专题一 遇到中点巧思考-【一战成名新中考】2026河北中考数学·二轮复习·专项分层提升练

一战成名新中考 8人 由表格可知，共有16种等可能出现的结果： 15.解：(1)调整前，总产量为40÷20%=200（万件） (2)由(1)知，共有16种等可能出现的结果，其中抽取的 .C产品的产量为200×15%=30（万件）， 两张卡片恰好是“角的性质”和“斜边中线的性质”的结果 则调整前A产品的年产量为200-(70+30+40)=60（万件）： 有2种， (2)m=25,n=28: (3)方案甲总成本为60×13+70×22+30×25+40×40=4670 ∴.抽取的两张卡片恰好是“角的性质”和“斜边中线的性 (万元)， 质”的概率为2=1 方案乙，总成本为60×16+70×28+30×18+40×32=4740（万 168 元)， ,4670<4740 12.解：(1)：P(一次拿到8元球)= 2 ∴.方案甲总成本较低。 命题点2概率 一8元球的个数为4权号2，则这4个球的价格分别为 1.B2.(1)A,D,G:(2)C,F;(3)B,E,H 7,8,8,9,∴.这4个球价格的众数为8： (2)①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的 3.B4.B5A变式B6.C7.D87 中位数相同.理由如下： 9.解：(1)8：(2)8 原来4个球的价格按照从小到大的顺序排列为7,8， 。1 8,9 10.解：(1)2 °=8， 二原来4个球价格的中位数为，二8 (2)补全树状图如解图： 开始 所剩的3个球价格分别为8,8,9， 第一轮： .所剩的3个球价格的中位数为8 甲胜 乙胜 :.所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位 第二轮： 甲胜 乙胜 甲胜 乙胜 数相同； 结果坐标：(-1,3)(-3,1) (-3.1) -5,-1) ②列表如下： 第10题解图 由树状图知，共有4种等可能的结果，其中点（甲，乙）落 又拿 在第二象限的有3种结果 P 先拿 ·P(点（甲，乙）落在第二象限)=3 4 8 (8,8) (8,8) (8,9) 11.解：(1)列表如下： 8 (8,8) (8,8) (8,9) 、第一张 第二张 C 0 9 (9,8) (9,8) (9,9) (A,A) (B,A) (C,A) (D,A) 共有9种等可能的结果，乙组两次都拿到8元球的结果 B (A,B) (B,B) (C.B) (D,B) 有4种， C (A,C) (B,C) (C,C) (D,C) 4 “乙组两次都拿到8元球的概率为 D (A,D) (B,D) (C,D) (D.D) 专项分层提升练 一、常考模型分类提升练 专题一遇到中点巧思考 例1√2【解析】解法1：如解图①，过点D作DF∥4B交 BC于点F,:D是AC的中点，∠B=90°，∠DFE=90° DF=之AB=1,:在R△DFE中，∠DBC=45°，DE= 图① 图② √2DF=√2. 例1题解图 解法2：如解图②，过，点A作DE的平行线交CB延长 线于点F,.∠DEC=45°，∴.∠AFC=45°，又 1.B变式 受22m-643万4号 5.25 ∠ABF=90°，AF=W2AB=22,又D是AC的中 64758D935°例2410多 点，DE为△AFC的中位线，DE=。AF=√2. 例330【解析】解法1：如解图①，延长AD至点E,使ED= 参考答案与重难题解析·河北数学 23 AD,连接BE,:D为BC的中点，CD=BD,在△ACD和 1 1 AD=ED. BC=5AC=(5+2)a,由Sam=2DF·BC=2a· △EBD中〈 ∠ADC=∠EDB,∴.△ACD≌△EBD(SAS),∴.AC (√2+2)a=16,求得a2的值，：FC=DF=a,BF=BC-FC CD=BD. =BE,S△ACD=SAED,S△B=S△ABC,AC=5,AD=6,.BE =(2+1)a,在R△BDF中，根据勾股定理求得BD=8 =5,AE=12,AB=13,AB2=BE+AE,△ABE为直 4号 例1D5.5 1 1 角三角形，且∠ABB=90°，SA4=2AE·BE=2×12× 例2 5 【解析】解法1：如解图①，过，点D作DE∥AB交 5=30,.△ABC的面积是30. AC于点E,.∠BAD=∠ADE,.AD平分∠BAC,. ∠BAD=∠CAD,∠ADE=∠CAD,.DE=AE,DE∥ AB△CDE~ACBA无设DE=AE=,则cE- D 图① 图② 88 例3题解图 5 解法2：如解图②，延长BA至点F,使得AF=AB,连接 DE//AB,.. BD AE 8 5 CF,D为BC的中点，.AD为△BCF的中位线，：CF CD CE 9 3 8 =2AD=12,.AF=AB=13,AC=5,52+122=132,∴.AC2+ CF2=AF2,.△ACF为直角三角形，且∠ACF=90°， 2Ac·CF= 2×5×12=30,:AF=4B, D 例2题解图① 11.证明：如解图，延长DE到点F,使得EF=DE,连接BF 点E是BC的中点，BE=CE 解法2：如解图②，过点C作CFAD交BA的延长线于 ∠BEF=∠CED,EF=DE, 点F.,CF∥AD,∴.∠F=∠BAD,∠DAC=∠ACF,.AD ∴.△BEF≌△CED(SAS), 平分∠BAC,.∠BAD=∠CAD,.∠ACF=∠F,.∴AF= BF=CD,∠BFE=∠CDE. AC=3,CFAD,∴. BD AB 5 .·∠BAE=∠CDE, CD AF3 ∴∠BAE=∠BFE .BF=AB, .AB=CD. 第11题解图 专题二遇到角平分线巧思考 1.A2.48 3.B【解析】解法1：如解图①，延长CE交B4的延长线于 点F,∠BAC=90°，.∠CAF=90°，BD平分∠ABC,BE 图② ⊥CF,∴.∠ABD=∠CBD,∠BEC=90°，：∠BDA=∠CDE, 图③ .∠ABD=∠ACF,.AB=AC,∴.△ABD≌△ACF(ASA), 例2题解图 .BD=CF,·∠ABE=∠CBE,BE⊥CF,.CF=BD=2CE, 解法3：如解图③，过点B作BGAC交AD的延长线于 设CB=x,则BD=2x,△BCD的面积为16,2BD·CE 点G,∠G=∠CAD,∠GDB=∠ADC,.△GDB BG BD △ADC,. 2 ×2x·x=16,∴x=4(负值已舍去)，∴.BD=8 CCD:AD是∠B1C的平分线∠BMD= BD BG AB 5 ∠DAC,.∠BAD=∠G,.AB=BG,∴. CD ACAC 3 6.D 专题三五种构造全等三角形的方法 图① 图② 1.解：如解图，延长AD到点E,使得DE=AD,连接BE 点D是BC的中点，.BD=CD 第3题解图 .·∠BDE=∠CDA,DE=AD. 解法2：如解图②，过点D作DF1BC于点F,设AD .△ACD≌△EBD(SAS), a,易得DF=a,DC=2a::AC=AD+CD=(1+2)a:则 ∴.BE=AC=2,在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE, 24 参考答案与重难题解析·河北数学一战成名目 一、常考模型分类提升练 专题一遇到中点巧思考 类型①遇一边中点，想三角形中位线 例1多解法如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2,D是AC 朗模型解读 条件：D是BC的中点 的中点，点E在边BC上，且∠DEC=45°，则DE的长为 图示1：在三角形内作中位线 B 【思路剖析】解法1：见[模型解读]图示1， 考虑过点D作AB的平行线构造中位线； D 解法2：见[模型解读]图示2，逆向思考将 例1题图 DE看作中位线 @针对训练 辅助线作法：取AC中点E,连接DE(过 1如图，四边形ABCD中，∠ADC=90°，AE=BE,BF=CF,连接 D作DE∥AB交AC于点E) EF,AD=3,CD=1,则EF的长为 ( ) 结论：DE=了B,E A.00 B.0 C.10 D.2√10 图示2：在三角形外作辅助线形成中 24 2 位线 D B B 第1题图 变式题图 辅助线作法：延长BA到E,使AE=BA, 变式一变考法[2025内江改编]如图，在口ABCD中，∠C= 连接CE(过C作CEDA交BA延 120°，AB=2,AD=2AB,点H,G分别是边DC,BC上的动点， 长线于点E) 连接AH,HG,点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接 结论：CE=2AD,CE∥AD EF,则EF的最小值为 类型2)遇直角三角形斜边中点，想斜边中线 2.[2024秦皇岛期末改编]如图，在△ABC中，CA=CB=16,∠ACB=跟模型解读 90°，以AB中点D为圆心，作圆心角为90的扇形EDF,点C恰好 条件：Rt△ABC中，D是AB的中点 在E℉上，则图中阴影部分的面积是 图示 辅助线作法：连接CD 第2题图 第3题图 3.如图，将两个含30°角的直角三角板摆放在一起，E为AB的中 结论：CDB,即CD=DB=D, 点，连接DE.若AC=2,则DE的长为 ∠B=∠DCB,∠A=∠ACD 专项分层提升练·河北数学 1 类型3)》遇等腰+中点，想三线合一 4.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点M为BC的中点，MW⊥颶模型解读 AC于点N,则MN的长为 条件：AB=AC,D是BC的中点 图示： 第4题图 第5题图 5.一成名原创如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，点D是 辅助线作法：连接AD 结论：AD⊥BC,AD平分∠BAC BC的中点，点E是AB的四等分点，且靠近点A,若SA即e 35 则BC的长为 类型④遇过中点的垂线，想垂直平分线 6.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC边的垂直平分线交AC于点国模型解读 D,交BC于点E,且∠C=15°，AB=2,则EC的长是 条件：D是BC的中点，DE⊥BC 图示： D E E 第6题图 第7题图 D 7.一成名原创如图，在平行四边形ABCD中，∠B=45°，点E是 辅助线作法：连接BE 边BC的中点，过点E作EF⊥BC交AB于点F.若AF=1,EF= 结论：BE=CE;ED平分∠BEC;∠EBC √2，则对角线AC= =∠ECB 类型⑤)》遇弦（或弧）的中点，想垂径定理及圆周角定理 8.[2025石家庄期末]如图，AB是⊙0的弦，C是AB的中点，连眼模型解读 接0C并延长交⊙0于点D.若CD=2,AB=8,则⊙0的直径条件：图示1，CF是直径，E是AB的中点 是 辅助线作法：连接AO A.25 结论：AE=BE;FC⊥AB;AE2+OE2=OA2 图示1： 图示2： B.45 C.5 B D D.10 第8题图 9.[2025邯郸期未节选]如图，AB是半圆0的直径，C,D是半 圆O上的两点，D为弧AC的中点，OD与AC交于点E.若 C ∠B=70°，则∠CAD的度数为 条件：图示2，C是AB的中点 辅助线作法：连接OC,交AB于点E 结论：AE=BE;MC=BC;0C⊥AB;∠ADC= 第9题图 2<40C 2 专项分层提升练·河北数学 一战成名新中考 类型6)遇中点+平行，构造全等三角形 例2如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E,F分别是AB,即模型解读 AD的中点，CE与BF交于点P,则DP的长为 条件：E是AD的中点 【思路剖析】只知道正方形边长，则需要找DP与边长的关系.题 图示1： 中易得三垂真型△4BF总△BCE,可得∠CPF=90°，此时想到延 长BF,CD交于点H,即平行线法构造AABF兰△ADHF是解题关 键，再利用真角三角形斜边中线性质即可得解 辅助线作法：过点A作AF∥CD 结论：△CED≌△FEA 条件：E是AD的中点，ABDF 例2题图 第10题图 图示2： ©针对训练 10.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,BC=3,AB=5,AD=6.若 点M是线段BD的中点，则CM的长为 辅助线作法：延长BE交DF于点C 结论：△ABE≌△DCE 类型⑦)》遇中点，想倍长中线 例3多解法如图，在△ABC中，点D为BC的中点，若思模型解读 AB=13,AC=5,AD=6,则△ABC的面积为 条件：D是BC的中点 图示： 【思路剖析】解法1：考虑倍长AD作与△ADC全等的三角形； 解法2：见类型1[模型解读]图示2，D为BC的中，点，可将AD看 作中位线构造三角形 B D 例3题图 @针对训练 11.如图，点E是BC的中点，点A在DE上，∠BAE=∠CDE.求 证：AB=CD. 图2 辅助线作法： 图1：延长AD到E,使DE=AD,连 接BE; 图2：延长FD到E,使DE=FD,连 第11题图 接CE 结论：图1：△BDE≌△CDA; 图2：△CDE≌△BDF 专项分层提升练·河北数学 3