 专题七点圆、线圆最值模型 1.B2.A3.244.8,18 专题八辅助圆（隐形圆）模型 1.B2.A3.224.C5.√2+56.B 变式8+82【解析】解法1：如解图①，延长CB到点E, 延长BC到点F,使得BE=BA,CF=CA,则C△IBc=AB+BC +AC=EB+BC+CF=EF.作出△AEF的外接圆，连接OE, OF,AE,AF,过点0作EF的垂线，垂足为M,与⊙O交于 点N,.AB=EB,AC=FC,.∠AEB=∠EAB,∠CAF= ∠CFA..∠ABC=2∠AEB,∠ACB=2∠AFC.·∠BAC= 90°，.∠ABC+∠ACB=90°，∴.∠AEB+∠AFC=45°，∴. ∠EAB+∠FAC=45°，.∠EAF=135°，.∠E0F=90°.设 ⊙0的半径为r,则OM= 2,MNs,- 2x由MN≥AD ② 得， ≥4，解得r≥8+4万，r的最小值为8+42 又·EF=√2r,.EF的最小值为8+82，即△ABC周长 的最小值为8+8√迈」 NA E B MD C *0 图① 图② 变式题解图 解法2：如解图②，由定角定高的结论知当AB=AC时， △ABC周长最小，AD=4,∠BAC=90°，易得BC=2AD =8,AB=AC=4√2，即△ABC周长的最小值为AB+AC+ BC=8+82 7.A8.2 解析·河北数学 25