专题三 五种构造全等三角形的方法-【一战成名新中考】2026河北中考数学·二轮复习·专项分层提升练

专题三五种构造全等三角形的方法 [2025.23] 方法①》倍长中线法（构造“8”字全等） 【构造方法见“遇到中点巧思考”类型7本册P3】 1.[人教八上P5图11.1-4改编]如图，在△ABC中，AB=4,AC=2,点D是BC的中点，连接AD,求AD长 度的取值范围 第1题图 方法②2)平行线法（构造“8”字全等） 【构造方法见“遇到中点巧思考”类型6本册P3】 2.多解法如图，在△ABC中，AB=AC,点E在AB上，点F在AC的延长线上，BE=CF,连接EF交BC 于点D.求证：DE=DF D 第2题图 方法③》垂直法（含一线三垂直） 【构造方法+练习见“一线三等角模型”本册P8、“对角互补模型”本册P10】 6 专项分层提升练·河北数学 一战成名新中考 方法④截长补短法 例1如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠B=2∠C,若AC=5,®模型抽离 AB=3,则BD的长度为 ( 条件：AD平分∠BAC,∠B=2∠C 抽离图形： B C D D 例1题图 截长法 补短法 A.1 B.2 C.3 D.4 B∠ D D @针对训练 辅助线作法： 3.多解法如图，在△ABC中，AB>AC,∠1=∠2，P为AD上 截长：在AC上截取AE,使AE=AB,连 任意一点（不与A,D重合），连接PB,PC,则AB-AC PB 接DE; -PC(填“>”“<”或“=”). 补短：延长AB至F,使AF=AC,连 接DF 结论：△ABD≌△AED,DE=CE; △ACD≌△AFD,BF=BD; B D 线段AB,AC,BD的数量关系是 第3题图 AB+BD=AC 方法⑤旋转法（半角模型常用旋转法）》 例2如图，△ABC为等边三角形，D在BC边上，连接AD,将颶模型解读 AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,连接DE,CE,直接写出条件：共顶点，AB=AC BD与CE的数量关系为 ;直线BD与CE所夹图示： 锐角为 度 锐角旋转 直角旋转 B 例2题图 @针对训练 钝角旋转 4.如图，四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个 锐角顶点与点A重合，将此三角板绕点A旋转时，两边分别 交线段BC,CD于点M,N,则BM,MN,DN满足的数量关 B D CB D 系为 辅助线作法：将AD绕点A旋转α得到 AE(a=∠BAC),连接DE,CE 结论：△ABD≌△ACE; △ADE是等腰三角形； B M ∠BAC=∠DAE; 第4题图 △ABCM△ADE 专项分层提升练·河北数学 7AD,连接BE,D为BC的中点，∴.CD=BD,在△ACD和 (AD=ED △EBD中∠ADC=∠EDB,.△ACD≌△EBD(SAS),.AC CD=BD =BE,S△ACD=S△sBD,.S△B=S△Bc,:AC=5,AD=6,.BE =5,AE=12,AB=13,AB=BE+AE,.△ABE为直 1 角三角形，且∠AEB=90°，SA=2AE·BE=2×12× 5=30,.△ABC的面积是30. B D D 图① 图② 例3题解图 解法2：如解图②，延长BA至点F,使得AF=AB,连接 CF,.D为BC的中点，.AD为△BCF的中位线，.CF =2AD=12,.AF=AB=13,AC=5,52+12=132,.AC2+ CF2=AF2,·.△ACF为直角三角形，且∠ACF=90°， LAC CF=1x5x12=30,AF=AB, 1 2 2 Sa4ca4r30 11.证明：如解图，延长DE到点F,使得EF=DE,连接BF 点E是BC的中点，.BE=CE ∠BEF=∠CED,EF=DE, ∴.△BEF≌△CED(SAS), .BF=CD,∠BFE=∠CDE ·∠BAE=∠CDE. ∴.∠BAE=∠BFE, .BF=AB、 .AB=CD. 第11题解图 专题二遇到角平分线巧思考 1.A2.48 3.B【解析】解法1：如解图①，延长CE交BA的延长线于 点F,:∠BAC=90°，.∠CAF=90°，BD平分∠ABC,BE ⊥CF,∴.∠ABD=∠CBD,∠BEC=90°，·∠BDA=∠CDE, .∠ABD=∠ACF,.·AB=AC,∴.△ABD△ACF(ASA), .BD=CF,·∠ABE=∠CBE,BE⊥CF,.CF=BD=2CE, 设CE=x,则BD=2x,“△BCD的面积为16，.)BD·CE 2×2x·x=16,x=4(负值已舍去)BD=8 图① 图② 第3题解图 解法2：如解图②，过点D作DF1BC于点F,设AD= a,易得DF=a:DC=2a,:AC=AD+CD=(1+W2)a,则 24 参考答案与重难 BC=/2AC=(5+2)a,由Sam=2DF·BC=2a· (√2+2)a=16,求得a2的值，FC=DF=a,.BF=BC-FC =(,2+1)a,在R△BDF中根据勾股定理求得BD=8 4号例1D55 例2子 【解析】解法1：如解图①，过点D作DE,/AB交 AC于点E,.∠BAD=∠ADE,.AD平分∠BAC, ∠BAD=∠CAD..∠ADE=∠CAD,.DE=AE,.·DE∥ 4B,ACDEACBA.C设DE=AG=,则CE= 3号号解得=只世总=35 88 15 DE//AB,.. BD AE 8 5 CDCE93 8 B D C 例2题解图① 解法2：如解图②，过点C作CFAD交BA的延长线宇 点F.CF∥AD,∴.∠F=∠BAD,∠DAC=∠ACF,.·AD 平分∠BAC,.∠BAD=∠CAD,.∠ACF=∠F,.AF= AC=3,CF/AD,∴.CDAF3 BD AB 5 G 图② 图③ 例2题解图 解法3：如解图③，过点B作BG∥AC交AD的延长线于 点G,∴.∠G=∠CAD,∠GDB=∠ADC,∴.△GDB∽ BG BD △ADC,ACCD :AD是∠BAC的平分线，∴.∠BAD= ∠DAC,.∠BAD=LG,MB=BG.-CD-AC AC3 BD BG AB 5 6.D 专题三五种构造全等三角形的方法 1.解：如解图，延长AD到点E,使得DE=AD,连接BE. 点D是BC的中点，.BD=CD, .·∠BDE=∠CDA,DE=AD. .△ACD≌△EBD(SAS), ∴.BE=AC=2,在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE, 题解析·河北数学 ∴.4-2<2AD<4+2,即1<AD<3. B G D E 第1题解图 第2题解图 2.证明：解法1：如解图，过点E作EG∥AC交BD于点G. AB=AC,∠B=∠ACB, .EG∥AC,∴.∠EGB=∠ACB=∠EBG ∴.BE=EG=CF.EG∥CF, ∴.∠DEG=∠DFC,∠DGE=∠DCF. ∴.△DEG≌△DFC(ASA),.DE=DF 解法2思路提示：过点E作BC的平行线。 例1B 3.>【解析】解法1（截长法）：如解图①，在AB上截取AE, (AE=AC. 使AE=AC,连接PE,在△AEP和△ACP中 ∠1=∠2， AP=AP. △AEP≌△ACP(SAS),∴.PE=PC,在△PBE中，BE>PB- PE,即AB-AC>PB-PC. D 图① 图② 第3题解图 解法2（补短法）：如解图②，延长AC至点M,使AM (AB=AM, AB,连接PM,在△ABP和△AMP中∠1=∠2，.△ABP AP=AP. ≌△AMP(SAS),∴PB=PM,在△PCM中，CM>PM- PC,即AB-AC>PB-PC. 2 BD=CE:60 4.BM+DN=MN 专题四一线三等角（含弦图）模型 例2；LB=∠1=∠C;∠BAD=∠EDC L.C【解析】解法1：.·四边形ABCD为正方形，.∴.AB=BC 4,∠A=∠B=90°，，E为AB的中点，∴.AE=BE=2,∴.CE =√BE+BC=√2+4=25，：EF⊥EC,.∠AEF+ ∠BEC=90°，又∠BCE+∠BEC=90°，∴∠AEF= AF EF 25BF= 2BCE,△AP∽ABCE,B即2E队 5.s ct=cs 2xW5x25=5 源法2思路现示85SSS 20a号 专题五手拉手模型 例651.60 参考答案与重难题 一战成名新中考 2.5-1【解析】解法1：△ABC和 △ADE都是等腰直角三角形，AB=√2 AD=2...BC=2,DE=22..L BAD= ∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD= ∠CAE,AB=AC,AD=AE,.△ABD≌ B D △ACE(SAS),·BD=CE,∠ABD= 第2题解图 ∠ACE=45°，∴.∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°=∠ECD.设 CD=x,则BD=CE=2+x,在Rt△ECD中，根据勾股定理得 CD+CE2=DE2,即x2+(2+x)2=(22)2,解得x=5-1 (负值已舍去).CD=3-1. 解法2思路提示：如解图，过，点A作AF1D宇点F,在 等腰直角三角形ABC中，易得AF=CF=1,在Rt△AFD 中，易得DF=3,则CD=Df-CF=5.-l. 3.5 专题六对角互补模型 例(1)3：(2)8,421.42.43.72 专题七点圆、线圆最值模型 1.B2.A3.244.8,18 专题八辅助圆（隐形圆）模型 1.B2.A3.224.C5.√2+56.B 变式8+82【解析】解法1：如解图①，延长CB到点E, 延长BC到点F,使得BE=BA,CF=CA,则C△IBc=AB+BC +AC=EB+BC+CF=EF.作出△AEF的外接圆，连接OE, OF,AE,AF,过点0作EF的垂线，垂足为M,与⊙O交于 点N,.AB=EB,AC=FC,.∠AEB=∠EAB,∠CAF= ∠CFA..∠ABC=2∠AEB,∠ACB=2∠AFC.·∠BAC= 90°，.∠ABC+∠ACB=90°，∴.∠AEB+∠AFC=45°，∴. ∠EAB+∠FAC=45°，.∠EAF=135°，.∠E0F=90°.设 ⊙0的半径为r,则OM= 2,MNs,- 2x由MN≥AD ② 得， ≥4，解得r≥8+4万，r的最小值为8+42 又·EF=√2r,.EF的最小值为8+82，即△ABC周长 的最小值为8+8√迈」 NA E B MD C *0 图① 图② 变式题解图 解法2：如解图②，由定角定高的结论知当AB=AC时， △ABC周长最小，AD=4,∠BAC=90°，易得BC=2AD =8,AB=AC=4√2，即△ABC周长的最小值为AB+AC+ BC=8+82 7.A8.2 解析·河北数学 25