微专题02 恒成立求参数范围5大热点题型（高效培优专项训练）高二数学北师大版选择性必修第二册

微专题02 恒成立求参数范围 题型一：恒成立求参数之分类讨论 2 题型二：恒成立求参数之分离参数 3 题型三：恒成立求参数之端点效应 3 题型四：恒成立求参数之必要性探路 5 题型五：恒成立求参数之极点效应 6 【方法指导】 一：恒成立求参数之分类讨论 方法原理 1分类讨论 1)由参数的系数分段函数以及自变量的取值范围等的导数造成问题需要分多种情况讨论 2)往往基于导数极值点零点等分类 2解题步骤 1)有极大先有极小先大里面还有小需要先分类 2)把一个大分类中所有小分类全部讨论后再去讨论第二个大类优先考虑特殊情况做到不重不漏 3比如设函数其中 (1)当时求函数的单调区间 (2)若求实数的取值范围 详解 (1) 当时 当即解得此时单调递增 当即解得此时单调递减 综上当时的单调递增区间为单调递减区间为 (2)由可得即 设（）则 ①当时单调递增 而当时即不满足题意 ②当时令解得 当时为减函数 当时为增函数 所以 令（）则 当时为增函数 当时为减函数 又所以当且仅当时取等号 故当且仅当所以实数的取值范围是 二：恒成立求参数之分离参数 方法原理 1分离参数 对于一个含参问题可以通过分离参数将参数与变量彻底分离开来从而把一个含参问题转化为一个非含参问题进而通过导数研究分离后得到的函数的单调性极值与最值最终解决问题 2使用分离参数的要求 ①参数与变量可以比较容易地分离开 ②分离参数后得到的函数的形式不复杂通过导数来研究单调性极值以及最值比较容易 ③分离参数后得到的函数的值域容易算不会出现必须使用洛必达法则才能解决问题的情形 3比如已知函数设若恒成立求的取值范围 解析 令则故 以下证明时符合题意当时 以下证明构造函数则 令则 由可得由可得 于是在上单调递减在上单调递增于是 于是当时当时所以在上单调递减在上单调递增故符合题意综上可知 三：恒成立求参数之端点效应 适用题型恒成立求参且区间端点代入后的不等式刚好取等的题型 方法原理 1端点效应若求中参数的取值范围 特征为定义域的端点函数值为0即则必有如果则必有依此类推直到求出参数范围 注意定义域和不等式相反则导数小于等于0 原理粗略理解就是“猜”函数端点值为0我们就猜这个函数单调则函数端点处的导数值就非正或者非负从而求解答案如果导数在端点处的导数值为0相当于再来一次端点效应依此类推 2端点效应失效函数不单调除了端点值满足函数值为0还有其他极值点也满足此时失效改用其他方法实际做题怎么规避呢也很简单草稿纸上算出答案证不出成立就失效 3解题步骤端点效应求出范围证明成立点再证明矛盾 比如设函数若当时求的取值范围 解析 对于恒成立又 在单调递增 当时单调递增所以 得在单调递增满足题意 当时令则单调递减 当单调递减则不满足题意 综上的取值范围是 四：恒成立求参数之必要性探路 方法原理 1必要性探路 通过取一些特殊值（通常为0 1等特殊点）来缩小参数的取值范围从而减少讨论参数取值范围时分析讨论的量我们把这种处理问题的方法称为必要性探路 2基本步骤 （1）探究必要条件缩小参数范围选择的特殊值可以为端点值极值点不等式公共取等条件常见特殊数（如0 1e e²等） （2）证明充分性求结果 3必要性探路的注意事项 必要性探路缩小的参数取值范围不一定是参数的最终取值范围还需进行如下操作 第一步如果可以使用主元法成功证明不等式则缩小的参数取值范围就是参数的最终取值范围 第二步如果使用主元法无法证明不等式则需要使用分类讨论或分离参数对缩小的取值范围进一步分析 4比如已知函数设若恒成立求的取值范围 解析 令则故 以下证明时符合题意当时 以下证明构造函数则 令则 由可得由可得 于是在上单调递减在上单调递增于是 于是当时当时所以在上单调递减在上单调递增故符合题意综上可知 五：恒成立求参数之极点效应 方法原理什么是极点效应 如果函数在某一点处的函数值恰好为零则当时（其中）成立的一个必要条件为处的导数值如图所示 因为如果或那么函数会在右侧的一个小区间内先递减会出现如下两种情况而这两种情况都不能保证函数值非负 这个方法把某个区间上函数的恒成立问题转化为区间中某一点处的导数值为零这就是极点效应 题型一：恒成立求参数之分类讨论 1．（22-23高三上北京朝阳期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上恒成立，求的取值范围； (3)试比较与的大小，并说明理由． 2．（24-25高二上浙江宁波期中）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为__________. 3．（23-24高二下北京西城期末）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数的极小值为0，求a的值； (3)在（2）的条件下，若对任意的，成立，求实数k的最小值 4．（23-24高二下安徽滁州期末）已知函数. (1)当时，求的最大值； (2)若在定义域上恒成立，求实数的取值范围. 5．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知函数． (1)讨论函数的极值点个数； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，证明． 题型二：恒成立求参数之分离参数 6．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围； (3)证明：． 7．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知函数 (1)讨论的单调性. (2)若对任意都有恒成立，求的取值范围. 8．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，，求实数λ的取值范围． 9．（2025高三·全国·专题练习）已知函数. (1)设为的极小值，求证：； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 10．（2026·河南濮阳·一模）已知. (1)若，求的图象在点处的切线方程； (2)若，都有，求实数的取值范围. 题型三：恒成立求参数之端点效应 11．（23-24高二下福建福州期末）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线的斜率； (2)若，讨论的单调性； (3)若，且时，恒成立，求实数的取值范围. 12．（2023四川绵阳模拟预测）设． (1)求函数的单调区间和极值； (2)若关于x不等式在区间上恒成立，求实数a的值． 13．（23-24高二下安徽安庆期末）已知函数，，其中. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)证明：当时； (3)对任意，恒成立，求实数a的取值范围. 14．（23-24高二下辽宁期末）已知函数 (1)求证：当时，有两个零点； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围． 15．（23-24高二下江西南昌期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 题型四：恒成立求参数之必要性探路 16．（23-24高二下河南安阳期中）已知函数存在两个零点. (1)求实数的取值范围； (2)若当时，恒成立，求实数的取值范围. 17．（23-24高二下吉林四平期中）已知函数，其中. (1)求函数的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 18．（23-24高二下江西景德镇期末）设函数，其中为常数. (1)讨论的单调性； (2)若，求实数的取值范围. 19．（23-24高二下浙江嘉兴期末）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求证：在区间有唯一的极值点； (3)若对于任意的恒成立，求实数的取值范围. 20．（2026·山东东营·一模） 已知函数 (1)当时， 求函数在处的切线方程； (2)若函数在处取得极值， (i)求的值； (ii)已知 ，若在上恒成立， 求实数的取值范围. 题型五：恒成立求参数之极点效应 21．（23-24高二下北京海淀期末）已知函数，其中. (1)若在处取得极值，求的单调区间； (2)若对于任意，都有，求的值. 22．（23-24高二下广东阳江期末）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若恒成立，求实数的取值集合. 23．（22-23高三上四川成都开学考试）已知函数，. (1)已知恒成立，求a的值； 24．（23-24高二下河南月考）已知函数，(e为自然对数的底数)，. （1）若，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求实数m的值. 25．（23-24高二下河南漯河期末）已知函数. (1)求的单调区间； (2)对任意的恒成立，求的值； 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题02 恒成立求参数范围 题型一：恒成立求参数之分类讨论 2 题型二：恒成立求参数之分离参数 3 题型三：恒成立求参数之端点效应 3 题型四：恒成立求参数之必要性探路 5 题型五：恒成立求参数之极点效应 6 【方法指导】 一：恒成立求参数之分类讨论 方法原理 1分类讨论 1)由参数的系数分段函数以及自变量的取值范围等的导数造成问题需要分多种情况讨论 2)往往基于导数极值点零点等分类 2解题步骤 1)有极大先有极小先大里面还有小需要先分类 2)把一个大分类中所有小分类全部讨论后再去讨论第二个大类优先考虑特殊情况做到不重不漏 3比如设函数其中 (1)当时求函数的单调区间 (2)若求实数的取值范围 详解 (1) 当时 当即解得此时单调递增 当即解得此时单调递减 综上当时的单调递增区间为单调递减区间为 (2)由可得即 设（）则 ①当时单调递增 而当时即不满足题意 ②当时令解得 当时为减函数 当时为增函数 所以 令（）则 当时为增函数 当时为减函数 又所以当且仅当时取等号 故当且仅当所以实数的取值范围是 二：恒成立求参数之分离参数 方法原理 1分离参数 对于一个含参问题可以通过分离参数将参数与变量彻底分离开来从而把一个含参问题转化为一个非含参问题进而通过导数研究分离后得到的函数的单调性极值与最值最终解决问题 2使用分离参数的要求 ①参数与变量可以比较容易地分离开 ②分离参数后得到的函数的形式不复杂通过导数来研究单调性极值以及最值比较容易 ③分离参数后得到的函数的值域容易算不会出现必须使用洛必达法则才能解决问题的情形 3比如已知函数设若恒成立求的取值范围 解析 令则故 以下证明时符合题意当时 以下证明构造函数则 令则 由可得由可得 于是在上单调递减在上单调递增于是 于是当时当时所以在上单调递减在上单调递增故符合题意综上可知 三：恒成立求参数之端点效应 适用题型恒成立求参且区间端点代入后的不等式刚好取等的题型 方法原理 1端点效应若求中参数的取值范围 特征为定义域的端点函数值为0即则必有如果则必有依此类推直到求出参数范围 注意定义域和不等式相反则导数小于等于0 原理粗略理解就是“猜”函数端点值为0我们就猜这个函数单调则函数端点处的导数值就非正或者非负从而求解答案如果导数在端点处的导数值为0相当于再来一次端点效应依此类推 2端点效应失效函数不单调除了端点值满足函数值为0还有其他极值点也满足此时失效改用其他方法实际做题怎么规避呢也很简单草稿纸上算出答案证不出成立就失效 3解题步骤端点效应求出范围证明成立点再证明矛盾 比如设函数若当时求的取值范围 解析 对于恒成立又 在单调递增 当时单调递增所以 得在单调递增满足题意 当时令则单调递减 当单调递减则不满足题意 综上的取值范围是 四：恒成立求参数之必要性探路 方法原理 1必要性探路 通过取一些特殊值（通常为0 1等特殊点）来缩小参数的取值范围从而减少讨论参数取值范围时分析讨论的量我们把这种处理问题的方法称为必要性探路 2基本步骤 （1）探究必要条件缩小参数范围选择的特殊值可以为端点值极值点不等式公共取等条件常见特殊数（如0 1e e²等） （2）证明充分性求结果 3必要性探路的注意事项 必要性探路缩小的参数取值范围不一定是参数的最终取值范围还需进行如下操作 第一步如果可以使用主元法成功证明不等式则缩小的参数取值范围就是参数的最终取值范围 第二步如果使用主元法无法证明不等式则需要使用分类讨论或分离参数对缩小的取值范围进一步分析 4比如已知函数设若恒成立求的取值范围 解析 令则故 以下证明时符合题意当时 以下证明构造函数则 令则 由可得由可得 于是在上单调递减在上单调递增于是 于是当时当时所以在上单调递减在上单调递增故符合题意综上可知 五：恒成立求参数之极点效应 方法原理什么是极点效应 如果函数在某一点处的函数值恰好为零则当时（其中）成立的一个必要条件为处的导数值如图所示 因为如果或那么函数会在右侧的一个小区间内先递减会出现如下两种情况而这两种情况都不能保证函数值非负 这个方法把某个区间上函数的恒成立问题转化为区间中某一点处的导数值为零这就是极点效应 题型一：恒成立求参数之分类讨论 1．（22-23高三上北京朝阳期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上恒成立，求的取值范围； (3)试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）将在区间上恒成立，转化为，令，问题转化为，利用导数求函数即可得解； （3）由（2）知，时，在区间上恒成立，取，可得解. 【详解】（1）当时，， ， 所以曲线在点处切线的斜率，又， 所以曲线在点处切线的方程为即. （2）在区间上恒成立，即，对， 即，对， 令，只需， ，， 当时，有，则， 在上单调递减， 符合题意， 当时，令， 其对应方程的判别式， 若即时，有，即， 在上单调递减， 符合题意， 若即时，，对称轴，又， 方程的大于1的根为， ，，即， ，，即， 所以函数在上单调递增，，不合题意. 综上，在区间上恒成立，实数的取值范围为. （3）由（2）知，当时，，在区间上恒成立， 即，对， 取代入上式得，化简得. 2．（24-25高二上浙江宁波期中）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】就、分类讨论，前者再就分类后结合导数的符号讨论单调性后可得相应范围，后者结合常见的函数不等式可得恒成立，故可得参数的取值范围. 【详解】当时， ， 设，则 因为，故均为上的增函数， 故在上为增函数， 若即，则在上恒成立， 故在上为增函数，故恒成立， 故为上为增函数，故恒成立， 故符合， 若即，此时，而， 故存在，使得， 且，即在上为减函数， 故，即在上为减函数， 故，与题设矛盾， 当时，设，则， 故在上为增函数，故即， 设，则， 在上为增函数，故即， 而，故， 即即，故也成立， 综上，， 故答案为：. 【点睛】思路点睛：不等式的恒成立，注意验证区间的端点处的函数值，如果函数值为零，则往往需要讨论导数（或二阶导数）在端点处的函数值的符号，从而得到分类讨论的标准. 3．（23-24高二下北京西城期末）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数的极小值为0，求a的值； (3)在（2）的条件下，若对任意的，成立，求实数k的最小值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程， （2）求导，根据导函数的正负确定原函数单调性，即可由极值求解， （3）将问题转化为对任意的，，构造函数，即可结合分类讨论求解函数的单调性求解. 【详解】（1）当时，，则， 故，又， 故在点处的切线方程为 （2）， 故当时，单调递增，当时，单调递减，故当时，取极小值，故，故 （3）由（2）知，故， 故对任意的，成立，只需要对任意的，， 记，则， ①时，此时， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故当时，取极小值也是最小值， 故，不符合题意， ②当时，此时， 故当时， ，单调递增， 故，符合题意， ③当时，此时， 故当时， ，单调递减， 故，不符合题意， ④当时，故当时， ，单调递减， 故，不符合题意， 综上可得， 所以实数的最小值为. 4．（23-24高二下安徽滁州期末）已知函数. (1)当时，求的最大值； (2)若在定义域上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）在函数表达式中代入，利用导数研究函数单调性、最值即可； （2）求导得，对的取值进行适当划分并分类讨论即可求解. 【详解】（1）当时，， 恒成立， 在上单调递减. 所以， 当时，的最大值是0； （2）， . 当时，恒成立，则在上单调递增. ，不满足题意. 当时，. 在上恒成立， 在上单调递增. ，不满足题意. 当时，令. （i）若时，， 令， 在上单调递增，上单调递减. 所以当时，矛盾，不满足题意. （ii）若时，在上恒成立， 在上单调递减. ，满足题意. 综上所述，的取值范围为满足题意. 【点睛】关键点点睛：第二问的关键是求导后，找到适当的临界值，对进行分类讨论，由此即可顺利得解. 5．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知函数． (1)讨论函数的极值点个数； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，证明． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，分别讨论，，，时导数的正负，进而求出单调性，根据极值的定义判断极值点个数； （2）求出函数的导数，根据不等式恒成立，分和两种情况求出的范围； （3）要证，只需证成立，然后构造函数，证明即可． 【详解】（1）由条件得，令，则． ① 当时，，在上单调递增，且， 则当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增. 故此时有1个极小值点为0，无极大值点； ②当时，令可得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， （i）当时，，所以， 而，所以在有唯一零点， 所以是的极大值点，是的极小值点． （ii）当时，，即恒成立，所以无极值点． （iii）当，所以， 而，所以在有唯一零点， 所以是的极小值点，是的极大值点． 综上所述：当时，有一个极值点；当时，没有极值点；当或时，有两个极值点. （2）由（1）得，①当时，在上，，单调递增， 所以，即， 所以在上为增函数，所以，所以时满足条件． ②当时，在上，单调递减， 所以当时，有，即， 在上为减函数，所以，不合题意． 综上，实数的取值范围为． （3）由（1）得，当时，，即， 要证不等式，故只需证明， 只需证明，只需证， 设，则， 所以当时，恒成立，故在上单调递增， 又，所以恒成立，所以原不等式成立． 题型二：恒成立求参数之分离参数 6．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，利用导数的正负判断函数单调性； （2）转化问题为对于恒成立，设，，利用导数分析其单调性，进而求解即可； （3）结合（2）可得，进而证明即可求证. 【详解】（1）当时，，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）由，则对于恒成立， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，则的取值范围为. （3）由（2）知，当时，，则， 所以， 设，，则， 所以函数在上单调递增， 则，即，得证. 7．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知函数 (1)讨论的单调性. (2)若对任意都有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求得，分类讨论和时导数的符号，进而判断函数单调性； （2）由参变分离法可得，设，通过导数求最大值，从而可得的取值范围. 【详解】（1）由题意可得，， 当时，在恒成立，所以函数在单调递增； 当时，时，时，故函数在单调递减,在单调递增， 综上所述，当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. （2）因为对任意都有，所以，即， 令，，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以， 故. 8．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，，求实数λ的取值范围． 【答案】(1)分类讨论，答案见解析. (2) 【分析】（1）求出导数，解不等式得到的增区间，解不等式得到的减区间； （2）分离参数后构造函数，利用导数研究其最值即可求解恒成立问题． 【详解】（1）依题意，，， 由得． 当时，，令，得，， 故当时，， 故当时，，当时，，当时，， 所以在单调递增；在单调递减；在单调递增． （2）令，因为，所以，故， 令，则， 令，则， 易知为减函数，则在上，， 故在上单调递减，则， 故，在上单调递减，故， 故实数λ的取值范围为． 9．（2025高三·全国·专题练习）已知函数. (1)设为的极小值，求证：； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据导函数求出的单调性，再根据隐零点求出极小值，利用一元二次函数求范围即可； （2）令，将问题转化为时，不等式恒成立，求出的最小值即可. 【详解】（1），则， 因为时，时，， 所以在区间上单调递增，上单调递减． 因为， 所以存在，使得， 且当时，；当时，；当时，． 因此在区间上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 所以的极小值为． 因为，且， 所以． （2）由知，，即． 设，则，于是上述不等式化为，即． 令，则， 知时，时，． 所以在区间上单调递减，在上单调递增． 因为，且时，，所以， 因为恒成立，所以时，不等式恒成立． 设，则． 因此时，；时，． 于是在上递减，在上递增，则． 所以． 所以的取值范围为． 10．（2026·河南濮阳·一模）已知. (1)若，求的图象在点处的切线方程； (2)若，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由题意，得到，对其求导，得到对应的切线斜率，进而可得出所求切线方程； （2）先根据题意，得到在上恒成立，只需在上恒成立，令，，对其求导，求出的最大值，即可得出结果. 【详解】（1）若，则，则，. ，所以切点坐标为，切线斜率为， 曲线在点处的切线方程为. 化简可得：. （2）若，都有，即， 即在上恒成立，令，， 由题意，只需当时，即可， 令， 因为当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， ，. 综上所述，实数的取值范围是. 题型三：恒成立求参数之端点效应 11．（23-24高二下福建福州期末）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线的斜率； (2)若，讨论的单调性； (3)若，且时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）先依据和的图象过点求出参数值，进而求出函数解析式，接着求出导函数，根据导数几何意义再求出即可得解. （2）根据函数的导函数对参数进行分类讨论得出导函数的正负情况即可得解. （3）恒成立等价于，所以对a进行分类讨论研究函数的导函数情况，从而求得函数的单调性和最小值情况即可得解. 【详解】（1）因为，，所以， 又因为函数的图象过点， 所以， 即，故，解得， 所以，故， 即曲线在点处的切线的斜率为. （2）因为，所以，所以， 当时，，在区间R上单调递增； 当时，令，解得， 当时，；当时，， 所以函数在单调递减，在单调递增. 综上：当时，在区间R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）因为，所以， 所以， 设，则， 所以，时，所以在上单调递增，且； ①当时，，即， 所以函数在上单调递增， 所以当时，，所以符合题意， . ②当时，又在上单调递增，且， 当时，， ，使得， ，，即，所以在上单调递减； ，，即，所以在上单调递增， 所以，所以不合题意. 综上，实数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：研究恒成立求参问题通常转化成研究函数最值问题，恒成立等价于，故可用导数工具结合分类讨论法研究函数的单调性，从而求得函数的最小值，判断是否满足即可得解. 12．（2023四川绵阳模拟预测）设． (1)求函数的单调区间和极值； (2)若关于x不等式在区间上恒成立，求实数a的值． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为与；，； (2) 【分析】（1）求导，根据三角函数的性质确定函数的单调区间，从而确定函数的极值； （2）关于的不等式，即在区间,恒成立，令，只需，即可得出答案． 【详解】（1）， 则， 所以当时，，当时，， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上的单调递增区间为，单调递减区间为与， 所以，． （2）关于的不等式，即在上恒成立， 令， 则， 设，则 由（1）知，在上的极大值为， 所以在上的最大值为1，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以在上恒成立， 若，即在上单调递增， 所以在上恒成立， 若，即，则由 ， 由零点的存在定理可得，存在，使得， 所以在上单调递减， 所以， 所以在上，不符合在上恒成立的条件， 综上所述，实数的取值范围为． 【点睛】关键点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 13．（23-24高二下安徽安庆期末）已知函数，，其中. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)证明：当时； (3)对任意，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）令，对函数求导，再令，求导后无法判断导数的正负，再令，对其求导后可判断单调递增，从而可判断单调递增，单调递增，进而可证得结论； （3）令，求导后可判断时，在上单调递增，满足题意，当时，再分，和讨论即可. 【详解】（1）解：时，，， 则切点为， ，， 故切线方程为； （2）证明：令，， 令，则， 令，恒成立， 故单调递增，，即， 所以单调递增，，即， 得单调递增，， 所以原不等式成立； （3）解：令， ， 求导得， 当时，，，则在上单调递增， ，满足题意， 当时，设，则， 因此函数，即在上单调递增， 而， ①当时，，在上单调递增， 于是，满足题意； ②当，即时， 对，，则在上单调递减， 此时，不合题意， ③当时，因为在上单调递增， 且， 于是，使，且当时，单调递减， 此时，不合题意， 所以实数a的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意，考查利用导数证明不等式，考查利用导数解决不等式恒成立的问题，第（3）问解题的关键是根据题意构造函数，然后利用导数求出其最小值大于等于零即可，考查分类讨论思想和计算能力，属于较难题. 14．（23-24高二下辽宁期末）已知函数 (1)求证：当时，有两个零点； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）当时，，则无零点，当时，通过二次求导可判断出存在唯一，使得，则在上递减，在上递增，再结合零点存在性定理可证得结论； （2）将问题转化为恒成立，构造函数，转化为证在上恒成立，连续三次求导可得在上递增，然后分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）证明：当时，，所以， 所以无零点， 当时，由，得， 令，则， 所以在上递增，即在上递增， 因为， 所以存在唯一，使得， 所以当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 因为，在上递增，所以， 因为， 所以存在唯一，使得， 所以有两个零点和0； （2）若在上恒成立，则恒成立， 设，即证在上恒成立， ，令， 则，令， 则， 因为，所以，所以在上递增， 即在上递增，所以， 所以在上递增，即在上递增， ①当时，，则， 所以在上递增， 因为，所以在上恒成立，所以， ②当时，， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以，所以， 因为， 所以， 所以存在，使得， 所以在上递减， 因为，所以时，不合题意， 综上，实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：考查利用导数解决函数零点问题，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是将问题转化为恒成立，构造函数后再次转化为在上恒成立，然后利用导数求即可，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 15．（23-24高二下江西南昌期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）求导，分类讨论的符号，结合二次不等式求的单调性； （2）构建，原题意等价于对任意的恒成立，求导，结合，可得 ，并代入检验即可. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 对于，则有： 若时，则，可得， 所以在上单调递增； 若时，则有： 当，即时，则，可得， 所以在上单调递增； 当，即时，令， 解得，，且， 令，解得或；令，解得； 所以在上单调递减，在，上单调递增； 综上所述： 当时，在内单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）构建， 原题意等价于对任意的恒成立， 则， 且，则，解得， 下证充分性， 若，令，则， 可知在内单调递增，则， 即对任意的恒成立，可知在内单调递增， 可得，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 题型四：恒成立求参数之必要性探路 16．（23-24高二下河南安阳期中）已知函数存在两个零点. (1)求实数的取值范围； (2)若当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数法求含参函数的单调性，进而得出即可求解； （2）根据已知条件将问题转化为当时， 恒成立，设，由，得，再分和三种情况讨论，利用导数法求函数的最值即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 当时，，所以在上单调递增，不可能存在两个零点，不符合题意； 当时，令，则，解得， 当时，， 当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 因为存在两个零点， 所以，解得， 此时，又，当时，， 所以有两个零点，符合题意， 所以的取值范围为. （2）当时，恒成立，即恒成立， 设， 由题意知当时，恒成立，则， 即，解得， 若，则当且时，，所以，不符合题意， 若，则恒成立，符合题意， 下面证明：当时，对任意恒成立（*）， 要证，即证， 因为，所以， 只需证明即可， ， 令，则 当时，， 所以在上单调递增， 又， 所以当时，，，在单调递减； 当时，，，在单调递增， 所以，即命题（*）得证， 综上所述，的取值范围是． 【点睛】关键点睛：第一问直接利用导数法求含参函数的单调性，得出即可；第二问：根据已知条件将问题转化为当时， 恒成立， 设，由，得，再分和三种情况讨论即可求解. 17．（23-24高二下吉林四平期中）已知函数，其中. (1)求函数的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2). 【分析】（1）利用导数，讨论的符号判断函数单调性； （2）问题转化为恒成立，取，有，可得，构造函数利用导数求最小值证明，则恒成立，通过构造函数利用导数求最小值证明. 【详解】（1）函数的定义域为，， ①当时，解得，解得， 此时函数的减区间为，增区间为， ②当时，解得，解得， 此时函数的增区间为，减区间为； （2）不等式可化为， 由恒成立，取，有，可得， 又由可化为， 令，有， 令解得，解得 此时函数的减区间为，增区间为， 有，可得， 可得， 下面证明，即证明， 令，有， 令解得，解得， 可得函数的减区间为，增区间为， 有， 可得不等式成立， 所以若恒成立，则实数的取值范围为. 18．（23-24高二下江西景德镇期末）设函数，其中为常数. (1)讨论的单调性； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出函数的导数后，分和两种情况讨论，根据导函数正负可求出函数的单调区间； （2）方法一，由题意得，构造函数，利用导数求出最值即可，方法二，由题意得，令，则，再证时恒成立即，设，根据导数求出最值即可 【详解】（1），其中. 当时， 在上单调递减 当时，，所以；，， 在单调递减，在单调递增 （2）方法一： 令，则 取，则恒成立 单调递减，又 当时，；当时， 在单调递增，在单调递减， 方法二： 令，则，下证时恒成立即. 设，则 当时，，故 单调递减， 当时， 在单调递增，有 在单调递增， 综上，，即恒成立 又 符合 19．（23-24高二下浙江嘉兴期末）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求证：在区间有唯一的极值点； (3)若对于任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对函数求导后，由导数的正负可求得函数的单调区间； （2）令，求导后判断出函数的单调性，再结合函数零点存在性定理可证得结论； （3）解法1：分类讨论，分，和三种情况讨论即可，解法2：必要性探路，结合（2）的结论证明即可，解法3：参变分离，转化为对恒成立，构造函数，利用导数求得其最大值即可. 【详解】（1）. 当时，单调递增； 当时，单调递减； 的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）令， ， 当时，，当时，， 在单调递减，单调递增. 又， 存在唯一实数，使得， 当时，，即，当时，，即， 在单调递减，单调递增， 区间有唯一极小值点.得证. （3）解法1：（分类讨论） 由（2）知：在单调递减，单调递增，且. ①当，即时，在单调递增， 所以，解得，故无解； ②当，即时，在单调递减， 所以恒成立，故； ③当，即时， 所以，解得，故. 综上所述，. 解法2：（必要性探路） 由题意可知，解得， 故由（2）可知，在单调递减，单调递增. 在区间最大值， ， . 解法3：（参变分离） ①当时，由条件对恒成立， ，易知：， 对恒成立. 令， ， 令， ， 令， ， 在上单调递增， ，即， 在上单调递增， ，即， 在上单调递增， ， . ②当时，显然成立，. 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是分离参数，构造函数，利用导数求函数的最值，考查计算能力，属于难题. 20．（2026·山东东营·一模） 已知函数 (1)当时， 求函数在处的切线方程； (2)若函数在处取得极值， (i)求的值； (ii)已知 ，若在上恒成立， 求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）当时，，，求出，代入到直线的点斜式方程计算即可. （2）(i)函数在处取得极值，则，由得， ，则，计算即可. (ii) 由在恒成立，利用分离常数法得：，令，得，则，时，，得是最小值点，计算即可. 【详解】（1）当时，， ， ， ， 函数在处的切线方程为， 化简得：. （2）(i)函数在处取得极值， ， ， ， ， ， ， ， 令，解得：或， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 函数在处取得极小值， 函数在处取得极值时 (ii) 由(i)得， ，且，在恒成立， ，即， ，整理得：， 即 ， 令 ， ， ， ， 化简得： ， 令，则， 时，， 在单调递增， ， 当时，， 解得：， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 是极小值点，也是最小值点， ， ， 实数的取值范围是. 题型五：恒成立求参数之极点效应 21．（23-24高二下北京海淀期末）已知函数，其中. (1)若在处取得极值，求的单调区间； (2)若对于任意，都有，求的值. 【答案】(1)增区间是，减区间是 (2) 【分析】（1）先求出，由题意得求出，检验可得； （2）先将“不等式恒成立”问题等价转化为“恒成立”问题，再构造函数，由与，分三类探究即可. 【详解】（1），由，函数定义域为. 则， ∵在处取得极值， ∴， 设，则在单调递减， 至多一个实数根，又， 方程有且仅有一个实数根. 当时，，其中. ， ， 当时，，则，在单调递增； 当时，，则，在单调递减； 所以在处取得极大值，极大值为. 故的增区间是，减区间是； （2）由（1）知，当时，在处取最大值，且最大值为， 即任意时，都有，满足题意. 由，得， 令，则，不等式转化为， 即在恒成立. 设，其中， ，其中， ①当时，且， 故存在，使，由在单调递减， 则当时，，在单调递减， 所以，故不满足恒成立，即不合题意； ②当时，且， 故存在，使，由在单调递减， 则当时，，在单调递增， 所以，故不满足恒成立，即不合题意； 综上所述，若对于任意，都有，则. 【点睛】已知不等式恒成立求参数问题，我们可以先取定义域内的一个或几个特殊点探路.如题目第（2）问中得到，由恒成立，考虑，再借助与的大小分类讨论求解即可. 22．（23-24高二下广东阳江期末）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若恒成立，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义分析判断； （2）对函数求导后，分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间； （3）由题意可得不合题意，当时，由（2）可得，所以将问题转化为，构造函数，利用导数求解即可. 【详解】（1）当时，， 所以，即切点坐标为，切线的斜率， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）由题意得：的定义域为， 当时，，则单调递减区间为，无单调递增区间， 当时，令，解得：， 所以当时，，当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 综上所述：时，则的单调递减区间为，无单调递增区间， 时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）当时，，不合题意， 当时，由（2）知， 则， 令，则， 所以当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 实数的取值集合为 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是将问题转化为恒成立，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 23．（22-23高三上四川成都开学考试）已知函数，. (1)已知恒成立，求a的值； 【分析】（1）由已知，可设函数，即证恒成立即可，通过对参数a进 行分类讨论，求解函数的最小值，得到，然后构造函数借助导数求得函数的最值，从而得到满足题意的参数； 【详解】（1）由已知，函数，，即， 令，， ①当时，，所以函数在上单调递增，而，所以此时不恒成立； ②当时，，解得，当，，函数单调递增， 当，，函数单调递减， 所以函数在上取得极小值，即， 要使在上恒成立，即满足，令， 所以 ，又因为，所以： 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递增， 所以，因此， 所以要使恒成立，a的值为1. 24．（23-24高二下河南月考）已知函数，(e为自然对数的底数)，. （1）若，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求实数m的值. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）. 【分析】（1）当时，，求导，令，得，分别讨论和时，的正负，即可得的单调区间； （2）恒成立等价于恒成立，设，当时，经检验是上的增函数，且，不符合题意，当时，利用导数求得的单调性和极小值，只需求即可，令，利用导数判断的单调性，求得极值，综合分析，即可得答案. 【详解】解：（1）当时，，则. 令，得， 当时，；当时，. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）恒成立恒成立恒成立， 设，则， 当时，恒成立，所以是上的增函数， 注意到，所以时，，不合题意； 当时，令，解得， 若，则，若，则， 所以是上的减函数，是上的增函数， 故只需即可， 令，则， 当时，，当时，， 所以是上的减函数，是上的增函数， 故，当且仅当时等号成立. 所以，即恒成立， 所以恒成立， 所以时，满足题意. 【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求函数单调区间，极（最）值的方法，并灵活应用，难点在于，需合理构造新函数，并根据新函数的极值，进行推理和求解，属中档题. 25．（23-24高二下河南漯河期末）已知函数. (1)求的单调区间； (2)对任意的恒成立，求的值； 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性； （2）变形为在上恒成立，构造，求导，分，，和四种情况，得到； 【详解】（1）的定义域为， 当时，令，得的单调递增区间为； 令，得的单调递减区间为. 当时，令，得的单调递增区间为； 令，得的单调递减区间为. （2）等价于， 令，则不等式等价于， ， 当，则在上单调递减，， 时不合题意； 当，令得，令得， 故的递增区间为，递减区间为， 若， ，则当时，，不合题意； 若，，适合题意； 若， ，则当时，，不合题意； 综上，. 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $