专题四 一线三等角(含弦图)模型&专题五 手拉手模型-【一战成名新中考】2026河北中考数学·二轮复习·专项分层提升练

∴4-2<2AD<4+2， ，即 1<AD<3. 4 A B D C E B C G G D E 第1题解图 第2题解图 2.证明：解法 1： ：如解图，过点 E 作 EG//AC 交 BD 于点 G. ∵AB=AC，∴∠B=∠ACB， ∵EG//AC，∴∠EGB=∠ACB=∠EBG， ∴BE=EG=CF.∵EG//CF， ∴∠DEG=∠DFC，∠DGE=∠DCF， ∴△DEG≅△DFC(ASA)，∴DE=DF. 解法2思路提示：过点E作BC的平行线. 例1 B 3.>【解析】解法1(截长法)：如解图① ，在 AB 上截取 AE， ( (AE=AC， 使 AE=AC， 连接 PE， ，在 △AEP 和 △ACP 中 ， ∠1=∠2，∴ AP=AP， (AP=AP， △AEP≅△ACP(SAS)，∴PE=PC， ，在 △PBE 中， ，BE>PB- PE， 即 AB-AC>PB-PC. A A E C C D D B B M 图① 图② 第3题解图 解法2(补短法)：如解图②，延长 AC 至点 M， ，使 AM= 1 AA=AM， AB，连接 PM， 在 △ABP 和 △AMP 中 中 ∠1=∠2，∴△ABP AP=AP， ≅△AMP(SAS)，∴PB=PM， ，在 △PCM 中， CM>PM PC， ，即 AB-AC>PB-PC. ..... 例 $$2 \quad B D = C E ； 6 0 \quad 4 . B M + D N = M N$$ 专题四一线三等角(含弦图)模型 例 2；∠B=∠1=∠C；∠BAD=∠EDC 1.C 【解析】解法 1∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴AB=BC= $$4 ， \angle A = \angle B = 9 0 ^ { \circ } ， \because E$$ 为 AB 的中点， ∴AE=BE=2，∴CE $$= \sqrt { B E ^ { 2 } + B C ^ { 2 } } = \sqrt { 2 ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } } = 2 \sqrt 5 ， \because E F \bot E C ， \therefore \angle A E F +$$ $$\angle B E C = 9 0 ^ { \circ } ，$$ 又 $$\because \angle B C E + \angle B E C = 9 0 ^ { \circ } ， \therefore \angle A E F =$$ $$C E ， \therefore \triangle A E F \sim \triangle B C E ， \therefore \frac { A E } { B C } = \frac { E F } { C E } ， 且 \frac { 2 } { 4 } = \frac { E F } { 2 \sqrt 5 } ， \therefore E F =$$ $$\sqrt 5 ， \therefore S _ { \triangle C B F } = \frac { 1 } { 2 } E F \cdot C E = \frac { 1 } { 2 } \times \sqrt 5 \times 2 \sqrt 5 = 5 .$$ 解法 2 思路提示： $$： S _ { \triangle C E F } = S _ { 1 } 和 A B C D = S _ { \triangle E B C } = S _ { \triangle A E P } - S _ { \triangle F D C }$$ $$2 . 9 0 ^ { \circ } 3 . \frac { 1 1 } { 2 }$$ 专题五手拉手模型 例 65 1.60 参考答案与重难题 一战成名新中考 2.5-1【解析】解法1：△ABC和 △ADE都是等腰直角三角形，AB=√2 AD=2...BC=2,DE=22..L BAD= ∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD= ∠CAE,AB=AC,AD=AE,.△ABD≌ B D △ACE(SAS),·BD=CE,∠ABD= 第2题解图 ∠ACE=45°，∴.∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°=∠ECD.设 CD=x,则BD=CE=2+x,在Rt△ECD中，根据勾股定理得 CD+CE2=DE2,即x2+(2+x)2=(22)2,解得x=5-1 (负值已舍去).CD=3-1. 解法2思路提示：如解图，过，点A作AF1D宇点F,在 等腰直角三角形ABC中，易得AF=CF=1,在Rt△AFD 中，易得DF=3,则CD=Df-CF=5.-l. 3.5 专题六对角互补模型 例(1)3：(2)8,421.42.43.72 专题七点圆、线圆最值模型 1.B2.A3.244.8,18 专题八辅助圆（隐形圆）模型 1.B2.A3.224.C5.√2+56.B 变式8+82【解析】解法1：如解图①，延长CB到点E, 延长BC到点F,使得BE=BA,CF=CA,则C△IBc=AB+BC +AC=EB+BC+CF=EF.作出△AEF的外接圆，连接OE, OF,AE,AF,过点0作EF的垂线，垂足为M,与⊙O交于 点N,.AB=EB,AC=FC,.∠AEB=∠EAB,∠CAF= ∠CFA..∠ABC=2∠AEB,∠ACB=2∠AFC.·∠BAC= 90°，.∠ABC+∠ACB=90°，∴.∠AEB+∠AFC=45°，∴. ∠EAB+∠FAC=45°，.∠EAF=135°，.∠E0F=90°.设 ⊙0的半径为r,则OM= 2,MNs,- 2x由MN≥AD ② 得， ≥4，解得r≥8+4万，r的最小值为8+42 又·EF=√2r,.EF的最小值为8+82，即△ABC周长 的最小值为8+8√迈」 NA E B MD C *0 图① 图② 变式题解图 解法2：如解图②，由定角定高的结论知当AB=AC时， △ABC周长最小，AD=4,∠BAC=90°，易得BC=2AD =8,AB=AC=4√2，即△ABC周长的最小值为AB+AC+ BC=8+82 7.A8.2 解析·河北数学 25专题四 线三等角（含弦图）模型 [2023.26(2)②；2020.26] 例如图，在△ABC中，AB=AC=4,BC=6,点D,E分别在BC,眼模型解读 AC上（点D不与B,C两，点重合），且∠1=∠C,若AD=DE, 条件：一线：∠1，∠2，∠3的顶点在一 则AE的长为 条直线上 三等角：∠1=L2=∠3. 图示： 例题图 分析：①在直线BC上从左向右找出三个相等的角 ②∠ADC=∠BAD+∠B=∠1+∠EDC,由①可以推出另外一 对相等的角是： 结论：△ABD兰△DCE(AAS) 【重点概述】一线三等角在解题过程中一般是利用三角形 内外角关系证明等角，继而证明全等 ©针对训练 1.多解法[2025陕西]如图，正方形ABCD的边长为4，点E为 AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC,则△CEF的面积为( A.10 B.8 C.5 D.4 D 变 B E D 第1题图 第2题图 外弦图 2.如图，已知等边三角形纸片ABC,点E在AC边上，点F在AB 内弦图 边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，若ED 结论：有边对应相等，则全等：无边对应 ⊥BC,则∠BFD= 相等，则相似 3.[2025邢台模拟]如图，在正六边形ABCDEF中，点M,N,P 分别在边AB,CD,AF上，且N是CD的中点，∠NMP=90°，若 AB=12,AM=4,则AP的长为 A M B 第3题图 8 专项分层提升练·河北数学 一战成名新中考 专题五 手拉手模型 [2025.19;2014.23;2013.24] 例如图，AB=AC,AD=AE(四线共点，两两相等)，点B,D,E®模型解读 在一条直线上，∠BAD=∠CAE(夹角相等)，∠1=35°，∠2手拉手全等 =30°，则∠3= 度 条件：四线共点，两两相等，夹角相等 图示： (1)等腰三角形 D 例题图 结论：△ABD≌△ACE(SAS) 注意：关于条件中的AB=AC,AD=AE,有时候会直接以特殊 (2)等边三角形 几何图形的形式给出，比如我们熟悉的等腰、等边三角形和 正方形 【重点概述】手拉手模型是一种基本的旋转型全等，与其说 看图找模型，不如是“找条件、定模型” (3)等腰直角三角形 @针对训练 1.如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A,C,E在一条 直线上，AD与BE相交于点P,AD与BC相交于点M,BE与 CD相交于点N,则∠APB= (4)正方形 B 结论：阴影部分2个三角形全等； 第1题图 (2)中∠AMB=∠BAC=60; 2.多解法一成名原创如图，△ABC和△ADE都是等腰直角 (3)中AE⊥BF; 三角形，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°，点B,C,D在同一 (4)中BG⊥DE 条直线上.连接CE,若AB=√2，AD=2,则CD= 手拉手相似 条件：△ABC中，DE∥BC,绕点A旋 转△ADE 图示： 第2题图 第3题图 3.成成名原创如图，四边形ABCD和四边形CGFE均为矩形， AB=3,BC=6,EF=2,CE=4,连接BE,若B,E,F三点共线 结论：△ABD∽△ACE 则△DCG的面积为 专项分层提升练·河北数学 9