第二章 导数及其应用（复习讲义）高二数学北师大版选择性必修第二册

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第二章导数及其应用（复习讲义) 单元目标聚焦·明核心 在导数章节中，主要考察导数的概念、几何意义、导数的应用，在复习中主要分以下目标： 一、基础目标（概念的理解与基本运算） (1)了解导数的基本概念，导数的背景（如瞬时速度、切线斜率），说出平均变化率与瞬时变化率的区别 与联系。 (2)能默写基本初等函数的导数公式（常数、幂函数、三角函数、指数函数、对数函数），能运用导数的 四则运算法则求简单函数的导数（和、差、积、商），能识别复合函数的结构，并套用复合函数求导法则。 (3)能解释导数的几何意义（曲线在某点处切线的斜率），并求出切线方程 二、进阶目标（切线以及导数在函数中的应用) (1)导数中切线的应用，双切线问题、切线条数问题、切线在距离问题上的应用等。 (2)熟悉导数与函数单调性之间的关系，尤其在含参讨论单调性问题上，做到分类标准清晰，不重不漏。 (3)熟悉导数与函数极值、最值之间的关系，其中含参问题比较复杂。 三、拓展目标 (1)导数中的恒成立、能成立问题求参，问题可以从参变分离与函数的最值问题着手。 (2)证明不等式问题，利用单调性、放缩法等来进行证明。 (3)用导数研究函数的零点问题（零点个数的判定、零点存在性讨论、隐零点问题等）。 (4)导数中的双变量问题、极值点偏移等问题。 知识图谱梳理 固基础 1/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 平均变化率的概念 导数（瞬时变化率）的橱念 导数的概念及 其几何意义 平均变化率与瞬时变化率的关系与区别 导数的几何意义：平均变化率代表的割线斜率与导 数代表的切线的斜率 基本初等函数的求导公式 导数的运算 导数的四则运算：和、差、积、商的求导法则 复合函数的导数的求法 导数及其应用 利用导数的正负性 判定函数的单调性 导数与函数的单调性 对含参函数单调性的讨论 根据单调性来求参数 极值与极值点的概念 导数与函数的极值、最值 导数与极值之间的关系 最值与极值之间的区别与联系 教材要点精析·夯重点 知识点 重点归纳 常见易错点 导数的概念 函数在某点处的瞬时变化率；极限定义式；导数几 误将平均变化率当导数；忽略导 何意义（切线斜率） 数定义中△x趋近于0；混淆点 处导数与导函数 导数的计算 基本初等函数导数公式：四则运算法则（和差积商）； 忽略负号；复合函数求导时漏乘 复合函数求导（链式法则） 内层导数： 导数的几何意义 导数的几何意义与切线的斜率关系，平均变化率与 混淆在某点切线与过某点切线 割线的斜率的关系。 (需设切点)；忽略切点既在曲 线上也在切线上 函数的单调性 f'(x)>0则f(x)单调递增；f'(x)<0则单调递减； 忽略定义域：将导数为零的点直 导数为零的点是单调区间分界点 接当作单调区间端点（需验证左 右导数符号)；单调区间误用并 2/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 集符号 函数的极值 极值点处f'(x)=0;左右导数异号才为极值点； 认为f'(x)=0的点一定是极值 极大值不一定大于极小值 点（忘记验证左右符号）；混淆 极值点与驻点；忽略极值点必须 在定义域内 函数的最值 闭区间上最值=比较极值点与端点函数值；开区 只比较极值点，忘记比较端点值： 间上最值可能不存在 误将极值当作最值；忽略实际问 题的定义域约束 导数与不等式 构造函数利用单调性证明不等式；最值法证明恒成 造函数后求导错误；忽略定义域 立问题 对不等式变形的影响；参数讨论 时分类标准不清晰 导数与零点问题 利用单调性和极值判断零点个数；结合图象研究参 忽略定义域；零点存在性定理使 数对零点的影响 用条件不满足（连续且两端点值 异号) 含参讨论问题 分类讨论的常见标准：导函数类型、判别式、根的 分类讨论不完整（漏情况）；讨 大小、根与定义域的位置关系 论标准交叉混乱；讨论后忘记综 合结论 考点题型突破·拓思维 题型一导数的概念 【例1】(25-26高二下·全国·课堂例题)在曲线y=x2+2的图像上取点(1,3)及邻近的一点(1+△x,3+△y), 则y为() △x A.Ar+ -+2 B.△x+2 D.4x-1-2 △ C.4r+ △x △x 【变式1-1】（多选）(25-26高二上·全国·单元测试)大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环 境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）·如图是甲、乙两地某一 天的气温曲线图.假设除绿化外，其他可能影响甲、乙两地气温的因素均一致，则下列结论中正确的是() 3/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 气温/C 24 22 2 18 6x------ 14 12 10---------- 0 6 121824时间/时 A.甲地的绿化好于乙地 B.当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C.当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D.当日12时，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 选 正 原因 项 误 由题图可知，甲地气温的日较差明显小于乙地气温的日较差，所以甲地的绿 化好于乙地 由题图可知，当日6时到12时，甲、乙两地气温的平均变化率为正数，且乙 凸 地气温的变化量更大，所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化 率 由题图可知，当日12时到18时，甲、乙两地气温的平均变化率为负数，且 C + 乙地气温的变化量的绝对值更大，所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温 的平均变化率。 由题图可知，两曲线在当日12时处的切线斜率不相等，即当日12时，甲、 D + 乙两地气温的瞬时变化率不相同. 【变式1-2】（多选） (25-26高二下·全国单元测试)已知：函数y=f(x)的自变量x,处的改变量△x,函 数值的改变量为△，∫(x)在处的导数值f'(x,),下列等式中正确的是() A.f()=lim Ay B.f(xo)=lim f(x)-f(x)】 △r0△x x→6 x-xo C.f(xo)=lim f(xo+Ax)f(xo) D.f'(xo）=lim f(x+△)-f(x】 △x 【变式1-3】(25-26高二上·广东深圳期末)已知函数f(x)的导函数为f(x),且1im f(2)-f(2+Ax=2 2△x 4/13 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ,则f(2)=() A.2 B.-2 C.4 D.-4 题型二导数的运算 【例2】(25-26高二下·广西玉林月考)下面求导正确的是() A(- B.(cosx)=sinx C.(3=x3 D.(log2x)= 1 xIn 2 【变式2-1】(25-26高二上河北秦皇岛期末)下列求导正确的是() A. x-+6 3r2+1 B 2 C.x3.3=x2.3ln3 e (x-2)e* D 【变式2-2】(25-26高二下·全国·课堂例题)求下列函数的导数. (1)y=103x-2; (2)y=ln(e*+x2): (3)y=2sin 3x- /9 4y=1-2x 【变式2-3】(25-26高二下·全国·课堂例题)下列说法正确的个数为() @老-5.则y-x21,②若m,则刘=s:@=,则f= x4 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 题型三切线问题 【例3】(2026黑龙江一模)曲线y=x+2在x=2处的切线方程为 【变式3-1】(25-26高二上云南曲靖期末)已知直线ax-y+1=0与曲线y=e+x”在x=1处的切线垂直， 则a= 【变式3-2】(25-26高三上·山西长治·开学考试)过坐标原点作曲线y=(x-a)e(a≠0)的切线，若切线有 5/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 且只有一条，那么a=() A.-2 B.-4 C.2 D.4 【变式3-3】(2025高三·全国.专题练习)过坐标原点作曲线f(x)=x(x-c(c≠0)的两条切线，记其斜率 分别为k,飞2，则k-k=() A.c B.c2 C. D.c 题型四利用导数讨论单调性 【例4】(25-26高三下·辽宁.开学考试)函数fx=xlnx-2x+3的单调递减区间为 【变式41】(2027高三全国专题练习)已知函数f(x)=三-2x+21na(a>0),判断函数f(x在1，+o)上 a 的单调性. 【变式4-2】(2026四川成都二模)已知函数fx)=2a21nx-x2(a>0) (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(L,f()处的切线方程； (2)求函数f(x)的单调区间. 【变式4-3】（25-26高二下·全国课后作业)求函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1的单调区间. 题型五根据单调性求参 【例5】(2026广东广州二模)已知函数f(x=xe“在区间 上单调递增，则k的取值范围为 【变式5-1】(25-26高三下·北京海淀·开学考试)若函数f(x)= em2 在区间 x2-ax,x≥1 (-o,+0)上单调递增，则实数m的值为 实数a的取值范围为 【变式5-2】(2026重庆一模)已知函数f(x=2+2+2,若关于m的不等式f(m-1)-f(2m+1)<0成立， 测实数m的取值范围是() A.（-∞，-2)U(0,+o) B. c.m,2u后+w n.2u号+ 【变式5-3】(2027高三全国专题练习)已知fx=(a2-e-}x2,若不等式f1nx<f(x-1)在 6/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1,+o)上恒成立，则a的取值范围为() A.【-1, B.[-V2,2 C.[0, D.（-o,-V2]v[V2,+∞ 题型六利用导数求极值 【例6】(2026高三·天津.专题练习)己知函数f(x)=x+a(lnx+1,a∈R,求函数f(x)的单调区间和极 值 【变式6-1】(25-26高二下浙江开学考试)函数fw)=x·sim严在区间 1 100*o 上极大值点个数为() A.49 B.50 C.99 D.100 【变式6-2】(25-26高二下·湖南长沙.开学考试)已知定义在R上的函数f(x)=ae+be(a>0,b>0) (1)若a=2,b=1,求出曲线y=f(x在点0，f(0)处的切线方程； (2)求f(x)的极值 【变式6-3】（多选)(25-26高二上重庆期末)已知函数f(x)=(x-2)'(x-5),则() A.函数f(x)有两个极值点 B.函数f(x)的单调递减区间为 2》 C.x=2是函数fx)的极大值点 D.方程f(x)=4有两个实数根 题型七根据极值点求参 6山东潍坊一模)若函数f四r+:之有两个极值，则实数d 【变式7-1】(2026四川：模拟预测)已知函数1)=(2-Q血x+,一ax既有极大值又有极小值，则实数。 的取值范围为 【变式7-2】(25-26高二上·云南昭通期末)若3是函数f(x)=(x-2(x-3)(x-@)的一个极值点，则 f(0)= 【变式7-3】(25-26高三上河北邢台·期末)己知函数f(x=x3+ax2+b,x=2为其一个极值点，且 f(a+1=-16,则b=: 7113 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型八导数与最值问题 【例8】(25-26高二上·福建莆田期末)函数f(x)=ax-be+1在x=0处取最大值-1，则a+b=() A.-5 B.-4 C.3 D.4 【变式8-1】(24-25高二下·江苏无锡月考)函数fx)=-x+3x在区间(-m,√2m)上存在最大值与最小值，则 实数m的取值范围为() A.1<m≤ 6 B.1<m≤√2 C.m> √2 D.m>1 2 ax+4lnx,0<x<1, 【变式8-2】(2026山东滨州一模)若函数f(x)= (:x-,x≥1有最大值，则a的取值范围为 2sin -x- 36 【变式8-3】(25-26高三上广东深圳期末)若函数f(x)=2x3-6x在区间(-a,)存在最大值，则a可以取的 值为() A B.1 C. 2 D 题型九零点问题 【例9】(2026高二全国.专题练习)己知函数f(x)=(ax-1)e-x+1,讨论f(x)的零点个数. 【变式9-1】（陕西省2026届高考适应性检测（二）数学试题)已知函数f(x)=ae-x,其中a>0,e为自 然对数的底数. (1)求函数f(x的单调区间； (2)讨论函数f(x)的零点个数. 【变式9-2】（多选)(25-26高三上广西崇左期末)已知函数fx)=(r+)_3 2 (x>1),则() In x A.f3)>0 B.f(x)的零点个数为1 C.f(x)在(2,3)上存在零点 D.f(x)在(L,+oo)上单调递减 【变式9-3】(2026高三上海专题练习)已知函数fx)=e-(a∈R),讨论函数f(x)的零点个数 8/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型十恒成立能成立问题 【例10】(2026江西一模)若3meR使得不等式 Inx -m In2-In2x-m 4 ≤0对任意xe(0,a恒成立， 则实数a的最大值为() A.1 B.e C.4 D.2e 【变式10-1】(2026高三上海·专题练习)已知函数f(x=ae-4,g(x)=lnx-x-1,其中e为自然对数的 底数，a∈R,若对任意的.x2∈(0,1.，总存在xe(0,1,使得f(x)≥gx),求a的取值范围 【变式10-2】(2026山东青岛一模)已知函数fx)=e-ax. (I)讨论f(x)的单调性； (2)当x>0时，f(x)≥x2-x+1恒成立，求a的取值范围. 【变式10-3】（2026河南开封模拟预测)已知a为实数，函数f(x)=ln(-2x)+ax-2 sinxcosx,函数 g(x)=xlnx-e*+x+e-2. )若f)在区间-季0)上单调递减，求a的取值范国。 (2)求函数g(x)极值点的个数； (3)当a=4时，证明：x∈[-元，0)，x,∈L,+o),使fx)<gx,). 题型十一证明不等式 【例11】(25-26高二下.浙江·开学考试)已知函数f(x=xe,gx)=lnx. (I)求f(x在点(1，©)处的切线方程； 回当a>0,对任意的xe0,+m,g≤ar2-恒成立，求实数c4的取值范国， （同证明：>e+8分 【变式11-1】(2026江苏一模)己知函数f(x=a2x2-3axnx,a>0. (1)当a=1时，求曲线y=f(x在1，f1)处的切线方程； (②)讨论f(x)的零点个数： 9/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3 (3)当a>三时，证明：f(x)>2sinx, 【变式11-2】(2026山东济宁.一模)已知函数f(x)=e2-x+2a (1)求函数f(x的单调区间和极值： (2)求证：当a>1n2-1且x>0时，22>x2-2ar+2. 2 【变式11-3】(25-26高二上浙江杭州期末)已知函数fx)=lnx+ax2-(2a+1)x,其中a为常数 (1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间； (2)若对任意的x∈(1，+0)，都有f(x≤0恒成立，求实数a的取值范围： ⑧设0<a<分证：当0<x<1时，八<x- 分层阶梯训练 提能力 基础巩固通关测 1. （2026江苏镇江·一模)设1im f(2+△)-f2=-1,则曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线的斜率为 △x () A.-1 B.-4 C.1 D.4 1 2.(2026湖北黄冈一模)设函数f(x)=√x-一-2nx,则曲线y=f(x)在点(L,f()处的切线方程为 x 3.(2027高三全国.专题练习)曲线f(x)=e+ax在点(0,1)处的切线与直线y=2x平行，则a= 4.(2026重庆模拟预测)已知函数f(x)=x2+2ax-1与gx)=e+b的图象在x=0处的切线重合，则 a+b=() 3 A.e-1 B.e+1 c 2 D.2 5.(25-26高三下·安微月考)设函数f(x)=x3-6x2+9x-4,则() A.曲线y=f(x)切线斜率的最小值为-3 10/13 第二章 导数及其应用（复习讲义） 在导数章节中，主要考察导数的概念、几何意义、导数的应用，在复习中主要分以下目标： 一、基础目标（概念的理解与基本运算） （1）了解导数的基本概念，导数的背景（如瞬时速度、切线斜率），说出平均变化率与瞬时变化率的区别与联系。 （2）能默写基本初等函数的导数公式（常数、幂函数、三角函数、指数函数、对数函数），能运用导数的四则运算法则求简单函数的导数（和、差、积、商），能识别复合函数的结构，并套用复合函数求导法则。 （3）能解释导数的几何意义（曲线在某点处切线的斜率），并求出切线方程 二、进阶目标（切线以及导数在函数中的应用） （1）导数中切线的应用，双切线问题、切线条数问题、切线在距离问题上的应用等。 （2）熟悉导数与函数单调性之间的关系，尤其在含参讨论单调性问题上，做到分类标准清晰，不重不漏。 （3）熟悉导数与函数极值、最值之间的关系，其中含参问题比较复杂。 三、拓展目标 （1）导数中的恒成立、能成立问题求参，问题可以从参变分离与函数的最值问题着手。 （2）证明不等式问题，利用单调性、放缩法等来进行证明。 （3）用导数研究函数的零点问题（零点个数的判定、零点存在性讨论、隐零点问题等）。 （4）导数中的双变量问题、极值点偏移等问题。 知识点 重点归纳 常见易错点 导数的概念 函数在某点处的瞬时变化率；极限定义式；导数几何意义（切线斜率） 误将平均变化率当导数；忽略导数定义中△x趋近于0；混淆点处导数与导函数 导数的计算 基本初等函数导数公式；四则运算法则（和差积商）；复合函数求导（链式法则） 忽略负号；复合函数求导时漏乘内层导数； 导数的几何意义 导数的几何意义与切线的斜率关系，平均变化率与割线的斜率的关系。 混淆在某点切线与过某点切线（需设切点）；忽略切点既在曲线上也在切线上 函数的单调性  则单调递增； 则单调递减；导数为零的点是单调区间分界点 忽略定义域；将导数为零的点直接当作单调区间端点（需验证左右导数符号）；单调区间误用并集符号 函数的极值 极值点处；左右导数异号才为极值点；极大值不一定大于极小值 认为 的点一定是极值点（忘记验证左右符号）；混淆极值点与驻点；忽略极值点必须在定义域内 函数的最值 闭区间上最值 = 比较极值点与端点函数值；开区间上最值可能不存在 只比较极值点，忘记比较端点值；误将极值当作最值；忽略实际问题的定义域约束 导数与不等式 构造函数利用单调性证明不等式；最值法证明恒成立问题 造函数后求导错误；忽略定义域对不等式变形的影响；参数讨论时分类标准不清晰 导数与零点问题 利用单调性和极值判断零点个数；结合图象研究参数对零点的影响 忽略定义域；零点存在性定理使用条件不满足（连续且两端点值异号） 含参讨论问题 分类讨论的常见标准：导函数类型、判别式、根的大小、根与定义域的位置关系 分类讨论不完整（漏情况）；讨论标准交叉混乱；讨论后忘记综合结论 题型一 导数的概念 【例1】（25-26高二下·全国·课堂例题）在曲线的图像上取点及邻近的一点，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 当时，． 【变式1-1】（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）．如图是甲、乙两地某一天的气温曲线图．假设除绿化外，其他可能影响甲、乙两地气温的因素均一致，则下列结论中正确的是（    ） A．甲地的绿化好于乙地 B．当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日12时，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 【答案】AB 【分析】根据曲线图直接判断A，结合题目数据根据平均变化率的概念判断BC，结合题目数据根据切线斜率判断D. 【详解】列表解析，直观解疑惑 选项 正误 原因 A √ 由题图可知，甲地气温的日较差明显小于乙地气温的日较差，所以甲地的绿化好于乙地． B √ 由题图可知，当日6时到12时，甲、乙两地气温的平均变化率为正数，且乙地气温的变化量更大，所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率． C × 由题图可知，当日12时到18时，甲、乙两地气温的平均变化率为负数，且乙地气温的变化量的绝对值更大，所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率． D × 由题图可知，两曲线在当日12时处的切线斜率不相等，即当日12时，甲、乙两地气温的瞬时变化率不相同． 故选：AB 【变式1-2】（多选）（25-26高二下·全国·单元测试）已知：函数的自变量处的改变量，函数值的改变量为在处的导数值，下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据导数的定义及极限的简单运算计算即可判断. 【详解】根据导数的定义可知，A正确； 若令，当，则， 则，B正确； 根据导数的定义，C错误； 根据导数的定义可知，D正确． 故选：ABD. 【变式1-3】（25-26高二上·广东深圳·期末）已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．-2 C．4 D． 【答案】D 【分析】由导数的定义运算即可. 【详解】由题意得，. 故选：D 题型二 导数的运算 【例2】（25-26高二下·广西玉林·月考）下面求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据基本初等函数的求导公式可知，，，，，故ABC错误，D正确. 【变式2-1】（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，因为，所以A不正确； 对于B，因为，所以B不正确； 对于C，因为，所以C不正确； 对于D，因为，所以D正确． 【变式2-2】（25-26高二下·全国·课堂例题）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）采用换元法，利用指数函数和一次函数的求导法则结合复合函数求导法则求解； （2）采用换元法，利用对数函数和指数、幂函数的求导法则结合复合函数求导法则求解； （3）采用换元法，利用正弦函数和一次函数的求导法则结合复合函数求导法则求解； （4）采用换元法，利用幂函数和一次函数的求导法则结合复合函数求导法则求解． 【详解】（1）令，则， ． （2）令，则， ． （3）设， 则． （4）设， 则． 【变式2-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）下列说法正确的个数为（    ） ①若，则；②若，则；③，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的导数判断即可. 【详解】①为常数函数，其导数，故①错误. ②若，则其原函数（为常数），故②错误. ③根据幂函数的求导公式，若，则，故③正确. 所以正确的个数为1个. 题型三 切线问题 【例3】（2026·黑龙江·一模）曲线在处的切线方程为________． 【答案】 【分析】求出函数的导函数，代入即可求出切线的斜率，再利用点斜式即可得到切线方程. 【详解】函数，求导得，则，切点， 由点斜式得切线方程为，整理得． 故答案为：. 【变式3-1】（25-26高二上·云南曲靖·期末）已知直线与曲线在处的切线垂直，则________． 【答案】 【分析】先对曲线求导得到在处的切线斜率，再利用两直线垂直时斜率乘积为的关系求出参数的值. 【详解】，则曲线在处的切线的斜率， 由切线垂直得：，即． 故答案为： 【变式3-2】（25-26高三上·山西长治·开学考试）过坐标原点作曲线的切线，若切线有且只有一条，那么（    ） A．-2 B．-4 C．2 D．4 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义，用点斜式写出切线方程，代入原点即可求出. 【详解】设切点为， 所以切线的斜率， 切线方程为． 将坐标原点代入可得， 因为切线有且只有一条，所以， 解得或，又，所以， 故选：D． 【变式3-3】（2025高三·全国·专题练习）过坐标原点作曲线的两条切线，记其斜率分别为，，则（    ） A．c B． C． D． 【答案】B 【分析】把函数展开，求出导数，设切点为，根据点斜式写出切线方程，代入原点坐标求出,代入导数可求出切线斜率，即可得到结论. 【详解】由题知，则，设切点坐标为，则切线方程为，又切线过原点，则，解得或c，当时，，当时，，故． 故选：B 题型四 利用导数讨论单调性 【例4】（25-26高三下·辽宁·开学考试）函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【详解】函数的定义域为，， ，解得， 故函数的单调递减区间为. 【变式4-1】（2027高三·全国·专题练习）已知函数，判断函数在上的单调性． 【答案】当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 【分析】先对函数求导，然后根据参数的不同取值讨论导数的正负，从而判断函数在给定区间上的单调性变化. 【详解】由题知，， 所以，， 当时，，在上单调递增． 当时，令，， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【变式4-2】（2026·四川成都·二模）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】(1)利用导数的几何意义求解； (2)利用导函数研究函数的单调性. 【详解】（1）当时，， ，则， 又，∴曲线在点处的切线方程为． （2），， ，，由，得，由，得． 的单调递增区间为，单调递减区间为． 【变式4-3】（25-26高二下·全国·课后作业）求函数的单调区间． 【答案】答案见解析 【分析】先对函数求导，然后分三种情况讨论求解． 【详解】的定义域为．． 当时，，故在上单调递增． 当时，，故在上单调递减． 当时，令，解得． 则当时，时，． 故在上单调递增，在上单调递减． 综上知，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时， 在上单调递减． 题型五 根据单调性求参 【例5】（2026·广东广州·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由在区间上单调递增，得到在区间上恒成立，从而得到在区间内恒成立，即，计算得解. 【详解】，， 在区间上单调递增， 在区间上恒成立， 在区间上恒成立， ，在区间内恒成立， ，， 的取值范围为. 【变式5-1】（25-26高三下·北京海淀·开学考试）若函数在区间上单调递增，则实数m的值为________，实数a的取值范围为________． 【答案】 1 【分析】利用导数判断出函数在上单调递增时，再由二次函数性质以及分段函数端点处函数值的大小求出结果. 【详解】设， 则在上恒成立， 则需要与在上始终保持符号相同，所以， 设，则对称轴，得， 且，即，得， 综上，实数a的取值范围为． 【变式5-2】（2026·重庆·一模）已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的对称性，再通过求导判断函数的单调性，计算即可. 【详解】，即， ， 令，解得：， 当时，，，则在区间单调递增； 当时，，在区间单调递减； ， 即， 关于对称， ， ，即， 两边平方得， 解得， 则实数的取值范围是. 【变式5-3】（2027高三·全国·专题练习）已知，若不等式在上恒成立，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先构造函数比较出自变量的大小关系，将原不等式转化为函数单调性问题，再利用导数研究恒成立条件，分离参数后通过分析函数的最值得出参数范围. 【详解】设， 则， ∴在上单调递增，∴， ∴，， ∴， 又在上恒成立， ∴需要在上为增函数， 即对，恒成立， 即在上恒成立； 令，，则， 当时，，在上单调递减，故， ∴，解得或． 故选：D. 题型六 利用导数求极值 【例6】（2026高三·天津·专题练习）已知函数，，求函数的单调区间和极值. 【答案】答案见解析 【分析】对函数求导，分和两种情况讨论函数的单调性，进而求解极值. 【详解】因为函数，， 则， 当时，，函数在上单调递增，无极值； 当时，令，解得，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，函数取极小值，无极大值， 综上：当时，函数在上单调递增，无极值； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取极小值，无极大值. 【变式6-1】（25-26高二下·浙江·开学考试）函数在区间上极大值点个数为（   ） A．49 B．50 C．99 D．100 【答案】A 【分析】利用换元法可将问题转化为在上的极小值点的个数，利用导数结合正切函数的图像可得后者极值点的个数. 【详解】令，故在区间上极大值点个数即为在上的极小值点的个数. 而 ，令，则， 故，故极值点的个数即为方程在上的变号零点的个数. 令，方程在上的变号零点的个数即为在上变号零点的个数， 考虑在上交点的个数， 因为当时，，故在上无交点， 如图，在， 在上无零点， 故在上共有不同的变号零点 所以方程在上共有不同的变号零点， 设它们为，则，， 当，其中，， 此时，故，故此时, 当，其中， 此时，而，故此时, 故为的极大值点，共49个， 所以在区间上极大值点个数为49个. 【变式6-2】（25-26高二下·湖南长沙·开学考试）已知定义在上的函数 (1)若，，求出曲线在点处的切线方程； (2)求的极值. 【答案】(1) (2)极小值为，没有极大值 【分析】（1）通过导函数求值，导数值与切线斜率的关系求解； （2）通过导函数与函数单调性的关系、极值的定义求解. 【详解】（1），时，， 所以，，， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）因为为增函数，令，解得， 在上符号为负，在上符号为正增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值为,没有极大值. 【变式6-3】（多选）（25-26高二上·重庆·期末）已知函数 ，则（    ） A．函数 有两个极值点 B．函数 的单调递减区间为 C． 是函数 的极大值点 D．方程 有两个实数根 【答案】ACD 【分析】直接求导得，分析其导函数正负和单调性即可判断ABC，对D，通过代入计算和单调性即可判断. 【详解】对于A、C，函数的定义域为，函数求导得 令，解得或， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 因此是极大值点，是极小值点， 函数有两个极值点，AC正确； 对于B，由上分析可知函数的单调递减区间为，而不是，所以B错误； 对于D，由上分析函数的单调性求解函数的值域，因为， 当时，；当时，； 则当时，，且函数递增， 故一定存在唯一实数根，使得， 当时，此时单调递减，结合， 则其一定存在唯一实数根，使得， 当时，此时单调递增，则， 此时不存在实数根使得， 综上所述，方程 有两个实数根，D正确； 故选：ACD. 题型七 根据极值点求参 【例7】（2026·山东潍坊·一模）若函数有两个极值，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先确定函数的定义域，再求出函数的导数，根据导数与极值点关系计算即可. 【详解】函数的定义域为， ， 函数在有两个极值， 在有两个不相等的实数根， 即在有两个不相等的实数根， 令，对称轴为， 要使在有两个不相等的实数根， 则需满足，解得， 综上，实数的取值范围为. 【变式7-1】（2026·四川·模拟预测）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为_________. 【答案】 【分析】求出函数的导数，利用有两个不等的正根求出范围并验证即可. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由函数既有极大值又有极小值，得方程有两个不等的正根， 则，解得，令是的两个正根， ，则，当或时，； 当时，，函数在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意， 所以实数a的取值范围为. 【变式7-2】（25-26高二上·云南昭通·期末）若是函数的一个极值点，则_____. 【答案】 【分析】对函数进行求导，是极值点，则，计算出的值代入原函数计算即可. 【详解】， 因为是函数的极值点， 所以，即， 故，所以，. 故答案为： 【变式7-3】（25-26高三上·河北邢台·期末）已知函数为其一个极值点，且，则______． 【答案】4 【分析】求导，利用极值点处导数为0求出，进而代入求出． 【详解】由，求导得， 为其一个极值点，，解得， ，此时， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以满足条件，又， ，解得． 故答案为：4． 题型八 导数与最值问题 【例8】（25-26高二上·福建莆田·期末）函数在处取最大值，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【详解】由，得， 因为函数在处取最大值，所以， 解得，所以. 【变式8-1】（24-25高二下·江苏无锡·月考）函数在区间上存在最大值与最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，令，解得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 因为函数在区间上存在最大值与最小值， 所以，所以. 【变式8-2】（2026·山东滨州·一模）若函数有最大值，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】当时， 有最大值，最大值为2， 因为函数有最大值， 若在内的上确界大于，则该上确界将无法在函数的定义域内取到，导致函数无最大值， 故必有在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 因为当时，， 所以单调递减，当时，， 所以， 所以的取值范围为. 【变式8-3】（25-26高三上·广东深圳·期末）若函数在区间存在最大值，则可以取的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求，得出的单调性和最值，可得，解不等式即可. 【详解】，， 所以当或时，，所以在，上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时取得极大值， 所以要使函数在区间存在最大值， 则可得：，即， 解得：. 故选：C. 题型九 零点问题 【例9】（2026高二·全国·专题练习）已知函数，讨论的零点个数． 【答案】当时，函数有两个零点；当时，函数有一个零点． 【分析】根据参数分离法，通过构造新函数，利用数形结合思想分类讨论进行求解即可． 【详解】当时，，则， 此时该函数是实数集上的减函数，而，所以此时函数有唯一零点； 由，得， 设，则有， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增，且， 函数的图象和直线的图象如图所示： 显然当时，直线和函数的图象有唯一交点； 函数在处的切线斜率为， 因此当时，直线和函数的图象有唯一交点； 因此当时，直线和函数的图象有两个交点， 当时，直线和函数的图象有两个交点， 综上所述：当时，函数有两个零点， 当时，函数有一个零点． 【变式9-1】（陕西省2026届高考适应性检测（二）数学试题）已知函数，其中，为自然对数的底数． (1)求函数的单调区间； (2)讨论函数的零点个数． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为. (2)时, 没有零点；时，有一个零点；时，有两个零点. 【分析】（1）对函数求导，根据导数的正负即可容易判断函数的单调性； （2）由（1）求出函数的最小值 ，根据最小值的正负，结合函数单调性以及零点存在定理判定零点个数. 【详解】（1） ，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上，的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由（1）可知，的最小值为，计算得： 根据最小值与0的大小关系分三种情况讨论： 当时，即时， 恒成立，没有零点； 当时，即时， 恒成立，此时有唯一零点； 当时，即时， 存在，而时，，时，，根据零点存在定理可知，有两个零点. 综上，时， 没有零点；时，有一个零点；时，有两个零点. 【变式9-2】（多选）（25-26高三上·广西崇左·期末）已知函数（），则（   ） A． B．的零点个数为1 C．在上存在零点 D．在上单调递减 【答案】BCD 【分析】将自变量代入及对数的运算性质判断A，利用导数研究函数的零点和区间单调性判断B、C、D. 【详解】A：由，错， B：令，则， 所以，则，且， 令，且，所以与的零点相同， 所以， 所以在上单调递增，而， 所以在上存在零点，则在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 而，，，故在上存在一个零点， 则在上存在唯一零点，即在上零点个数为1，对， C：由B分析知，在上存在一个零点，对， D：由题意，令且， 所以，即在上单调递减， 所以，即在上恒成立， 所以在上单调递减，对. 故选：BCD. 【变式9-3】（2026高三·上海·专题练习）已知函数，讨论函数的零点个数. 【答案】答案见解析 【分析】将零点问题转化为函数图象交点问题，设，求出函数的导数，判断单调性，作出其大致图象，数形结合，即可求得答案. 【详解】由，得, 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增；在上单调递减， 所以， 据此可画出大致图象如图， 所以①当或时，无零点； ②当或时，有一个零点； ③当时，有两个零点. 题型十 恒成立能成立问题 【例10】（2026·江西·一模）若使得不等式对任意恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】令，将问题转化为使得不等式对任意恒成立，结合导数研究的单调性以及图像，数形结合求解. 【详解】令，其中， 则，当时，， 当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递减． 所以使得不等式对任意恒成立等价于使得不等式对任意恒成立． 令得，由图可知， 因此实数的最大值为4． 【变式10-1】（2026高三·上海·专题练习）已知函数，，其中为自然对数的底数，,若对任意的..，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】 【分析】分析可得，利用导数分析函数在区间上的单调性，求出，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，求出，可得出关于的不等式，由此可解得实数的取值范围 【详解】对任意的，总存在，使得，则， 因为， 则对任意的恒成立， 所以函数在区间上单调递增， 则. 因为， 所以当时，，不满足，故； 当时，在上单调递增， 所以， 即，解得； 当时，在上单调递减， 当x趋于时，趋于, 由,解得,与矛盾，故舍去； 综上，的取值范围为.. 【变式10-2】（2026·山东青岛·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当，的递增区间是，没有单调递减区间， 若，的递增区间是，递减区间是； (2) 【分析】（1）先求得函数的导函数，然后根据，两种情况，讨论的单调性; （2）由题可知，在时恒成立，则令，结合（1）判断函数的单调性求其最小值，求得的取值范围. 【详解】（1）由题知： 若，，在上单调递增     若，令解得： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 综上， 当，的递增区间是，没有单调递减区间， 若，的递增区间是，递减区间是； （2）依题意，时，恒成立，即在上恒成立， 令 ，则 = ， 令，由（1）知函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 则有，即， 即当时，则，当时，则， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取最小值，于是得， 所以的取值范围为. 【变式10-3】（2026·河南开封·模拟预测）已知a为实数，函数，函数. (1)若在区间上单调递减，求a的取值范围； (2)求函数极值点的个数； (3)当时，证明：，，使. 【答案】(1) (2)0 (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，由在上恒成立求解； （2）求出函数的导数，再利用导数探讨的变号零点个数； （3）构造函数，利用导数证得，再利用不等式性质证得，由（2）的信息求出在上的最大值即可. 【详解】（1）函数，求导得， 由在上单调递减，得，恒成立， 函数在上都递增，则函数在上递增， 则当时，取得最小值，因此， 所以的取值范围为； （2）函数的定义域为，求导得， 函数极值点的个数，即在区间上的变号零点的个数， 令，求导得，函数在上都递减， 则函数在上递减，而，， 于是存在，使，即，， 当时，；当时，， 函数在上递增，在上递减， 因此， 而当时，，即，则，函数无零点， 所以函数的极值点的个数为0； （3）当时，函数， 令， 求导得，当时，； 当时，， 函数在上递增，在上递减，则， 即，当且仅当时等号成立； 令，求导得， 函数在上递增， 则当时，，即， 因此， 即， 由（2）得函数在上递减，， 即，， 所以，，使. 题型十一 证明不等式 【例11】（25-26高二下·浙江·开学考试）已知函数． (1)求在点处的切线方程； (2)当，对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）结合导数即可求得切线方程； （2）令，结合导数求出的最大值后，解不等式即可； （3）法一：结合（2）知，据此转化题目所证不等式，等价为证明，最后通过求导即可证明；法二：先证，据此转化题目所证不等式，等价为证明，最后通过求导即可证明． 【详解】（1），令，所以切线方程为． （2）因为恒成立，即恒成立， 令，，令，解得， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 故的最大值为， 因为恒成立，所以， 所以，即实数的取值范围为． （3）法一：由（2）得当时，恒成立， 即，令， 所以， 令，则， 故在上单调递增，所以，即成立，得证． 法二：令， 先证，即证， 令， 当单调递增；当单调递减， 所以，所以，即得证， 因为，所以， 令， 则，令，所以， 所以在上单调递增，又因为， 所以使得，即，也即， 所以时，单调递减；时，单调递增， 所以，代入得， ， 又在时单调递减，而， 所以， 所以， 即成立，所以，原不等式得证． 【变式11-1】（2026·江苏·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的零点个数； (3)当时，证明：． 【答案】(1)； (2)当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2； (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义可得切线方程； （2）先进行参数分离，再转化为与图象交点的个数可得； （3）分两种情况讨论：当时，用导数可判断的单调性可得；当时，先证，进而再用导数证明，从而可证明不等式. 【详解】（1）当时，． 所以曲线在处的切线方程为，即． 曲线在处的切线方程为. （2）因为，令，得，即. 令，所以的零点个数等价于与的图象交点的个数. 又因为，当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且，有极大值也是最大值，如图： 由图可知，当时，函数与的图象无交点； 当时，函数与的图象有1个交点； 当时，函数与的图象有2个交点. 综上，时，的零点个数为0；时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2. （3）①当时，， 令， 因为，所以，而，即，， 所以在区间上单调递增，所以，即， 所以在区间上单调递增．所以. ②当时，令，所以单调递增， 所以，即. 又因为， 令， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，的极小值为． 若，即，则，所以． 若，即，则在区间上单调递减， 所以． 所以，即． 综上可得，. 【变式11-2】（2026·山东济宁·一模）已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)求证：当且时，. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）对函数求导并令导数为，找到临界点，通过分析导数在不同区间的符号确定函数单调性，进而求出极小值与极大值； （2）构造函数并求导，将问题转化为分析导函数的最小值，结合已知的范围判断恒正，从而推出单调性，最终证明不等式. 【详解】（1）函数的定义域为， ,令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增。 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 极小值为，无极大值. （2）令，则 ， 由（1）可知，即的最小值为， 已知，代入得： ， 因此对任意恒成立，故在上单调递增， 当时，，即： 得证. 【点睛】本题的核心是通过导数分析函数单调性，以极值为桥梁，将不等式证明转化为函数最小值的符号判断. 【变式11-3】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知函数，其中a为常数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围； (3)设，求证：当时，. 【答案】(1)函数的单调递增区间为，，单调递减区间为 (2) (3)证明见详解 【分析】（1）求导，根据导数的符号判断函数的单调区间； （2）根据题意分析可知，利用导数分析可知在内单调递减，结合恒成立问题运算求解即可； （3）令，利用导数分析的单调性可得，结合，可得，即可得结果. 【详解】（1）当时，则的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）因为， 若，当趋近于时，趋近于，不合题意，所以， 因为， 且，则，，则， 可知在内单调递减，则， 可得，解得， 所以实数a的取值范围为. （3）令， 则， 因为，，则，， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则， 因为，则，可得， 即，所以当时，. 基础巩固通关测 1．（2026·江苏镇江·一模）设，则曲线在点处的切线的斜率为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】根据导数的概念及导数的几何意义即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为. 2．（2026·湖北黄冈·一模）设函数，则曲线在点处的切线方程为________． 【答案】 【详解】因为，所以. 求导得，有， 曲线在点处的切线方程为， 即. 3．（2027高三·全国·专题练习）曲线在点处的切线与直线平行，则________． 【答案】1 【分析】先利用导数的几何意义求出切线的斜率，再根据与已知直线平行得到斜率相等，从而列出方程解出参数. 【详解】因为曲线在点处的切线与直线平行， 所以曲线在点处的切线的斜率为2， 因为，所以， 所以． 故答案为：. 4．（2026·重庆·模拟预测）已知函数与的图象在处的切线重合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义结合题意列方程求解即可. 【详解】，. 由题意知，即，解得. 所以. 5．（25-26高三下·安徽·月考）设函数，则（    ） A．曲线切线斜率的最小值为 B．的图象关于点对称 C．是的充要条件 D．是的充要条件 【答案】AD 【分析】对原函数求导，结合导数的几何意义及二次函数的性质即可判断选项A；根据函数的对称性即可判断选项B；分别求出，，结合充分条件、必要条件、充要条件的概念即可判断选项C、D. 【详解】对于A，由题意，得， 根据导数的几何意义可知，切线斜率的最小值为，故A正确； 对于B，若的图象关于点对称，则. 又 ，所以的图象不关于点对称（关于点对称），故B错误； 对于C，，若，即， 所以，解得且. 所以的解集为. 因此是的充分不必要条件，故C错误； 对于D，，若，即， 所以，解得，所以的解集为. 因此是的充要条件，故D正确. 6．（24-25高二下·天津武清·月考）函数的单调减区间是___________ 【答案】 【详解】， ， 当，即， 结合定义域， 解得：， 所以函数的单调减区间是：． 7．（25-26高二上·广东广州·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在处取得极大值 C．在区间上单调递减 D．在处取得极小值 【答案】D 【分析】根据导函数图象与函数极值、单调性关系一一分析即可. 【详解】对A，当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减，故A错误； 对B，在附近，导函数符号不变，则在处取不到极大值，故B错误； 对C，当时，此时单调递增，故C错误； 对D，由图知为附近的最低点，则在处取得极小值，故D正确. 故选：D. 8．（25-26高二下·全国·课后作业）函数在上的最小值为________，最大值为________． 【答案】 0 【分析】利用导数求函数在给定区间上的最小、最大值. 【详解】因为，则． 令，则或． 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， 因为，， 所以函数最小值为． 综上，函数在上的最小值为，最大值为0. 9．（2026高二·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出函数在时的最小值，结合题意即可求得答案. 【详解】由，得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 故当时，， 而存在实数，使得成立，故， 即实数t的最小值是. 故选：A 10．（25-26高三下·湖北随州·开学考试）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】先将函数在区间上单调递减的条件转化为导数在上恒成立，再通过分离参数，求出在区间内的最大值，进而确定的取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调递减，所以在区间 上恒成立，而，所以. 故答案为： 能力提升进阶练 1．（2027高三·全国·专题练习）曲线在，两点处的切线分别为，，且，则________；若，交点的横坐标为，则________． 【答案】 1 2 【分析】先根据绝对值分段求导，由切线垂直得到斜率关系，推出两点横坐标乘积为定值；再联立两切线方程求出交点横坐标，代入化简得到所求表达式的值. 【详解】由得 不妨设，易知切线，的斜率均存在且不为0，分别设为，，则， 所以，符号相反，所以有，所以，所以． 切线，的方程分别为，， 由得，所以． 故答案为：① ；②  . 2．（25-26高二上·河北张家口·期末）（多选）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求a的值（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】AB 【分析】利用导数的几何意义求得曲线在点处的切线方程为，再联立方程并结合二次方程的根求解即可. 【详解】因为的导数为， 所以曲线在处的切线斜率为， 所以曲线在处的切线方程为，即． 因为切线与曲线只有一个公共点， 所以联立得：①有且只有一解， 当时，①式变为，则，方程①有且只有一解，符合题意; 当时，则，，解得. 综上，或. 3．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知函数恰有1个极值点，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】由题可得，恰有一个零点.求导并分离参数，构造新函数，将问题转化为直线与函数的图象恰有一个交点，利用导数分析函数的取值情况可得. 【详解】函数的定义域为. . 由函数恰有1个极值点，得恰有一个变号实数根. 即方程恰有一个变号实数根. 令，则直线与函数的图象恰有一个交点. . 当时，，，，函数单调递增； 当时，，，，函数单调递减. 所以当时，取得极大值，即最大值为. 又当时，，所以；， 所以函数的图象如下： 所以或. 当时，. 令，则，在上单调递减. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以当时，取得极大值，即最大值为，即恒成立. 所以是减函数，无极值点. 所以实数的取值范围为. 4．（2026·湖北孝感·二模）关于的方程有实根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设方程的实根为，根据条件得，令，从而得点在直线上，先求出点原点到直线的最小值，即可求解. 【详解】由关于的方程有实根，得关于的方程有实根， 设方程的实根为，则， 得到，即， 设点，则点在直线上， 点到直线的距离， 设，函数，，则， 当时，；当时，， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因此，，则， 当时，，由，解得，此时； 由，解得，此时， 所以的取值范围为. 5．（多选）（湖北荆州市2025-2026学年高三下学期3月阶段检测数学试题）已知函数，其中，则（    ） A．若函数有且仅有1个零点，则 B．若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是 C．不存在，使函数存在唯一的极值点 D．若对恒成立，则 【答案】ABD 【分析】利用参变分离的思想，结合函数图象进行求解 【详解】对于A，显然0不是函数的零点，当时，令，变形为， 令，，则， 令得或，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，作出的图象，如下： 直线与其仅有一个公共点，则； 对于B，，令， 函数有且仅有2个极值点，故有2个变号零点， 令得，显然0不是函数的零点， 当时，变形为，令， 则，令得，令得或， 故在上单调递减，在上单调递增， ，作出的图象，如下： 直线与其交于两点，则，故，B正确； 对于C，结合B的分析，显然当时，有且仅有一个变号零点， 函数存在唯一的极值点，C错误； 对于D，，即，当时，满足要求， 当时，，变形为， 令，结合A的分析，当x＞0时，，故，D正确. 6．（2026·山东滨州·一模）已知函数． (1)证明：在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）分析的单调性及取值情况，可得有唯一解，从而证得在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等； （2）分离参数，构造新函数，通过分析新函数的最小值，得到实数的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为. . 令，则. 令，得，所以； 令，得，所以. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得最小值，最小值为. 当时，，所以. 又，所以当时，. 当时，. 其简图如下： 所以有唯一解，即在曲线的图象上，有且仅有一个点处的斜率等于， 即在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等. （2）当时，不等式恒成立，即. 令，则 . 令，则. 因为，所以， 又，所以. 所以是增函数，所以. 因为，所以恒成立，所以是增函数， 所以，即的最小值为. 所以实数的取值范围是． 7．（2026·河北保定·一模）已知函数 (1)当 时，求的极值. (2)已知. （i）证明: ； （ii）若 在 上恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1)极大值，极小值 (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）先对函数求导得到，通过导数的正负判断单调性，进而确定极值点并计算极值； （2）（i）通过构造辅助函数并分析导数符号证明不等式； （ii）分离参数后构造函数，利用导数分析单调性求最值，从而确定参数范围. 【详解】（1）时，，， 令，得，解得， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 所以当时，取得极大值， 当时，取得极小值. （2）时，. （i）要证，，即证， 令，则， 令，则，即化为， 因为，所以，所以，即，在单调递增， 又，所以，即. （ii）由得， 当时，显然成立； 当时，不等式可化为，令，则 则， 令， 当时，，由得，又， 所以，所以，在单调递增，所以对，； 下面证明当时，，即，也即证： 令，则， 因为，所以，所以，所以， 所以在单调递增，所以，即， 所以. 综上，时，，所以，即实数的取值范围为. 8．（2026·北京平谷·一模）已知函数． (1)当，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求函数极值点的个数； (3)若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)2个 (3) 【分析】（1）切线斜率等于函数在该点的导数值，结合点斜式直线方程即可求解； （2）多次求导得函数的单调性，进而求出函数的极值点即可判断； （3）分离参数得在上恒成立，令，多次求导得其单调性，然后求解最值即可． 【详解】（1）当时，，所以． 所以． 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）由，得， 令，则． 当时，，当时，， 所以在区间上是减函数，在区间上是增函数． 所以的最小值为． ， 又在单调递减，在单调递增， 故存在，使得， 所以，在区间上，在区间上． 所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故是函数的极大值点． 同理：存在，使得， 所以，在区间上，在区间上． 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故是函数的极小值点． 综上：函数极值点有2个． （3）对任意的实数恒成立， 等价于在上恒成立，得， 令，则． 令，则．因为，所以， 所以在上是增函数，所以，所以， 所以在上是增函数，所以的最小值为．所以， 即实数的取值范围． 9．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程. (2)当时，证明：当时，. (3)若有两个零点，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据导数的几何意义，求出和，利用点斜式写出切线方程； （2）设，利用导数得在上恒成立，从而可得函数的单调性和最值； （3）设，分情况：，，和研究函数单调性和最值，从而得解. 【详解】（1）当时，，则， 从而，， 故曲线在点处的切线方程为， 即； （2）设，则. 显然在上恒成立，所以在上单调递减. 又，所以在上恒成立， 所以在上单调递增， 故，即当时，. （3）由题意可得. 设，则. ①若，显然，则在上单调递增，即在上单调递增. 又，所以当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，所以只有一个零点，故不符合题意. ②若，则当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增. 又，所以，又， 所以存在唯一的，使得. 当时，，当时，， 则在，上单调递增，在上单调递减. 又，所以，又当时，， 所以恰有两个零点，则符合题意. ③若，则由（2）知在R上恒成立，所以在上单调递增， 又，所以只有一个零点，则不符合题意. ④若，则当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增. 又，所以，又， 所以存在唯一的，使得. 当时，，当时，， 则在，上单调递增，在上单调递减. 又，所以，又当时，， 所以恰有两个零点，则符合题意. 综上，a的取值范围为. 10．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，且为函数的极值. (1)求实数a的值； (2)当时，恒成立，求实数m的取值范围； (3)证明：当时，． 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）利用极值点的必要条件（极值点处导数为0），对求导后代入，解方程得到的值，再验证导数在两侧的符号，确认为极值点； （2）构造函数，将恒成立问题转化为在上恒成立，即求的最小值≥0.通过求导分析的单调性，分和两种情况讨论，结合函数最值解关于的不等式，得到的取值范围； （3）利用不等式，得到，对进行放缩，转化为可裂项相消的形式，求和后证明不等式. 【详解】（1）因为，又为函数的极值， 所以，即，解得. 验证极值点：当时，. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此是的极小值点，符合题意，故. （2）由(1)得，设， 设， . 当时，，因此在上单调递增，. 情况1： 此时，故，在上单调递增，最小值为. ，解得或，结合，得. 情况2： 在上单调递增，且，时， 故存在唯一，使得，即. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此的最小值为，代入， 化简得， 因，故，解得. 设，， ， 故在上单调递减， 因此， 综上所述，实数的取值范围是或. （3）证明：由(1)得，因此. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以，所以 所以不等式（当且仅当时取等号）， 令，得，且时，故. 因此对，有： ，即 因为， 所以. 因时，故，即，不等式得证. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $