2.6 平面向量的应用（题型专练）高一数学北师大版必修第二册

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.6平面向量的应用 用余弦定理解三角形 余弦定理的应用 余弦定理在边角互化中的应用 用正弦定理解三角形 用正弦定理判断三角形解的个数 正弦定理的应用 正正弦定理在边角互化中的应用 2.6平面向量的应用 三角形的面积公式 用正余弦定理判断三角形的形状 正余弦定理在几何图形中的应用 利用正余弦定理解决三角形的最值或范围问题 正余弦定理在几何证明中的应用 正余弦定理的实际应用 正余弦定理在几何证明中的应用 基础达标题 题型一用余弦定理解三角形 1.【答案】A 2.【答案】D 3.【答案】C 4.【答案】C 5.【答案】 9 6.【答案】(2,6 7.【详解】(1)由sinA+√5cosA=0得tanA=-√5， 由A∈(0，，得A=2π 3 由余弦定理a2=b2+c2-2 be.cos4,a=2√万，b=2,c0sA=-】 Γ2 代入并整理得(c+1)2=25,故c=4. (2)在ABC中，已知AC=2,BC=2V万，AB=4, 则由余弦定理的推论得cosC=a+2-c2_2V万 2ab 7 因为AC⊥AD,所以△ACD为直角三角形，则AC=CD·cosC, 1/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即2=CD.25,解得CD=7. 7 B D 题型二用正弦定理解三角形 1.【答案】D 2.【答案】A 3.【答案】B 4.【答案】B 5.【答案】√6 6.【答案】5√2 7.【详解】(1)由余弦定理可得2a+b=2cC+a-B,有2a+h=c2+a2-,有a2+-c=-ab, 2ca 由余弦定理得cosC=Q+b2-c2-ab1 2ab 2ab 2 因为C∈(0，π，所以C=2π. 3· (2)由正弦定理，有b=c 22W3 布8C,年8m五，有n8-,民为80写） 所以B=名，从而有 3 A=π-B-C=T 6 题型三用正弦定理求外接圆半径 1.【答案】B 2.【答案】B 3.【答案】√5 4.【答案】25/25 33 5.【答案】4π 6.【详解】(1)证明：(2cosB+1)b2=a2+c2,.2b2cosB=a2+c2-b2, 2/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由余弦定理得b2=a2+c2-2 ac cos B,即a2+c2-b2=2 ac cos B, 2 bcos B=2acc0sB,:△ABC是锐角三角形，B∈0， ,cosB≠0.b2=ac 2 (2)设ABC的外接圆半径为R,则R=a b 由(1)b2=aC,÷R=ae= -=b, bb b=2R..b=2.b.sin B,sin B= 1 由正弦定理得 sin B “48C是镜角三角形，B0》:B-君 6 题型四三角形面积公式的应用 1.【答案】C 2.【答案】D 3.【答案】C 4.【答案】A 5【省幻5停6 6.【答案】√5 7.【答案】(1)C=(222 【详解】(1)在ABC中，由余弦定理得a2+b2-c2=2 abcosC=4,即abc0sC=2 又由面积公式得。absinC=V3,即absinC=2√5，两式相除，得tanC=√5， 由Ce(0,,得C=四 3 (2)由(1)知absinC=25,结合C-T得absin=25,即ab=4, 再由余弦定理c2=a2+b2-2 abcosC=a2+b2-ab=(a+b)-3ab=36-12=24,得到c=2√6， 记ABC的外接圆半径为R,由正弦定理得R=,C-26=22. 2sinC 3 题型五用正余弦定理在边角互化中的应用 1.【答案】A 2.【答案】D 3/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.【答案】A 4.【答案】C 5.【答案】B 6.【答案】2 7【答案】月 题型六正余弦定理在测距及物理中的应用 1.【答案】D 2.【答案】B 3.【答案】C 4.【答案】50V2,50w6 5.【答案】2W3m/s 6.【答案】100 7.【答案】2√21km/h 8.【详解】(1)如图，设快艇以kmh的速度从B处出发，沿BC方向行骏驶，h后与汽车在C处相遇， 在ABC中，AB=500km,AC=100km,BC=vkm,BD为AC边上的高，BD=300km, 设∠8AC=a,则sma-号osu-号由余弦定用，得BC=AC+B-24份ACco 4 5 即v2P=(1002+502-2×50×100×4,整理得Y-25000_8000+1000 4 =20w时云+(2-1ow0-1om2gx16-250wm- 25 _4}+3600≥3600， t25 25 当=4，即1一时取等号，因此V血=60， 4 所以快艇至少以60km/h的速度行驶才能把材料送到司机手中. 北 D 个→东 (2)由(1)知，v=60km/h, 在ABC中，AB=500km,4C=100×25=625km,BC=60 25=375(km), 4/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由余弦定理，得coS∠ABC=AB+BC2-AC =0,因此∠ABC=90°， 2AB·BC 所以快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角为90° (3)如图，设快艇以75kmh的速度沿BE行驶，h后与汽车在E处相遇， 在△ABE中，AB=500km,AE=100km,BE=75km,cos∠BAE=4 由余弦定理得(750=50+00-2×500x10×号，解得1=4或1=10 而4<00，取1E4,AE=400km,BE=300km,A8'=AE2+BE 所以快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要4h →东 500 B B 能力提升题 题型一用正弦定理判断三角形的个数 1.【答案】ABC 2.【答案】ACD 3.【答案】AD 4.【答案】ABD 5.【答案】ABD 6.【答案】1 7.【答案】(5,2 8.【详解】(1)在ABC中，a=4,A=30°， sinsin,可得sinB=bsin4_bsin30°b 由正弦定理a=b a 48 因为A=30°，可得0<B<150°. (1)当b=8时，sinB=1,即B=90°，此时ABC由唯一的解； 当0<b≤4时，可得0°<B≤30°，此时ABC有唯一的解， 所以b∈(0,4U{8时，ABC由唯一的解， 5/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)由(1)知sinB=5: 、b 时由simB8宜6>0，此时B可能为锐角，也 即角B有两解，即当4<b<8时，此时ABC有两解。 3)由(1)知sinB=8, 当6>8时，此时snB=名>1，此时无解，即当6>8时，此时ABC无解 8 题型二用正余弦定理判断三角形的形状 1.【答案】A 2.【答案】C 3.【答案】B 4.【答案】C 5.【答案】D 6.【详解】由正弦定理及余弦定理可得： (a2+b2） a ato-bbbito-a 2ac 2be -o-b)a.aitc-bto.bte-a 2ac 2bc 即有(a+b)2-=(a-b)-c,化简得(a2-b)a2+b-c)=0, 故a=b或a2+b2=c2,则ABC为等腰或直角三角形 故答案为：等腰或直角三角形. 题型三三角形的边、角、面积的最值或范围问题 1.【详解】(1)由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2=AC·AB① 由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos A② 由0，②得os4=分因为0<4<， 所以A=2π （2)由正弦定理及(1)得4C-4B-BC=25, 'sin B sin C sin A 从而AC=2V3sinB, AB=2v3 sin(n-A-B)=3cos B-3 sin B, 6/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BC+AC+AB=3+3 sin B+3cos B =3+25sinB+ π 又0<B<行，所以当B-名时，48C周长取得最大值3+25. 6 2.【详解】(1)因为bcosC+ccosB=2 a cos A, 由正弦定理得sin B cosC+sin C cosB-2 sin A cos A, 即sinB+C）=2 sin A cosA, 因为在ABC中，sinB+C)=sinA>0, 所以cosA),又0<A<团 所以4骨 5 (2)因为4=子，a=5,结合正弦定理，得sm8smC =2 3 所以b=2sinB,c=2sinC. 在ABC中，sinC=sin(A+B)=sinB+刀 3 +c=2sin B+2sin C=2sin B+2sinB+=2sin B+2sin B cos+2cos Bsin 3 3 3 =3sin8+5cos8=25sm8+8) 因为ABC为锐角三角形， 0<B<2 π 所以 0<C= 2π 3 -B< 2 所以后<8<子，则肾<B+< 6 3 所以b+c∈3,2W5]. 3.【详解】(1)由cos2A+cos2B-cos2C=1-sinAsinB, 1-sin2A+1-sin2B-(1-sin2C)=1-sinAsinB =sin2 4+sin2 B-sin2 C=sinAsinB. 7/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由正弦定理，可得a2+b2-c2=ab 由余弦定理，cosC=+6-c2。ab。1 2ab 2ab2' 又角C为三角形内角，所以C-骨 (2)由余弦定理，得c2=a2+b2-2 abcosC→a2+b2-ab=9, 即(a+b)2-3ab=9→3ab=(a+b)2-9, 又bsa+,所以a+2-9=3bs3a+。 4 4 所以(a+b)2≤36→a+b≤6（当且仅当a=b=3时取等号）， 所以当ABC为正三角形时，周长取得最大值，为9. 4.【详解】(1)因为c+b-V3sinC-sinA a sinC-sinB 由正弦定理可得：c+b-5c-a→c-b2=V5ac-a2→c2+a2-b=V5ac c-b 又根据余弦定理：cosB=c+a-b-5ac。V5 2ac 2ac 2 又B为三角形内角，所以B-君 (2)如图： 在△ABD中AD=2,AB=2√5，B=T 6 由余弦定理：AD2=AB2+BD2-2×AB×BD×COSB, 所以4=12+BD:-2x25×BDx5→BD2-6BD+8=0→BD-28D-4=0, 所以BD=2或BD=4. 若BD=2,则a=BC=2BD=4, 6=a+c2-2 accosB=16+12-2×4×25x5=4,所以6=2. 2 所以ABC的周长为a+b+c=4+2+2√5=6+2V5; 若BD=4,则a=BC=2BD=8, B=a2+c2-2acc0sB=64+12-2×8×2V5x5=28,所以6=2W万. 2 8/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以ABC的周长为a+b+c=8+2√7+2√5 所以ABC的周长为6+2√5或8+2√7+2V5 5.【详解】(1)由cos2A+cos2B-cos2C=1-sinAsinB, 1-sin2 A+1-sin2B-(1-sin2C)=1-sinAsinB =sin2 4+sin2 B-sin2 C=sinAsinB. 由正弦定理，可得a2+b2-c2=ab 由余弦定理，cosC=+b2-c2ab1 2ab 2ab2' 又角C为三角形内角，所以C= (2)由余弦定理，得c2=a2+b3-2 abcosC→a2+b2-ab=9, 即(a+b)2-3ab=9→3ab=(a+b)2-9. 又b≤a+,所以(a+b°-9=3ahs3a+b. 4 4 所以(a+b)2≤36→a+b≤6（当且仅当a=b=3时取等号）. 所以当ABC为正三角形时，周长取得最大值，为9. 6.【详解】(1)因为A=C,a=2,得a=c=2, 由sinB=√5sinC及正弦定理得b=2√5， 由余弦定理得osB口+c-人)又Bc0,,故B 2ac 设：40C内切蓝的半径为r,则片×2x2xsn行-r2+22可. 解得r=2√3-3. (2)由题意知b=√5c,a=2, 在aABC中，c0sC=2+b2-c2-4+2c1 +c 2ab 4W5e3e25' 由三角形的三边关系可得(v5c>2 V3c-c<2, 得3-1<c<V3+1, 令国-款55-1<<5+，由对名话数的性质可得当小5-1)时因单调是减， 当x∈(2，V3+1时，f(x单调递增， 又f2=6,f小5-=1，f5+=1, 9/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以f(x)E 所以cosC的取值范围为 3 题型四正余弦定理在几何证明中的应用 1.【详解】(1)(i)由cos2B+cos2C=2cos2A,得1-sin2B+1-sin2C=21-sin2A, 所以sin2B+sin2C=2sin2A,由正弦定理得b2+c2=2a2, 由余弦定理得cosA=+c2-a2 2bc 所以2 bccos A=b2+c2-a2=2a2-a2=a2. (i)由2 bccos A=a2，得2 sin Bsin Ccos A=sin2A, 所以2cos4-,sinA=sin(B+C_sin BeosC+cos BsinC sin A sin Bsin C sin Bsin C sin Bsin C 所以2 1 1 tan A tan B'tan C' (2)由(1)()的结论可得cosA=文，在(1)()的证明中，已证得2+c2=2a2, 2bc 由基本不等式可得b2+c2≥2bc,故2a2≥2bc,即a2≥bc(当且仅当b=c时取等号)， 所以cosA=g之bc-1 2bc 2bc 2 因为A∈(0，)，所以角A的最大值为 2.【详解】(1)在ABC中， 由余弦定理可知AC=√BA2+BC2-2BA·BC·CosB= 4+25-2×2×5× =39: 因为A,B,C,D四点共圆，且∠B=2 所以由圆内接四边形的性质可知：∠B+∠D=元今∠D=元-2江-交， 33' 因此在△DAC中， 由余弦定理可知4C=VDf+DC2-2D1-CD-D+36-2D1x6x分=59， 解得：AD=3+2V5,或AD=3-2√5舍去： 10/14 2.6 平面向量的应用 题型一 用余弦定理解三角形 1．设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．2或4 B．3 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据题意结合余弦定理运算求解即可. 【详解】因为，，， 由余弦定理可得，即， 可得，解得或． 故选：A. 2．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（   ） A．5 B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用余弦定理及已知条件求解. 【详解】，，， ， ，． 故选：D. 3．在中，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合余弦定理即可求解． 【详解】由余弦定理可得 ，故． 4．中，，，，为中最大角，为上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意和余弦定理，在中求出AC的长，再求出AD的长，再由余弦定理在中求出BD的长． 【详解】设，由余弦定理得，， 即，整理得，解得或， ∵为中最大角，∴，又∵，∴， 在中，由余弦定理得，， 即，∴. 5．在中，已知的角平分线交于D，，，则_____． 【答案】 【分析】设，设，由角平分线的性质可得，在中，由余弦定理可求得. 【详解】因为的角平分线交于D，所以， 设，又因为，所以， 又因为，设，则，解得， 在中，由余弦定理可得. 故答案为：. 6．已知钝角三角形的三边，，，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】由题意结合大边对大角，可得角为钝角，即，由余弦定理结合两边之和大于第三边，即可求解. 【详解】因为，且为钝角三角形，所以角为钝角． 由余弦定理的推论，得． 因为，，所以， 即，解得， 由三角形的任意两边之和大于第三边，得，所以． 所以满足，解得， 综上所述，的取值范围为． 故答案为：. 7.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，． (1)求； (2)设为边上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由求得，再由余弦定理求得即可； （2）先由余弦定理求得，再求即可． 【详解】（1）由得． 由，得． 由余弦定理，，，， 代入并整理得，故． （2）在中，已知，，， 则由余弦定理的推论得． 因为，所以为直角三角形，则， 即，解得． 题型二 用正弦定理解三角形 1.在中，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】由，所以， 所以． 故选：D. 2.在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】在中，由，有，所以. 又，故，所以. 3.在中，，，，则（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理求出，结合三角形的内角和定理得到的值，从而得到的值． 【详解】因为，，， 由正弦定理得， 得， 所以或，经检验，均满足题意． 当时，由三角形的内角和定理得； 当时，由三角形的内角和定理得． 因此或． 故选：B. 4.设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知则A=（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，通过正弦定理化简，求解即可. 【详解】因为，由正弦定理可得， 因为，解得，则，又，所以． 故选：B. 5.在中，已知，，，则______. 【答案】 【分析】利用三角形内角和与正弦定理可得答案 【详解】由三角形内角和得，则， 又由正弦定理：，则. 6.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则______． 【答案】 【分析】先由条件求出角，再由正弦定理即可解得的值. 【详解】因为，且，，所以， 由正弦定理可得，即， 即，解得， 故答案为：. 7.记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解，从而得到角C. （2）由正弦定理即可求解,进而即可得. 【详解】（1）由余弦定理可得，有，有， 由余弦定理得， 因为，所以． （2）由正弦定理，有，即，有，因为，所以，从而有． 题型三 用正弦定理求外接圆半径 1.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则外接圆的半径为（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】由于，且，所以． 设外接圆的半径为， 因为，所以，可得． 2.设的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么外接圆的半径为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据余弦定理求出，然后根据正弦定理求出三角形外接圆半径. 【详解】由，可得， 则，因为，所以， 又，由正弦定理可得，解得. 故选：B. 3.在中，若，，则的外接圆的半径为_____________． 【答案】 【分析】利用同角三角函数关系式，结合正弦定理进行求解即可. 【详解】因为是三角形内角，所以 又因为， 所以， 设的外接圆的半径为R，由正弦定理，有， 即的外接圆的半径为． 故答案为： 4.在中，角的对边分别为，若，则外接圆半径为__________. 【答案】/ 【分析】直接运用正弦定理进行求解即可. 【详解】因为， 所以外接圆半径为. 故答案为： 5.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则外接圆的面积为：_____． 【答案】 【分析】利用正弦定理角化边可得，再利用余弦定理求得，利用平方和关系求得，从而利用正弦定理可得，即可解答. 【详解】由，及，根据正弦定理得 ，即， 由余弦定理得，又， 故， 设外接圆的半径为，根据正弦定理得， 解得， 则外接圆的面积为. 故答案为： 6.在锐角中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，． (1)证明：； (2)若的外接圆半径为，求B． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据余弦定理化简题中的等式，再结合锐角三角形的性质得出，进而证明结论： （2）利用正弦定理求出B． 【详解】（1）证明：，， 由余弦定理得，即， ，是锐角三角形，． （2）设的外接圆半径为R，则， 由（1）， 由正弦定理得，即， 是锐角三角形，． 题型四 三角形面积公式的应用 1.已知的面积为，且，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式列式求解. 【详解】由的面积为，得，则， 解得，又，所以或. 故选：C 2.在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，的面积为3，则边的长为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先由题意求出，接着由求出c，再由余弦定理即可计算求解. 【详解】因为，， 则由解得， 所以， 所以由，即. 故选：D 3.已知中，内角，，所对边长分别为，，，且，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】由及，得， 而，则，所以的面积. 故选：C 4.在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】先余弦定理可得，再由同角三角函数关系式可得，从而可求三角形的面积. 【详解】由，，，由余弦定理得， 又因为，所以， 所以. 故选：A 5.中，，，的面积等于，则角平分线的长等于________． 【答案】/ 【分析】先利用三角形面积公式求得，再由余弦定理求出，根据题设条件和等面积列式求解即得的长. 【详解】设中角所对的边分别为， 依题知，则有， 由余弦定理， ， 即解得． 设，则由可得 ， 化简得，解得. 即角平分线的长为． 故答案为：. 6.在中，，．面积的最大值为______． 【答案】 【详解】由余弦定理可得：， ， ，当且仅当时等号成立， ， 即面积的最大值为. 7.在中，内角的对边分别为，，的面积为． (1)求； (2)若，求外接圆的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理和三角形面积公式可得； （2）由余弦定理求出的值，再由正弦定理可求得外接圆半径. 【详解】（1）在中，由余弦定理得，即 又由面积公式得，即，两式相除，得， 由，得． （2）由（1）知，结合得，即， 再由余弦定理，得到， 记的外接圆半径为，由正弦定理得． 题型五 用正余弦定理在边角互化中的应用 1.记的面积为S，的外接圆半径为1，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理（R为的外接圆半径），且的外接圆半径为1，得 ， 代入得. 由余弦定理得， 又，所以，化简得， 因为，所以. 2.在中，角的对边分别是，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合已知等式求出边之间的比例，最后用余弦定理计算cosA的值即可. 【详解】因为，根据正弦定理，得，即：， 代入，得：，所以， 所以由余弦定理得： ， 故选：D . 3.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】利用正弦定理和余弦定理，将已知等式化为关于边的关系式，即可求出的值. 【详解】由余弦定理，有， 由正弦定理可得， 因为，所以，即，解得. 故选：A. 4.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理将边化角即可求出，再由余弦定理及正弦定理得到，即可得解. 【详解】因为，由正弦定理可得，代入得到， 由余弦定理，所以， 由正弦定理可得，所以， 又，， 所以. 故选：C. 5.在中，内角所对的边分别是，若，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理边角转化，表示出，利用基本不等式以及三角函数有界性得唯一解，即可求面积. 【详解】由正弦定理，， 则， 则， 当且仅当取等号， 又由于，， 所以,， . 故选：B. 6.已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的值为_____________． 【答案】2 【分析】由已知条件，根据余弦定理，可得，所以.根据正弦定理，得． 【详解】由余弦定理，得. 因为，所以，化简得. 由正弦定理，得． 故答案为：2. 7.记的内角，，的对边分别为，，，若，则________． 【答案】 【分析】根据，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求得. 【详解】因为，由正弦定理得 ， 所以， 因为， 所以. 故答案为： 题型六 正余弦定理在测距及物理中的应用 1.小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】先根据正弦定理求出的长度，然后在直角三角形中根据边长关系求解出结果. 【详解】在中，，，米， 在中，由正弦定理可得，所以， 又因为， 所以，解得米， 在中，，米， 所以米， 故选：D. 2.如图，某游客为了测量江西灵山主峰的高度AB（单位：米），在地面上选择一个观测点，在附近的山峰顶端选择另一个测量点，在处测得处的仰角为，测得主峰最高点的仰角为山峰的高度CD为772.5米，且在处测得点的仰角为，点B，P，D在同一水平面的一条直线上，则主峰的高度AB为（   ） A．1030米 B．1545米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】根据题意，得到，在直角中，求得米，在中，由正弦定理求得米，再在直角中，结合，即可求解. 【详解】由题意知，， 在直角中，，，可得米， 在中，由正弦定理，可得米， 在直角中，可得米. 故选：B. 3.某校兴趣小组想要测量宁德市海慧塔的高度，在塔附近选取了相距60米的，（，与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度为（   ） A．15米 B．米 C．30米 D．米 【答案】C 【分析】设这座塔的高度为米，进而在中利用余弦定理求解即可. 【详解】解：设这座塔的高度为米， 因为从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为， 在中，，米；在中，，米， 在中，，米， 由余弦定理得：，即， 整理得，即，解得或（舍） 所以，这座塔的高度为米. 故选：C 4.如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作A，B，P，Q，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过．欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离，现可测得A，B两点间的距离为100m，，，，．则P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离分别为__________m. 【答案】 ， 【详解】在中，， 由正弦定理得，得． 在中，，，∴． 在中，， 由余弦定理得， ∴． 因此，P，Q两棵树之间的距离为，A，P两棵树之间的距离为． 5.某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为______. 【答案】 【分析】利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及模即可求解. 【详解】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为， 则，，且， 设，由船需要准确到达正北方向的点，得， 则，解得， 而，于是， ， 所以该船完成此段航行的实际速度为. 6.如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么__________ N.（）    【答案】100 【分析】建立平面直角坐标系，求出向量坐标，根据向量的和向量为零向量，即可求得答案. 【详解】以平行于斜坡方向为x轴，垂直于斜坡方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，设，， 所以，，， 由题意可得， 所以，即， 解得，. 故答案为：100 7.一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河的这一边的码头处出发，航行到位于河对岸（与河的方向垂直）的正西方向并且与相距的码头处卸货．若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度大小为多少？ 【答案】 【分析】根据平行向量的几何性质，结合向量数量积的运算性质，即可求解. 【详解】如图所示：， 设合速度为，小货船航行速度为，水流的速度为，则有， 所以有. 所以此时小货船航行速度为. 8.如图所示，一辆汽车从市出发沿海岸一条直公路以的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在市南偏东方向距市500km且与海岸距离为300km的海上处有一快艇与汽车同时出发，要把一件材料交送给这辆汽车的司机． (1)快艇至少以多大的速度行驶才能把材料送到司机手中？ (2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角； (3)若快艇每小时最快行驶75km，快艇应如何行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要多长时间？ 【答案】(1)快艇至少以的速度行驶才能把材料送到司机手中． (2)快艇应以垂直的方向向北偏东行驶． (3)4h． 【分析】（1）画图分析，设后与汽车在C处相遇，再根据三角形中的关系分别表示快艇与汽车所经过的路程，再化简求得快艇速度与时间之间的函数关系，再利用二次不等式的最值分析即可. （2）根据（1）中的结论分析可得汽车与快艇路程构成的三角形中的边的关系，进而求得时间即可. （3）设快艇以的速度沿行驶，后与汽车在E处相遇，同（1）中的方法求得三角形各边的关系分析即可. 【详解】（1）如图，设快艇以的速度从B处出发，沿方向行驶，后与汽车在C处相遇， 在中，,,,为边上的高，， 设，则,，由余弦定理，得， 即，整理得 ， 当，即时取等号，因此， 所以快艇至少以的速度行驶才能把材料送到司机手中. （2）由（1）知，， 在中，,，， 由余弦定理，得，因此， 所以快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角为90°. （3）如图，设快艇以的速度沿行驶，后与汽车在E处相遇， 在中，,,,， 由余弦定理，得，解得或， 而，取，,,， 所以快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要4h. 题型一 用正弦定理判断三角形的个数 1.（多选）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中错误的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，无解 D．，，，有一解 【答案】ABC 【分析】利用正弦定理，结合各选项的条件逐一判断即可. 【详解】对于A，由，得，则，即只有一解，A错误； 对于B，，且，则，而为锐角，因此有两解，B错误； 对于C，由，，，得，有解，C错误； 对于D，由，得，又，则是锐角，有一解，D正确. 故选：ABC 2.（多选）下列对三角形解的个数的判断中不正确的是（    ） A．，有两解 B．，有一解 C．，有两解 D．，无解 【答案】ACD 【分析】应用正弦定理结合各选项的条件求，由三角形内角的性质即可判断各选项的正误. 【详解】由正弦定理，又， 所以，只有一个解，故不正确； 由正弦定理， 因为，所以，又， 所以只有一个解，故正确； 由正弦定理， 所以无解，故不正确； 由正弦定理，因为，所以， 又，所以有两个解，一个锐角和一个钝角，故不正确. 故选：. 3.（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一的解是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【分析】由正弦定理可得，根据条件求得的值，根据与的大小判断角的大小，从而判断三角形的解的个数． 【详解】由正弦定理可得， 若A成立，，，，有， ∴，∴，故三角形有唯一解； 若B成立，，，，有，∴，又， 故，故三角形无解； 若C成立，，，，有 ，∴，又， 故，故三角形有两个解； 若D 成立，，，，有， ∴，由于，故三角形有唯一解． 故选：AD． 4.（多选）在中，角、、所对的边分别为、、，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的长可以是（   ） A．1 B． C． D．4 【答案】ABD 【分析】根据不同条件下三角形的解的个数分析判断即得. 【详解】在中，当已知边和锐角，判断三角形的个数时，若，有且只有一个解； 当时，有两个解；当时，有且只有一个解；当时，无解. 因为. 由，即，解得，故D正确； 由，可得，选项中，满足此条件，故A，B正确； 对于C，，此时三角形无解， 故C错误. 故选：ABD 5.（多选）的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数可以为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】ABD 【分析】由正弦定理得，再由有唯一解，则或，解不等式即可得出答案. 【详解】由正弦定理，得，则， 由于有唯一解，则或，解得或， 所以整数构成的可以为1，2，4. 故选：ABD. 6.在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，符合上述条件的有________个． 【答案】1 【分析】根据正弦定理及已知条件求出角，即可确定三角形个数. 【详解】由正弦定理，可得． 因为，所以，所以，故， 所以符合条件的只有一个． 故答案为：1． 7.已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足条件，的三角形有两解，则边长a的取值范围为__________. 【答案】 【分析】利用正弦定理，代入，，可得.根据满足条件的三角形有两解，结合正弦函数的性质得到关于的不等式，从而得到边长a的取值范围. 【详解】由正弦定理，得. 若满足条件，的三角形有两解，则，且，所以. 所以，所以. 故答案为：. 8.在中，，. (1)请你给出一个值，使该三角形有唯一解； (2)请你给出一个值，使该三角形两解. (3)请你给出一个值，使该三角形无解. 【答案】(1)(答案不唯一，满足即可) (2)(答案不唯一，满足即可) (3)(答案不唯一，满足即可) 【分析】（1）由正弦定理求得，再结合的取值范围或值，使该三角形有唯一解. （2）由（1）知，结合正弦的意义可得的取值范围，使该三角形两解. （3）由（1）知，结合正弦的意义可得的取值范围，使该三角形无解. 【详解】（1）在中，，， 由正弦定理，可得， 因为，可得. （1）当时，，即，此时由唯一的解； 当时，可得，此时有唯一的解， 所以时，由唯一的解. （2）由（1）知， 当时，由且，此时可能为锐角，也可能为钝角， 即角有两解，即当时，此时有两解. （3）由（1）知， 当时，此时，此时无解，即当时，此时无解. 题型二 用正余弦定理判断三角形的形状 1.若的三个内角满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】利用二倍角公式将已知等式化为，然后利用正弦定理边角互化得，进而求得，即可判断. 【详解】利用二倍角公式将已知等式化为， 即，由正弦定理得，即，所以， 所以是直角三角形. 故选：A. 2.若，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】结合角的范围，利用正弦函数的性质可判断三角形的形状. 【详解】因为，，所以或者. 即或者（）. 所以该三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：C 3.在中，已知，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理化角为边，再结合余弦定理变形可得. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 又， 所以，，即， 所以一定是等腰三角形， 故选：B. 4.在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】根据正弦定理可得，再由已知条件判断的形状. 【详解】由正弦定理，，则， 再由则 故，即， 故，所以为等边三角形. 故选：C. 5.设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据计算得出角，因为利用正弦定理和余弦定理得到，从而判断三角形形状. 【详解】因为，所以， 则，因为，所以， 又，所以， 由，所以，， 所以为等腰直角三角形. 故选：D. 6.在中，已知，则的形状为________． 【答案】等腰或直角三角形 【分析】借助正弦定理与余弦定理可将原等式化简，即可得解. 【详解】由正弦定理及余弦定理可得： ， 即有，化简得， 故或，则为等腰或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形. 题型三 三角形的边、角、面积的最值或范围问题 1.在中，， (1)求A； (2)若，求周长的最大值． （参考公式：，） 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）先用正弦定理化简，再利用余弦定理求解即可； （2）利用正弦定理得到，将的周长表示成正弦型函数，再结合三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）由正弦定理和已知条件得 ① 由余弦定理得 ② 由①，②得，因为， 所以． （2）由正弦定理及（1）得， 从而， ， 故 ． 又，所以当时，周长取得最大值． 2.在中，内角对应的边分别是，且. (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形，，求的范围. （参考公式：，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合正弦定理和诱导公式，化简求值即可； （2）通过正弦定理，将边用角表示，然后结合三角形中角的关系，将问题表示为单一变量角的函数，再结合锐角三角形，确定角的取值范围，再利用正弦函数求取值范围即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 即， 因为在中，， 所以，又， 所以. （2）因为，，结合正弦定理，得， 所以，. 在中，， 所以. 因为为锐角三角形， 所以， 所以，则， 所以， 所以. 3.在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)求角； (2)若，求的周长的最大值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，得到，再利用余弦定理求角. （2）利用余弦定理得到，再利用基本不等式求的最大值，进而可得周长的最大值. 【详解】（1）由， 得. 由正弦定理，可得. 由余弦定理，， 又角为三角形内角，所以. （2）由余弦定理，得， 即. 又，所以， 所以（当且仅当时取等号）. 所以当为正三角形时，周长取得最大值，为9. 4.记的内角的对边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若点是的中点，且，求的周长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用正弦定理角化边，得，再利用余弦定理可求，结合为三角形内角，可求. （2）在中，利用余弦定理可求，再在中，利用余弦定理求边，再求三角形的周长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：. 又根据余弦定理：， 又为三角形内角，所以. （2）如图：    在中，， 由余弦定理：， 所以， 所以或. 若，则， ，所以. 所以的周长为； 若，则， ，所以. 所以的周长为. 所以的周长为或. 5.在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)求角； (2)若，求的周长的最大值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，得到，再利用余弦定理求角. （2）利用余弦定理得到，再利用基本不等式求的最大值，进而可得周长的最大值. 【详解】（1）由， 得. 由正弦定理，可得. 由余弦定理，， 又角为三角形内角，所以. （2）由余弦定理，得， 即. 又，所以， 所以（当且仅当时取等号）. 所以当为正三角形时，周长取得最大值，为9. 6.已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，， . (1)当时，求的内切圆的半径； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）应用正弦定理结合余弦定理计算得出角B，再应用面积计算内切圆半径； （2）应用余弦定理得出函数，再应用函数的单调性得出值域即可求解. 【详解】（1）因为，，得， 由及正弦定理得， 由余弦定理得，又，故， 设内切圆的半径为，则， 解得. （2）由题意知，， 在中，， 由三角形的三边关系可得得， 令，由对勾函数的性质可得当时单调递减， 当时，单调递增， 又，，， 所以， 所以的取值范围为. 题型四 正余弦定理在几何证明中的应用 1记内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求证： ①； ②； (2)求角的最大值． 【答案】(1)① 证明见解析；②证明见解析 (2) 【分析】（1）（i）先化简原等式，然后由正弦定理得到，然后根据余弦定理进行化简即可.（ii）由（i）的结果利用正弦定理化简即可证明. （2）先根据余弦定理列出的表达式，然后利用基本不等式结合三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）（i）由，得， 所以，由正弦定理得，     由余弦定理得， 所以． （ii）由，得，     所以，     所以． （2）由（1）（i）的结论可得 ，在（1）（i）的证明中，已证得 ， 由基本不等式可得 ，故 ，即 （当且仅当时取等号）， 所以 ， 因为，所以角的最大值为. 2.如图，在凸四边形ABCD（凸四边形指没有内角度数大于的四边形）中，，． (1)若四点共圆，且，求AD； (2)若，求凸四边形ABCD面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用圆的几何性质，结合余弦定理进行求解即可； （2）利用三角形面积公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】（1）在中， 由余弦定理可知； 因为四点共圆，且， 所以由圆内接四边形的性质可知：， 因此在中， 由余弦定理可知， 解得：，或舍去； （2）在和中，， ， 所以， 设凸四边形ABCD面积为， 所以，所以 ， 所以当时，有最大值，即有最大值， 所以S的最大值为. 1．在平面直角坐标系中，，，，则的最大值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意建立坐标系后，画出图形，通过平面向量基本定理分析，可设点E为AB的四等分点（靠近点A），通过计算得出，通过计算可知为定值，故知点E在以O为圆心，以为半径的圆上，所以当点E在CO的延长线与圆的交点时，最长，即取最大值. 【详解】由已知，，，在中，由余弦定理得 ，即向量与的夹角为， 取，所以，所以， 同理可知，， 所以， 所以点E在以O为圆心，以为半径的圆上， 如图所示，所以点E在CO的延长线与圆的交点位置时，最大，此时， 易知，所以，即的最大值为. . 2．平面上的四边形中，，，，，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，设，先列出的关系确定，然后根据正弦定理列出的关系确定，从而得到结果. 【详解】延长交于点，因为，所以. 因为，所以. 所以 设，所以在中，. 设，因为，所以. 由得，解得. 在中，根据正弦定理，得到. 所以. 由于，所以有，解得. 所以的取值范围为. 故选：A. 3．在中，为AC边上的动点，若AC边足够长，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题设结合余弦定理求出，接着将所求进行转化得到，再构造，过作，垂足为，过作，垂足为，数形结合即可分析求解. 【详解】因为，所以， 则， 由余弦定理，， 又，所以， 则. 如图，设，过作，垂足为，则， 过作，垂足为， 则. 故选：C 4．拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在中，已知，且，现以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据正弦定理可求解外接圆的半径，即可根据余弦定理得，利用基本不等式以及三角形的面积公式即可求解. 【详解】设的三个内角，，的对边分别为，，. 连接，则由题设得， 因为以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，， 所以，，所以， 在中，由余弦定理可得，即， 又，∴，即（等号当时成立）， 由题意可得为等边三角形，故. 故选：B 5．（多选）在中，所对的边分别为，已知，则（        ） A．若，则外接圆半径为 B．若，则 C．若为锐角三角形，且，则 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】确定三角形形状并求出外接圆半径判断A；利用余弦定理求出的范围选项B；建立不等式组求出范围判断C；利用余弦定理及三角形面积公式列式，结合二次函数求出最大值判断D. 【详解】对于A，因为，由正弦定理可知， 设，则，即为直角三角形， 结合，得，则， 外接圆半径为，A正确； 对于B，若，则由，可得， 则，而，即，仅当时取等号， 故，结合，得，B正确； 对于C，，， 为锐角三角形，则，且， 即，解得，即，C错误； 对于D，由，得， 由于，故，即； 而, 而，故 ， 由于时，取最大值， 故的最大值为，即面积的最大值为，D正确. 6．（多选）在中，内角的对边分别为，已知，，则下列正确的有（   ） A． B．的外接圆的半径为 C．若的面积为，则的周长为 D．若边上的中线长为，点在上，且为的角平分线，则 【答案】BCD 【分析】根据正弦定理和余弦定理解三角形，正弦定理求解三角形外接圆半径，根据三角形的面积计算三角形的周长，利用题中条件求解线段长； 【详解】对于A，因为，由正弦定理得， 由余弦定理得，又因为B为的内角，所以，故A错误； 对于B，设的外接圆的半径为，由正弦定理得， 得，所以，故B正确； 对于C，由的面积为，得，得，又， 由余弦定理可得，则， ，即，所以的周长为，故C正确； 对于D，根据余弦定理，即有①； 设D为AC的中点，即，又因为， 所以，即②， 由①②得：，，所以，所以， 因为BM为的角平分线，所以， 则，即，故D正确． 故选：BCD． 7．某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为），点，在的边上，线段把草坪分成面积相等的两部分．如果沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为______米． 【答案】20 【分析】分别讨论在各个边的情况，结合三角形面积公式与基本不等式即可求得水管的最短长度. 【详解】由，可得是直角三角形，其面积， 不妨设， ①若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； ②若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； ③若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； 因为，所以的最小值为20，即水管的最短长度为20米. 8．已知的面积为，，，则___________． 【答案】 【分析】过作交于点，分别表示出，再由三角形的面积先求出的值，根据向量数量积的定义将条件所给的等式变形化简，即可求出. 【详解】 如图所示，过作交于点. 则有， ，. 因为的面积为，， 所以，解得. 所以 . 解得，即. 9．已知的内角的对边分别是，的面积为，且． (1)若，求锐角的值； (2)求的最小值，并求出此时的值． 【答案】(1) (2)最小值为4， 【分析】（1）利用三角形面积公式和外接圆半径公式，结合已知的正弦乘积条件求出外接圆半径，再通过正弦定理求出角. （2）由外接圆半径和正弦乘积条件得到的值，将所求式子通分后，利用基本不等式求最小值，再结合等号成立条件求出. 【详解】（1）设外接圆的半径为．因为，所以． 又因为，所以． 因为，所以，又角为锐角，则． （2）由（1）知．因为，由正弦定理得． 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为4，此时，解得，从而． 10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角B的大小； (2)若，，点D满足，求△ABD的面积； (3)若，且△ABC的外接圆半径为2，圆心为O，P为⊙O上的一动点，试求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理，进行边角互化得，再利用余弦定理可求得，从而可求出角， （2）由余弦定理求出，再根据向量的线性运算可得,根据三角形的面积公式可求得答案， （3）由已知和余弦定理可得三角形为等边三角形，再运用向量的数量积运算可求得的范围 【详解】（1）法一：因为， 所以根据正弦定理得： ， ， 所以， 所以， 根据正弦定理，得.即， 根据余弦定理，得， 因为，所以， 法二：因为， 所以根据正弦定理，得， 根据余弦定理，得， 即， 根据余弦定理，得， 因为，所以； （2）由余弦定理，得， 所以，即， 所以，因为，所以， 因为， 所以， 所以△ABC的面积为； （3）∵，， ∴，即，由余弦定理得， 所以，即， 故是等边三角形， 所以， ∴，， ∴，， 设AB的中点为D，则    ∴ ， ∵， ∴， ∴的取值范围为：． 11.在中，角，，的对边分别为，，，为锐角三角形，已知，且满足条件． (1)求的大小； (2)求面积的最大值； (3)求的内切圆半径的最大值． （参考公式：，） 【答案】(1) (2)面积最大值为 (3)内切圆半径最大值为 【分析】（1）变维给定等式，再利用余弦定理求解. （2）利用基本不等式求出的最大值，进而求出三角形面积的最大值. （3）将表示为的函数，再利用正弦定理及三角恒等变换求出的最大值. 【详解】（1）依题意，， 整理得：， 由余弦定理：， 因为是锐角三角形，，故； （2）由（1）得，三角形的面积， 由基本不等式，结合， 得：当且仅当时等号成立， 代入得：； （3）三角形的面积，故， 代入得：， 由，得，代入化简：， 由正弦定理得，而，由是锐角三角形得， ， 当时，，，代入得：. 12.设的三个内角所对应的边分别为． (1)若且，求角； (2)若非中，，为中点，且，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）先化简等式，然后利用余弦定理求出，进而求出结果. （2）根据正弦定理和三角形面积公式计算即可. 【详解】（1） ， 当，即 当，即，矛盾，舍. 综上所述：. （2），由正弦定理得，即或（舍）， 由中线长定理得， ，， ， 当且仅当即时，面积取到最大值为6． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.6 平面向量的应用 题型一 用余弦定理解三角形 1．设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．2或4 B．3 C．5 D． 2．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（   ） A．5 B． C．4 D．3 3．在中，若，，，则（　　） A． B． C． D． 4．中，，，，为中最大角，为上一点，，则（    ） A． B． C． D． 5．在中，已知的角平分线交于D，，，则_____． 6．已知钝角三角形的三边，，，则的取值范围为________． 7.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，． (1)求； (2)设为边上一点，且，求的长． 题型二 用正弦定理解三角形 1.在中，若，，则（   ） A． B． C． D． 2.在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（    ） A． B． C． D．或 3.在中，，，，则（   ） A． B．或 C．或 D． 4.设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知则A=（   ） A． B． C． D． 5.在中，已知，，，则______. 6.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则______． 7.记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，，求． 题型三 用正弦定理求外接圆半径 1.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则外接圆的半径为（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 2.设的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么外接圆的半径为（    ） A．1 B．2 C． D．4 3.在中，若，，则的外接圆的半径为_____________． 4.在中，角的对边分别为，若，则外接圆半径为__________. 5.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则外接圆的面积为：_____． 6.在锐角中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，． (1)证明：； (2)若的外接圆半径为，求B． 题型四 三角形面积公式的应用 1.已知的面积为，且，，则（   ） A． B． C．或 D．或 2.在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，的面积为3，则边的长为（   ） A． B． C．5 D． 3.已知中，内角，，所对边长分别为，，，且，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 4.在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（    ） A． B． C．4 D．8 5.中，，，的面积等于，则角平分线的长等于________． 6.在中，，．面积的最大值为______． 7.在中，内角的对边分别为，，的面积为． (1)求； (2)若，求外接圆的半径． 题型五 用正余弦定理在边角互化中的应用 1.记的面积为S，的外接圆半径为1，且，则（   ） A． B． C． D． 2.在中，角的对边分别是，若，，则（   ） A． B． C． D． 3.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C．1 D．3 4.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（    ） A． B． C． D． 5.在中，内角所对的边分别是，若，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6.已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的值为_____________． 7.记的内角，，的对边分别为，，，若，则________． 题型六 正余弦定理在测距及物理中的应用 1.小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2.如图，某游客为了测量江西灵山主峰的高度AB（单位：米），在地面上选择一个观测点，在附近的山峰顶端选择另一个测量点，在处测得处的仰角为，测得主峰最高点的仰角为山峰的高度CD为772.5米，且在处测得点的仰角为，点B，P，D在同一水平面的一条直线上，则主峰的高度AB为（   ） A．1030米 B．1545米 C．米 D．米 3.某校兴趣小组想要测量宁德市海慧塔的高度，在塔附近选取了相距60米的，（，与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度为（   ） A．15米 B．米 C．30米 D．米 4.如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作A，B，P，Q，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过．欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离，现可测得A，B两点间的距离为100m，，，，．则P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离分别为__________m. 5.某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为______. 6.如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么__________ N.（）    7.一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河的这一边的码头处出发，航行到位于河对岸（与河的方向垂直）的正西方向并且与相距的码头处卸货．若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度大小为多少？ 8.如图所示，一辆汽车从市出发沿海岸一条直公路以的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在市南偏东方向距市500km且与海岸距离为300km的海上处有一快艇与汽车同时出发，要把一件材料交送给这辆汽车的司机． (1)快艇至少以多大的速度行驶才能把材料送到司机手中？ (2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角； (3)若快艇每小时最快行驶75km，快艇应如何行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要多长时间？ 题型一 用正弦定理判断三角形的个数 1.（多选）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中错误的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，无解 D．，，，有一解 2.（多选）下列对三角形解的个数的判断中不正确的是（    ） A．，有两解 B．，有一解 C．，有两解 D．，无解 3.（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一的解是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4.（多选）在中，角、、所对的边分别为、、，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的长可以是（   ） A．1 B． C． D．4 5.（多选）的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数可以为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6.在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，符合上述条件的有________个． 7.已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足条件，的三角形有两解，则边长a的取值范围为__________. 8.在中，，. (1)请你给出一个值，使该三角形有唯一解； (2)请你给出一个值，使该三角形两解. (3)请你给出一个值，使该三角形无解. 题型二 用正余弦定理判断三角形的形状 1.若的三个内角满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 2.若，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 3.在中，已知，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 4.在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 5.设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 6.在中，已知，则的形状为________． 题型三 三角形的边、角、面积的最值或范围问题 1.在中，， (1)求A； (2)若，求周长的最大值． （参考公式：，） 2.在中，内角对应的边分别是，且. (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形，，求的范围. （参考公式：，） 3.在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)求角； (2)若，求的周长的最大值． 4.记的内角的对边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若点是的中点，且，求的周长． 5.在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)求角； (2)若，求的周长的最大值． 6.已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，， . (1)当时，求的内切圆的半径； (2)求的取值范围. 题型四 正余弦定理在几何证明中的应用 1记内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求证： ①； ②； (2)求角的最大值． 2.如图，在凸四边形ABCD（凸四边形指没有内角度数大于的四边形）中，，． (1)若四点共圆，且，求AD； (2)若，求凸四边形ABCD面积的最大值． 1．在平面直角坐标系中，，，，则的最大值为（   ） A．5 B． C． D． 2．平面上的四边形中，，，，，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．在中，为AC边上的动点，若AC边足够长，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在中，已知，且，现以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 5．（多选）在中，所对的边分别为，已知，则（        ） A．若，则外接圆半径为 B．若，则 C．若为锐角三角形，且，则 D．面积的最大值为 6．（多选）在中，内角的对边分别为，已知，，则下列正确的有（   ） A． B．的外接圆的半径为 C．若的面积为，则的周长为 D．若边上的中线长为，点在上，且为的角平分线，则 7．某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为），点，在的边上，线段把草坪分成面积相等的两部分．如果沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为______米． 8．已知的面积为，，，则___________． 9．已知的内角的对边分别是，的面积为，且． (1)若，求锐角的值； (2)求的最小值，并求出此时的值． 10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角B的大小； (2)若，，点D满足，求△ABD的面积； (3)若，且△ABC的外接圆半径为2，圆心为O，P为⊙O上的一动点，试求的取值范围. 11.在中，角，，的对边分别为，，，为锐角三角形，已知，且满足条件． (1)求的大小； (2)求面积的最大值； (3)求的内切圆半径的最大值． （参考公式：，） 12.设的三个内角所对应的边分别为． (1)若且，求角； (2)若非中，，为中点，且，求面积的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $